05-第二章一元回归模型1
计量经济学第2章 一元线性回归模型
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~ ~ • 因为 2是β2的线性无偏估计，因此根据线性性， 2 ~ 可以写成下列形式： 2 CiYi
• 其中αi是线性组合的系数，为确定性的数值。则有
E ( 2 ) E[ Ci ( 1 2 X i ui )]
E[ 1 Ci 2 Ci X i Ci ui ]
6
ˆ ˆ X )2 ] ˆ , ˆ ) [ (Yi Q( 1 2 i 1 2 ˆ ˆ X 2 Yi 1 2 i ˆ ˆ 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [ ( Y X ) ] 1 2 i Q( 1 , 2 ) i ˆ ˆ X X 2 Yi 1 2 i i ˆ ˆ 2 2
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~
i
i
• 因此 ~ 2 CiYi 1 Ci 2 Ci X i Ci ui 2 Ci ui
• 再计算方差Var( ) 2 ，得 ~ ~ ~ 2 ~ Var ( 2 ) E[ 2 E ( 2 )] E ( 2 2 ) 2
C E (ui )
2 i 2 i
i
~
i
i
i
i
E ( 2 Ci ui 2 ) 2 E ( Ci ui ) 2
i
2 u
C
i
2 i
i
~ ˆ)的大小，可以对上述表达式做一 • 为了比较Var( ) 和 Var( 2 2
些处理： ~ 2 2 2 2 Var ( 2 ) u C ( C b b ) i u i i i
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• 2.几个常用的结果
• （1） • （2） • （3） • （4）
计量经济学 第二章 一元线性回归模型
第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定2.1.1一元线性回归模型有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。
所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。
它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即1tty x β∂=∂220tt y x β∂=∂另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略， （2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。
计量经济学第二章 一元线性回归模型(1)(肖)
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2．在经济学中，经济学家要研究个人
消费支出与个人可支配收入的依赖关系。
这种分析有助于估计边际消费倾向，就是
可支配收入每增加一元引起消费支出的平
均变化。
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3．在企业中，我们很想知道人们对企
业产品的需求与广告费开支的关系。这种
研究有助于估计出相对于广告费支出的需
求弹性，即广告费支出每变化百分之一的
（2.3）
想想：结合表2.1的资料 ，怎样理解式（2.3）
变量Y 的原因， 给定变量X 的值也不能具
体确定变量Y的值， 而只能确定变量Y 的
统计特征，通常称变量X 与Y 之间的这种
关系为统计关系。
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例如，企业总产出Y 与企业的资本投入
K 、劳动力投入L 之间的关系就是统计关 系。虽然资本K 和劳动力L 是影响产出Y 的两大核心要素，但是给定K 、L 的值并 不能确定产出Y 的值。因为，总产出Y 除 了受资本投入K、劳动力投入L 的影响外
在进入正式的回归理论之前，先斟酌一下变量y与变 量x可以互换的不同名称、术语。 Y 因变量 X 自变量
被解释变量 响应变量
被预测变量
解释变量 控制变量
预测变量
回归子
归回元
22
第二节
一、引例
一元线性回归模型
假定我们要研究一个局部区域的居 民消费问题，该区域共有80户家庭组成 ，将这80户家庭视为一个统计总体。
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函数f (Xi)采取什么函数形式，是一个
需要解决的重要问题。在实际经济系统
中，我们不会得到总体的全部数据，因
而就无法据已知数据确定总体回归函数 的函数形式。同时，对总体回归函数的 形式只能据经济理论与经验去推断。
第二章 一元线性回归模型(本科生计量经济学)
即：正规方程组揭示的是残差的性质。
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普通最小二乘估计有关 的其他性质（课后习题）
Y Y
^
e Y e y
