高中新课程数学(新课标人教B)必修1《有理指数幂及其运算》课件
人教版B版高中数学必修1：实数指数幂及其运算_课件22
∴函数值域为{y|y＞－1}．
点评：(1)题求函数的值域时，采用了逐步求解的方法，(2) 题利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函 数的定义域A，再由函数的定义域A求出内函数的值域B，然后 以内函数的值域B作为外函数的定义域求出原函数的值域，如(2) 题是由函数y＝t2＋2t－1和函数t＝3x复合而成，先求得原函数的 定义域为R，再由x∈R得t＞0，然后由t＞0得到函数值域为{y|y ＞－1}．若(2)题中的x≥1，你还能求出它的值域吗？
函数、导数及其应用 指数与指数函数
考纲要求
1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算．
2．理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函 数图象通过的特殊点．
3．了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是重要 的函数模型.
课前自修
知识梳理
一、指数 1．根式． (1)定义： 如果xn＝a那么 x叫做a的n次方根(其中n>1，且 n∈N)，式子 n a 叫做根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方 数． (2)性质． ①当n为奇数时，n an ＝a；
另一部分是把y＝3x(x<0)的图象向左平移1个单位长度所得 的y＝3x＋1(x<－1)的图象．如下图所示．
(2)由图象可知函数的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减
区间为[－1，＋∞)．
(3)当x＝－1时，ymax＝
1 3
0＝1，值域为(0,1]．
考点四 求与指数函数有关的函数的定义域与值域
思路点拨：解指数方程要先化为同底，再比较指数即可， 或用换元法．
解析：(1)设2x＝t，则原方程可化为2t2－9t＋4＝0，解得t＝1
或4，即2x＝ 1 ＝2－1或2x＝4＝22，
人教版B版高中数学必修1：实数指数幂及其运算_课件16
所以1a＋12＝16，
所以 a＝－15或 a＝13.
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抓主干
考点
解密 研考向
又因为 a>0，所以 a＝31.
要点
探究 悟典题
②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a，
能力
提升 提素能
此时 f(t)在1a，a上是增函数．
高效
训练
所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
故 a>c>b.
[答案] (1)D (2)A
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抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
反思总结
悟典题
能力 提升
解决与指数函数的性质问题时应注意
提素能
(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助
高效
训 练 于中间量如0,1判断．
(2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想 及数形结合思想的应用．
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抓主干 考点 解密
研考向 要点
____________________[通关方略]____________________
探究
悟典题
1．指数函数图象的三个关键点
能力
提升
画指数函数图象时 应抓住图象上 的三个关键 点： (1 ， a) ，(0,1) ，
提素能
高效 训练
－1，1a.
1．化简 －x x3的结果是(
)
A．－ －x
B. x
C．－ x
D. －x
解析：依题意知 x<0，∴
－x3＝－ x
答案：A
－x2x3＝－ －x.
菜 单 隐藏
抓主干 考点 解密
人教版高中数学必修一指数与指数幂的运算课件PPT
3.事先准备一些简短、有趣的教学任务。如果需要在课堂上 布置任务,比如需要耗时三十分钟的短文写作,可以把整体任务 分解成几个更小的部分,并且带领学生一步一步完成每个部分。 记住,这种简短、有趣的任务要比一次需要耗费很长时间的任务 更能吸引学生的注意力。
引导探究一
3 3 27
2 3 8
2 5 32
2 2 4
32 9
2 4 16
n 次方根的定义：
如果一个数的 n 次方等于 a(n 1, n N ) 那么这个数叫做a 的n次方根.
数学符号表示：
若_x_n___a_(_n___1,_n___N__*)，则 x 叫做a 的 n 次方根．
课题导入
回顾初中所学的整数指数幂和根式
2.1.1指数与指数幂的运算
第一课时
目标引领
1.能理解n次方根的概念，并对n次方根进 行计算；
2.理解根式的意义，能理解根式中各部分 的意义；
3.理解分式指数幂以及有理式和无理式指 数幂。
独立自学
1.a的n次方根的定义是什么？与n的奇偶性 有何关系？
2.什么是分数指数幂？有哪些注意事项？ 3.什么是无理数指数幂？
是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一 种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师 在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而 且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴 趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样, 不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任 务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学 生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规 定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中 注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完 成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。
人教版B版高中数学必修1：实数指数幂及其运算_课件11
[冲关锦囊] 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应
指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的
指数型函数图象数形结合求解.
