高中数学必修5综合测试题(含答案)
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷
高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。
试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。
人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案
必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
高中数学必修5测试题(中等程度)
《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（ ）A .3πcm B .23πcm C .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（）A .3π，2-，4π B .3π，2，12π C .6π，2，12π D .6π，2，4π 4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ）A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=- 5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-CD.11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( ) A. 1B.2C. 0D.2-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 ． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象。
(完整版)高中数学必修五综合测试题 含答案
.绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．数列的一个通项公式是（ ）0,23,45,67⋯A ．B ． a n =n -1n +1（n ∈N *)a n =n -12n +1（n ∈N *)C ．D ．a n =2（n -1）2n -1（n ∈N *)a n =2n2n +1（n ∈N *)2．不等式的解集是（ ）x -12-x ≥0A ．B ．C ．D ． [1,2](-∞,1]∪[2,+∞)[1,2)(-∞,1]∪(2,+∞)3．若变量满足 ，则的最小值是（ ）x,y {x +y ≥0x -y +1≥00≤x ≤1x -3y A ．B ．C ．D ． 4-5-314．在实数等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ． 8B ． －8C ． ±8D ． 以上都不对5．己知数列为正项等比数列，且，则（ ）{a n }a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4a 2+a 6=A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．数列前项的和为（ ）11111,2,3,4,24816n A ． B ． C ．D ．2122nn n ++21122n n n +-++2122n n n +-+21122n n n +--+7．若的三边长成公差为的 等差数列，最大角的正弦值为ΔABC a,b,c 232的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．1541534213435348．在△ABC 中，已知,则B 等于( )a =2,b =2,A =450A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ． 60°或120°9．下列命题中正确的是( )A ． a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ． a ＞b ⇒a 2＞b 2C ． a ＞b ⇒a 3＞b 3D ． a 2＞b 2⇒a ＞b.10．满足条件，的的个数是 ( )a =4,b =32,A =45∘A ． 1个B ． 2个C ． 无数个D ． 不存在11．已知函数满足：则应满足（ ）f(x)=ax 2-c -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.f(3)A ．B ．C ．D ．-7≤f(3)≤26-4≤f(3)≤15-1≤f(3)≤20-283≤f(3)≤35312．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（ ）a 1,a 2,a 5a2A ． -2B ． -3C ． 2D ． 313．等差数列的前10项和，则等于（）{a n }S 10=15a 4+a 7A ． 3B ． 6C ． 9D ． 1014．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（ ）{a n },{b n }n S n ,T nS nT n=2n3n +1a 3b 3A ．B ．C ．D ． 3547581219第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差={a n }a 7a 4a3d 16．在中，，，面积为，则边长=_________.△ABC A =60∘b =13c 17．已知中，，， ，则面积为_________.ΔABC c =3a =1acosB =bcosA ΔABC 18．若数列的前n 项和，则的通项公式____________{a n }S n =23a n +13{a n }19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________．x -4y +9=020．函数的最小值是 _____________．y =x +4x -1(x >1)21．已知，且，则的最小值是______．x ，y ∈R +4x +y =11x +1y三、解答题22．解一元二次不等式（1） （2）-x 2-2x +3>0x 2-3x +5>0.（1）求边上的中线的长；BC AD （2）求△的面积。
高中数学必修5解三角形面积相关精选题目(附答案)
高中数学必修5解三角形面积相关精选题目（附答案）三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .题型一：三角形面积的计算1.(2017·北京高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．2.△ABC 中，若a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且2A ＝B ＋C ，a ＝3，△ABC 的面积S △ABC ＝32，求边b 的长和B 的大小． 题型二：与三角形有关的综合问题（一）：与三角形面积有关的综合问题3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . （二）：三角形中的最值问题4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．巩固练习：1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C.3D ．232．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B.78C ．－87D.873．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．5.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．7．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．88．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A.3 B ．2 C ．23 D ．49．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .11.