非正弦周期电流电路分析()

第12章 非正弦周期电流电路
重点 1. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 2. 非正弦周期电流电路的计算
线性电路中若有多个不同频率的正弦电源，或线性电路中含有非正弦周期电源， 则电路进入稳态后的电流和电压响应将是非正弦周期函数，称这种电路为非正 弦周期电流电路。
12.1 多个不同频率正弦电源作用下线性 电路的稳态响应
Anm cos(n1t n )
高次谐波
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
也可表示成：
Akm cos(k1t k ) ak cosk1t bk sink1t
f (t) a0 [ak cosk1t bk sink1t] k 1
系数之间的关 系为
A0 a0
Akm ak2 bk2
ak Akm cosk
k
arctan
bk ak
bk Akm sink
系数的计算：
1T
A0 a0 T 0 f (t )dt
ak
1
2
0 f (t )cosk1td(1t )
1
bk
2
0
f (t )sink1td(1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
T0
1 T
T I0
I
km
coskt
k
2
d
(t )
0
k 1
利用三角函数的正交性得：
I
I
2 0
I12
I
2 2
结论
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方 和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t ) I0 I k cos(kt k ) k 1
则其平均值为：
1
I AV
T
例1 电路如图，已知 ，求 i0 。
解：（1）us 单独作用时
(2)is 单独作用时 (3) us, is 共同作
用时
12.2 非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。 在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是 周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f (t) f (t kT )
例
半波整流电路的输出信号
例2 脉冲电路中的脉冲信号
t
T
12.3 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数：
直流分量
基波（和原 函数同频）
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 2 )
二次谐波 （2倍频）
2
0 Im
k
td ( t )
K为偶数
K为奇数
2
ak
2
0
iS
(t ) cosktd (t )
2Im
1 si nkt
k
0
0
AK
bK2
a
2 K
bK
2Im
k
K
arctan aK bK
0
（K为奇数）
is的展开式为：
iS
Im 2
2Im
( s i nt
1 sin3t
3
1 sin5t )
5
周期性方波波形分解
+R
u -
L
u 10 100 2 cost 50 2 cos(3t 30o )V
求 i 、I 及负载吸收的平均功率 P 。
解：
例3 方波信号激励的电路。求u, 已知：
iS
Im 2
2Im
(sint 1 sin 3t 1 sin 5t )
3
5
直流分量
t
三次谐波
基波
t
t
五次谐波 七次谐波
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
等效电源
iS
Im
IS0 is1 is3 is5
t
T/2 T
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin3t
3
1 sin5
5
t
)
Akm
矩形波的频谱图
0 3 5 7
12.4 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
k整数
2
2
sin ktd (t) 0
cosktd (t) 0
0
0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 sin2 ktd (t) 0 （3） 三角函数的正交性
根据叠加定理，若线性电路包含多个不同频率正弦 电源（含直流电源）时，可分别求出各单一频率正弦电 源及直流电源单独作用时电路的稳态响应，然后叠加。
应注意以下问题：
求各单一频率稳态响应时，可分别采用相量法。 不同频率电源作用时，电感和电容的阻抗是不同的。 直流电源作用时，电感相当于短路，电容相当于开路。 不同频率正弦量的相量求和是无意义的，叠加只能对瞬时 表达式进行。
2
coskt sin ptd(t) 0
0 2
sin kt sin ptd(t) 0
0
2 cos2ktd (t) 0
2
coskt cos ptd(t) 0
0
k p
2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t ) I0 I km cos(kt k )
则有效值:
k 1
I
1 T i 2 t d (t)
（3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
注意
由于电感电容的存在，因此电路对不同频率谐波的阻抗不同，可称之为谐波阻抗； 在最后结果时必须用待求量的各次谐波的瞬时值相叠加，不能把各次谐波的相量相叠 加。
例1 单口网络如图，已知
解：
求网络吸收的平均功率、电流和电压的有效值。

例2电路如图，已知
R 5 , L 2
0
k 1
其中，k uk ik
P U 0 I0 U1I1 cos1 U 2 I2 cos 2
结论 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
12.5 非正弦周期交流电路的计算
计算步骤
（1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开； （2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法； 注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流C 相当于开路、L相于短路。
T
0 i(t )dt I0
正弦量的平均值为0
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
u(t) U 0 U km cos(kt uk )
k 1
i(t) I 0 I km cos(kt ik )
k 1
P 1 T
T
uidt U 0 I0 U k I k cosk P0 P1 P2 ......
例1
周期性方波信号的分解
iS
解
图示矩形波电流在一个周期内的表达式 为：
Im
I
m
iS (t)
0
0 t T 2
T tT
t
T/2 T
2
直流分量：
1 IO T
T
1
0 iS (t) dt T
T /2
0 Imdt
Im 2
谐波分量：
Im
bK (
1
2
0 iS (
1 k
cosk
t
)
0
t) sin k