计算机图形学 第7章 三维图形学基础
计算机图形图像技术
最常用旳图形输入设备是键盘和鼠标。人们 一般经过某些图形软件由键盘和鼠标直接在屏幕 上定位和输入图形，如CAD系统就是用鼠标和键盘 命令制作多种工程图旳。另外还有跟踪球、空间 球、数据手套、光笔、触摸屏等输入设备。跟踪 球和空间球是根据球在不同方向受到旳推或拉旳 压力来实现定位和选择。数据手套则是经过传感 器和天线来发送手指旳位置和方向旳信息。这几 种输入设备在虚拟现实场景旳构造和漫游中尤其 有用。光笔是一种检测光旳装置，它直接在屏幕 上操作，拾取位置。
可用于美术创做旳软件诸多，如二维平面旳 绘图程序CorelDraw, photoshop, paintshop, 三 维动画建模和渲染软件3D MAX, Maya等
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❖ 7.3 图形与图像旳区别与联络 图形和图像有着较大不同。因而计算机图形学和
数字图像处理目前仍被作为两门不同课程。 计算机图形学是指将点、线、面、曲面等实体生
计算机图形学一种主要旳目旳就是利用计算 机产生令人赏心悦目旳真实感图形。为此，必须 建立图形所描述旳场景旳几何表达，再用某种光 照模型计算在假想旳光源、纹理、材质属性下旳 光照明效果，所以，计算机图形学与计算机辅助 设计有着亲密联络。
4
❖ 7.1.2 计算机图形处理旳基本概念 计算机图形处理是指把由概念或数学描述
目前正在研究下一代顾客界面，开发面对主流 应用旳自然、高效多通道旳顾客界面。研究多通道 语义模型、多通道整合算法及其软件构造和界面范 式是目前顾客界面和接口方面研究旳主流方向，而 图形学在其中起主导作用。
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➢ 地形地貌和自然资源图 国土基础信息是国家经济系统旳一种构成部
分。利用这些存储旳信息可绘制平面图、生成三 维地形地貌图，为高层次旳国土整改进行预测和 提供决策，为综合治理和资源开发研究提供科学 根据，在军事方面也有主要价值。
计算机图形学基础（第2版）课后习题答案__陆枫__何云峰
计算机图形学基础（第2版）课后习题答案__陆枫__何云峰第⼀章绪论概念：计算机图形学、图形、图像、点阵法、参数法、图形的⼏何要素、⾮⼏何要素、数字图像处理；计算机图形学和计算机视觉的概念及三者之间的关系；计算机图形系统的功能、计算机图形系统的总体结构。
第⼆章图形设备图形输⼊设备：有哪些。
图形显⽰设备：CRT的结构、原理和⼯作⽅式。
彩⾊CRT：结构、原理。
随机扫描和光栅扫描的图形显⽰器的结构和⼯作原理。
图形显⽰⼦系统：分辨率、像素与帧缓存、颜⾊查找表等基本概念，分辨率的计算第三章交互式技术什么是输⼊模式的问题，有哪⼏种输⼊模式。
第四章图形的表⽰与数据结构⾃学，建议⾄少阅读⼀遍第五章基本图形⽣成算法概念：点阵字符和⽮量字符；直线和圆的扫描转换算法；多边形的扫描转换：有效边表算法；区域填充：4／8连通的边界／泛填充算法；内外测试：奇偶规则，⾮零环绕数规则；反⾛样：反⾛样和⾛样的概念，过取样和区域取样。
5.1.2 中点 Bresenham 算法（P109）5.1.2 改进 Bresenham 算法（P112）习题解答习题5（P144）5.3 试⽤中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且⼤于1的直线段绘制过程（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
（P111）解： k<=-1 |△y|/|△x|>=1 y为最⼤位移⽅向故有构造判别式：推导d各种情况的⽅法(设理想直线与y=yi+1的交点为Q)：所以有： y Q-kx Q-b=0 且y M=y Qd=f(x M-kx M-b-(y Q-kx Q-b)=k(x Q-x M)所以，当k<0，d>0时，M点在Q点右侧（Q在M左），取左点 P l(x i-1,y i+1)。