如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．参考答案：1.[解] (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)． 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3. 2.解：∵A ＋B ＋C ＝180°，又2A ＝B ＋C ，∴A ＝60°. ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，sin A ＝32，∴bc ＝2.①又由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×2×12，即b 2＋c 2＝5.② 解①②可得b ＝1或2.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝b2.当b ＝1时，sin B ＝12，B ＝30°；当b ＝2时，sin B ＝1，B ＝90°.3.解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.4.解：(1)由题意可知 12ab sin C ＝34×2ab cos C . 所以tan C ＝ 3. 因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由(1)知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3⎝⎛⎭⎫0<A <2π3. 当A ＝π3时，即△ABC 为等边三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值为 3. 巩固练习：1.解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2.解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.3.解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4.解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.5.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.6.解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2 A ＝223，∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.7.解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.8.解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°， ∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.9.解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.10.解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，即sin B ＝4(1－cos B )， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.11.解：(1)∵S △DAC ＝23， ∴12·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12.∵∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理得 DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin2π3＝DCsin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0<C <π3，∴π3<C ＋π3<2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长取得最大值，且最大值为8＋4 3.。
高中数学必修5复习题及答案(A组)免费范文
篇一：高中数学必修5课后习题答案人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4） 1、（1）a?14，b?19，B?105?；（2）a?18cm，b?15cm，C?75?. 2、（1）A?65?，C?85?，c?22；或A?115?，C?35?，c?13；（2）B?41?，A?24?，a?24. 练习（P8） 1、（1）A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm；（2）B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm. 2、（1）A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?；（2）A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?. 习题1.1 A组（P10） 1、（1）a?38cm,b?39cm,B?80?；（2）a?38cm,b?56cm,C?90? 2、（1）A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm（2）B?35?,C?85?,c?17cm；（3）A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm； 3、（1）A?49?,B?24?,c?62cm；（2）A?59?,C?55?,b?62cm；（3）B?36?,C?38?,a?62cm；4、（1）A?36?,B?40?,C?104?；（2）A?48?,B?93?,C?39?；习题1.1 A组（P10）1、证明：如图1，设?ABC的外接圆的半径是R，①当?ABC时直角三角形时，?C?90?时，?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上.BCAC在Rt?ABC中，?sinA，?sinBABABab即?sinA，?sinB 2R2R所以a?2RsinA，b?2RsinB 又c?2R?2R?sin902RsinC （第1题图1）所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC②当?ABC时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O在三角形内（图2），作过O、B的直径A1B，连接AC， 1?90?，?BACBAC则?A1BC直角三角形，?ACB. 11在Rt?A1BC中，即BC?sin?BAC1， A1Ba?sin?BAC?sinA， 12R所以a?2RsinA，同理：b?2RsinB，c?2RsinC③当?ABC时钝角三角形时，不妨假设?A为钝角，它的外接圆的圆心O 在?ABC外（图3）（第1题图2）作过O、B的直径A1B，连接AC.1则?A1BC直角三角形，且?ACB?90?，?BAC?180?11在Rt?A1BC中，BC?2Rsin?BAC， 1即a?2Rsin(180?BAC)即a?2RsinA同理：b?2RsinB，c?2RsinC综上，对任意三角形?ABC，如果它的外接圆半径等于则a?2RsinA,b?2RsinB, c?2RsinC2、因为acosA?bcosB，所以sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?，（第1题图3）所以2A?2B，或2A?2B，或2A?22B. 即A?B或A?B?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2A?sin2B后，也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2.?2，或A?B?0即A?B??2，或A?B，得到问题的结论.1．