i ^ i
^
i
0 0
27
i
2、由普通最小二乘估计系数的性质可证
得普通最小二乘估计与参数的关系如下：
1 1 k i u i
^
0 0 wi ui
（ 1） （ 2）
（ 1）
0 Y 1 X
^
^
Y
1 n
Y , X X
i 1 i 1 n i 1
n
n
i
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参数的普通最小二乘估计量
ˆ ˆ X )0 (Yi 0 1 i ˆ ˆ X )X 0 ( Y i 0 1 i i
^
33
三、一元线性回归模型参数的最大似 然法(Maximum Likehood,ML)估计
• 基本原理：似然原理
• 一元线性回归模型ML使用的条件：已知随机扰动 项的分布。
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Y1 , Y2 ,...,Yn
1 f (Yi ) e 2
1 2
1 2
2
Yi ~ N (0 1 X i , 2 )
w 1
i
22
普通最小二乘估计的例
年份
1991 1992 1993 1994
ED(X)
708 793 958 1278
FI(Y)
3149 3483 4349 5218
ed(x)
-551 -466 -301 19
fi(y)
-2351 -2017 -1151 -282
第二章 一元线性回归
n ei 0 i 1 n xe 0 i i i 1
经整理后,得正规方程组
n n ˆ ˆ n ( x ) 0 i 1 yi i 1 i 1 n n n ( x ) ˆ ( x 2 ) ˆ xy i 0 i 1 i i i 1 i 1 i 1
y ˆ i 0 1xi ˆi 之间残差的平方和最小。 使观测值 y i 和拟合值 y
ei y i y ˆi
n
称为yi的残差
ˆ , ˆ ) ˆ ˆ x )2 Q( ( y i 0 1i 0 1
i 1
min ( yi 0 1 xi ) 2
i
xi x
2 ( x x ) i i 1 n
yi
2 .3 最小二乘估计的性质
二、无偏性
ˆ ) E ( 1
i 1 n
n
xi x
2 ( x x ) j j 1 n
其中用到
E ( yi )
( x x) 0 (xi x) xi (xi x)2
二、用统计软件计算
1．例2.1 用Excel软件计算
什么是P 值?(P-value)
• P 值即显著性概率值 ，Significence Probability Value
•
是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端情况 出现的概率。
P值与t值： P t t值 P值
•
它是用此样本拒绝原假设所犯弃真错误的真实概率，被 称为观察到的(或实测的)显著性水平。P值也可以理解为 在零假设正确的情况下，利用观测数据得到与零假设相 一致的结果的概率。
2 .1 一元线性回归模型
第二章 一元线性回归模型 知识点
第二章一元线性回归模型一、知识点列表二、关键词1、回归分析基本概念关键词：回归分析在计量经济学中，回归分析方法是研究某一变量关于另一（些）变量间数量依赖关系的一种方法，即通过后者观测值或预设值来估计或预测前者的（总体）均值。
回归的主要作用是用来描述自变量与因变量之间的数量关系，还能够基于自变量的取值变化对因变量的取值变化进行预测，也能够用来揭示自变量与因变量之间的因果关系关键词：解释变量、被解释变量影响被解释变量的因素或因子记为解释变量，结果变量被称为被解释变量。
2、回归模型的设定关键词：随机误差项（随机干扰项）不包含在模型中的解释变量和其他一些随机因素对被解释变量的总影响称为随机误差项。
产生随机误差项的原因主要有：（1）变量选择上的误差；（2）模型设定上的误差；（3）样本数据误差；（4）其他原因造成的误差。
关键词：残差项（residual ）通过样本数据对回归模型中参数估计后，得到样本回归模型。
通过样本回归模型计算得到的样本估计值与样本实际值之差，称为残差项。
也可以认为残差项是随机误差项的估计值。
3、一元线性回归模型中对随机干扰项的假设 关键词：线性回归模型经典假设线性回归模型经典假设有5个，分别为：（1）回归模型的正确设立；（2）解释变量是确定性变量，并能够从样本中重复抽样取得；（3）解释变量的抽取随着样本容量的无限增加，其样本方差趋于非零有限常数；（4）给定被解释变量，随机误差项具有零均值，同方差和无序列相关性。
（5）随机误差项服从零均值、同方差的正态分布。
前四个假设也称为高斯马尔科夫假设。
4、最小二乘估计量的统计性质关键词：普通最小二乘法（Ordinary Least Squares ，OLS ）普通最小二乘法是通过构造合适的样本回归函数，从而使得样本回归线上的点与真实的样本观测值点的“总体误差”最小，即：被解释变量的估计值与实际观测值之差的平方和最小。
ββ==---∑∑∑nn n222i i 01ii=111ˆˆmin =min ()=min ()i i i i u y y y x关键词：无偏性由于未知参数的估计量是一个随机变量，对于不同的样本有不同的估计量。
计量经济学第二章一元线性回归模型
