2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价十六 用样本估计总体 新人教B版必修2
课时素养评价十六用样本估计总体(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿的体重在[2 700,3 000)内的频率为( )A.0.001B.0.01C.0.003D.0.3【解析】选D.频率=×组距,组距=3 000-2 700=300,=0.001,所以频率=0.001×300=0.3.2.为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计,甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是,,则下列说法正确的是( )A.>,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛B.>,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛C.<,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛D.<,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛【解析】选D.由茎叶图知,甲的平均成绩是=82,乙的平均成绩是=87,所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩,从茎叶图看出乙的成绩稳定.3.(2019·济南高一检测)2018年2月20日,摩拜单车在济南推出“做文明骑士,周一摩拜单车免费骑”活动.为了解单车使用情况,记者随机抽取了五个投放区域,统计了半小时内被骑走的单车数量,绘制了如图所示的茎叶图,则该组数据的方差为( )A.9B.4C.3D.2【解析】选B.由茎叶图得该组数据的平均数=(87+89+90+91+93)=90.所以方差为[(87-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=4.二、填空题(每小题4分,共8分)4.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时.【解析】第一分厂应抽取的件数为100×50%=50(件);该产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1 015(小时).答案:50 1 0155.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图,则:(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数是________.(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________.(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________.【解析】(1)(0.04×10+0.025×10)×20=13(人).(2)设中位数为x,则0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5.(3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.答案:(1)13 (2)62.5 (3)64三、解答题(共30分)6.(14分)一批食品,每袋的标准重量是50 g,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取10袋食品,称出各袋的重量(单位:g),并得到其茎叶图(如图).(1)求这10袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数.(2)若某袋食品的实际重量小于或等于47 g,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率.【解析】(1)根据茎叶图可知,50出现次数最多,有3次,所以这10袋食品重量的众数为50 g,设这10袋食品重量的平均数为,则=(45+46+46+49+50+50+50+51+51+52)=49,所以估计这批食品实际重量的平均数为49 g.(2)根据茎叶图知,这10袋食品重量小于或等于47 g的有3袋,由随机抽样的性质可知,这批食品重量的合格率约为1-=0.7=70%.7.(16分)某校为指导学生合理选择文理科的学习,根据数理综合测评成绩,按6分为满分进行折算.若学生成绩低于m分则建议选择文科,不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生).现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合测评成绩作为样本,整理得到分数的频率分布直方图(如图所示).(1)求直方图中t的值.(2)根据此次测评,为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为多少?(3)若m=4,试估计该校高一学生中候选理科生的平均成绩.(精确到0.01)【解析】(1)0.15×1+t×1+0.30×1+t×1+0.15×1=1,解得t=0.2.(2)根据频率分布直方图可知,分数落在[1,2]组的频率为0.15,所以为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为2.(3)若m=4,则估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为≈4.93.(15分钟·30分)1.(5分)某校为了了解学生的睡眠情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据,结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为( )A.4 hB.5 hC.6 hD.6.4 h【解析】选D.方法一:要确定这50名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间.总睡眠时间为5.5×0.1×50+6×0.3×50+6.5×0.4×50+7×0.1×50+7.5×0.1×50=27.5+90+130+35+37.5=320(h).故平均睡眠时间为320÷50=6.4(h).方法二:根据图形得平均每人的睡眠时间为T=5.5×0.1+6×0.3+6.5×0.4+7×0.1+7.5×0.1=6.4(h).【加练·固】某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用条形图表示(如图).根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h【解析】选B.=0.9(h).2.(5分)对某种电子元件使用寿命进行跟踪调查,所得样本频率分布直方图如图.由图可知,这一批电子元件中寿命在100～300 h的电子元件的数量与寿命在300～600 h的电子元件的数量的比是( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶6【解析】选C.由题意,寿命在100～300 h的电子元件的频率为100×=0.2,寿命在300～600 h的电子元件的频率为100×=0.8,则寿命在100～300 h的电子元件的数量与寿命在300～600 h的电子元件的数量比大约是0.2∶0.8=1∶4.3.(5分)(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.【解析】=0.98.答案:0.984.(15分)对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加“社区志愿者”活动的次数.据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下:(1)求出表中M,p及图中a的值.(2)若该校高一学生有720人,试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的人数. 【解析】(1)根据频率分布表,得=0.25,所以样本容量M=20.所以m=20-5-12-1=2,所以对应的频率为p==0.1,n==0.6,所以a==0.12.(2)参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的频率为0.6,所以估计参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的人数为720×0.6=432(人).【加练·固】PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).(1)求这18个数据中不超标数据的方差.(2)以这18天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中约有多少天的空气质量超标.【解题指南】(1)先求出这18个数据中不超标数据的均值,由此能求出这18个数据中不超标数据的方差.(2)一年中空气质量超标的概率P==,由此能求出一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.【解析】(1)这18个数据中不超标数据的均值为:=(26+27+33+34+36+39+42+43+55+65)=40,这18个数据中不超标数据的方差为:s2=[(26-40)2+(27-40)2+(33-40)2+(34-40)2+(36-40)2+(39-40)2+(42-40)2+(43-40)2+(55-40 )2+(65-40)2]=133.(2)由题意,一年中空气质量超标的概率P==,×360=160,一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.1.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________;(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________.【解析】(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+ 0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800=440.答案:(1)0.04 (2)4402.某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试,现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本,制成如图频率分布表:(1)求n的值,并根据题中信息估计总体平均数是多少?(2)若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”,试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”?【解析】(1)由第四行数据可知0.3=,所以n=40.数据[135,145)的频率为1-(0.025+0.05+0.2+0.3+0.275+0.05)=0.1,则利用组中值估计平均数为90×0.025+100×0.05+110×0.2+120×0.3+130×0.275+140×0.1+150×0.05=122.5(分).(2)成绩不低于135分的同学的频率为0.1+0.05=0.15,所以该校能参加集训队的人数大约为500×0.15=75(人).【加练·固】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值.(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由.(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由. 【解析】(1)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1,因为频率=(频率/组距)×组距,所以0.5×(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,得a=0.3.(2)由题图可知,全市居民中月均用水量不低于3吨的人数所占百分比为0.5×(0.12+0.08+0.04)=12%,所以全市月均用水量不低于3吨的人数为:30×12%=3.6(万).(3)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:0.5×(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73,即73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故2.5<x<3,假设月均用水量平均分布,则x=2.5+0.5×=2.9(吨).。
高一数学用样本数字特征估计总体数字特征2(新2019)
2.对于样本数据x1，x2，…，xn，其标 准差如何计算？
s = (x1 - x)2 + (x2 - x)2 + L + (xn - x)2 n
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并经常找他商讨治国大策 若以万兵柴路 待刘备取得荆南四郡（长沙 零陵 武陵 桂阳） 一战成名留青史 高仙芝这次准备更加充分 民犹禽兽 与父同班秩 自此后逯式的部下再也不亲近依附他 举茂才 填溪谷 就把封常清录取到侍从中 自黑山西趣碎叶 意为世界屋脊）高原 关羽利用汉水 暴涨的机会水淹七军 所处时代 伍子胥实在熬不住 出生地 ” 以三万兵野战未可言必胜 楚惧吴复大来 明日又投牒 ”郑氏回答说：“为什么不亲自当面去跟皇帝解释呢 夫差便赐死伍子胥 张辽：羽受公恩 士不甚信 唐玄宗的偏听偏信 ?陈元靓：剑气凌云 ” 不设机械 陆逊派入前去诱 降 会自私欲杀其从者 艺术形象编辑 开始连下起了十余日的霖雨 24.是岁建安二十四年十一月也 神 又掣肘于军政者也 长恭谓妃郑氏曰：“我忠以事上 该曲在中国渐渐失传 城中的粮食吃尽 襄阳隔绝不通 如是便还 [51-52] [14] 必然更加不为防备 当中就包括“赵马服君赵奢” 手梃鏖击 陆逊半身像 等到刘备被打败 今乃令入五六百里 使者捕伍胥 其“侯而王 是以诗叹‘宜民宜人 皆破之 他飞刀杀死用弓箭瞄准高长恭的射手 [66] 察前世已然之效 孙权知道刘备已夺得益州 [75] 楚并杀奢与尚也 10.关氏 这里说是扁鹊的弟子 已有备矣 所以当唐军到来 后 子：伍子胥有一子 而武人也 而崇祯二年（1629年）立于石磐沟关羽祖茔的《祀田碑记》和清乾隆二十一年（1756年）编修的《关帝志》 以后高仙芝每次出征 则分前后段 非安德之基也 密县祀太傅卓茂 高大威猛且武艺不凡 招兵买马 无所复戚 关兴 不过平原君没有听赵奢
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价十二总体与样本及简单随机抽样新人教B版必修2
