万有引力定律与天体运动 经典小练习

万有引力定律与天体运动 小练习1．下列说法正确的是( )A ．伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量B ．根据表达式F ＝G m 1m 2r 2可知，当r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C ．在由开普勒第三定律得出的表达式R 3T 2＝k 中，k 是一个与中心天体有关的常量D ．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力【答案】C【解析】牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测得了引力常量，故选项A 错误；表达式F ＝G m 1m 2r 2中，当r 趋近于零时，万有引力定律不适用，故选项B 错误；表达式R 3T 2＝k 中，k 是一个与中心天体有关的常量，故选项C 正确；物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，故选项D 错误。

2. 嫦娥四号生物科普试验载荷项目团队发布消息称停留在月球上的“嫦娥四号”探测器上的一颗棉花种子已经发芽，这是人类首次在月球上进行生物生长实验．如图所示，“嫦娥四号”先在环月圆轨道Ⅰ上运动，接着在Ⅰ上的A 点实施变轨进入近月的椭圆轨道Ⅱ，再由近月点B 实施近月制动，最后成功登陆月球，下列说法正确的是( )A ．“嫦娥四号”绕轨道Ⅱ运行的周期大于绕轨道Ⅰ运行的周期B ．“嫦娥四号”沿轨道Ⅰ运动至A 时，需制动减速才能进入轨道ⅡC ．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在A 点的加速度大小大于在B 点的加速度大小D ．“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上由A 点运行到B 点的过程，速度逐渐减小【答案】B【解析】轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，故A 错误；在轨道Ⅰ上从A 点开始变轨进入轨道Ⅱ，可知“嫦娥四号”做向心运动，在A 点应该制动减速，故B 正确；在轨道Ⅱ上运动时，“嫦娥四号”在A 点时的万有引力比在B 点时的小，故在A 点的加速度小于在B 点的加速度，故C 错误；根据开普勒第二定律可知，“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上由A 点运行到B 点的过程中，速度逐渐增大，故D 错误．3．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【答案】C【解析】由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，选项A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，选项B 错误；由开普勒第三定律可知，R 3火T 2火＝R 3木T 2木＝k ，T 2火T 2木＝R 3火R 3木，选项C 正确；对每一个行星而言，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，所以选项D 错误。

4．如图3所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆。

设卫星、月球绕地球运行周期分别为T 卫、T 月，地球自转周期为T 地，则( )图3A ．T 卫＜T 月B ．T 卫＞T 月C ．T 卫＜T 地D ．T 卫＝T 地 【答案】AC【解析】设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r 卫、r 同和r 月，因r 月＞r 同＞r 卫，由开普勒第三定律r 3T 2＝k ，可知，T 月＞T 同＞T 卫，又同步卫星的周期T 同＝T 地，故有T 月＞T 地＞T 卫，选项A 、C 正确。

5．若地球表面处的重力加速度为g ，而物体在距地面3R (R 为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g ′，则g ′g 为( )A ．1 B.19 C.14 D.116 【答案】D【解析】当物体处于地面时，有mg ＝G Mm R 2，当物体距离地面3R 时，有mg ′＝G Mm （4R ）2，由此得g ′∶g＝1∶16，选项D 正确。

6．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。

“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110 B ．1 C ．5 D ．10 【答案】B【解析】行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，则M 1M 2＝⎝⎛⎭⎫r 1r 23·⎝⎛⎭⎫T 2T 12＝⎝⎛⎭⎫1203×⎝⎛⎭⎫36542≈1，选项B 正确。

7．我国计划于2019年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (小于绕行周期)，运动的弧长为s ，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则( )A ．探测器的轨道半径为θtB ．探测器的环绕周期为πt θC ．月球的质量为s 3Gt 2θD ．月球的密度为3θ24Gt【答案】C【解析】利用s ＝θr ，可得轨道半径r ＝s θ，选项A 错误；由题意可知，角速度ω＝θt ，故探测器的环绕周期T ＝2πω＝2πθt＝2πt θ，选项B 错误；根据万有引力提供向心力可知，G mM r 2＝m v 2r ，再结合v ＝s t 可以求出M＝v 2r G ＝（s t ）2·s θG ＝s 3Gt 2θ，选项C 正确；由于不知月球的半径，所以无法求出月球的密度，选项D 错误。

8．a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。

其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 轨道在同一平面上。

某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图2所示。

下列说法正确的是( )图2A ．a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度B ．b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度C ．a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度D ．a 、c 存在在P 点相撞的危险【答案】A【解析】由G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2＝ma ，可知B 、C 项错误，A 项正确；v a ＝v c ，T a ＝T c ，所以a 、c 不会相撞，D 项错误。