回归分析概述 一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的检验 一元线性回归模型的预测 实例
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数（PRF） 三、随机扰动项 四、样本回归函数（SRF）
2020/3/6
LOU YONG
表 2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530
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LOU YONG
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• 该样本的散点图（scatter diagram)：
分i。
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LOU YONG
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上式称为总体回归函数（PRF）的随机 设定形式。表明被解释变量除了受解释 变量的系统性影响外，还受其他因素的 随机性影响。
由于方程中引入了随机项，成为计量经 济学模型，因此也称为总体回归模型。
2020/3/6
LOU YONG
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随机误差项主要包括下列因素 在解释变量中被忽略的因素的影响； 变量观测值的观测误差的影响； 模型关系的设定误差的影响； 其他随机因素的影响。
回归系数（regression coefficients）。
2020/3/6
LOU YONG
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三、随机扰动项
总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社 区家庭平均的消费支出水平。
但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平 均水平有偏差。
称为观察值围绕它的期望值的离差 （deviation），是一个不可观测的随机变量， 又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或 随机误差项（stochastic error）。
第2章一元线性回归模型
一元线性回归模型
回归分析是计量经济学的基础内容！
本章介绍一元线性回归模型，最小二乘估计方法及 其性质，参数估计的假设检验、预测等。
浙江财经大学 倪伟才
1
本章主要内容
2 .1 一元线性回归模型
2 .2 参数β0、β1的估计
2 .3 最小二乘估计的性质
2 .4 回归方程的显著性检验 2 .5 残差分析 2 .6 回归系数的区间估计
浙江财经大学 倪伟才 10
回归的术语
y的各种名称： 因变量(dependent variable)或被解释变量 (explained variable)或回归子(regressand)或内 生(endogenous)； X的各种名称： 自变量(independent variable)或解释变量 (explanatory variable)或回归元(regressor)或外 生(exogenous) U的各种名称： 随机误差项或随机扰动项(stochastic error term, random disturbance term ): 表示其它因素的影响，是不可观测的随机误差！
浙江财经大学 倪伟才
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2.1一元线性回归模型
由于两个变量y, x具有明显的线性关系，故考虑直 线方程y=0+1x（函数表达的是确定性关系，有缺 陷！） y=0+1x+u, 其中u表示除x外，影响y的其它一切 因素。 将y与x之间的关系用两部分来描述： a. 一部分0+1x ，由x的变化引起y变化； b.另一部分u ，除x外的其它一切因素引起y变化。 参数(parameters) 0 , 1 ; 0 称为回归常数(截距)（intercept, constant）， 1称为回归斜率(slope)
第二章一元线性回归模型1
第二章一元线性回归模型计量经济学在对经济现象建立经济计量模型时，大量地运用了回归分析这一统计技术，本章和下一章将通过一元线性回归模型、多元线性回归模型来介绍回归分析的基本思想。
第一节回归分析的几个基本问题回归分析是经济计量学的主要工具，下面我们将要讨论这一工具的性质。
一、回归分析的性质（一）回归释义回归一词最先由F •加尔顿（Francis Galt on ）提出。
加尔顿发现，虽然有一个趋势，父母高，儿女也高：父母矮，儿女也矮，但给定父母的身高，儿女辈的平均身高却趋向于或者“回归” 到全体人口的平均身高。
或者说，尽管父母双亲都异常高或异常矮，而儿女的身高则有走向人口总体平均身高的趋势（普遍回归规律）。
加尔顿的这一结论被他的朋友K •皮尔逊（Karl pearson）证实。