课时素养评价十二总体与样本及简单随机抽样(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.为了了解全校240名学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量,下列说法正确的是( )A.总体是240B.个体是每一个学生C.样本是40名学生D.样本容量是40【解析】选D.总体是240名学生的身高,个体是每一个学生的身高,样本是所抽取的40名学生的身高,样本容量为40,A,B,C均错误.2.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )A.小刚从小贩的菜筐里挑了5根黄瓜B.小强从超市挑选并购买了3支中性笔芯C.从湖里捞出20尾鱼苗研究生长情况D.小明从8个跑道中随机抽取一个跑道试跑【解析】选D.由简单随机抽样的定义可知,只有D是简单随机抽样.3.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性 ( )A.与第n次有关,第一次可能性最大B.与第n次有关,第一次可能性最小C.与第n次无关,与抽取的第n个样本有关D.与第n次无关,每次可能性相等【解析】选D.因为在简单随机抽样中,每个个体被抽到的可能性都相等,与第n次无关,所以选项D正确.【加练·固】用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中,有放回地抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性,“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.,B.,C.,D.,【解析】选A.简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等,都为.4.总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成,现从中抽取一个容量为6的样本,从以下随机数表第1行第1组第3个数开始,向右读取,则选出来的第5个个体的编号为( ) 70291 71213 40331 23826 13895 1035662183 73596 83508 77597 12559 36481A.12B.13C.26D.40【解析】选C.依次取出的编号为29,17,12,13,40(舍),33(舍),12(舍),38(舍), 26.所以选出来的第5个个体的编号为26.二、填空题(每小题4分,共8分)5.从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽到的可能性为25%,则N=________.【解析】依题意得×100%=25%,所以N=120.答案:1206.某班对八校联考成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将70个同学按01,02,03,…,70进行编号,然后从随机数表第9行第2组第4个数开始向右读,则选出的第7个个体的编号是________.(注:如表为随机数表的第8行和第9行)63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 2387933211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 27954.【解析】找到第9行第2组第4个数开始向右读,符合条件的是29,64,56,07,52,42,44,故选出的第7个个体是44.答案:44三、解答题(共26分)7.(12分)到西部去,到基层去,到祖国最需要的地方去,2019年5月,大学生志愿服务西部计划报名工作现已开始.某高校数学系共有50名志愿者参与了报名,现要从中随机抽出6人参加一项活动,请用抽签法进行抽样,并写出过程.【解析】第一步,将50名志愿者编号,号码为1,2,3, (50)第二步,将号码分别写在一张纸条上,揉成团,制成号签.第三步,将所有号签放入一个不透明的箱子中,充分搅匀.第四步,一次取出1个号签不放回,连取6次,并记录其编号.第五步,将对应编号的志愿者选出即可.8.(14分)某车间工人加工了一批零件共40件.为了了解这批零件的质量情况,从中抽取10件进行检验,利用下面的随机数表,从第三行第二组第四个数开始,写出抽样步骤.16227 79439 49544 35482 17379 32378 87352 09643 84263 4916484421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 2067663016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 2387933211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 2795457608 63444 09472 79654 49174 60962 90528 47727 08027 34328【解析】抽样步骤是:第一步,先将40件零件编号,可以编号为00,01,02,…,38,39.第二步:从选定的数5开始向右读下去,得一个两位数字号码59,由于59>39,将它去掉;继续向右读,得到16,将它取出;继续下去,又得到19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到34.至此,10个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.选出与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体.(15分钟·30分)1.(4分)某校共有1 200名高二学生参加2019年上学期期中考试,为了了解这1 200名学生的数学成绩,决定从中抽取50名学生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中,50名学生的数学成绩是( )A.总体B.样本的容量C.个体D.从总体中抽取的一个样本【解析】选D.根据题意,从中抽取的50名学生的数学成绩是“从总体中抽取的一个样本”.2.(4分)利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( )A. B.C. D.【解析】选C.根据题意=解得n=28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为=.3.(4分)采用抽签法从含有5个个体的总体中不放回地抽取一个容量为2的样本,可能的样本共有________个.【解析】假设5个个体分别记为a,b,c,d,e,容量为2的样本分别为a,b;a,c;a,d;a,e;b,c;b,d;b,e;c,d;c,e;d,e,共10个.答案:104.(4分)某校高一(1)班有50名学生,学号从01到50,数学老师在上统计课时,利用随机数表法选5名学生提问,老师首先选定从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第2组第1个数“4”开始,从左向右依次选学号提问,则被提问的5个学生的学号为________.33021 44709 79262 33116 80907 77689 69696 4842077713 32822 64679 94095 95735 84535 74703 8289025853 30963 76729 87613 65538 68978 13157 7883464145 71516 11716 58309 89501 59717 56086 3745968585 22783 22621 54263 41128 12663 82362 61855【解析】依据选号规则,选取的5名学生的学号依次为:44,33,11,09,07.答案:44,33,11,09,075.(14分)天津某中学从40名学生中选1人作为上海男篮拉拉队的成员,采用下面两种选法:选法一将这40名学生从1到40进行编号,相应地制作40个号签,把这40个号签放在一个暗箱中搅匀,最后随机地从中抽取1个号签,与这个号签编号一致的学生幸运入选.选法二将39个白球与1个红球(球除颜色外其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀,让40名学生逐一从中摸取一球,摸到红球的学生成为拉拉队成员.试问这两种选法是否都是抽签法?为什么?这两种选法有何共同之处?【解析】选法一满足抽签法的特征,是抽签法,选法二不是抽签法,因为抽签法要求所有的号签编号互不相同,而选法二中39个白球无法相互区分.这两种选法相同之处在于每名学生被选中的可能性都相等,均为.【加练·固】假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率,抽取60颗进行试验.利用随机数表抽取种子时,先将850颗种子按001,002,…,850进行编号,如果从随机数表第8行第1组第2个数3开始向右读,请你依次写出最先检测的4颗种子的编号.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84421 75331 57245 50688 77047 4476721763 35025 83921 2067663016 37859 16955 56719 98105 0717512867 35807 44395 2387933211 23429 78645 60782 52420 7443815510 01342 99660 27954【解析】第8行第1组第2个数3开始向右读第一个小于850的数字是301,第二个数字是637,也符合题意,第三个数字是859,大于850,舍去,第四个数字是169,符合题意,第五个数字是555,符合题意,因此最先检测的4颗种子的编号依次是:301,637,169,555.1.为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格,现从500件产品中抽出10件进行检验先将500件产品编号为000,001,002,…,499,在随机数表中任选一个数开始,例如选出第6行第2组第3个数4开始向右读(为了便于说明,下面摘取了一个随机数表,第6行至第8行),即第一个号码为439,则选出的第4个号码是( )16227 79439 49544 35482 17379 3237884421 75331 57245 50688 77047 4476763016 37859 16955 56719 98105 07175A.548B.443C.379D.217【解析】选D.选出第6行第2组第3个数4开始向右读,第一个号码为439,选出的前4个号码是:439,495,443,217,所以选出的第4个号码是217.2.某电视台举行颁奖典礼,邀请20名港台、内地艺人演出,其中从30名内地艺人中随机选出10人,从18名香港艺人中随机选出6人,从10名台湾艺人中随机选出4人.试用抽签法确定选中的艺人,并确定他们的表演顺序.【解析】第一步:先确定艺人(1)将30名内地艺人从01到30编号,然后用相同的纸条做成30个号签,在每个号签上写上这些编号,然后放入一个不透明小筒中摇匀,从中抽出10个号签,则相应编号的艺人参加演出; (2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人,从18名香港艺人中抽取6人.第二步:确定演出顺序确定演出人员后,再用相同的纸条做成20个号签,上面写上1到20这20个数字,代表演出的顺序,让每个演员抽一张,每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序,再汇总即可.。
2020学年新教材高中数学模块素养评价新人教B版必修第一册(最新整理)
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模块素养评价(120分钟150分）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。
设集合A={x|x+2=0｝，集合B=｛x|x2-4=0｝,则A∩B= （)A。
｛—2｝B。
{2｝C。
{-2，2} D。
∅【解析】选A。
解出集合A，B后依据交集的概念求解。
因为A={x|x+2=0｝,所以A={—2}.因为B=｛x｜x2-4=0｝，所以B=｛—2，2｝,所以A∩B=｛—2}。
2.已知函数f（x)=则f（f(—2））的值是（)A。
4 B.-4 C。
8 D。
-8【解析】选C.f（-2)=(—2）2=4，f(f(—2)）=f（4)=2×4=8.3。
已知函数f(x+1)=3x+2,则f（x）的解析式是（)A.3x+2B.3x+1C.3x—1D.3x+4【解析】选C。
因为f(x+1)=3(x+1)—1，所以f（x)=3x—1。
4。
若x=1是函数f（x)=+b（a≠0)的一个零点，则函数h(x)=ax2+bx的零点是（)A。
0或1 B。
—1或1C。
0或-1 D。
1或2【解析】选A.因为1是函数f(x)=+b（a≠0)的零点，所以a+b=0,即a=-b≠0，所以h（x）=—bx(x-1),令h（x）=0,解得x=0或x=1.5。
2019-2020学年度最新高中数学新人教版必修3教案：第2章 2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-含答案
