数学物理方法--球函数
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球函数 数学物理方法
第十章球函数1000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z00)()(k kk z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别代入方程，合并同幂项将00)()(k kk z z c z w 法、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数（2)0()ln()()()()()0()()()(00,1002000012121b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k kks k kks 数解、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：002010001)()()()()()()()(k kk k kk z z q z q z z z q z z p z p z z z p0)()(k sk k z z c z w 设解的形式为：20)(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0)()()()(')()()('')(202020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0)()()(')()()('')(11020 z w z q z w z p z z z w z z)()()()()()()1)((00000000k sk kk kk k s k k k kk k sk kz z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0)1(00 q sp s s 是较小的根。
球函数
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
湘潭大学数学物理方法课件之101轴对称球函数
(l 2)(l 3) (2 l 4)! 2 al 4 al 2 (1) (4)(2l 3) 2!2l (l 2)!(l 4)! (l 4)(l 5) (2l 6)! 3 al 6 al 4 (1) (6)(2l 5) 3!2l (l 3)!(l 6)!
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 中 k l / 2 n 的那一项，所以
[ l / 2] k
n
(2n)! (2n)! n n (2n 1)!! P2 n (0) (1) n (1) (1) n 2 2 n !2 n ! [(2n)!!] (2n)!!
数学物理方法
将多项式乘以适当的系数，称为 l 阶勒让德多项式，记作 Pl ( x) 。由于 m 0 时 ( ) 常数，是轴对称的。轴对称 球函数 Y ( , ) 简化为 P l ( x) 。 下面具体写出勒让德多项式。通常约定，用适当的常数乘 以本征函数，使最高次幂项 xl 的系数
dl 1 ( x 2 1)l d l 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl 1 dx
1
l
一次一次分部积分共 l 次，即得
(1) N 2l 2 (l !)2
2 l
d ( x 1) 1 ( x 1) dx2l dx
1 2l 2 l 2 l
注意到 ( x2 1)l 是 2l 次多项式，它的 2l 阶导数也就是最
l/2 1 π 1 π 2 2 cos sin d d 1 π 0 π 0
数学物理方法
*（二）第二类勒让德函数 略。
（三）勒让德多项式的正交关系 作为施图姆－刘维尔本征值问题的正交关系的特例，不同 阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上正交。
第四章球函数及其性质
(四)连带勒让得函数
为了得到[1,1]中的有界解，我们仍然取a=n(n+1)，其中n为大于等
于零的整数，此时
显然，若n为偶数，则B1(x)中的无穷
级数变成多项式，B2(x)中的无穷级数保持为无穷级数;若n为奇数，则
B1(x)中的无穷级数保持为无穷级数，B2 (x)中的无穷级数变成多项式。
这两个多项式都在[一1,1]中有界，因而由它们得到的B1 (x)或B2(x)也有
对于上式中的两个级数来说，我们可以将 看成是x平 方的幕级数，将 看成是x与 -x2的幕级数之积。 对于这两个幕级数来说，由于它们具有相同的递推公式， 收敛半径也必然相等，有：
就是说，当x在(-1,1)中时，前面的两个级数解都是收教 的，表明这两个解都有界。当x=士1时，两个级数解均 无界。
(三)勒让得函数
(二)分离变量法
令上式等于零，然后两边同乘以平方 ，得球坐标中的拉普拉 斯方程
分离变量法就是将方程的解分解为依赖于不同自变量的函数 之积。令
得 两边同除以
移项得：
等号两边必然等于同一常数 ，所以
进一步对第二个方程作变量分离，令 有： 移项，并令两边同等于 ，整理得：
令 xcos 将上式进行改化，得连带勒让德方程：
界。则连带勒让得方程在[-1,1]中的有界解为
将Pn的表达式代入，得
得
经度方向方程的求解
3.4 球函数
在第一节中，我们将球坐标中的拉普拉斯方程的解分解成
了
三个函数的积，并解出：
最后，我们来求解
当趋于零时，
界的调和函数。 外部有界的调和函数。
。 所以， 适用于研究内部有
，
适用于研究
由分离变童法求得的拉普拉斯方程最一般的解为所有可能的
数学物理方法--球函数