皮尔逊收集了一些家庭出身1000多名成员的身高记录，发现对于一个父亲高的群体，儿辈的平均身高低于他们父辈的身高，而对于一个父亲矮的群体，儿辈的平均身高则高于其父辈的身高。
这样就把高的和矮的儿辈一同“回归”到所有男子的平均身高，用加尔顿的话说，这是“回归到中等” 。
回归分析是用来研究一个变量（被解释变量Explained variable或因变量Dependent variable 与另一个或多个变量（解释变量Explanatory variable或自变量Independent variable之间的关系。
其用意在于通过后者（在重复抽样中）的已知或设定值去估计或预测前者的（总体）均值。
下面通过几个简单的例子，介绍一下回归的基本概念。
例子1.加尔顿的普遍回归规律。
加尔顿的兴趣在于发现为什么人口的身高分布有一种稳定性,我们关心的是，在给定父辈身高的条件下找出儿辈平均身高的变化。
也就是一旦知道了父辈的身高，怎样预测儿辈的平均身高。
为了弄清楚这一点，用图 1.1 表示如下图 1.1 对应于给定父亲身高的儿子身高的假想分布图 1.1 展示了对应于设定的父亲身高, 儿子在一个假想人口总体中的身高分布, 我们不难发现,对应于任一给定的父亲身高, 相对应都有着儿子身高的一个分布范围，同时随着父亲身高的增加，儿子的平均身高也增加，为了清楚起见，在1.1散点图中勾画了一条通过这些散点的直线，以表明儿子的平均身高是怎样随着父亲的身高增加而增加的。
第二章 一元线性回归模型
∂Q ˆ ˆ = −2∑ (Yi − β 0 − β1 X i ) = 0 ∂β ˆ0 ˆ ˆ ∂Q = −2∑ (Y − β − β X )X = 0 i 0 1 i i ˆ ∂β1
化简得： 化简得：
ˆ ˆ ∑ (Yi − β 0 − β1 X i ) = 0 ˆ ˆ ∑ (Yi − β 0 − β1 X i )X i = 0
2.总体回归方程（线）或回归函数 总体回归方程（ 总体回归方程 即对（ ）式两端取数学期望： 即对（2.8）式两端取数学期望：
E y i）= β 0 + β 1 x i （
（2.9）
（2.9）为总体回归方程。由于随机项的影响，所 ）为总体回归方程。由于随机项的影响， 有的点（ ）一般不在一条直线上； 有的点（x,y）一般不在一条直线上；但所有的点 （x,Ey）在一条直线上。总体回归线描述了 与y ）在一条直线上。总体回归线描述了x与 之间近似的线性关系。 之间近似的线性关系。
Yi = β X i + ui
需要估计， 这个模型只有一个参数 需要估计，其最 小二乘估计量的表达式为： 小二乘估计量的表达式为：
∑XY ˆ β= ∑X
i i 2 i
例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对 ：在上述家庭可支配收入-消费支出例中， 于所抽出的一组样本数据， 于所抽出的一组样本数据，参数估计的计算可通过下面 的表2.2.1进行。 进行。 的表 进行
二、一元线性回归模型 上述模型中， 为线性的， 上述模型中， 若f(Xi)为线性的，这时的模型 为线性的 一元线性回归模型： 即为 一元线性回归模型：
yi = β 0 + β1 xi + ui 其中：yi为被解释变量，xi为解释变量，ui为随机误 差项，β 0、β1为回归系数。
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µ i = Yi − E (Y | X i )
• 例2.1.1中，给定收入水平 i ,个别家庭的支出 中 给定收入水平X 个别家庭的支出 可表示为两部分之和： 可表示为两部分之和：
– 该收入水平下所有家庭的平均消费支出 该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称 ， 为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部 系统性（ ） 确定性（ 部 分； – 其他随机或非确定性（nonsystematic)部分µi。 其他随机 非确定性（ 随机或 部分
1、条件均值（conditional mean） 条件均值
• 例2.1.1：一个假想的社区有 户家庭组成，欲 户家庭组成， ：一个假想的社区有99户家庭组成 研究该社区每月家庭消费支出 与每月家庭可 家庭消费支出Y与每月 研究该社区每月家庭消费支出 与每月家庭可 支配收入X的关系 的关系。 支配收入 的关系。 即如果知道了家庭的月收 入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水 平。 • 为达到此目的，将该99户家庭划分为组内收入 为达到此目的，将该 户家庭划分为组内收入 差不多的10组 差不多的 组，以分析每一收入组的家庭消费 支出。 支出。
共计
2420
21450 21285
15510