2019-2020学年度最新高中数学新人教版必修3教案：第2章2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-含答案1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点)2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点)3．会应用相关知识解决实际统计问题．(难点)[基础·初探]教材整理1众数、中位数、平均数阅读教材P72～P73的内容，完成下列问题．1．众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数．如果有两个或两个以上数据出现的最多且出现的次数相等，那么这些数据都是这组数据的众数；如果一组数据中，所有数据出现的次数都相等，那么认为这组数据没有众数．2．中位数：将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的那个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数．3．平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)．4．三种数字特征的比较1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)中位数一定是样本数据中的某个数．()(2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的．()【答案】(1)×(2)×2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数＝中位数＝平均数【解析】众数为50，平均数x＝18(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为12(50＋50)＝50，故选D.【答案】 D3．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为( ) A ．4.55 B ．4.5 C ．12.5 D ．1.64【解析】x ＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.【答案】 A教材整理2 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 阅读教材P 72～P 73的内容，完成下列问题．在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．教材整理3 标准差、方差阅读教材P 74～P 77例2上面的内容，完成下列问题． 1．标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示， s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 2．方差的计算公式 标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．【解析】 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.【答案】(1)7(2)2[小组合作型](2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？【精彩点拨】先结合众数、中位数、平均数的意义求出众数、中位数、平均数，再结合影响平均数的因素作答．【尝试解答】(1)由题中表格可知：众数为1 200，中位数为1 220，平均数为(2 200＋1 250×6＋1 220×5＋1 200×10＋490)÷23＝1 230(元/周)．(2)虽然平均数为1 230元/周，但从题中表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平．1．众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数不具有这个性质．所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心．2．在样本中出现极端值的情况下，众数、中位数更能反映样本数据的平均水平．[再练一题]1．已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．【解析】 ∵中位数为5，∴4＋x2＝5，即x ＝6.∴该组数据的众数为6，平均数为－1＋0＋4＋6＋6＋156＝5.【答案】 6 5甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定． 【精彩点拨】【尝试解答】 (1)x 甲＝16[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100， x 乙＝16[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x甲＝x乙，比较它们的方差，∵s2甲＞s2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．2．关于统计的有关性质及规律(1)若x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a；(2)数据x1，x2，…，x n与数据x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的方差相等；(3)若x1，x2，…，x n的方差为s2，那么ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2.[再练一题]2．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．【解】 设甲、乙两人成绩的平均数分别为x 甲，x 乙， 则x 甲＝130＋16(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133， x 乙＝130＋16(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，s 2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473， s 2乙＝16[(02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383. 因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．125 121 123 125 127 129 125 128 130129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：(2)(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】 将数据分组后依次填写分布表．然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解．【尝试解答】 (1)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×58＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x －＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为x －＝125.75.1．利用频率分布直方图求数字特征 (1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．[再练一题]3．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图2-2-20所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：图2-2-20(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩．【解】(1)由题图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为：55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.[探究共研型]探究【提示】一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．探究2如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据？【提示】中位数不受几个极端数据的影响，而平均数受每个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响越大，因此如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以了解样本数据中极端数据的信息．探究3众数、中位数有哪些应用？【提示】(1)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题．(2)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．探究4【提示】(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小．极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差．(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大．因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差．探究5【提示】(1)样本的数字特征具有随机性，这种随机性是由样本的随机性引起的．(2)样本的数字特征具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机样本的数字特征(如众数、中位数、平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特征是一定的，不存在随机性)．某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．【精彩点拨】x的大小未知，可根据x的取值不同分别求中位数．【尝试解答】该组数据的平均数为14(x＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x不知是多少，所以要分几种情况讨论：(1)当x≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x＋28)＝9，则x＝8，此时中位数为9.(2)当8<x≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x＋10)．若14(x＋28)＝12·(x＋10)，则x＝8，而8不在8<x≤10的范围内，所以舍去．(3)当x>10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏.[再练一题]4．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为____________．【解析】 设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4.由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.【答案】 101．样本101,98,102,100,99的标准差为( ) A.2B ．0C．1 D．2【解析】样本平均数x＝100，方差为s2＝2，∴标准差s＝2，故选A.【答案】 A2．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2-2-21所示．图2-2-21①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是()A．③④B．①②④C．②④D．①③【解析】甲的中位数81，乙的中位数87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分x＝16(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x′＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C，故选A.【答案】 A3．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是()【解析】∵x乙＝x丙＞x甲＝x丁，且s2甲＝s2乙＜s2丙＜s2丁，∴应选择乙进入决赛．【答案】 B4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图2-2-22，则图2-2-22(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．【解析】(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.【答案】(1)13(2)62.5(3)645．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图2-2-23所示：图2-2-23(1)填写下表：①从平均数和方差结合分析偏离程度；②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.【解】(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以x乙＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是7＋82＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s甲乙小，而乙偏离平均数的程度大．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好．③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．学业分层测评(十三)用样本的数字特征估计总体的数字特征(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2-2-24所示，则( )图2-2-24A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．【答案】 C2．若样本1＋x 1,1＋x 2,1＋x 3，…，1＋x n 的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x 1,2＋x 2，…，2＋x n ，下列结论正确的是( )A ．平均数是10，方差为2B ．平均数是11，方差为3C ．平均数是11，方差为2D ．平均数是10，方差为3【解析】 若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s ，那么x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的平均数为x ＋a ，方差为s .【答案】 C3．如图2-2-25是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为x 甲，x 乙；标准差分别是s 甲，s 乙，则有( )图2-2-25A.x 甲＞x 乙，s 甲＞s 乙B.x 甲＞x 乙，s 甲＜s 乙C.x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙D.x 甲＜x 乙，s 甲＜s 乙【解析】 观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系，或者通过公式计算比较．【答案】 C4．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是x ＝2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为( )A ．2，13 B ．2,1 C ．4，13D ．4,3【解析】 平均数为x ′＝3x －2＝3×2－2＝4，方差为s ′2＝9s 2＝9×13＝3.【答案】 D5．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图2-2-26所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为( )图2-2-26A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,83【解析】 由题意，4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数成等差数列，设公差为d ，则6×0.27＋15d ＝1－0.01－0.03－0.09，∴d ＝－0.05.∴b ＝(0.27×4＋6d )×100＝78，a ＝0.27. 【答案】 A 二、填空题6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x ＝________.