d<0时，M点在Q点左侧（Q在M右），取右点 Pr(x i,y i+1)。
d=0时，M点与Q点重合（Q在M点），约定取右点 Pr(x i,y i+1) 。
计算机形学三维建模
计算机形学三维建模计算机形学三维建模是一种利用计算机技术对三维模型进行建立、编辑和渲染的过程。
它是计算机图形学的重要应用领域，广泛应用于电影特效、游戏设计、工业设计等领域。
本文将介绍计算机形学三维建模的基本概念、方法和应用。
一、概述计算机形学三维建模是指利用计算机生成三维物体模型的过程。
它通过数学和计算方法模拟现实物体的形状、结构和外观，并将其表示为计算机可识别的数据形式。
这种数据形式可以被进一步处理、编辑和渲染，用于实现各种视觉效果。
二、基本概念1. 顶点：三维建模中的基本元素，用于定义物体的位置和形状。
顶点通常由三个坐标值(x, y, z)表示。
2. 多边形：由多个顶点连接而成的平面图形，是构建三维物体的基本元素。
常见的多边形包括三角形、四边形等。
3. 网格：由多个相邻的多边形组成的三维物体表面。
网格可以用于表示复杂物体的形状和拓扑结构。
4. 法向量：用于定义物体表面的朝向和光照效果。
法向量垂直于表面，并指向物体外部。
5. 纹理映射：将二维图像映射到三维物体表面，用于增加物体的视觉效果和真实感。
三、建模方法计算机形学三维建模有多种方法和技术，常见的方法包括以下几种：1. 实体建模：基于物体的几何形状和结构进行建模。
可以通过对几何体进行布尔运算、体素细分等操作，实现复杂物体的建模。
2. 曲面建模：利用数学曲面方程对物体进行建模。
常见的曲面建模方法有贝塞尔曲线、B样条曲面等。
3. 多边形建模：将物体表示为由多边形组成的网格。
可以通过调整多边形的顶点和边界，实现物体形状的变化和编辑。
4. 数字雕刻：利用专业的数字雕刻软件对物体进行建模。
可以通过在三维空间中添加、删除和变形等操作，实现精细的物体建模。
四、应用领域计算机形学三维建模广泛应用于各个领域，主要包括以下几个方面：1. 电影特效：三维建模可以用于电影中的特殊效果制作，如人物角色、场景和特殊物体的建模。
2. 游戏设计：三维建模是游戏设计中必不可少的一部分。
计算机图形学习题参考答案(完整版)
区域二（下半部分）
k (x k, yk) pk 0 (7, 3) b 2(x 0 1/2)2 a 2(y01)2a 2b 2 23 1 (8, 2) p02a 2y1a 22b 2x1 361 2 (8,1) p12a 2y2 a 2 297 3 (8, 0)
2a yk pk 2 2 2 1600 b a b (1/4)a 332 768 p0 2b2x1b2 224 768 p12b 2x 2 b 2 44 768 p2 2b 2x 3 b2 208 2 640 p3 2b x 4 b 22a 2y 4 108 640 p4 2b 2x 5 b 2 288 512 p5 2b 2x 6 b 22a 2y6 244 384
10、使用中点椭圆算法，绘制中心为 (0, 0) ，长半径 a 8 ，短半径 b 6 的椭圆在第一象限中的部分。 解： 区域一（上半部分）
k (x k, yk) 2b x k 0 (0, 8) 0 1 (1, 8) 72 2 (2, 8) 144 3 (3, 8) 216 4 (4, 7) 288 5 (5, 7) 360 6 (6, 6) 432 7 (7, 6) 504 8 8, 5
第 2 章 基本图元的显示
1、假设 RGB 光栅系统的设计采用 810 英寸的屏幕，每个方向的分辨率为每英寸 100 个像素。如果 每个像素 6 位，存放在帧缓冲器中，则帧缓冲器需要多大存储容量（字节数）？ 解： 8100101006/8600000 （字节） 。 2、假设计算机字长为 32 位，传输速率为 1 MIP（每秒百万条指令） 。300 DPI(每英寸点数)的激光打 印机，页面大小为 8.511 英寸，要填满帧缓冲器需要多长时间。 解：
