直角三角形相似判定

判定两个直角三角形相似有几种方法？ 2、判定两个直角三角形相似有几种方法？
一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。 答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。
课堂练习 填空：（填相似或不相似） 1、一个三角形有两个角分别是60°和35°， 另一个三角形的两个角分别是60°和85°， 那么这两个三角形 相似 。 2、一个三角形的三边分别是3、4、5，另 一个三角形的三边分别是6、8、10，那么 这两个三角形 相似 。
练习一 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。依据下列各组条件判定 这两个三角形是不是相似，并说明为什么。 1、∠A=25°，∠B′=65°。 2、AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8。 3、AB=10，AC=8，A′B′=15， B′C′=9。
1、∠A=25°，∠B′=65°。
a
C A
b
分析：要使R t⊿ABC∽ R t⊿CDB 而题中已经知道R t⊿ABC的 斜边和一直角边及R t⊿CDB 的斜边，利用今天讲的这个 定理可知只须加上条件 = 即可。
B
D
C B D
三、小结
1、如何判定两个直角三角形相似呢？ 答：一个锐角对应相等或两边对应
成比例的两个直角三角形相似。
2、直角三角形相似的判定定理的简单应
直角三角形相似的判定
A
A′
c a b
∟
B
C
B′
C′
一、复习提问
1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三
答：
角形相似的方法？
两角对应相等的两个三角形相似。 （1）两角对应相等的两个三角形相似。 （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 （3）三边对应成比例的两个三角形相似。
4、在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠C=90°，AB=10，AC=8，BC= 6 ； ∠D=90°，EF=5，DE=4，DF= 3 ； 这两个直角三角形 相似 。 问题：1、这两个直角三角形的已 知边（共四条）有什么关系？ 2、你是如何证明这两个直角三角 形相似的？
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二、学习内容
直角三角形相似判定定理；
如果一个直角三角形的斜边和 一条直角边与另一个直角三角 形的斜边和一条直角边对应成 比例， 比例，那么这两个直角三角形 相似。 相似。
A
已知：如图所示，Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中 已知：如图所示，Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中， B C=∠C′=90° ∠C=∠C′=90°， = 求证： 求证： Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′
用。 3、初步了解转移比例的证法。 初步了解转移比例的证法。
作业：练习册135－136页 作业：练习册135－136页 135 1 、 2 、 3 、 4 题。
∴ ∴
AB;
且∠C′=90°=∠C
Rt△ABC∽Rt△ ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 3、AB=10，AC=8，A′B′=15， B′C′=9。
例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。 已知：在Rt∆ABC中，CD是斜边AB上的高。 求证： ∆ACD ∽ ∆ABC ∽ ∆CBD 。 证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ∆ACD∽∆ABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ∆CBD ∽ ∆ABC 。 C ∴ ∆ABC∽∆CBD∽∆ACD。 A D B
求证（2）AC2=AD · AB
CD2=AD · DB
例4、已知，如图，AB是半圆O的直径， CD⊥AB于D,AD=4,DB=9 求CB的长。
C
A
D
O
B
例6、如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆 O上，过O点作的BC的平行线交AC于点E， 交过点A的直线于点D，且 ∠ D = ∠ BAC. （1）求证：AD是半圆O的切线； CE （2）若 BC = 2 ， = 2 ，求AD的长.
D C E
B
O
A
练习二
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 Rt△ABC和Rt△A′B′C′中 C=∠C′=90° 要使Rt Rt△ Rt△A′B′C′， ∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′，应 加什么条件？ 加什么条件？
55° 55° B′=________。 1、∠A=35° ，∠B′=________。 A=35° 12 2、AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 3 3、AB=5，AC=___，A′B′=10， A′C′=6。 AB=5，AC=___，A′B′=10， A′C′=6。
①解：∵∠A=25°, ∠C=90°。 ∴ ∠B=65 °。 于是∠B′=65°=∠B ， ∠C′= 90°=∠C。 ∴△ABC∽△A′B′C′。
②解：∵AC=3，BC=4， A′C′=6，B′C′=8。 ∴ ∴
AC = A'C ' AC = A'C ' 3 1 BC 4 1 = , = = . 6 2 B 'C ' 8 2 BC . B 'C '
且∠C=∠C′=90°
AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8。
∴ △ABC∽△A′B′C′
③解：∵AB=10，AC=8，∠C=90°。
AB 2 − AC 2 = 10 2 − 8 2 = 6 ∴BC= = 10 = 2 , BC = 6 = 2 AB A ' B ' 15 3 B 'C ' 9 3
C A′
B′ C′
A
证明∵
∴ ∴
= =
=
B
=
C A′
∴ = 由勾股定理，得 ∵ 和 都是正数。 ∴ 即 = = B′ C=∠C′=90° 又∠C=∠C′=90° ∴ Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′
C′
直角三角形相似的判定 定理： 定理：
一直角边和斜边对应成 比例的两个直角三角形 相似。 相似。
3、一个三角形的两边分别是3和7， 它们的夹角是35°，另一个三角形 的一个角是35°，夹这个角的两边 分别是14和6，那么这两个三角 形 相似 。 4、在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠C=90°，AB=10，AC=8，BC= 6 ； ∠D=90°，EF=5，DE=4，DF= 3 ； 这两个三角形相似。
4、AB=10，BC=6， A′B′=5， A′C′=______. AB=10，BC=6， A′B′=5， 4 5、AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____ AC：AB=1： 3a
如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90° AC=a，BC=b， 例：如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b， BD与a,b之间满足怎样的关系式时 之间满足怎样的关系式时， ⊿CDB？ 当BD与a,b之间满足怎样的关系式时，⊿ABC∽ ⊿CDB？