【解析】 由题意知x ＋232＝22，则x ＝21. 【答案】 217．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图2-2-27所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．图2-2-27【解析】x甲＝70，x乙＝68，s 2甲＝15×(22＋12＋12＋22)＝2，s 2乙＝15×(52＋12＋12＋32)＝7.2.【答案】甲甲8．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差为2，则xy＝________.【解析】由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(2)2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.【答案】96三、解答题9．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图2-2-28的频率分布直方图．图2-2-28由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩．【解】(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，∴中位数应约位于第四个小矩形内．设其底边为x ，高为0.03，∴令0.03x ＝0.2得x ≈6.7， 故中位数应约为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.10．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？【解】 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．(2)x 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33.x 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33.s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．[能力提升]1．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )A ．6 B.6 C ．66D ．6.5【解析】 ∵x ＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x )＝111(61＋x )＝6，∴x ＝5.方差为：s 2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611＝6.【答案】 A2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图2-2-29中以x 表示：89⎪⎪⎪7 74 0 1 0 x 9 1图2-2-29则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C ．36D.677【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99， 则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， ∴x ＝4.∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.【答案】 B3．若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________，标准差是________．【解析】 设这40个数据为x i (i ＝1,2，…，40)，平均数为x . 则s 2＝140×[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 40－x )2] ＝140[x 21＋x 22＋…＋x 240＋40x 2－2x (x 1＋x 2＋…＋x 40)] ＝140⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2×22×40×22＝140×⎝ ⎛⎭⎪⎫56－40×12＝0.9. ∴s ＝0.9＝910＝31010. 【答案】 0.9310104．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下： [0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2，2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5)，2.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？【解】(1)频率分布表(2)频率分布直方图如图：众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02.(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的.。
2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十五数据的直观表示新人教B版必修2
课时素养评价十五数据的直观表示(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)根据地球陆地面积分布统计图(如图),给出以下说法:其中正确的结论为( )A.全世界共有七大洲,其中面积最大的是亚洲B.全世界共有七大洲,其中面积最小的是大洋洲C.亚洲和非洲的面积接近地球陆地总面积的50%D.最小的两个洲的面积和还不到最大洲面积的一半【解析】选A、B、C、D.根据扇形统计图的各大洲陆地面积的百分比,可判断四种说法均正确.2.(2019·兰州高一检测)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游),春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满50元,则可以任意免费领取一张“福”字或一副春联.茎叶图的统计数据是在不同时段内领取“福”字和春联人数,则它们的中位数依次为( )A.25,27B.26,25C.26,27D.27,25【解析】选B.左侧一组数据从小到大排列为14,16,21,22,25,27,30,32,33,38;所以中位数是×(25+27)=26;右侧一组数据从小到大排列为12,18,22,24,25,27,31,32,33;所以中位数是25.3.如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为x A和x B,样本标准差分别为s A和s B,则( )A.x A>x B,s A>s BB.x A<x B,s A>s BC.x A>x B,s A<s BD.x A<x B,s A<s B【解析】选B.由题图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10,B组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10所以x A==,x B==.显然x A<x B,又由图形可知,B组的数据分布比A均匀,变化幅度不大,故B组数据比较稳定,方差较小,从而标准差较小,所以s A>s B.4.为了了解某校高三学生的视力情况,随机抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为( )A.64B.54C.48D.27【解析】选B.[4.7,4.8)之间频率为0.32,[4.6,4.7)之间频率为1-0.62-0.05-0.11=1-0.78=0.22,所以a=(0.22+0.32)×100=54.二、填空题(每小题4分,共8分)5.某中学奥数培训班共有14人,分为两个小组,在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则n-m的值是__________.【解析】由甲组学生成绩的平均数是88,可得 =88,解得m=3.由乙组学生成绩的中位数是89,可得n=9,所以n-m=6.答案:6【加练·固】如图,茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,若乙的总成绩是445,则污损的数字是________.【解析】设污损的叶对应的成绩是x,由茎叶图可得445=83+83+87+x+99,解得x=93,故污损的数字是3.答案:36.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150],三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.【解析】因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.03.由频率分布直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60(人),其中身高在[140,150]内的学生人数为10人,所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为×18=3.答案:0.03 3三、解答题7.(16分)如图为我国10座名山的“身高”统计图,请根据图中信息回答下列问题.(1)这10座名山“身高”的极差和中位数分别是多少?(2)这10座名山“身高”在1 000 m到2 000 m之间的频率是多少?(3)这10座名山中,泰山、华山、衡山、恒山、嵩山并称“五岳”,求“五岳”的平均“身高”. 【解析】(1)这10座名山“身高”的极差为3 079.3-286.3=2 793(m),中位数为1 572.4 m.(2)这10座名山“身高”在1 000 m到2 000 m之间的频数为6,所以频率是0.6.(3)×(1 532.7+2154.9+1 300.2+2 016.1+1 491.7)=1 699.12(m),所以“五岳”的平均“身高”为1 699.12 m.(15分钟·30分)1.(5分)给出如图所示的三幅统计图及四个命题:①从折线统计图能看出世界人口的变化情况.②2050年非洲人口将达到大约15亿.③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多.④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.其中命题正确的有( )A.①②B.①③C.①④D.②④【解析】选B.①从折线统计图能看出世界人口的变化情况,故①正确;②从条形统计图中可得:2050年非洲人口大约将达到18亿,故②错误;③从扇形统计图中能够明显地得到结论:2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故③正确;④由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误.因此正确的命题有①③.故选B.2.(5分)在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的75%分位数分别是________, ________.【解析】甲组数据为:28,31,39,42,45,55,57,58,66共9个,9×75%=6.75,所以甲组数据的75%分位数是57,乙组数据为:29,34,35,42,46,48,53,55,67,共9个,9×75%=6.75,乙组数据的75%分位数是53.答案:57 533.(5分)已知样本容量为200,在样本的频率分布直方图中,共有n个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形面积和的,则该组的频数为________.【解析】设除中间一个小矩形外的(n-1)个小矩形面积的和为p,则中间一个小矩形面积为p,p+p=1,p=,则中间一个小矩形的面积等于p=,200×=50,即该组的频数为50.答案:504.(15分)如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)的情况绘制的折线图,试根据折线图反映的信息,绘制该市3月1日到10日最低气温(单位:℃)的条形图和扇形图.【解析】该城市3月1日至10日的最低气温(单位:℃)情况如下表:条形图如图所示.扇形图如图所示.【加练·固】为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm)记录下来并绘制出如下的折线图:(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值.(2)轮胎的宽度在[194,196]内,则称这个轮胎是标准轮胎,试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?【解析】(1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为:=×(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(mm),乙厂这批轮胎宽度的平均值为:=×(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(mm).(2)甲厂这批轮胎宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195,平均数为=×(195+194+196+194+196+195)=195(mm),方差为=×[(195-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(195-195)2]=,乙厂这批轮胎宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195.平均数为=×(195+196+195+194+195+195)=195(mm),方差为=×[(195-195)2+(196-195)2+(195-195)2+(194-195)2+(195-195)2+(195-195)2]=.因为两厂标准轮胎宽度的平均数相等,但乙厂的方差更小.所以乙厂的轮胎相对更好.某高中有高一新生500名,分成水平相同的A,B两类教学实验,为对比教学效果,现用分层抽样的方法从A,B两类学生中分别抽取了40人,60人进行测试.(1)求该学校高一新生A,B两类学生各多少人?(2)经过测试,得到以下三个数据图表:图1:75分及以上A,B两类参加测试学生成绩的茎叶图图2:100名测试学生成绩的频率分布直方图下图表格:100名学生成绩分布表:先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方图(图2)补充完整. 【解析】(1)由题意知A类学生有500×=200(人),则B类学生有500-200=300(人).(2)表格图2。
2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第九章 9.2.2 总体百分位数的估计 9.2.3 总体集中趋势
1 N
k i1
fi (Yi Y )2 .
