14.2.2完全平方公式添括号法则
数学人教版八年级上册14.2.2完全平方公式(第2课时)—添括号
14.2.2完全平方公式（第2课时）—添括号法则一、内容与内容解析(1)内容添括号法则和乘法公式的综合应用(2)内容解析在多项式的恒等变型中，有时会用到去括号法则，去掉括号合并同类项，从而达到化简的目的。
然而有时也会用到整体的思想将三项式看成二项式，使之形如平方差公式或完全平方公式，从而利用公式进行整式乘法运算。
这势必用到添括号，类比去括号法则，可以得到添括号法则。
这里有两个方面需要重视，一是要以括号前的符号来决定括到括号里的各项符号的改变或不变；二是要明确将哪些项放在括号内比较合适。
添括号法则主要是涉及各项符号的改变与不变，它与去括号法则完全一致，而去括号法则是它的基础，因此便可运用逆向思维类比去括号法则探索出添括号法则。
通过观察、比较、利用整体思想进行恒等变形，将某些特殊形式的整式乘法转化为乘法公式进行计算，利用化归思想化未知为已知。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：添括号法则及其在整式乘法中的应用。
二、目标和目标解析1、目标（1）了解添括号法则，掌握添括号法则，应用添括号法则进行整式变形。
（2）探索获得添括号法则的过程中，引导学生学会类比的方法，培养学生逆向思维能力。
（3）应用添括号法则解决问题的过程中，渗透化归思想，提高学生的合作交流意识和创新精神。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道添括号法则同去括号法则相同，遇“+”不变，遇“-”都变，能够重点关注括号前的符号。
学生熟悉两个数的和乘以两个数的差可以利用平方差公式计算得到两个数的平方差，两个数和（或差）的完全平方等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。
利用这样的结构特征，学生经过合作交流可以通过添括号把一些式子看成整体从而利用乘法公式进行计算。
达成目标（2）的标志是：学生在探索添括号法则的过程中，能够体验到逆向思维，类比去括号法则得到添括号法则。
达成目标（3）的标志是：学生依托公式特征和添括号法则，通过交流探讨能够将整式适当变形，变未知为已知。
第十四章 14.2 14.2.2 完全平方公式
解：原式＝(2000＋18)2＝20002＋2×2000×18＋182＝ 4000000＋72000＋324＝4072324.
5. 已知 x＋y＝4，xy＝2，试求： (1)x2＋y2 的值；
解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， 又 x＋y＝4，xy＝2，∴x2＋y2＝42－2×2＝16－4＝12；
9. 已知多项式 A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.
(1)化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同， 请你检査．
小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出 现错误的是出错的是①；正确的解答过程为 正确的解
答过程为：A＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5 ．
(2)小亮说：“只要给出 x2－2x＋1 的合理的值，即可 求出多项式 A 的值．”小明给出 x2－2x＋1 值为 4，请你 求出此时 A 的值．
．
【解析】由题意，①9x2＋1－9x2＝12；②9x2＋1－1 ＝(3x)2；③9x2＋1±6x＝(3x±1)2；④9x2＋1＋841x4＝(92x2＋ 1)2.
7. 计算： (1)(x＋3)(x－3)(x2－9)； 解：原式＝x4－18x2＋81； (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)；
解：原式＝a2－2ac＋c2－4b2.
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
5. 若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为 5
．
6. (易错题)多项式 9x2＋1 加上一个单项式后，能成为
一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 6x 或
－6x 或841x4 或－9x2 或－1
解：(m＋n)2＝69.