[精析考题] [例 3] (2011·宁波三校联考)若函数 f(x)＝a|x－2|(a>0，a≠1)满足 f(1)＝13，则 f(x)的单调递减区间是________．
数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有
分母又有负指数幂.
[精析考题]
[例2] (2011·萧山一模)函数f(x)＝ax－b
的图象如图所示，其中a、b为常数，
则下列结论正确的是
()
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
[自主解答] 由图象得函数是减函数， ∴0<a<1. 又分析得，图象是由y＝ax的图象 向左平移所得， ∴－b>0，即b<0.从而D正确．
解题样板 指数幂大小的比较方法
[考题范例]
(2010·安徽高考)设a＝35
2 5
，b＝25
3 5
，c＝25
2 5
，则a，b，c的大小
关系是
()
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
[快速得分]
法一：先比较b与c，构造函数y＝25x.
函
数
、
导 数 及 其 应
指 数 函 数
用
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了]
高中数学 2.1.1指数幂及运算课件 新人教版必修1
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10
例5.计算下列各式：
(1) (325125)425;
a2 (2)
(a0).
a 3 a2
解：(1) (325125)425
23
1
2131
(53 52)52 53 52 52 52
1
56 56 55;
(2) aa 2 3a2a1 2a2 a2 3a21 22 3a6 56a5.
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探究点3 无理数指数幂
当幂指数是无理数时，a(a0,是 无 理 数 ） 是一个确
定的实数，无理数指数幂可以由有理数指数幂无限逼近 而得到，有理数指数幂的运算法则对无理数指数幂也成立。
观察下表： 5 2 的是否表示一个确定的实数？
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2 的过剩近似值 1.5 1.42
1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
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5
正数的负分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义 相仿，我们规定：
am na1m nn1 am (a0,m ,nN *,n1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数 推广到了有理数指数。
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6
探究点2 有理数指数幂的运算性质
1 1 1
(3) a 2 a 4 a 8 ;
(4) 2x（ 13 1x13 2x23） . 2
解：(1)（ 36） 3 2 （ 6） 23 2 （ 6） 3216; 49 7 7 343
(2 )23 31 .5 61 2 2 1 1 3 1 3 3 1 2 1 3 1 6 6 ;
推荐-高一数学人教B版必修1课件3.1.1实数指数幂及其运算
3, (-3)2 = | − 3|=3.
因此 ������ ������������ = ������,������ = 2������-1,������∈N+,且������ > 1, |������|,������ = 2������,������∈N+.
(2)正整指数幂的运算法则:
①am·an=am+n;
②(am)n=amn;
③am÷an=am-n(m>n,a≠0);
④(ab)n=anbn;
⑤
������ ������
������
=
������������ ������������
(b≠0).
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Z Z 知识梳理 HISHI SHULI
(4)根式的性质: ①(������ ������)n=a(n>1,且 n∈N+);
②������ ������������ = ������,当������为奇数时, |������|,当������为偶数时.
1234
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Z Z 知识梳理 HISHI SHULI
=a-4·b-6÷a8b6
=a-12b-12.
答案:a-12b-12
1234
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Z Z 知识梳理 HISHI SHULI
重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
人教版B版高中数学必修1：实数指数幂及其运算_课件15
f(a2)＋f(b2)＝2.( )
指数与对数的运算
双
向 固
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
基
础
[解析] (1)
a2 a·3
＝a2－12－23＝a56. a2
(2)f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1＋2)＝f(1＋2)＝2－3＝18.
(3)由题意得 log3x＝1，log2y＝1，所以 x＝3，y＝2， 所以 x＋y＝5.
④logamMn＝mn logaM.