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11、已知： A(0, 0) 、 B(1, 1) 、 C(2, 0) 、 D(1, 2) ，请判断多边形 ABCD 是否是凹多边形。 解： 多 边 形 的 边 向 量 为 AB (1,1, 0) ， BC (1, 1, 0) ， CD (1, 2, 0) ， DA(1, 2, 0) 。 因 为
计算机图形学第7章曲线和曲面分析
基矩阵: Ms
几何约束条件: G
基函数(blenging function)，或称混合函数。
08:43
曲线和曲面
7.2 三次样条
给定n+1个点，可得到通过各个点的分段三次多项式曲线：
x(t) y(t)
axt ayt
3 3
bxt byt
2 2
cxt cyt
dx dyz(t)源自azt3bzt
6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来
08:43
曲线和曲面
7.1.4 插值和逼近样条
▪ 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲 面的形状称为样条。
▪ 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连 续条件。
▪ 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来 描述。
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曲线和曲面
x(t) y(t)
ant n bnt n
a2t b2t
2 2
a1t1 b1t1
a0 b0
z(t)
cnt n
c2t
2
c1t1
c0
t [0,1]
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曲线和曲面
x(t )
p(t)
y(t)
tn
z(t)
t
an
1 aa10
bn
b1 b0
cn
c1 c0
T C T M S G t[0,1]
特点: 只适用于型值点分布比较均匀的场合 不能“局部控制”
08:43
曲线和曲面
7.2.2 三次Hermite样条
定 义 ： 假 定 型 值 点 Pk 和 Pk+1 之 间 的 曲 线 段 为 p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则 满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条 曲线：
计算机图形学基础：三维建模和渲染技术
计算机图形学基础：三维建模和渲染技术三维建模和渲染技术是计算机图形学的重要分支，它们在影视、游戏、设计等领域广泛应用。
本文将从三维建模和渲染技术的基本概念、流程以及常见的应用领域进行阐述。
一、三维建模技术1.1三维建模是指利用计算机软件创建虚拟三维模型的过程。
常见的三维建模软件包括3ds Max、Maya、Blender等。
建模的基本单位是顶点、线段和多边形等基本几何体。
1.2三维建模的流程包括：准备工作、构建基础几何体、细节建模、纹理贴图和调整光照等步骤。
建模的目的是根据设计需求创建逼真的虚拟模型。
1.3常见的三维建模技术包括多边形建模、体素建模、曲面建模等。
每种建模技术都有其适用的场景和优缺点，建模师需要根据具体需求选择合适的建模技术。
二、三维渲染技术2.1三维渲染是指将建模好的三维模型投影到屏幕上并进行光照和材质处理的过程。
常见的三维渲染软件包括V-Ray、Arnold、Unity等。
2.2三维渲染的流程包括：场景设置、材质贴图、光照设置、相机参数调整等步骤。
渲染的目的是呈现出逼真的影像效果，让模型看起来更加真实。
2.3常见的三维渲染技术包括光线追踪、辐射度追踪、光线投射等。