9．我国成功发射“嫦娥三号”探测器，实现了我国航天器首次在地外天体软着陆和巡视探测活动，月球半径为R 0，月球表面处重力加速度为g 0。

地球和月球的半径之比为R R 0＝4，表面重力加速度之比为g g 0＝6，地球和月球的密度之比ρρ0为( )A.23B.32 C ．4 D ．6【答案】B【解析】设星球的密度为ρ，由G Mm ′R 2＝m ′g 得GM ＝gR 2，ρ＝M V ＝M 43πR3，联立解得ρ＝3g 4G πR ，设地球、月球的密度分别为ρ、ρ0，则ρρ0＝gR 0g 0R ，将R R 0＝4，g g 0＝6代入上式，解得ρρ0＝32，选项B 正确。

10．我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星。

若已知地球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，地球的第一宇宙速度为v 1，则 ( )A ．根据题给条件可以估算出地球的质量B ．根据题给条件不能估算地球的平均密度C ．第一宇宙速度v 1是人造地球卫星的最大发射速度，也是最小环绕速度D ．在地球表面以速度2v 1发射的卫星将会脱离太阳的束缚，飞到太阳系之外【答案】A【解析】设地球半径为R ，则地球的第一宇宙速度为v 1＝gR ，对近地卫星有G Mm R 2＝mg ，联立可得M＝v 41gG ，A 正确；地球体积V ＝43πR 3＝43π(v 21g )3，结合M ＝v 41gG ，可以估算出地球的平均密度，B 错误；第一宇宙速度v 1是人造地球卫星的最小发射速度，也是最大的环绕速度，C 错误；第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，第二宇宙速度v 2＝11.2 km/s ，第三宇宙速度v 3＝16.7 km/s ，在地球表面以速度2v 1发射的卫星，速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，此卫星将绕太阳运动，D 错误。

11．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原地。

若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。

已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为g ，设该星球表面附近的重力加速度为g ′，空气阻力不计。

则( )A ．g ′∶g ＝1∶5B ．g ′∶g ＝5∶2C ．M 星∶M 地＝1∶20D ．M 星∶M 地＝1∶80【答案】AD【解析】由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t ＝2v 0g ，因此得g ′g ＝t 5t ＝15，选项A 正确，B错误；由G Mm R 2＝mg 得M ＝gR 2G ，因而M 星M 地＝g ′R 2星gR 2地＝15×⎝⎛⎭⎫142＝180，选项C 错误，D 正确。

12．美国航天局宣布，天文学家发现“另一个地球”——太阳系外行星开普勒－452b.假设行星开普勒－452b 绕中心恒星公转周期为385天，它的体积是地球的5倍，其表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的两倍，它与中心恒星的距离和地球与太阳的距离很接近，则行星开普勒－452b 与地球的平均密度的比值及其中心恒星与太阳的质量的比值分别为( )A ．⎝⎛⎭⎫85 13和⎝⎛⎭⎫365385 2B ．⎝⎛⎭⎫85 13和⎝⎛⎭⎫385365 2C ．⎝⎛⎭⎫58 13和⎝⎛⎭⎫365385 2D ．⎝⎛⎭⎫58 13和⎝⎛⎭⎫385365 2【答案】A【解析】在行星表面，万有引力等于重力，则有：G Mm R 2＝mg ，而ρ＝M 43πR 3，解得：ρ＝3g 4πRG ，而行星开普勒－452b 的体积是地球的5倍，则半径为地球半径的35倍，则有：ρ行ρ地＝g 行R 地g 地R 行＝⎝⎛⎭⎫85 13，行星绕恒星做匀速圆周运动过程中，根据万有引力提供向心力得：G M ′M r 2＝M 4π2r T 2，解得：M ′＝4π2r 3GT 2，轨道半径相等，行星开普勒－452b 绕恒星公转周期为385天，地球的公转周期为365天，则M 恒M 太＝T 2地T 2行＝⎝⎛⎭⎫3653852，故A 正确．13．位于贵州的“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜(FAST)。

通过FAST 测得水星与太阳的视角为θ(水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角)，如图5所示。

若最大视角的正弦值为k ，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为( )图5 A.3k 2年 B.1k 3年 C.k 3年 D.（k 1－k 2）3年【答案】C【解析】由题意可知，当观察者和水星的连线与水星的轨道相切时，水星与太阳的视角最大，由三角函数可得sin θ＝r 水r 地＝k ，又由万有引力提供向心力有G Mm 水r 2水＝m 水4π2T 2水r 水，G Mm 地r 2地＝m 地4π2T 2地r 地，联立以上各式可解得T 水＝k 3年(或由r 3水T 2水＝r 3地T 2地可得T 水＝k 3年)，C 正确。