• 由于不确定因素的影响，对同一收入水平X， 由于不确定因素的影响，对同一收入水平 ， 不同家庭的消费支出不完全相同； 不同家庭的消费支出不完全相同； • 但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费 但由于调查的完备性，给定收入水平 的消费 支出Y的分布是确定的 即以X的给定值为条 的分布是确定的， 支出 的分布是确定的，即以 的给定值为条 件的Y的条件分布（ 件的 的条件分布（Conditional distribution） ） 是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。 是已知的，例如： ） 。 • 因此，给定收入X的值 ，可得消费支出 的 因此，给定收入 的值 的值Xi，可得消费支出Y的 条件均值（conditional mean）或条件期望 条件均值（ ） ）：E(Y|X=Xi)。 （conditional expectation）： ）： 。 • 该例中：E(Y | X=800)=605 该例中：
经典单方程计量经济学模型： 第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型 The Classical Single Equation Econometric Model: Simple Linear Regression Model
本章内容
• • • • • • 回归分析概述 一元线性回归模型的基本假设 一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的检验 一元线性回归模型的预测 实例及时间序列问题
E (Y | X i ) = β 0 + β 1 X i
是未知参数， 为线性函数。其中，β0，β1是未知参数，称为 线性函数。其中， 回归系数（ 回归系数（regression coefficients）。 ）。
三、随机扰动项 Stochastic Disturbance
• 总体回归函数说明在给定的收入水平 i下，该 总体回归函数说明在给定的收入水平X 社区家庭平均的消费支出水平。 社区家庭平均的消费支出水平。 • 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平 但对某一个别的家庭， 均水平有偏差。 均水平有偏差。 • 称为观察值围绕它的期望值的离差 称为观察值围绕它的期望值的离差 ），是一个不可观测的随机变量 （deviation），是一个不可观测的随机变量， ），是一个不可观测的随机变量， 随机干扰项（ 又称为随机干扰项 又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或 ） 随机误差项（ 随机误差项（stochastic error）。 ）。
– 根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得 根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计， 回归方程； 回归方程； – 对回归方程、参数估计值进行显著性检验； 对回归方程、参数估计值进行显著性检验； – 利用回归方程进行分析、评价及预测。 利用回归方程进行分析、评价及预测。
二、总体回归函数 Population Regression Function, PRF
• 称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表 称为总体回归函数 总体回归函数（ ）的随机设定形式。 明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外， 明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外， 还受其他因素的随机性影响。 还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了 随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体 随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体 回归模型(PRM)。 回归模型 。
–被解释变量（Explained Variable）或应变量 被解释变量（ 被解释变量 ） （Dependent Variable）。 ）。 –解释变量（Explanatory Variable）或自变量 解释变量（ 解释变量 ） （Independent Variable）。 ）。
• 回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主 回归分析构成计量经济学的方法论基础， 要内容包括： 要内容包括：
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析 对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlation 统计依赖关系的考察主要是通过相关分析 analysis)或回归分析 来完成的： 或回归分析(regression analysis)来完成的： 来完成的
线性相关 统计依赖关系
正相关 不相关
2、总体回归函数