这些技术可以模拟出真实世界的光影效果，提高渲染效果的真实感和逼真度。
三、应用领域3.1三维建模和渲染技术在影视制作中广泛应用，可以制作逼真的角色、场景和特效。
比如《阿凡达》中的潘多拉星球就是利用三维建模和渲染技术制作的。
3.2游戏行业也是三维建模和渲染技术的主要应用领域，通过三维建模可以制作出精美的游戏场景和角色，提升游戏的视觉效果和玩家体验。
3.3除此之外，建筑设计、工业设计、动画制作等领域也都需要用到三维建模和渲染技术。
通过三维建模和渲染，可以提升设计效率和呈现效果，加快设计师的创作过程。
综上所述，三维建模和渲染技术在当今数字时代发挥着重要作用，不仅可以提高设计效率，还可以创造出更加逼真的虚拟世界。
随着技术的不断发展，三维建模和渲染技术将会在更多领域得到应用，并为人们带来更多视觉上的惊喜和乐趣。
OpenGL学习笔记：三维数学基础（一）坐标系、向量、矩阵
OpenGL学习笔记：三维数学基础（⼀）坐标系、向量、矩阵接触OpenGL和计算机图形学有⼀段时间了，⼀直想写⼀点东西，记录⾃⼰的学习历程，或许也能够为有意愿向计算机图形学发展的菜鸟们提供⼀条捷径。
闲话不多说，本章主要介绍计算机图形学中三维数学的⼀些基础知识，主要包括2D、3D笛卡尔坐标系，向量、矩阵的数学和⼏何意义以及公式。
由于篇幅限制，其中的推导过程本⽂不作叙述，感兴趣的读者可以去看《3D数学基础+图形与游戏开发》，已上传，链接地址在本⽂末尾。
⼀、计算机图形学计算机图形学（Computer Graphics）是⼀种使⽤数学算法将⼆维或三维图形转化为计算机显⽰器的栅格形式的科学。
其⼴泛应⽤于游戏、动画、仿真、虚拟现实（VR）、增强现实（AR）等领域。
在数学之中，研究⾃然数和整数的领域称为离散数学，研究实数的领域称作连续数学。
在计算机图形学中，为虚拟世界选择度量单位的关键是选择离散的精度。
⼀种错误的观点认为short、int是离散的，⽽float、double是连续的，⽽事实上，这些数据类型都是离散的。
于是，计算机图形学有如下准则：计算机图形学第⼀准则：近似原则——如果它看上去是对的，它就是对的。
⼆、笛卡尔坐标系2D笛卡尔坐标系是⼀个精确定位点的框架。
2D坐标的标准表⽰法是(x,y)，相信⼤家初中都学过。
⼀般，标准的笛卡尔坐标系是x轴向右，y轴向上。
⽽计算机图形学中的屏幕坐标往往是x轴向右，y轴向下。
如图1所⽰。
图1：2D笛卡尔坐标系和2D屏幕坐标系3D笛卡尔坐标系类似，增加了第三个维度，z轴。
3D坐标系分为完全不同的2种坐标系，左⼿坐标系和右⼿坐标系。
判断⽅法为，左⼿坐标系：伸出左⼿，让拇指和⾷指成“L”形，⼤拇指向右，⾷指向上，其余⼿指指向前⽅。
此时，拇指、⾷指和其余三指分别代表x、y、z轴的正⽅向。
右⼿坐标系，相同，只是把左⼿换成右⼿。
如图2所⽰。
图2：左⼿坐标系与右⼿坐标系其中左⼿坐标系⼴泛应⽤于计算机图形学、D3D之中，⽽右⼿坐标系⼴泛应⽤于OpenGL、线性代数、3DSMax之中。
计算机图形学知识要点
单元分解法优缺点
优点
表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体 物体的表示不唯一 物体的有效性难以保证 空间位置枚举表示----同样大小立方体粘合在一起表示 物体 八叉树表示----不同大小的立方体粘合在一起表示物体 单元分解表示----多种体素粘合在一起表示物体
阴极射线管(CRT)：光栅扫描图形显示器； 平板显示器：液晶显示器、等离子体显示板等； 光点、像素、帧缓存（frame buffer）、位平面；三种 分辨率（屏幕、显示、存储）； 黑白、灰度、彩色图形的实现方法（直接存储颜色数据、 颜色查找表）； 光栅图形显示子系统的结构
基本概念
第四章 图形的表示与数据结构
2、规则三维形体的表示
形体表示的分类 线框模型
缺点 多边形表，拓扑信息： 显示和隐式表示
表面模型
显示表示：在数据结构中显式的存储拓扑结构。例如，翼边结构 表示（Winged Edges Structure） 隐式表示：即根据数据 之间的关系在运行时实