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l
( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2
1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
数学物理方法第十章球函数
由边界条 0 x 件 l l 0 0得 ((A A llb all： B B llb a ll 1 1))P P ll((x x))
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
u|raf()
u0
(r2R')' l(l1)R0
(sin') ' l(l1)sin0 (0),()有界
xcos
r2R"2rR 'l(l1)R0
[(1x2)'] ' l(l1)0 (1)有界
RAlrl Blrl1
Pl (x)
f() l 0Rl(a)P l(co)s u l 0Rl(r)Pl(co)s
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 2 x件 l 0B 得 lal 1 ： P l(x)
根据B 完 k 2 k 2 备 1 a k 1 性 1 1A 2 P x k ： (x )d x
0 N k 2 r 2 k
1r n ( 1 ) n r n n 1 n 1
2r 2 k 2 k 1
Nk2
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f(x) l0fl P l(x)
广义傅立叶系数为
1 f(x)P k(x)d x
fl l,kN k 2
u l0Blrl1Pl(cos)
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
u|raf()
u0
(r2R')' l(l1)R0
(sin') ' l(l1)sin0 (0),()有界
xcos
r2R"2rR 'l(l1)R0
[(1x2)'] ' l(l1)0 (1)有界
RAlrl Blrl1
Pl (x)
f() l 0Rl(a)P l(co)s u l 0Rl(r)Pl(co)s
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 2 x件 l 0B 得 lal 1 ： P l(x)
根据B 完 k 2 k 2 备 1 a k 1 性 1 1A 2 P x k ： (x )d x
0 N k 2 r 2 k
1r n ( 1 ) n r n n 1 n 1
2r 2 k 2 k 1
Nk2
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f(x) l0fl P l(x)
广义傅立叶系数为
1 f(x)P k(x)d x
fl l,kN k 2
u l0Blrl1Pl(cos)
第一章 球函数章
l l 0 2
对比级数中 Pl (cos ) 项的系数有
1 A0 u 0 3
2 A r u0 3
2 2 0
Al 0
(l 0, 2)
1 2 r 所以 u (r , , ) u 0 P0 (cos ) u 0 3 3 r0
P2 (cos )
Y ( , ) ( )( )
2 ( ) m ( ) 0
满足自然周期条件: ( 2 ) ( ) 即 u(r , , 2 ) u(r, , ) 的解为
( ) A cosm B sin m
m 0, 1, 2,
例2：在球 r r0 的内部求解 u 0 ， 使满足边界条件 u r r u 0 cos 2 。
0
解： 定解条件与 无关，本问题是轴对称问题。
u (r , , ) ( Al r Bl
l l 0
1 r
l 1
) Pl (cos )
r r0
u r 0 有限
k k 2 l k C ( 1) ( x ) l k 0 l
1 dl l 2 l! dxl
l 2
l (1) k l! 2l 2k (1) k d l 2l 2 k x l x l k 0 k!(l k )! k 0 2 k!(l k )! dx l
(1) k l (2l 2k )( 2l 2k 1) (l 2k 1) x l 2 k k 0 2 k!(l k!)
u(r, , ) R(r )Y ( , )
d R dR r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
2 2
欧拉方程
对比级数中 Pl (cos ) 项的系数有
1 A0 u 0 3
2 A r u0 3
2 2 0
Al 0
(l 0, 2)
1 2 r 所以 u (r , , ) u 0 P0 (cos ) u 0 3 3 r0
P2 (cos )
Y ( , ) ( )( )
2 ( ) m ( ) 0
满足自然周期条件: ( 2 ) ( ) 即 u(r , , 2 ) u(r, , ) 的解为
( ) A cosm B sin m
m 0, 1, 2,
例2：在球 r r0 的内部求解 u 0 ， 使满足边界条件 u r r u 0 cos 2 。
0
解： 定解条件与 无关，本问题是轴对称问题。
u (r , , ) ( Al r Bl
l l 0
1 r
l 1
) Pl (cos )
r r0
u r 0 有限
k k 2 l k C ( 1) ( x ) l k 0 l
1 dl l 2 l! dxl
l 2
l (1) k l! 2l 2k (1) k d l 2l 2 k x l x l k 0 k!(l k )! k 0 2 k!(l k )! dx l
(1) k l (2l 2k )( 2l 2k 1) (l 2k 1) x l 2 k k 0 2 k!(l k!)