1．完全平方公式的特征：左边是一个二项式的完全 平方，右边是一个二次三项式，其结构是：“首平方，尾 平方，积的 2 倍放中央”．
14.2.2完全平方公式添括号法则
（4）a -（b-c）= a – b+c
添括号法则
添括号时： 1.如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
2.如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
展示与点评
展示内容
问题探究一:预习自测
展示小组
G9 G7 G5 G3
点评小组
问题探究二:2、3、4
问题探究二：预习自测 互动探究案5
展示与点评
展示内容
问题探究一:预习自测
展示小组
G9 G7 G5 G3
点评小组
问题探究二:2、3、4
问路方法，应该注意的问 要求：⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要分 题，力争进行必要的变形拓展。 层次、要点化，书写要认真、 规范。 ⑵非展示 ⑵其他同学认真倾听、积极思考、记好笔记、大胆质疑。 同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。 不浪费一分钟，小组长做好安排和检查。
1.P111页练习1
1.如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
2.如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
b c) ; (2) a b c a ( b c) ; (3) a b c a ( b c) ; (4) a b c a (b c) ;
(1) a b c a (
2．判断下列运算是否正确．
+ ）× （1）2a-b-c=2a – （b-c
-3n+2a-b）× （2）m-3n+2a-b=m+（
（3）2x-3y+2= – （ -2x+3y-2）× （4）a – 2b – 4c+5=（a-2b) –（4c-5）
√
例运用乘法公式计算: （1）(x+2y-3)(x-2y+3). （2）（a+b+c）2
(部编)人教数学八年级上册《14.2.2完全平方公式 添括号法则》_1
(a + b +c ) 2.
（a+b+c)2
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
（1）4+（5+2）（2）4-（5+2）
（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）
去括号法则：
去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里各项不变号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都变号.
教师引导学生给出解答，学生观察不能用公式计算，理由是它不是两项式，那我们能不能把三项变为两项呢？板书：添括号法则
学生回忆去括号法则并总结添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
教师由去括号法则类比得到添括号法则，培养学生总结概括水平
教师引导学生把三项变为两项，然后再去使用公式
培养学生综合使用水平
小结：
通过本节课的学习，你有何收获和体会？
1.我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则能够将整式变形，从而灵活利用乘法公式实行计算．
2.我体会到了转化思想的重要作用， 学数学其实是持续地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等
a–b–c=a–();
a–b+c=a–();
a+b+c=a–().
学生练习
学生熟悉添括号法则
活动四：拓展
例使用乘法公式计算：
（1）(x+2y－3)(x－2y+3);
（2）(a+b+c)2.
练习
1.使用乘法公式计算：
14.2.2 完全平方公式(二)(教案)
14．2．2 完全平方公式（二）（教案）教学目标（一）教学知识点1．添括号法则．2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式．（二）能力训练目标1．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．2．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．（三）情感与价值观要求鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．教学重点理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用．教学难点在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．教学方法引导─探究相结合教师由去括号法则引入添括号法则，并引导学生适当添括号变形，从而达到熟悉乘法公式应用的目的．教具准备投影片（或多媒体课件）．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．（1）4+（5+2）（2）4-（5+2）（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）[生]解：（1）4+（5+2）=4+5+2=14（2）4-（5+2）=4-5-2=-3或：4-（5+2）=4-7=-3（3）a+（b+c）=a+b+c（4）a-（b-c）=a-b+c去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．[师]∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：（1）4+5+2=4+（5+2）（2）4-5-2=4-（5+2）左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，•同学们可不可以总结出添括号法则来呢？（学生分组讨论，最后总结）[生]添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．[师]能举例说明吗？[生]例如a+b-c，要对+b-c项添括号，可以让a先休息，括号前添加号，括号里的每项都不改变符号，也就是+（+b-c），括号里的第一项若系数为正数可省略正号即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括号前添减号，括号里的每一项都改变符号，+b改为-b，-c改为+c．