2应用举例练习（P13）1、在?ABS中，AB?32.2?0.5?16.1 n mile，?ABS?115?，根据正弦定理，得AS?ASAB?sin?ABSsin(6520?)?AB?sin?ABS16.1?sin115sin(6520?)∴S到直线AB的距离是d?AS?sin2016.1?sin115sin207.06（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（P15）1、在?ABP中，?ABP?180?，?BPA?180(?)ABP?180(?)?(180?)在?ABP中，根据正弦定理，APAB?sin?ABPsin?APBAPa?sin(180?)sin(?)a?sin(?)AP?sin(?)asin?sin(?)所以，山高为h?APsinsin(?)2、在?ABC中，AC?65.3m，?BAC?25?2517?387?47??ABC?909025?2564?35?ACBC?sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sinBC?m 9.8?sin?ABCsin?6435井架的高约9.8m.200?sin38?sin29?3、山的高度为?382msin9?练习（P16） 1、约63.77?. 练习（P18） 1、（1）约168.52 cm2；（2）约121.75 cm2；（3）约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2?a左边? 【类似可以证明另外两个等式】 ?2a2a2a习题1.2 A组（P19）1、在?ABC中，BC?35?0.5?17.5 n mile，?ABC?14812622?根据正弦定理，14?8)?，1BAC?1801102248ACB?78(180ACBC?sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22AC?8.8 2n milesin?BACsin?48货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?BCD中，?BCD?301040?，?BDC?180?ADB?1804510125?1CD?3010 n mile3CDBD根据正弦定理， ?sin?CBDsin?BCD10BD?sin?(18040125?)sin40?根据正弦定理，10?sin?40sin1?5在?ABD中，?ADB?451055?，?BAD?1806010110??ABD?1801105515?ADBDABADBDAB根据正弦定理，，即sin?ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?10?sin?40?sin1?5BD?sin1?5?10s?in40?6.8 4n mile AD?sin1?10si?n110?sin70BD?sin5?5?10sin40?sin55n mile 21.6 5sin1?10sin15?sin70如果一切正常，此船从C开始到B所需要的时间为：AD?AB6.8?421.6520?min ?6?01?0?60 86.983030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B岛. 4、约5821.71 m5、在?ABD中，AB?700 km，?ACB?1802135124?700ACBC根据正弦定理，sin124?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21?AC?，BC?sin1?24sin124?700?sin?357?00s?in21AC?BC7?86.89 kmsin1?24si?n124所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx? 根据正弦定理，sin(8118.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan8114721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81sin(8118.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?ABT中，?ATB?21.418.62.8?，?ABT?9018.6?，AB?15 mABAT15?cos18.6?根据正弦定理，，即AT? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为AT?sin21.4?sin21.4106.19 msin2.8?326?189、AE97.8 km 60在?ACD中，根据余弦定理：AB?AC??101.235 根据正弦定理，（第9题）?sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66sin 44?ACD?0.51AC101.2356?ACD?30.9??ACB?13330.9?6?10 2?在?ABC中，根据余弦定理：AB?245.93222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204sBAC?0.58co? 472?AB?AC2?245.?93101.235?BAC?54.21?在?ACE中，根据余弦定理：CE?90.75222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235sAEC?0.42co? 542?AE?EC2?97?.890.75?AEC?64.82?0AEC?(1?8?0?7?5?)?7564.8?2 18?所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km.10、如图，在?ABCAC??37515.44 km222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200?0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.448，2 ?BAC?9043.?8 ?BAC?133.? 2所以，仰角为43.82?1111、（1）S?acsinB28?33?sin45326.68 cm222aca36（2）根据正弦定理：，c?sinCsin66.5?sinAsinCsinAsin32.8?11sin66.5?S?acsinB362sin(32.866.5?)?1082.58 cm222sin32.8?2（3）约为1597.94 cm122?12、nRsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosB?2acaa2所以ma?()2?c2?2c?cosB22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? B22ac12212?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2]222（第13题）篇二：人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由a1?1，d?3确定的等差数列?an?，当an?298时，序号n等于（）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.?ABC中，若a?1,c?2,B?60?，则?ABC的面积为（） A．12B．2 C.1 D.3.在数列{an}中，a1=1，an?1?an?2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 101 4.已知x?0，函数y?4x?x的最小值是（） A．5 B．4C．8 D．6 5.在等比数列中，a11?2，q?12，a1n?32，则项数n为（） A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解集为R，那么（）A. a?0,0B. a?0,0C. a?0,0D. a?0,0?x?y?17.设x,y满足约束条件??y?x,则z?3x?y的最大值为（）y2A． 5B. 3C. 7 D. -88.在?ABC中,a?80,b?100,A?45?,则此三角形解的情况是（）A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于（）A.23 B.-2113 C.-3D.-410.一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ A、63B、108 C、75 D、83）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.在?ABC中，B?450,c?b?A＝_____________; 12.已知等差数列?an?的前三项为a?1,a?1,2a?3，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(12分) 已知等比数列?an?中，a1?a3?10,a4?a6?16(14分)(1) 求不等式的解集：?x(2)求函数的定义域：y?17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2?0的两个根，且2cos(A?B)?1。
