2019届一轮复习北师大版 数列的证明、通项与求和 学案

第24练 数列的证明、通项与求和[明考情]数列的通项与求和是高考的热点，考查频率较高.中档难度，一般在解答题的前半部. [知考向]1.等差、等比数列的判定与证明.2.数列的通项与求和.考点一 等差、等比数列的判定与证明 方法技巧 判断等差(比)数列的常用方法 (1)定义法：若a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ＝q ，q 为常数，则{a n }为等差(比)数列. (2)中项公式法. (3)通项公式法.1.(2017·北京海淀区模拟)在数列{a n }中，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)且a 1＝2. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明 ∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)， ∵a 1＝2，a 1＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列. (2)解 由(1)知，a n ＋1＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－1，∴S n ＝3(1－2n )1－2－n ＝3·2n －n －3.2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *). (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }既是等差数列又是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 因为a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， 所以a n ＋2－2a n ＋1＝a n ＋1－2a n ，又b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＋1＝a n ＋2－2a n ＋1， 因此对任意的n ∈N *，b n ＋1－b n ＝0(常数)， 又b n ＝a n ＋1－2a n ＝a n －2a n －1＝…＝a 2－2a 1＝2≠0，所以b n ＋1b n＝1(常数)，根据等差数列和等比数列的定义知，数列{b n }既是等差数列又是等比数列. (2)解 方法一 由(1)知，a n ＝2a n －1＋2，①由a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， 又a 2－a 1＝3，所以数列{a n ＋1－a n }是首项为3，公比为2的等比数列，a n －a n －1＝3·2n －2(n ≥2)， ②联立①②得，a n ＝3·2n －1－2(n ≥2)，经检验当n ＝1时也符合该式.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3·2n －1－2(n ∈N *).方法二 由(1)可得a n ＋1＝2a n ＋2，即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，所以数列{a n ＋2}是公比为2的等比数列，则a n ＋2＝(a 1＋2)·2n －1＝3·2n －1，即a n ＝3·2n －1－2(n ∈N *).3.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式.(1)解 在S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)中分别令n ＝1，2，3， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a 1－1，a 1＋a 2＝2a 2＋1，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(2)证明 由S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)，得 S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1(n ≥2)，两式相减，得a n ＝2a n －1－2(－1)n (n ≥2)，a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n ＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n (n ≥2)，∴a n ＋23(－1)n ＝2[a n －1＋23(－1)n －1](n ≥2).故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 是以a 1－23＝13为首项，2为公比的等比数列.∴a n ＋23(－1)n ＝13×2n －1，a n ＝13×2n －1－23×(－1)n＝2n －13－23(－1)n .4.(2016·全国Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101； (2)求数列{b n }的前1000项和.解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n . b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. (2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1000，3，n ＝1000，所以数列{b n }的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893. 5.已知数列{a n }满足a 1＝2，(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1).(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列；(2)令b n ＝(a n －1)(a n ＋1－1)，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明 由(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，得 1a n ＋1－1－1a n －1＝13，令C n ＝1a n －1，则C n ＋1－C n ＝13，C 1＝12－1＝1.∴数列{C n }，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列.(2)解 由(1)知C 1＝1，数列{C n }公差d ＝13，∴C n ＝C 1＋(n －1)d ＝n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴b n ＝(a n －1)(a n ＋1－1)＝9(n ＋2)(n ＋3)＝9⎝⎛⎭⎫1n ＋2－1n ＋3.∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝9⎝⎛⎭⎫13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3＝9⎝⎛⎭⎫13－1n ＋3＝3n n ＋3.6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数. (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.(1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列. 考点二 数列的通项与求和方法技巧 (1)根据数列的递推关系求通项的常用方法 ①累加(乘)法形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，可用累加法； 形如a n ＋1a n ＝f (n )的数列，可用累乘法.②构造数列法形如a n ＋1＝na n ma n ＋n ，可转化为1a n ＋1－1a n ＝m n ，构造等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ×q ≠0)，可转化为a n ＋1＋qp －1＝p ⎝⎛⎭⎫a n ＋q p －1构造等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1.(2)数列求和的常用方法①倒序相加法；②分组求和法；③错位相减法；④裂项相消法.7.已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知得S nn ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 而a 1＝1＝4×1－3满足上式，所以a n ＝4n －3，n ∈N *. (2)(分组求和法)由(1)可得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n (4n －3).当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ；当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为偶数，－2n ＋1，n 为奇数.8.(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *).解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2， 所以q 2＋q －6＝0.又因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8， ① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，有a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，① 4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n +1，②①－②，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n +1 ＝12×(1－4n )1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n +1－8，得T n ＝3n －23×4n +1＋83.所以，数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n +1＋83.9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 22－3a 7＝2，且1a 2，S 2－3，S 3成等比数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n a n ＋2，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对于任意的n ∈N *，都有8T n <2λ2＋5λ成立，求实数λ的取值范围.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 22－3a 7＝2，(S 2－3)2＝1a 2·S 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋21d )－3(a 1＋6d )＝2，(2a 1＋d －3)·(a 1＋d )＝3a 1＋3d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧－2a 1＋3d ＝2，(a 1＋d )(2a 1＋d －6)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－25，d ＝25.