也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）．添加括号后，无论括号前是正还是负，都不改变代数式的值．[师]你说得很有条理，也很准确．请同学们利用添括号法则完成下列练习：（出示投影片）1．在等号右边的括号内填上适当的项：（1）a+b-c=a+（）（2）a-b+c=a-（）（3）a-b-c=a-（）（4）a+b+c=a-（）2．判断下列运算是否正确．（1）2a-b-c=2a-（b-c）（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）（学生尝试或独立完成，然后与同伴交流解题心得．教师遁视学生完成情况，及时发现问题，并帮助个别有困难的同学）总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，•所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．Ⅱ．导入新课[师]有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再用公式，这就需要同学们理解乘法公式的结构特征和真正内涵．请同学们分组讨论，完成下列计算．（出示投影片）例：运用乘法公式计算（1）（x+2y-3）（x-2y+3）( 2)(a + 2b –1 )2.(3)(2x+y+z)(2x–y–z).（让学生充分讨论，鼓励学生用多种方法运算，从而达到灵活应用公式的目的）分析：（1）是每个因式都是三项和的整式乘法，•我们可以用添括号法则将每个因式变为两项的和，再观察到2y-3与-2y+3是相反数，所以应在2y-3和-2y+3项添括号，•以便利用乘法公式，达到简化运算的目的．（2）是一个完全平方的形式，只须将a + 2b –1中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式进行运算．（3）是用平方差公式计算．【例题解析】(1)原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]= x2-(2y-3)2= x2-(4y2-12y+9)= x2-4y2+12y-9.(2)原式=[(a+2b)-1]2=(a+2b)2–2(a+2b)×1+12=a2 +4ab+4b2–2a-4b+1.(3)原式=[2x +(y +z )][2x –(y +z )]=(2x)2 –(y+z)2=4x2 –(y2 +2yz+ z2)=4x2–y2 -2yz- z2.Ⅲ．随堂练习1.（衢州·中考）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）A．2m+3 B．2m+6 C．m+3 D．m+6 选A.2.（湖州·中考）化简a＋2b－b，正确的结果是（）A．a－b B．－2b C．a＋b D．a+2 【解析】选C.a＋2b－b=a＋(2b－b)=a+b.3.（宿迁·中考）若2a-b=2,则6+8a-4b= .【解析】原式=6+4(2a-b)=6+8=14.4.(益阳·中考）已知，求代数式的值．5.计算:（x+3）2-x2.【解法1】逆用平方差公式原式=（x+3+x)(x+3-x)=(2x+3)×3=6x+9.【解法2】用完全平方公式原式= x2+6x+9-x2=6x+9.1．课本P111练习1、2．2．课本P112习题14.2第3、4题Ⅳ．课时小结通过本节课的学习，你有何收获和体会？通过本课时的学习，需要我们掌握：1.添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．2. 利用添括号法则灵活应用完全平方公式．Ⅴ．课后作业课本P112习题14.2第5、6、8、9题．板书设计。
人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公-添括号法则教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际计算几个完全平方公式的例子，让学生直观感受公式的作用。
突破方法：引导学生观察表达式中的常数项，是否为某数的平方，然后尝试将中间项分解为两倍的乘积。
(3)难点：在解决实际问题如(2x-3)(2x+3)=4x²-9时，学生可能难以将右侧转换为完全平方形式；
突破方法：通过示例展示如何将4x²-9视为(2x)²-3²，进而应用平方差公式(a²-b²)=(a+b)(a-b)，引导学生理解。
此外，课堂总结环节，学生们对于完全平方公式的掌握程度有了明显的提升，但仍有个别学生在应用时出现错误。针对这一问题，我计划在下一节课中，通过更多的实际例题和练习，帮助他们巩固知识，提高解题能力。
总体来说，今天的课堂氛围较好，学生们对完全平方公式的学习兴趣浓厚。但我也意识到，在今后的教学中，需要更加关注学生的个体差异，采取有针对性的教学方法，帮助他们突破难点，提高学习效果。同时，要加强课堂互动，鼓励学生提问和表达自己的观点，使他们在课堂中真正成为主体，从而提高数学素养和解决问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“完全平方公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
第十四章 14.2 14.2.2 完全平方公式
14.2.2 完全平方公式
1. 完全平方公式：(a±b)2 ＝ a2±2ab＋b2 ． 2. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的 各项都 不改变符号 ；如果括号前面是负号，括到括号 里的各项都 改变符号 ．即：遇“加”不变，遇“减”都 变．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月30日星期一2021/8/302021/8/302021/8/30 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/302021/8/30August 30, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/30
(2)3x2－xy＋3y2 的值．
解：∵3x2－xy＋3y2＝3(x2＋y2)－xy，而 x2＋y2＝12， xy＝2，∴3x2－xy＋3y2＝3×12－2＝34.