u(r, , ) R(r )Y ( , )
d R dR r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
2 2
欧拉方程
大学物理-球函数
(1) 定解问题为
u12ur 10有0限,
(0 r a) u1 ra u0
(1) (2)
2u2 0
(a r )
(3)
u2
ra u0 ,
lim
r
u2
E0 r
cos
(4)
(2) 对称性及通解形式。本题有轴对称性，因为接地 导体为等势体，故球内、外电势可分别表示为
(5)
(3) 定系数。将式 (5) 的 u2 代入式 (4) 得到
函数 Ylm ( , ) 进行展开
(8-3-19)
其中展开系数 Clm 可以利用 Ylm ( , ) 的正交归一性求得
(8-3-20)
d
(d = sindd：立体角元)
(四) 球坐标系下拉普拉斯方程的通解 球坐标系下的拉普拉斯方程为：
分离变量，令 其中： 则，特解为
由叠加原理，得到通解： 通解的另一种形式：
Yl m (0,)
(l
(l
m )!(2l
m )!4
1)
Pl
m
(1)ei
m
由 (8-2-7) 式知，当 m' = 0 时，Pl m (1) 0，而 Pl (1) = 1。故
Yl m (0,)
(2l
4
1)
m0
将上式代入 (8-3-24) 得到
B0
4
2l 1Yl*m源自(',')
Am
4
2l
一方面，如果以 k' 为轴建立球坐标系，则 k'' 的极角和方位
角分别用 , 表示。如前图所示 (图中未画出 角)。
以 , 和 '' , '' 为变量的球函数是 = l (l + 1) 的方
u12ur 10有0限,
(0 r a) u1 ra u0
(1) (2)
2u2 0
(a r )
(3)
u2
ra u0 ,
lim
r
u2
E0 r
cos
(4)
(2) 对称性及通解形式。本题有轴对称性，因为接地 导体为等势体，故球内、外电势可分别表示为
(5)
(3) 定系数。将式 (5) 的 u2 代入式 (4) 得到
函数 Ylm ( , ) 进行展开
(8-3-19)
其中展开系数 Clm 可以利用 Ylm ( , ) 的正交归一性求得
(8-3-20)
d
(d = sindd：立体角元)
(四) 球坐标系下拉普拉斯方程的通解 球坐标系下的拉普拉斯方程为：
分离变量，令 其中： 则，特解为
由叠加原理，得到通解： 通解的另一种形式：
Yl m (0,)
(l
(l
m )!(2l
m )!4
1)
Pl
m
(1)ei
m
由 (8-2-7) 式知，当 m' = 0 时，Pl m (1) 0，而 Pl (1) = 1。故
Yl m (0,)
(2l
4
1)
m0
将上式代入 (8-3-24) 得到
B0
4
2l 1Yl*m源自(',')
Am
4
2l
一方面，如果以 k' 为轴建立球坐标系，则 k'' 的极角和方位
角分别用 , 表示。如前图所示 (图中未画出 角)。
以 , 和 '' , '' 为变量的球函数是 = l (l + 1) 的方
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1.轴对称球函数（m=0）
一. 勒让德多项式
(1) 一般表达式
级数表示
约定级数中最高次幂 x
l
(2l )! 的系数是 al l 2 2 (l !)