时的解算。 平面方程 多边形网格 分解表示、构造表示、边界表示
Bresenham算法绘制圆弧
基本原理 从（0，R）点，顺时针开始； 上一个确定像素点为p（x, y），则下一个像素点只 能是p1和p2中的一个；
P(x, y) P1(x＋1, y)
p2 (x＋1, y－1)
误差判据：像素点到圆心的距离平方与半径平方之 差； 一般关系式取值对应的几何意义，即和下一个像素 的对应关系；
3、椭圆的光栅化方法
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z D* D O A* A x B B* C* y
T =
0 0 1 0 tx ty tz 1
（2）比例变换
S11 0 0 0
S =
0 S22 0 0 0 0 0 0
0 1
H*
S33 0
z D* D H
E C*
C G* G B
F B*
OA A
*
y
x
E*
F*
（3）旋转变换（右手坐标系，逆时针为正）
5 1 2 x x 1* 2* 5* 6* 8* 7* 4z 5 8 7 4 2 3
z 8* 4* O 3* 5* 6* 1* 2*
5 7* 1 2
6
8 7 4 3 z
6
O
1
6* 5* 2*
7* 8* 3* 1* O 4*
y y
x
y
(a)
(b)
(c)
（5）复合变换
如果对于复合变换，即在图形变换中既有旋转变
7.2.2 平面几何投影的分类 平行投影：投影中心到投影面的距离是无限的，即
投影线互相平行，定义时只需给出投影线的方向。
透视投影：投影中心到投影面的距离是有限的，定 义时需明确给出投影中 心的位置。
7.2.3 透视投影 透视缩小效应：物体透视投影的大小与物体到投影 中心的距离成反比。 透视投影特点：使物体更具有立体感和真实感，但
换，又有平移变换和比例变换，请问变换矩阵的次序
是否可随意调换？
例1：三维变换中，将P点绕Y轴逆时针旋转α角后，
再绕X轴顺时针旋转β角，求变换矩阵M2。
例2：空间线段AB由点A（Xα,Yα,Zα）及其方向数 （a,b,c）确定，空间一点P （Xp,Yp,Zp）绕AB旋转 θ到P*，求变换矩阵T和P*的坐标。
特点：能精确反映物体实际尺寸。
◆正投影
三视图：投影面与某—坐标轴垂直时得到的投影。
正轴测图：投影面与坐标轴不垂直时得到的投影。
◆三视图的实现
第7章 三维图形学基础
1 2
三维图形几何变换 三维图形的投影
7.1 三维图形几何变换
7.1.1 三维坐标系的建立 右手坐标系：伸出右手，当用大姆指指向x轴的正 方向，食指指向y轴的正方向，则与手心垂直的中指方 向就是z轴正向。 左手坐标系用左手类似确定。
在计算机图形学中，两种坐标系都可以使用。
7.1.2 几何变换 （1）平移变换
7.2 三维图形的投影
7.2.1 投影与投影变换的定义
投影：将n维的点变成小于n维的点。
投影变换：把三维物体投射到投影面上得到的二维图
形。
投影中心：三维空间中，选择的一个点。
投影面：不经过投影中心的面。 投影线：从投影中心向投影面引的任意多条射线。 投影：穿过物体的投影线将于投影面相交，在投影面 上形成物体的像。
Rx =
1 0 0 0 cos sin 0 -sin cos 0 0 0 0 0 0 1
Ry = z
cos 0 sin 0
0 -sin 0 1 0 0 0 cos 0 0 0 1
y
x
cos sin Rz = - sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
（4）对称变换（坐标平面）
不能真实地反映物体的精确尺寸和形状。
灭点：进行透视变换时，物体中不平行与投影面的
任意一组平行线的投影汇聚成的点。
主灭点：坐标轴上的灭点，最多有3个。
分类：一点透视、二点透视和三点透视。
7.2.4 平行投影
正投影：当投影方向与投影面的夹角为90°时的投影。
斜投影：当投影方向与投影面的夹角不为90°时的投影。