知识点 添括号法则及方法
6. (a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋( )][a－(
里所填的各项分别是( C )
A．b－c，b＋c
B．－b＋c，b－c
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
14.2.2完全平方公式之添括号法则
添括号法则：
如果括号前面是 “+”号，括到 括号里的各项都 不变号； 如果括号前面是 “-”号，括到 括号里的各项都 改变符号。
用完全平方公式
逆用平方差公式
的值．
2 2
（x -1） 原式= x 2x 1 4x 4 4 x 2x 1
( 3)
3.
2
5.计算:（x+3）2-x2.
【解法1】
你有几种解法？
【解法2】
原式=（x+3+x)(x+3-x) 原式=x2+6x+9-x2 =(2x+3)×3 =6x+9.
=6x+9.
5) a+b-c=b-(___) c-a
计算：(3)(a+b+3)(a+b-3) 观察 & 思考 若不用一般的多项式乘以多项式
, 怎样用公式来计算 ?
分析
因为两多项式不同, 即不能写成 ( )2,故不能用完全平方公式来计
算 ，只能用平方差公式来计算
解: (a+b+3) (a+b−3) =[ (a+b) +3] [ (a+b) -3] 2 2 =( a+b ) − 3 2 2 =a +2ab+b －9
2 计算:(2)(x+5) –(x-2)(x-3)
解:
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乘法公式
平方差公式 (a b)(a b) a b
2
2
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2= a2-2ab +b2.
完成P111页练习2
将下列式子适当变形，并能用公式计算
平方差公式
（ 1） （ 3x y 5z） (3x y 5z )
+ ）× （1）2a-b-c=2a – （b-c
-3n+2a-b）× （2）m-3n+2a-b=m+（
（3）2x-3y+2= – （ -2x+3y-2）× （4）a – 2b – 4c+5=（a-2b) –（4c-5）
√
例5 运用乘法公式计算: （1）(x+2y-3)(x-2y+3). （2）（a+b+c）2
复习回顾
完全平方公式
(a-b)2= a2-2ab +b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
可以合写成(a ± b)2=a2±2ab+b2
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍.
2 重要结论 （a+b）
（-a-b）
2
2
2 （a b） （b-a） 2 （a b） a 2 -b 2
1. 括号前面是正号，去掉括号，括号内的各项不变号。
符号。（即加号变减号，减号变加号。
将式子反过来。 去括号并回忆去括号法则． （1）4 +（5+2）= 4+5+2
添括号法则？
4+5+2= 4 +（5+2） 4 –5 – 2= 4 – （5+2） a+b+c= a +（b+c） a – b+c= a -（b-c）
（2）4 -（5+2）= 4 –5 – 2
（3）a +（b+c）= a+b+c
（4）a -（b-c）= a – b+c
添括号法则
添括号时： 1.如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
2.如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
1.P111页练习1
1.如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
结论 （a+b）
2
（-a-b）
2
2
（a b） （b-a） 2 2 2 （a b） a -b
2
计算
P112 页 第2题
2 （ 3） （- 2m 1 ） =（2m 1 ）
2
P110 页 第1题
（ 3 ） （-2x 5）=（5 2 x）
2
2
小结：完全平方公式中第一个数为负数，可通过
（b-a） （a+b） （-a-b） （a b）
2
222Fra bibliotek先将式子变形，简化计算。
去括号并回忆去括号法则． （1）4 +（5+2）= 4+5+2
（2）4 -（5+2）= 4 –5 – 2
（3）a +（b+c）= a+b+c
（4）a -（b-c）= a – b+c
去括号法则：
2. 括号前面是负号，去掉括号，括号内加各项都改变
2.如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
b c) ; (2) a b c a ( b c) ; (3) a b c a ( b c) ; (4) a b c a (b c) ;
(1) a b c a (
2．判断下列运算是否正确．
课堂小结
添括号法则
添括号时：
1.如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 2.如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
（2）对一些题目先用添括号法则变形，再用公式
作业
完成P112页习题14.2第3题
（ 3x ( y 5z)(3x ( y 5z)
（2） （x 3 y 5z） ( x 3 y 5z)
（ x (3 y 5z） ( x (3 y 5z)
（3） （x y 1 ） ( x y 1)
（ x y) 1） ( x y) 1)