指数与对数的运算
双
向
—— 疑 难 辨 析 ——
固
基 础
1．根式的化简
(1) 等 式 3 －2 ＝ 6 －22 ， － 3 4 2 ＝ 4 －34×2 一 定 成
立．( )
(2)化简4 16x8y4(x<0，y<0)的结果是－2x2y.( )
(3)n an与(n a)n 相同．( )
1
1
1
4 ＝ [24( － x)8·( － y)4] 4 ＝ 24× 4 ·( －
1
1
x)8×4·(－y)4×4＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
指数与对数的运算
双
向 固
(3)不同，在根式中，n an (n>1，且 n∈N*)总是有意义的，
基
础 当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a|，而(n a)n
指数与对数的运算
[答案] (1)D (2)B
[解析] (1)a＝2－ 3，b＝2＋ 3，
点 面 讲
所
以
(a
＋
1)
－
2
＋
(b
＋
1)
人教B版高中数学必修一第三章3.1.1实数指数幂及其运算课件
32
85 5 8
2
1
②8 3 （83）2 22 4
1
1
1
③3 3 3 3 6 3 3 32 33 36
1 1 1 1
3 2 3 6
32
9
21
2
1
3
④（a 3b 4）3 （a 3）（3 b 4）3 a 2b 4
1
1
1
1
1
1
⑤（a 2 b 2）（a 2 b 2）（a 2）2 （b 2）2
正整数 整数 0
负整数
分数
无理数
1、整数指数幂
正整数指数幂:
a2 aa
a3 aaa
指数
幂
an a a a a
底数
n个
运算法则（1）am an amn
2 am n amn
3
am an
amn
m n, a 0
4abm ambm
特别地
a0
1 a a3
a3
a33
0
a3 a5
⑤4（3）4 | 3 | 3
那么，根式与分数指数幂有什么 关系？
1
(a3 )3
1 3
a3
=a
2
(a 3
)3
2 3
a 3 =a2
1
a3 3 a
2
a3 3 a2
分数指数幂与根式互化
1
a n n a (a 0)
两者要 区别开
m
a n (n a)m n am
an 1 an
a
m n
(a 0, n、m
ab
1
1
11
⑥（a 2 b 2）2 a b 2a 2 b 2
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• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。
的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。
上0,紡为非负实数；当〃为奇数时, 第的符号与。
的符号一致.2.进行幕的运算方法：在进行幕和根式的化简时，一般是先将根式化成幕的形式, 并化小数指数幕为分数指数幕，并尽可能地统一成分数指数幕形式，再利用幕的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的.对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式.一般地用分数指数幕的形式来表示.如果有特殊要求，则按要求给出结果.但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式.拓展：有关指数幕的几个结论①°>0 时,a h>0；②aHO 时，a°=l；③若 a =a,贝lj r=5（hl7^1,且Q H0）・IIA KETANGJIANGLIANHUDONG ・・02》课堂讲练互动循循善诱i触类旁通题型一根式的运算【例1】求下列各式的值：(1)(V(3-7T)6；4 I ------------------------ --「(2)V81 x \/9T；(3)(迈V125)三坂［思路探索］属于“根式”的运算.解(1)(V(3 -7T)6 = 13-TT I=TT-3；(2)Vsi X = ；34 X (3T X T) ]T21 14 I4二(34+T)T =3T X T= 3T=3(^.(3)原式二(5T -5T) 4-5T2 13 1=5T三5兀一5丁三5丁2 I3 1 5 5二5了—丁-5T_T =5i2 一5丁二垢-5板规律方法对于既含有分数指数幕，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幕的形式，以便于计算.如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幕的形式.【训练1】求下列各式的值: ⑴慣乔(2)勺(—9)2； (3)p(a—疔；(4) p5_2&+ 解(1)勺(-3)—-3.(2)A/C-9?=A/81= A/3?==3.a~b (a〉b) (3)寸(a—疔彳0 (a=b)b~a(oVb)2©寸5+2&・+边）2 = （羽一边）+ （书+边题型二分数指数幕的运算【例2】求下列各式的值(1)( - 3 寻)峙+ (0. 002)4 -10 x ( J5-2)-1 + ( J2-I 7(2)(0. ()08 [厂丁 _ [ 3 x (丄」x 飞1 -(x 25 + ( 383、丄「丄|〒厂了飞 - 1() x()・()27丁；8 9(3)(2 斗)。