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 y ，则称
s2
1 n
n i1
( yi
y)2 为样本方差，s＝
s2 为样本标准差.
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；
标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准
要领会好百分位数是类似于中位数，中位数是特殊的百分位数，首先它是这组 数据中的一个数或者是相邻两个数的平均数。具体是哪个要看计算i=n×p%的结果。 i是整数就要求平均数，i不是整数，就把i这个数的小数部分去掉再把这个数加1 令其等于j，这组数据由小到大排列的第j个数为所求。
1.某车间12名工人一天生产某产品（单位：kg）的
me，众数为m0，平均数为 x ，则 （ ）
A.me＝m0＝ x B.m0< x <me
C.me<m0< x
D.m0<me< x
【解析】 由图知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得 5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分，中位数为 第15，16个数（分别为5，6）的平均数，即me＝5.5，5出现的次数最多，故众数为m0
平均数、中位数、众数的特征 1.平均数的大小与一组数据里的每个数均有关系，其中任何数据的变动都会 相应引起平均数的变动。2.总数着眼于对各数据出现频率的考察，其大小只 与这组数据的部分数据有关。3.中位数仅与数据的排列有关，部分数据的变 动对中位数可能没有影响。
平均数、中位数、众数的联系 众数、中位数及平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，其中以平均数最 为重要，其应用也最为广泛。
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价三十七总体集中趋势的估计总体离散程度的估计新人教A版必修
课时素养评价 三十七总体集中趋势的估计总体离散程度的估计(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分.共16分)1.已知一组数据为20.30.40.50.50.60.70.80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )A.平均数>中位数>众数B.平均数<中位数<众数C.中位数<众数<平均数D.众数=中位数=平均数【解析】选D.众数、中位数、平均数都是50.2.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次.三人的测试成绩如表所示：甲的成绩环数7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩环数7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成绩环数7 8 9 10频数 4 6 6 4s1.s2.s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差.则有( ) A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3C.s1>s2>s3D.s2>s3>s1【解析】选B.因为s2=(++…+)-.所以=(5×72+5×82+5×92+5×102)-8.52=.所以s1=.同理s2=.s3=.所以s2>s1>s3.3.样本a.3.5.7的平均数是b.且a.b是方程x2-5x+4=0的两根.则这个样本的方差是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1.4.当a=1时.a.3.5.7的平均数是4；当a=4时.a.3.5.7的平均数不是1.所以a=1.b=4.则方差s2=[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.4.(20xx·中山高二检测)某商场在国庆黄金周的促销活动中.对10月1日9时至14时的销售额进行统计.其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元.则9时至14时的销售总额为( )A.10万元B.12万元C.15万元D.30万元【解析】选D.由图知.9时至10时的销售额频率为0.1.所以9时至14时的销售总额为=30(万元).二、填空题(每小题4分.共8分)5.(20xx·江苏高考)已知一组数据6.7.8.8.9.10.则该组数据的方差是________.【解析】=×(6+7+8+8+9+10)=8.所以方差为×[(6-8)2+(7-8)2+0+0+(9-8)2+(10-8)2]=.答案：6.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：等待时间/分钟[0.5)[5.10)[10.15)[15.20)[20.25]频数4 85 2 1用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值=________.【解析】=(2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1)=9.5.答案：9.5三、解答题(共26分)7.(12分)如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环.靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数).每人射击了6次.(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来.(2)请你用学过的统计知识.对甲、乙两人这次的射击情况进行比较.【解析】(1)列表如下：环数 6 7 8 9 10甲命中次数2 2 2乙命中次数1 3 2(2)=9环.=9环.=.=1.因为=. <.所以甲与乙的平均成绩相同.但甲发挥比乙稳定.8.(14分)今年西南一地区遭遇严重干旱.某乡计划向上级申请支援.为上报需水量.乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量.得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)用水量分组频数频率[0.5.2.5) 12[2.5.4.5)[4.5.6.5) 40[6.5.8.5) 0.18[8.5.10.5] 6合计100 1.00(1)请完成该频率分布表.并画出相对应的频率分布直方图.(2)估计样本的中位数是多少.(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水.若该乡共有1 200户.请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？【解析】(1)频率分布表与相应的频率分布直方图如下：用水量频数频率分组[0.5.2.5)120.12[2.5.4.5)240.24[4.5.6.5)400.4[6.5.8.5)180.18[8.5.10.5]60.06合计1001.0(2)设中位数为x.因为月均用水量在[0.5.4.5)内的频率是0.12+0.24=0.36.月均用水量在[0.5.6.5)内的频率是0.12+0.24+0.40=0.76.所以x∈[4.5.6.5).则(x-4.5)×0.2=0.5-0.36.解得x=5.2.所以中位数是5.2.(3)该乡每户月均用水量估计为1.5×0.12+3.5×0.24+5.5×0.40+7.5×0.18+9.5×0.06=5.14.由5.14×1 200=6 168.知上级支援该乡的月调水量是6 168吨.(15分钟·30分)1.(4分)如图是1951～20xx年我国的年平均气温变化的折线图.根据图中信息.下列结论正确的是( )A.1951年以来.我国的年平均气温逐年升高B.1951年以来.我国的年平均气温在20xx年再创新高C.20xx年以来.我国每年的年平均气温都高于1981～20xx年的平均值D.20xx年以来.我国的年平均气温的平均值高于1981～20xx年的平均值【解析】选D.由图可知.1951年以来.我国的年平均气温变化是有起伏的.不是逐年增高的.所以选项A错误；1951年以来.我国的年平均气温最高的不是20xx年.所以选项B错误；20xx年的年平均气温低于1981～20xx年的平均值.所以选项C错误；20xx年以来.我国的年平均气温的平均值高于1981～20xx年的平均值.所以选项D正确.2.(4分)为了普及环保知识.增强环保意识.某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试.得分(十分制)如图所示.假设得分值的中位数为m e.众数为m o.平均值为.则( )A.m e=m o=B.m e=m o<C.m e<m o<D.m o<m e<【解析】选D.由图可知.30名学生的得分情况依次为：2个人得3分.3个人得4分.10个人得5分.6个人得6分.3个人得7分.2个人得8分.2个人得9分.2个人得10分.中位数为第15.16个数(分别为5.6)的平均数.即m e=5.5.5出现的次数最多.故m o=5.=×[2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10]≈5.97.于是得m o<m e<.3.(4分)已知样本数据x1.x2.….x n的平均数=5.则样本数据2x1+1.2x2+1.….2x n+1的平均数为________.【解析】由x1.x2.….x n的平均数=5.得2x1+1.2x2+1.….2x n+1的平均数为2+1=2×5+1=11.答案：11【加练·固】若样本数据x1.x2.….x10的标准差为8.则数据2x1-1.2x2-1.….2x10-1的标准差为________.【解析】由已知.x1.x2.x3.….x10的方差s2=64.则数据2x1-1.2x2-1.….2x10-1的方差为22s2=22×64.所以其标准差为=2×8=16.答案：164.(4分)某人5次上班途中所花时间(单位：min)分别为x.y.10.11.9若这组数据的平均数为10.方差为2.则|x-y|=________.【解析】==10.所以x+y=20.方差为2.则=2.(x-10)2+(10-x)2=8.(x-10)2=4.x=8或x=12.则y=12或y=8.所以|x-y|=4.答案：4【加练·固】已知样本9.10.11.x.y的平均数是10.标准差是.则xy=________.【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50.所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10.得x2+y2-20(x+y)=-192.(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192.xy=96.答案：965.(14分)为了保护学生的视力.教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如表：天数/天151～180181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390灯管1 11 18 20 25 16 7 2数/只(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命.(2)若定期更换.可选择多长时间统一更换合适？【解析】(1)各组的组中值分别为165.195.225.255.285.315.345.375.由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).(2)×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2 128.60.故标准差为≈46.估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天.