当a 1＝－25，d ＝25时，S 2－3＝－175没有意义， ∴a 1＝2，d ＝2，此时a n ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)b n ＝2a n a n ＋2＝12n (n ＋2)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝14⎝⎛⎭⎫11－13＋14⎝⎛⎭⎫12－14＋14⎝⎛⎭⎫13－15＋14⎝⎛⎭⎫14－16＋14⎝⎛⎭⎫15－17＋14⎝⎛⎭⎫16－18＋…＋14⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2＝14⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2， ∴8T n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3.为满足题意，必须使2λ2＋5λ≥3，∴λ≥12或λ≤－3.10.(2016·浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3，即a 2＝3a 1.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ， 得a n ＋1＝3a n .所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1，当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n ＋7)(n －2)2＝3n －n 2－5n ＋112，当x ＝2时，满足上式，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *. 11.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n1－a 2n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1，求S n .解 (1)b n ＋1＝b n (1－a n )(1＋a n )＝b n b n (2－b n )＝12－b n .a 1＝14，b 1＝34，因为b n ＋1－1＝12－b n－1， 所以1b n ＋1－1＝2－b n b n －1＝－1＋1b n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n －1是以－4为首项，－1为公差的等差数列，所以1b n －1＝－4－(n －1)＝－n －3，所以b n ＝1－1n ＋3＝n ＋2n ＋3. (2)因为a n ＝1－b n ＝1n ＋3，所以S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝14×5＋15×6＋…＋1(n ＋3)(n ＋4)＝14－1n ＋4＝n4(n ＋4).12.(2017·吉林二调)已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 23a 2n ＋3，且{b n }为递增数列，若c n ＝4b n b n ＋1，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1. (1)解 设数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，符合条件，a 1＝a 3＝3，a n ＝3， 当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1(1－q 3)1－q＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1(1＋q ＋q 2)＝9， 解得a 1＝12，q ＝－12.a n ＝12×⎝⎛⎭⎫－12n －1， 综上，a n ＝3或a n ＝12×⎝⎛⎭⎫－12n －1. (2)证明 若a n ＝3，则b n ＝0，与题意不符； 所以a 2n ＋3＝12×⎝⎛⎭⎫－122n +2＝3×⎝⎛⎭⎫122n ，因为b n ＝log 23a 2n ＋3＝log 222n ＝2n ，所以c n ＝4b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.例 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .审题路线图数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ―――→化简b n 分析b n 的特征――――――→选定求和方法分组法及裂项法、公式法求和 规范解答·评分标准解 (1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d ，设每一行依次组成的等比数列的公比为q .依题意a 31＋a 61＝(1＋2d )＋(1＋5d )＝9，∴d ＝1，∴a n 1＝a 11＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .……………………………………………………2分 又∵a 31＝a 11＋2d ＝3，∴a 35＝a 31·q 4＝3q 4＝48， 又∵q >0，∴q ＝2.又∵a 41＝4，∴a 4n ＝a 41q n －1＝4×2n －1＝2n ＋1. ……………………………………………4分(2)∵b n ＝a 4n (a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1＝2n +1(2n +1－2)(2n +1－1)＋(－1)n ·n ＝2n (2n －1)(2n +1－1)＋(－1)n ·n ＝12n －1－12n +1－1＋(－1)n ·n .………………………………6分∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－17＋⎝⎛⎭⎫17－115＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n +1－1＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)n ·n ].当n 为偶数时，S n ＝1－12n +1－1＋n2，……………………………………………………8分当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋b n ＝1＋n －12－12n －1－n ＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n +1－1＝1－12n +1－1－n ＋12＝1－n 2－12n +1－1(n ≥3且n 为奇数).经验证，当n ＝1时，也满足S n ＝1－n 2－12n +1－1.………………………………………………………………………………………………11分综上，数列{b n}的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1－12n +1－1＋n2，n 为偶数，1－n2－12n +1－1，n 为奇数.…………………………12分构建答题模板[第一步] 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系.[第二步] 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式. [第三步] 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等). [第四步] 写步骤.[第五步] 再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.1.(2017·包头一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由.解 (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，可得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，可得a 3＝21. (2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)， 所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列， 因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列， 所以a n ＋3＝(a 1＋3)×2n －1，所以a n ＝3(2n －1).2.设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n +1)－1.而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)(错位相减法)由b n ＝na n ＝n ·22n－1知，S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1， ① 22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n +1，②①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n +1，即S n ＝19[(3n －1)22n +1＋2].3.已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和. 解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63知，q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列.设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 4.已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *).(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)若b n ＝a n ＋1(a n ＋2)(a n ＋3)，求数列{b n }的前n 项和S n ； (3)求证：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2(n ∈N *). (1)证明 ∵a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2.又∵a 1＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解 ∵a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.∴b n ＝2n (2n ＋1)(2n ＋2)＝2n －1(2n ＋1)(2n －1＋1)＝12n －1＋1－12n ＋1. S n ＝⎝⎛⎭⎫120＋1－121＋1＋⎝⎛⎭⎫121＋1－122＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1. (3)证明 ∵a k a k ＋1＝2k －12k ＋1－1＝2k －12⎝⎛⎭⎫2k －12＜12， ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2(n ∈N *). 5.(2017·河北区一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{C n }的前n 项和P n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝4. ∴a n ＝4n .∵T n －2b n ＋3＝0，∴当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列，∴b n ＝3·2n －1. (2)C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数. 当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝(4＋4n －4)·n 22＋6(1－24n )1－4＝2n ＋1＋n 2－2. 当n 为奇数时，方法一 n －1为偶数，P n ＝P n －1＋C n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1， 方法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝(4＋4n )2·n ＋12＋6(1－124n -)1－4＝2n ＋n 2＋2n －1. ∴P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.。