+2J ・(2+)詁一(().()1 严.［思路探索］属于幕的运算性质及分数指数幕的运算.（2）原式二［（咅）4_丄_ 4(3 x 1 )-•34X (4> +1() 3" 1() T2 0 I i I （）解 （1）原式二（- 1厂亍（3疋厂亍+（时厂丁 一」-+ 1 8 500 5-227 2 I l二（W ）「丁+（5（）0）丁 一1（）（ 6 + 2） +1 ———I-10、尺—10 ^5 — 2() + 1 = ——-.1X(3(3)原式严+#x時汁一(需汁f 1 1 16=1 +T"7o =T5-规律方法1 •注意分数指数幕的运算过程中四则运算的先后顺序；先幕运算，再乘除，最后加减.2.运算结果一般用分数指数幕表示，同时也要将其化为最简形式.【训练2］计算下列各式in 2 亠（）37（1）（2+严+（）"+（2 矛）+ 亦.__L / 7、（）「（ _ 2 ）'］峙 + 16 ~"八 +（2）（0.（）64）一3 _ （ _ 育）+ _（丿」I _（）・（）1 I 2 ・rzL37解（1）原式=（V）T+（T1?+ 27 - ■'48（）（）+ l6 J 十佬二丁+ ［（2）原式=0.4-' 一1 + （-2厂4 +「+（）• 110 | . 1丄+丄二空.=7■- "16 8 10 8（）题型三求值问题【例3】已知a寺+a 厂了= 2.求：(1 ) d + a -" ； (2) a2 +(i ~2审题指导本题考查了幕的运算性质及完全平方公式. 【解题流程】启+ a■二2 ---------- 两边平方得a + a~[ = 2 -- 》将(I +(i~ 1 - 2再两边平方求(t~ +(i~ 2》_ 规范解答］法一(1 =((1^ +-2 - 2~ - 2 =2.a + a~［二 2. ...................................... ............................. 4 分(2) a2 + a ~2 - ( a + rz ~1 )2— 2 = 22 - 2 二 2.a2 +a~2 =2・...................................................................... 8 分法二(1) i aT+a'T =29即Ja + — = 2，两边同乘以Ja,得a - 2 Ja + 1 = 0,(3)( a - a~~- a + a_ 2 二(~ -4 =0. ..................................................................................................................................... 12分【题后反思】CD 注意平方的相对性（°扌尸二^（口-亍尸二（（ 且a 与a 一"互为倒数②完全平方和、平方差等公式对分数指数猱仍然适用.Ja即(忆-1 )2 = 0, ］a = 1，/. a = 1.・・・a =1 + 1 = 1 + 1 =2. ........................................... 4分(2) rh ( I ) a 二 1 ，二(i 2 + a ~2 = 1 + 1 "2 = 2. .................... 8 分【训练3】已知+a'T=3,求下列各式的值:3 3解(1)将** +“詁二3两边平方，得a +「+2二9, 即 a +(i~x -7.(2)由于(A二(aT)3 -(aV)3,所以丄 _丄丄 _丄(辽- a ~T (i2 - a~l -a + a + 1 二8.方法技巧转化与化归思想在化简题中的应用在进行幕和根式的化简时，一般是先将根式向分数指数幕转化，将小数指数幕化为分数指数幕，并尽可能地统一成分数指数幕的形式，再进行运算化简.［示例】化简"丁 -（匚里二4.（厂亍• > I） hAC HUOYEGUIFANXUNLIAN03》活页规范训练［思路分析］根据有理数指数幕的运算法则化简.方法点评化简题目要明确转化的方向，如本题中都化为分 数指数幕，然后利用运算法则进行化简.解原式 2 1a~・庐 i r a~T ・ I)- I1) - (12二（用/帀三（（"）二（用」/用」二（用/厂十.单击此处进入AC HUOYEGUIFANXUNLIAN03》活页规范训练限时巩固i节节攀登。