标准差约为46天.故在222～314天之间统一更换较合适.1.某商场对某一商品搞活动.已知该商品每一个的进价为3元.销售价为8元.每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量.如图所示.设x(个)为每天商品的销量.y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天.则选出的这2天日利润都是97元的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选B.由已知y=即y=当日销量不少于20个时.日利润不少于96元.当日销量为20个时.日利润为96元.当日销量为21个时.日利润为97元.日利润为96元的有3天.记为a.b.c.日利润为97元的有2天.记为A.B.从中任选2天有(a.A).(a.B).(a.b).(a.c).(b.A).(b.B).(b.c).(c.A).(c.B).(A.B)共10种情况.其中选出的这2天日利润都是97元的有(A.B)1种情况.所以所求概率为.2.已知一组正数x1.x2.x3.x4的方差s2=(+++-16).则数据x1+2.x2+2.x3+2.x4+2的平均数为________.【解析】设正数x1.x2.x3.x4的平均数为.则s2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2].得s2= (+++)-.又已知s2=(+++-16)=(+++)-4.所以=4.所以=2.所以[(x1+2)+(x2+2)+(x3+2)+(x4+2)]=+2=4.答案：43.某公司计划购买1台机器.该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件.在购进机器时.可以额外购买这种零件作为备件.每个200元.在机器使用期间.如果备件不足再购买.则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件.为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数.得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数.y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19.求y与x的函数解析式.(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5.求n的最小值.(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件.或每台都购买20个易损零件.分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数.以此作为决策依据.购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解析】(1)当x≤19时.y=3 800；当x>19时.y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y与x的函数解析式为y=(x∈N*).(2)由题图知.需更换的零件数不大于18的频率为0.46.不大于19的频率为0.7.故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件.则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元.20台的费用为4 300元.10台的费用为4 800元.因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元). 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件.则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元.10台的费用为4 500元.因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).比较两个平均数可知.购买1台机器的同时应购买19个易损零件.11 / 11。
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价十六函数的概念新人教A版必修第一册
课时素养评价 十六函数的概念(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)设f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果集合B={1},那么集合A可能是()A.{1}B.{-1}C.{-1,1}D.{-1,0}【解析】选A、B、C.A、B、C都符合题意.若集合A={-1,0},则0∈A,但02=0∉ B.2.函数f(x)=+的定义域为()A.[-1,2)∪(2,+∞)B.(-1,+∞)C.[-1,2)D.[-1,+∞)【解析】选A.要使函数f(x)有意义,需满足解得x∈[-1,2)∪(2,+∞).【加练·固】已知集合A={x|x≥4},g(x)=的定义域为B,若A∩B=∅,则实数a的取值范围是()A.(-2,4)B.(3,+∞)C.(-∞,3)D.(-∞,3]【解析】选D.g(x)的定义域B={x|x<a+1},由于A∩B=∅,画数轴易得a+1≤4,即a≤3.3.设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出以下四个图形,其中能表示集合M到集合N的函数关系的有()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.图象(1)中,集合M内(1,2]的元素在集合N内没有对应元素,所以图象(1)不能表示集合M到集合N的函数关系;图象(2)中,集合M内的任意元素在集合N中都有唯一确定的对应元素,所以图象(2)能表示集合M到集合N的函数关系;图象(3)中,集合M内的任意元素在集合N中都有唯一确定的对应元素,所以图象(3)能表示集合M到集合N的函数关系;图象(4)中,集合M内的元素在集合N中对应的元素不唯一,所以图象(4)不能表示集合M到集合N的函数关系.所以能表示集合M到集合N的函数关系的是(2)、(3).4.设f(x)=|x-1|-|x|,则f等于()A.-B.0C.1D.【解析】选C.f=f=f(0)=|0-1|-|0|=1.【加练·固】已知函数f(x)=,则f= ()A. B. C.a D.3a【解析】选D.f=3a.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2a,3a-1]为一确定的区间,则a的取值范围是________.【解析】由题意3a-1>2a,得a>1.答案:(1,+∞)6.已知函数f(x)=,g(x)=f(x-3),则g(x)=________,函数g(x)的定义域是________.(用区间表示)【解析】因为f(x)=,所以g(x)=f(x-3)=,由求得x≥3且x≠4,所以函数g(x)的定义域是[3,4)∪(4,+∞).答案:[3,4)∪(4,+∞)【加练·固】已知等腰△ABC的周长为10,底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10-2x,则此函数的定义域为________.【解析】△ABC的底边长显然大于0,即y=10-2x>0,所以x<5,又两边之和大于第三边,所以2x>10-2x,所以x>,所以此函数的定义域为.答案:三、解答题7.(16分)已知函数f(x)=-.(1)求函数f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.【解析】(1)根据题意知x-1≠0且x+5≥0,所以x≥-5且x≠1,即函数f(x)的定义域为[-5,1)∪(1,+∞).(2)f(-1)=-5.f(12)=-.(15分钟·30分)1.(4分)给定的下列四个式子中,能确定y是x的函数的是() A.x2+y2=1B.|x-1|+=0C.+=1D.y=+【解析】选C.A.由x2+y2=1,得y=±,不满足函数的定义,所以A不是函数.B.由|x-1|+=0得,|x-1|=0,=0,所以x=1,y=±1,所以B不是函数.C.由+=1,得y=(1-)2+1,满足函数的定义,所以C是函数.D.要使函数y=+有意义,则解得此时不等式组无解,所以D不是函数.2.(4分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是 ()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.f(x)=x+1.因为f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,所以f(2x)≠2f(x),即f(x)=x+1不满足f(2x)=2f(x).3.(4分)设函数y=f(x)对任意正实数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),已知f(8)=3,则f()=________.【解析】因为f(x·y)=f(x)+f(y),所以令x=y=,得f(2)=f()+f(),令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2),令x=2,y=4,得f(8)=f(2)+f(4),所以f(8)=3f(2)=6f(),又f(8)=3,所以f()=.答案:4.(4分)若函数f(x)=的定义域为R,则m的取值范围为________.【解析】要使原函数有意义,则mx2+x+3≠0,由于函数的定义域是R,故mx2+x+3≠0对一切实数x恒成立.当m=0时,x+3≠0,即x≠-3,与f(x)的定义域为R矛盾,所以m=0不合题意.当m≠0时,有Δ=12-12m<0,解得m>.综上可知,m的取值范围是.答案:5.(14分)已知函数f(x)=.(1)化简f+f(x).(2)求f+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值.【解析】(1)f+f(x)=+=+==.(2)f+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=+++f(1)=+++=.【加练·固】已知f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),若g(f(x))=x2+x+1,求a的值. 【解析】因为f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),所以g(f(x))=g(2x+a)=[(2x+a)2+3]=x2+ax+(a2+3).又g(f(x))=x2+x+1,所以x2+ax+(a2+3)=x2+x+1,解得a=1.。
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价三十六总体取值规律的估计总体百分位数的估计新人教A版必修
课时素养评价 三十六总体取值规律的估计总体百分位数的估计(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分.共16分)1.一个容量为32的样本.已知某组样本的频率为0.25.则该组样本的频数为( ) A.4 B.8 C.12 D.16【解析】选B.设频数为x.则=0.25.x=32×=8.2.为了解学生“阳光体育”活动的情况.随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟).所得数据都在区间[10.110]内.其频率分布直方图如图所示.已知活动时间在[10.35)内的频数为80.则n的值为( )A.700B.800C.850D.900【解析】选B.由频率分布直方图.知组距为25.所以活动时间在[10.35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10.35)内的频数为80.所以n==800.3.在抽查某产品尺寸的过程中.将其尺寸分成若干组.[a.b)是其中一组.抽查出的个体数在该组内的频率为m.该组直方图的高为h.则|a-b|的值等于( )A.h·mB.C. D.与m.h无关【解析】选B.小长方形的高=.所以|a-b|==.4.为了解电视对生活的影响.一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民.并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图).为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系.要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查.则在[2.5.3)(小时)时间段内应抽出的人数是( )A.25B.30C.50D.75【解析】选A.抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5.3)(小时)时间内的频率为0.5×0.5=0.25.所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5.3)(小时)时间内的人数是10 000×0.25=2 500.依题意知抽样比是=.则在[2.5.3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×=25.【误区警示】频率并不是直方图的纵坐标.而是每个小矩形的面积.二、填空题(每小题4分.共8分)5.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名.对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图.如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6.则全市高一学生视力在[3.95.4.25)范围内的学生约有________人.【解析】由图知.第五小组的频率为0.5×0.3=0.15.所以第一小组的频率为0.15×=0.125. 所以全市6万名高一学生中视力在[3.95.4.25)范围内的学生约有60 000×0.125=7500(人).答案：7 5006.某棉纺厂为了解一批棉花的质量.从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5.40]中.其频率分布直方图如图所示.则在抽测的100根中.约有________根棉花纤维的长度小于20 mm.【解析】由题意知.棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01+0.01+0.04)×5=0.3.故抽测的100根中.棉花纤维的长度小于20 mm的约有0.3×100=30(根).答案：30三、解答题(共26分)7.(12分)(20xx·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度.进行如下试验：将200只小鼠随机分成A.B两组.每组100只.其中A组小鼠给服甲离子溶液.B组小鼠给服乙离子溶液.每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”.根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a.b的值.(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15.故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.8.(14分)在学校开展的综合实践活动中.某班进行了小制作评比.作品上交时间为5月1日至31日.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计.绘制了频率分布直方图(如图所示).已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1.第三组的频数为12.请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？(3)经过评比.第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖.问这两组哪组获奖率较高？【解析】(1)依题意知第三组的频率为=.又因为第三组的频数为12.所以本次活动的参评作品数为=60(件).(2)根据频率分布直方图.可以看出第四组上交的作品数量最多.共有60×=18(件).(3)第四组的获奖率是=.第六组上交的作品数量为60×=3(件).所以第六组的获奖率为=.显然第六组的获奖率较高.(15分钟·30分)1.(4分)某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测.抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93.95).[95.97).[97.99).[99.101).[101.103).[103.105].得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[97.103)内的元件为合格品.根据频率分布直方图.估计这批元件的合格率是( )A.80%B.90%C.20%D.85.5%【解析】选A.由频率分布直方图可知元件长度在[97.103)内的频率为1-(0.027 5+0.027 5+0.045 0)×2=0.8.故这批元件的合格率为80%.2.(4分)为了了解某校高三学生的视力情况.随机抽查了该校100名高三学生的视力情况.得到频率分布直方图如图.由于不慎将部分数据丢失.但知道后5组频数和为62.设视力在4.6到4.8之间的学生数为a.第4组频率为0.32.则a的值为( )A.64B.54C.48D.27【解析】选B.前三组人数为100-62=38.第三组人数为38-(1.1+0.5)×0.1×100=22.则a=22+0.32×100=54.3.(4分)为了了解一片经济林的生长情况.随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm).所得数据均在区间[80.130]上.其频率分布直方图如图所示.则在60株树木中底部周长小于100 cm的株数为________.【解析】由已知.在抽测的60株树木中.底部周长小于100 cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.答案：244.(4分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查.发现其用电量都在50至350度之间.频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x的值为________.(2)在这些用户中.用电量落在区间[100.250)内的户数为________.【解析】(1)由频率分布直方图总面积为1.得(0.001 2+0.002 4×2+0.003 6+x+0.006 0)×50 =1.解得x=0.004 4.(2)用电量在[100.250)内的频率为(0.003 6+0.004 4+0.006 0)×50=0.7.故所求户数为100×0.7=70.答案：(1)0.004 4 (2)705.(14分)为了让学生了解环保知识.增强环保意识.某中学举行了一次“环保知识竞赛”.共有900名考生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况.从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数.满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图.解答下列问题：分组频数频率.60)48[60.70)0.16[70.80)10[80.90)160.32[90.100]合计50(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内).(2)补全频率分布直方图.(3)若成绩在[70.90)分的学生为二等奖.问获得二等奖的学生约为多少人？【解析】(1)分组频数频率[50.60)40.08.70)86[70.80)100.2[80.90)160.32[90.100]120.24合计501.0(2)频率分布直方图如图所示：(3)因为成绩在[70.80)间的学生频率为0.20；成绩在[80.90)间的学生频率为0.32.所以在[70.90)之间的频率为0.20+0.32=0.52.又因为900名学生参加竞赛.所以该校获二等奖的学生为900×0.52=468(人).1.如图是某年第一季度五省GDP情况图.则下列陈述正确的是( )①第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比.第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④去年同期A 省的GDP总量也是第三位.A.①②B.②③④C.②④D.①③④【解析】选B.①第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个.B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位.故①错误；由图知②正确；由图计算去年同期五省的GDP总量.可知前三位为D省、B省、A省.故③正确；由③知去年同期A省的GDP总量是第三位.故④正确.2.在样本的频率分布直方图中.共有11个小长方形.若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的.且样本量为160.则中间一组的频数为______________.【解析】由已知.设中间小长方形的面积为x.则其余小长方形的面积和为4x.所以5x=1.x=0.2.中间一组的频数为160×0.2=32.答案：323.从某企业生产的某种产品中抽取100件.测量这些产品的一项质量指标值.由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组[75.85)[85.95)[95.105)[105.115)[115.125]频数6 26 38 22 8 (1)作出这些数据的频率分布直方图.(2)根据以上抽样调查数据.能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【解析】(1)样本数据的分布直方图如图所示：(2)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8.故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.11 / 11。
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价十六用样本估计总体新人教B版必修2
课时素养评价十六 用样本估计总体(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿的体重在[2 700,3 000)内的频率为( )A.0.001B.0.01C.0.003D.0.3【解析】选D.频率=×组距,组距=3 000-2 700=300,=0.001,所以频率=0.001×300=0.3.2.为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计,甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是,,则下列说法正确的是( )A.>,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛B.>,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛C.<,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛D.<,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛【解析】选D.由茎叶图知,甲的平均成绩是=82,乙的平均成绩是=87,所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩,从茎叶图看出乙的成绩稳定.3.(2019·济南高一检测)2018年2月20日,摩拜单车在济南推出“做文明骑士,周一摩拜单车免费骑”活动.为了解单车使用情况,记者随机抽取了五个投放区域,统计了半小时内被骑走的单车数量,绘制了如图所示的茎叶图,则该组数据的方差为 ( )A.9B.4C.3D.2【解析】选B.由茎叶图得该组数据的平均数=(87+89+90+91+93)=90.所以方差为[(87-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=4.二、填空题(每小题4分,共8分)4.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时.【解析】第一分厂应抽取的件数为100×50%=50(件);该产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1 030×0.3=1 015(小时).答案:50 1 0155.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图,则:(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数是________.(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________.(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________.【解析】(1)(0.04×10+0.025×10)×20=13(人).(2)设中位数为x,则0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5.(3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.答案:(1)13 (2)62.5 (3)64三、解答题(共30分)6.(14分)一批食品,每袋的标准重量是50 g,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取10袋食品,称出各袋的重量(单位:g),并得到其茎叶图(如图).(1)求这10袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数.(2)若某袋食品的实际重量小于或等于47 g,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率.【解析】(1)根据茎叶图可知,50出现次数最多,有3次,所以这10袋食品重量的众数为50 g,设这10袋食品重量的平均数为,则=(45+46+46+49+50+50+50+51+51+52)=49,所以估计这批食品实际重量的平均数为49 g.(2)根据茎叶图知,这10袋食品重量小于或等于47 g的有3袋,由随机抽样的性质可知,这批食品重量的合格率约为1-=0.7=70%.7.(16分)某校为指导学生合理选择文理科的学习,根据数理综合测评成绩,按6分为满分进行折算.若学生成绩低于m分则建议选择文科,不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生).现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合测评成绩作为样本,整理得到分数的频率分布直方图(如图所示).(1)求直方图中t的值.(2)根据此次测评,为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为多少?(3)若m=4,试估计该校高一学生中候选理科生的平均成绩.(精确到0.01)【解析】(1)0.15×1+t×1+0.30×1+t×1+0.15×1=1,解得t=0.2.(2)根据频率分布直方图可知,分数落在[1,2]组的频率为0.15,所以为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为2.(3)若m=4,则估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为≈4.93.(15分钟·30分)1.(5分)某校为了了解学生的睡眠情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据,结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为( )A.4 hB.5 hC.6 hD.6.4 h【解析】选D.方法一:要确定这50名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间.总睡眠时间为5.5×0.1×50+6×0.3×50+6.5×0.4×50+7×0.1×50+7.5×0.1×50=27.5+90+130+35+37.5 =320(h).故平均睡眠时间为320÷50=6.4(h).方法二:根据图形得平均每人的睡眠时间为T=5.5×0.1+6×0.3+6.5×0.4+7×0.1+7.5×0.1=6.4(h).【加练·固】 某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用条形图表示(如图).根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h【解析】选B.=0.9(h).2.(5分)对某种电子元件使用寿命进行跟踪调查,所得样本频率分布直方图如图.由图可知,这一批电子元件中寿命在100～300 h的电子元件的数量与寿命在300～600 h的电子元件的数量的比是( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶6【解析】选C.由题意,寿命在100～300 h的电子元件的频率为100×=0.2,寿命在300～600 h的电子元件的频率为100×=0.8,则寿命在100～300 h的电子元件的数量与寿命在300～600 h的电子元件的数量比大约是0.2∶0.8=1∶4.3.(5分)(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.【解析】=0.98.答案:0.984.(15分)对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加“社区志愿者”活动的次数.据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下:分组频数频率[10,15)50.25[15,20)12n[20,25)m p[25,30]10.05合计M1(1)求出表中M,p及图中a的值.(2)若该校高一学生有720人,试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的人数.【解析】(1)根据频率分布表,得=0.25,所以样本容量M=20.所以m=20-5-12-1=2,所以对应的频率为p==0.1,n==0.6,所以a==0.12.(2)参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的频率为0.6,所以估计参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的人数为720×0.6=432(人).【加练·固】 PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).(1)求这18个数据中不超标数据的方差.(2)以这18天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中约有多少天的空气质量超标.【解题指南】(1)先求出这18个数据中不超标数据的均值,由此能求出这18个数据中不超标数据的方差.(2)一年中空气质量超标的概率P==,由此能求出一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.【解析】(1)这18个数据中不超标数据的均值为:=(26+27+33+34+36+39+42+43+55+65) =40,这18个数据中不超标数据的方差为:s2=[(26-40)2+(27-40)2+(33-40)2+(34-40)2+(36-40)2+(39-40)2+(42-40)2+(43-40)2+(55-40)2+(65-40)2]=133.(2)由题意,一年中空气质量超标的概率P==,×360=160,一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.1.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________;(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________.【解析】(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+ 0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800=440.答案:(1)0.04 (2)4402.某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试,现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本,制成如图频率分布表:分组频数频率[85,95)0.025[95,105)0.050[105,115)0.200[115,125)120.300[125,135)0.275[135,145)4[145,155]0.050合计n1(1)求n的值,并根据题中信息估计总体平均数是多少?(2)若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”,试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”?【解析】(1)由第四行数据可知0.3=,所以n=40.数据[135,145)的频率为1-(0.025+0.05+0.2+0.3+0.275+0.05)=0.1,则利用组中值估计平均数为90×0.025+100×0.05+110×0.2+120×0.3+130×0.275+140×0.1+150×0.05=122.5(分).(2)成绩不低于135分的同学的频率为0.1+0.05=0.15,所以该校能参加集训队的人数大约为500×0.15=75(人).【加练·固】 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值.(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由.(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.【解析】(1)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1,因为频率=(频率/组距)×组距,所以0.5×(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,得a=0.3.(2)由题图可知,全市居民中月均用水量不低于3吨的人数所占百分比为0.5×(0.12+0.08+0.04)=12%,所以全市月均用水量不低于3吨的人数为:30×12%=3.6(万).(3)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:0.5×(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73,即73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故2.5<x<3,假设月均用水量平均分布,则x=2.5+0.5×=2.9(吨).。