北师大版高中数学必修5模块测试试题及答案
数学必修5第一部分（选择题 共50分）一、 选择题（每小题5分，10小题，共50分）1、在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为（ ）A ．︒︒︒︒︒︒30.15030.60.12060D CB 或或2、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于（ ）A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3、在ABC ∆中，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于( ) A. 610.B. 75C . 49D. 514、等比数列{}n a 中293a a =，则313239310log log log log a a a a ++++ 等于（ ） A ．9 B ．27 C ．81 D ．2435、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( ) A ．b-a =c-b B ．b 2=a c C ．a =b=c D ．a =b=c ≠06、等比数列{}n a 的首项1a =1，公比为q ，前n 项和是n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和是（ ）A ．1-n SB ．n n q S -C ．n n q S -1D ．11--n n q S7、在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ）A ．12B ．14C ．15D ．16 8、已知,,a b c R ∈,则下列选项正确的是 （ ）A.22a b am bm >⇒>B.a ba b c c>⇒> C .11,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<9、已知x y xy +=，则y x +的取值范围是（ ）A ．]1,0(B ．),2[+∞C ．]4,0(D ．),4[+∞10、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<+0011234x y y x y x 表示的平面区域内的整点的个数是（ ）A ．8个B ．5个C ．4个D ．2个第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）11、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值 _____________ 12、当x 取值范围是_____________ 时，函数122-+=x x y 的值大于零 13、在等比数列}{n a 中，08,204321=+=+a a a a ，则=10S14、不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是三、解答题（共六个题，前两题每题10分，后面每题15分，共80分）15、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。
【人教版】高中数学必修五期末试题(附答案)(1)
一、选择题1．若正数x，y满足21yx+=，则2xy+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知正数x，y满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．63．设变量,x y、满足约束条件236y xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D ，已知()62kmCD=+，30ADB CDB∠=∠=︒，45DCA∠=︒，60ACB∠=︒，则A、B两个中继站的距离是（）A．3km B．10km C10km D．62km 5．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ，则ABC∆的面积为（）A．223+B31C．232D316．设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2cos0b a C-=，()sin3sinA A C=+，则2bca=（）A7B14C．23D67．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22tan tanB Cb c=，则ABC的形状为（）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．139．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D．25910．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 15．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．三、解答题21．已知函数()()()23f x x a x =-+. （1）当72a >-时，解关于x 的不等式()46f x x >+； （2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 22．已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.23．在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.（1）求A 的大小； （2）求sin sin B C +的最大值.24．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD，求AD 的值和sin ∠ABD 的值25．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知等比数列{}n a 的公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得()362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC+⨯⋅∠===∠︒， 在BDC 中，由正弦定理得()162sin 231sin 22CD BDC BC DBC+⨯⋅∠===+∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠()()()22123312233112=++-⨯⨯+⨯=，所以10km AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得6c b =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c =，则()2293bc b a b ==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=.故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。