2
反用系数递推公式
[ l / 2]
ak 2
k k l (l 1) ak (k 2)(k 1)
4
P ( x) l
完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
x cos
r R"2rR'l (l 1) R 0
2
[(1 x 2 )' ]' l ( l 1) 0 ( 1)有界
R Al r l Bl r l 1
f ( )
l 0
Rl ( a ) Pl (cos )
u
l 0
Rl ( r ) Pl (cos )
解:定解问题为
u 0 u |r r0 u0 sin cos sin u |r 0 有限
23
由边界条件知:解为一般的球函数
u ( r , , ) r l [ Al m cos m Bl m sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
m 0 l m
代入边界条件:
m 0 l m
r0l [ Al m cos m Bl m sin m ]Pl m (cos ) u0 sin cos sin
24
右边按球函数展开：
1 u0 sin cos sin u0 (3sin 2 ) sin 2 6 1 u0 P22 (cos ) sin 2 6
12
例4 在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的
电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质 球内外的电场强度 分析：球内电势
球外电势 衔接条件
13
10.2 连带勒让德函数
一. 连带勒让德函数
d 2 d m2 2 [l (l 1) ] 0(m 0,1, 2,) (1 x ) 2 2 x 2 dx dx 1 x y | 有限 x 1
L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 • 正交性 1 –正交性公式 P ( x)P ( x) 0(k l ) k l
1
–模 N P2 ( x)dx l
2 l 1
1
Nl
2 (l 0,1, 2,) 2l 1
完备性 f ( x) f l Pl ( x) –完备性公式 l 0 –广义傅立叶系数 2l 1 1 系数fl 1 f ( x) Pl ( x)dx 2 –完备性应用例题
( ) A cos m B sin m
Pl m ( x)
sin
d d (sin ) [l (l 1) sin 2 ] 0 d d
20
球函数方程的解为球函数:
Yl m ( , ) Pl m (cos )( Alm cos m Blm sin m ) sin m Pl (cos ) cos m
所以
y ( x) Pl ( x)
[m]
(1 x ) Pl ( x)
[ m]
m 2 2
通常记作:
m
Pl ( x)
2 m/2
m
Pl ( x) (1 x )
Pl
( m)
( x)
(1 x 2 ) m / 2 d l m 2 l ( x 1) l l m 2 l! dx
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
1 P3 ( x ) 1 (5 x 3 3 x ) 8 (5 cos3 3 cos ) 2 1 P4 ( x ) 8 (35x 4 30x 2 3) 1 ( 35cos 4 64
20 cos 2 9)
6
图象
7
8
二. 勒让德多项式的性质
• 奇偶性 Pl(-x)) = (-1)l Pl( x) ( x (1)l Pl (x) Pl • 零点定理
26
d 2 dR 球函数方程 (r ) l (l 1) R 0 dr dr 1 Y 1 2Y (sin ) l (l 1)Y 0 2 2 sin sin
u(r , , ) R(r )Y ( , )
0
Y ( , ) ( )( )
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2
1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
m
任取其一,
表示线性独立,l称为函数的阶Y
二. 球函数的性质
正交性
S
Yl mYkn d n ,m l ,k ( Nlm ) 2 d
S
2
0
d
0
4 (l m)! sin d , ( N ) 2l 1 (l 21 )! m
m l 2
第十章
球函数
1.轴对称球函数
2.连带勒让德函数
3.一般的球函数
1
球函数
称为球（谐）函数，进一步分离变量，得到：
Y ( , ) A cos m B sin m
其中： 函数满足连带勒让德方程：
第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的 级数解，通解应当是这两个解的线性组合。但是 这些解在x=±1处发散！为了得到物理上有意义 的有限解，即满足所谓“自然边界条件”，从而 构成本征值问题。我们发现，对于奇数和偶数次 幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解 ，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为 有限阶，称作ℓ阶勒让德多项式。
m 0 l m
r
[Cl m cos m Dl m sin m ]Pl m (cos ) ( l 1)
1
由于解在内部有限,所以含
1
( l 1)
项舍去
r
所以 u (r , , ) r l [ Al m cos m Bl m sin m ]Pl m (cos )
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 cos ，
底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2 定解问题为：u |r r0 u0 cos u | 0 2
问题有反演对称性，对z进行偶延拓后 r u 0， a u |r a u0 cos ( 2 )
1 P2 (cos ) P22 (cos ) cos 2 2
22
三. 拉普拉斯方程的非轴对称定解问题
拉普拉斯方程在球形区域的定解问题, 如果是非轴对称的,问题与
有关, 用一般的球函数
例4. 半径为的球形区域内部没有电荷,球面上的电势
u0 sin 2 cos sin , u0 为常数,求球形区域内部的电势分布 为
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l
( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
15
注意: 区分 Pl[ m ] ( x) Pl m ( x)
l m, m 0,1, 2l
l 0,1, 2,3,
16
17
18
二. 连带勒让德函数的性质
奇偶性
Pl m ( x) (1)l m Pl m ( x)
正交性
1
1 m l
P m ( x) P m ( x)dx k ,l ( N lm ) 2 , k l
2
比较系数得:
1 r0 B u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为：
1 2 2 u (r , , ) 2 u0 r P2 (cos )sin 2 6r0
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练习：
u 0 u 1 2 2 |r r0 u0 (sin sin ) 3 r u |r 有限
求对应的本征函数: 设 (1 x ) பைடு நூலகம்( x) 带入方程整理得:
(1 x2 ) y 2(m 1) xy [l (l 1) m2 ] y 0(m 0,1, 2,)