• 在给定解释变量 i条件下被解释变量 i的期望 在给定解释变量X 条件下被解释变量Y 轨迹称为总体回归线 总体回归线（ 轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线 ），或更一般地称为 ），或更一般地称为总体回归曲线 （population regression curve）。 ）。 • 相应的函数称为（双变量）总体回归函数 相应的函数称为（双变量） （population regression function, PRF）。 ）。
圆面积 = f (π , 半径 ) = π ⋅ 半径
2
• 统计依赖或相关关系：研究的是非确定性现象 统计依赖或相关关系： 随机变量间的关系。 随机变量间的关系。
农作物产量 = f (气温, 降雨量, 阳光, 施肥量)
• 对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关 对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关 统计依赖关系的考察主要是通过 分析(correlation analysis)或回归分析 分析 或 (regression analysis)来完成的。 来完成的。 来完成的 • 相关分析适用于所有统计关系。 相关分析适用于所有统计关系。 适用于所有统计关系
• 描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平 描出散点图发现：随着收入的增加，消费“ 均地说”也在增加， 均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一 的条件均值均落在一 根正斜率的直线上。 根正斜率的直线上。
3500 每 月 消 费 支 出 Y （元） 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入X（元）
• 注意： 注意：
–不存在线性相关并不意味着不相关。 不存在线性相关并不意味着不相关。 不存在线性相关并不意味着不相关 –存在相关关系并不一定存在因果关系。 存在相关关系并不一定存在因果关系。 存在相关关系并不一定存在因果关系 – 相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量 相关分析对称地对待任何（两个）变量， 对称地对待任何 都被看作是随机的。 都被看作是随机的。 – 回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分 回归分析对变量的处理方法存在不对称性， 对变量的处理方法存在不对称性 应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）， ），前 应变量（被解释变量）和自变量（解释变量），前 者是随机变量，后者不一定是。 者是随机变量，后者不一定是。
相关系数： 有因果关系 无因果关系 回归分析 相关分析
负相关 − 1 ≤ ρ XY ≤ 1 正相关 非线性相关 不相关 负相关
2、回归分析的基本概念
• 回归分析(regression analysis)是研究一个变量 回归分析( ) 关于另一个（ 关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算 方法和理论。 方法和理论。 • 其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计 其目的在于通过后者的已知或设定值， 在于通过后者的已知或设定值 预测前者的（总体）均值。 和（或）预测前者的（总体）均值。 • 两类变量； 两类变量；
• 随机误差项主要包括下列因素： 随机误差项主要包括下列因素：
–在解释变量中被忽略的因素的影响； 在解释变量中被忽略的因素的影响； 在解释变量中被忽略的因素的影响
• 影响不显著的因素 • 未知的影响因素 • 无法获得数据的因素
–变量观测值的观测误差的影响； 变量观测值的观测误差的影响； 变量观测值的观测误差的影响 –模型关系的设定误差的影响； 模型关系的设定误差的影响； 模型关系的设定误差的影响 –其它随机因素的影响。 其它随机因素的影响。 其它随机因素的影响
– – – – 相关系数(correlation coefficient) 相关系数 正相关(positive correlation) 正相关 负相关(negative correlation) 负相关 不相关(non-correlation) 不相关
• 回归分析仅对存在因果关系而言。 回归分析仅对存在因果关系而言。 仅存在因果关系而言
E(Y | X i ) = f ( X i )
• 含义：回归函数（PRF）说明被解释变量 的 含义：回归函数（ ）说明被解释变量Y的 平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化 平均状态（总体条件期望）随解释变量 变化 的规律。 的规律。 • 函数形式：可以是线性或非线性的。 函数形式：可以是线性或非线性的。 • 例2.1.1中，将居民消费支出看成是其可支配收 中 入的线性函数时: 入的线性函数时: