函数 2
函数的奇偶性2
变式：已知偶函数 y f ( x) 在定义域为（-2，2） 1 且在[0,2）上单调递减，求满足 f ( x 1) f ( ) 3 的x的集合. f ( x 1) ＜ f (3 2 x) 呢？
例2：已知 f ( x)是R上的偶函数，当 x 0 2 时，f ( x) x 2x，求 f ( x) 的解析式。
B．增函数且最大值为-5
D．减函数且最大值为-5 ；
2
f ( x) 在[0，5]上单调递增，则 f ( 2), f (3), f ( )
f ( 2 )＜ f ( 2 ) ＜ f (3)
(可通过举反例的方式否定函数具有奇偶性.)
用定义判断函数 f ( x) 是否具有奇 2 x 2 偶性?
1 x
2
复习巩固
1．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数，又
是增函数的是（ C ）
y x C． y x B． y 2x 1 y x3 D． A．
1、当____时一次函数f(x)=ax+b是奇函数
例3 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在 (,0] 上是增函数，f(-2)=0，求不等式 x f ( x) 0 的解集.
练习 1．若奇函数在区间[3,7]上是增函数, 且最小值为5, 那么 在区间[-7, -3]上是( B )
A．增函数且最小值为-5
C．减函数且最小值为-5 2．偶函数 从小到大排列的顺序是
f(7)的值。 设g(x)＝ax3＋bx＋5，已知g(－7)＝－ 17,求g(7)的值。
27
3、已知函数的右半部分图象，根据下列条件把 函数图象补充完整； 1) f(x)是偶函数; 2) f(x)是奇函数. y y
2
2
函数的极限 (2)
x0−δ< <x0, 有|f(x)−A|<ε。. −δ<x< − ε
x→x0
： < − ε lim+ f (x) = A⇔∀ε >0,, ∃δ >0,, ∀x： x0<x<x0+δ , 有|f(x)−A|<ε .
x→x0
lim f (x) = A⇔ lim− f (x) = A 且 lim+ f ( x) = A
x →∞
y A+ε y=f (x)
11
A
.
A−ε
.
−X
O
X
x
例6. 证明 .
1 lim = 0 x →∞ x
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1 1 分析: 分析: | f ( x) − A|=| − 0|= x | x|
∀ε >0, 要使 , 要使|f(x)−A|<ε , 只要 | x |> − <ε 证明: 因为∀ 证明: 因为∀ε >0, ∃ ,
6
有| f(x)−A| −
x 2 −1 =| − 2| x −1
=|x−1|<ε , − <
x 2 −1 所以 lim =2 x →1 x −1
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单侧极限： 若当x→x0− 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
, , . .
1
ε
x →∞
形的水平渐近线 。
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二、函数极限的性质
定理1(函数极限的唯一性 定理 函数极限的唯一性) 函数极限的唯一性 如果极限 lim f (x) 存在, 那么这极限唯一. 存在, 那么这极限唯一.
2022数学第二章函数2
2.8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点(1）函数零点的定义对于函数y=f（x)(x∈D),把使成立的实数x叫做函数y=f（x)（x∈D)的零点。
(2）与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x）的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.（3）函数零点的判定（零点存在性定理）2。
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系图象3.二分法函数y=f（x)的图象在区间［a,b]上连续不断，且，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1.若y=f（x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断，且有f(a)f （b）<0,则函数y=f（x)一定有零点.2。
f（a)f(b）<0是y=f（x）在闭区间［a，b]上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x）在［a，b］上是单调函数,且f(x）的图象连续不断,则f（a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b］上有且只有一个零点。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√",错误的画“×”。
(1）函数f（x）=x2—1的零点是（—1,0）和(1，0).(）(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在b2—4ac〈0时没有零点。
() (3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值。
()（4）已知函数f（x）在(a,b）内图象连续且单调，若f（a）f（b)〈0,则函数f（x）在[a，b］上有且只有一个零点.（)（5)函数y=2sin x—1的零点有无数多个.() 2。
(2020云南玉溪一中二模)函数f(x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A。
(—2，—1)B.（—1，0)C。
（0,1）D。
（1，2)3.（2020山东济南二模,2）函数f（x)=x3+x—4的零点所在的区间为()A.（—1，0）B.(0,1）C。
函数2
7
如何书写呢？
函数的关系式是等式.
那么函数解析式的书写有没有要求呢？
通常等式的右边是含有自变量的代数 式,左边的一个字母表示函数.
根据所给的条件,写出y与x的函数关系式：
矩形的周长是18cm,它的长是y cm,宽是x cm.
8
1.下列各式中，ｘ是自变量，请判断ｙ是不是ｘ的
函数？若是，求出自变量的取值范围。
（1）y=2x+4 1 y （ 3） x 2
（2）y=－2x2
（ 4） y
x 3
如果当x=a时， y=b，那么b叫做 当自变量的值为a 时的函数值
解：（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10 （2）当x=3时，y=－2x2=－2×32=－18 （3）当x=3时， y
1 1 1 x 2 32
小露牛角
• 完成P26，练习1
当堂检测
1、 求下列函数中自变量x的取值范围 (1)y= (2)
(3)y =-
1、（凉山·中考）函数 是（ ）
的自变量x的取值范围
A.x≥﹣2且x≠2
C.x≠±2
B.x＞﹣2且x≠2
D.全体实数
x 2 0 【解析】 选B.由题意知， 2 解得 x 4 0
由于池中共有300 m3每时排25 m3全部排完 只需300÷25=12（h），故自变量T的取值范 围是0≤t≤12
（3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多 少水？ 当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3）， 即第5h末池中还有水175 m3
（4）当游泳池中还剩150 m3已经排水多少时？ 当Q=150时，由150=-25 t +300，得t =6， 即第6 h末池中有水150m3
函数的连续与间断2
f ( x) f ( x0 )
x x0
0≤|xx0|
|xx0|
(定义1) …… lim f ( x ) f ( x0 ), ……
x x0
lim f ( x) A :
0 0 当0|xx0| 时 | f(x)
A
第一章
第七节
函数的连续与间断 函数在一点连续
区间上的连续函数
函数的间断点
间断点的分类
复习
函数f(x)当x x0时的极限
（ f(x)在x0 的某去心邻域有定义）
lim f ( x ) = A 是指: x x
0
1. (通俗说法) 当x无限趋近于x0 时 函数f(x) 的值无限趋近于常数A 2. (-定义) 0 0 当0|xx0|时 |f(x)A| .
( 2) lim f ( x ) 不存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x0 ).
x x0
则称 x0为f ( x )的 间断点.
(回到引例)
x x0
从三处破坏 lim f ( x) f ( x0 )
气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：
y
f(x0)
x0为f ( x)的间断点
其图象“连绵不断”，可一笔画 成 在x0处：点(x0,f(x0))两侧“粘连” 着 y
A
O
x0
24
x
气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：
y
f(x0) y
A
A
O
x0
24
x
O
x0
24
x
（在x0处无定义）
y
y
y
A
2的原函数
2的原函数2的原函数指的是函数f(x)=2的不定积分。
在学习微积分时，了解函数的原函数是至关重要的。
在这篇文章中，我们将深入探讨2的原函数及其相关概念。
1. 什么是不定积分？首先，我们需要了解什么是不定积分。
不定积分是一类基本的积分，表示原函数的形式，其中原函数是一个函数在特定区间内的反导数。
因此，对于一个函数f(x)，它的不定积分被写作∫f(x)dx + C，其中C是不定常数，可以为任何值。
2. 2的不定积分那么对于函数f(x)=2，它的不定积分就是∫2dx + C，其中C是一个任意常数。
在这里，我们不必使用积分公式，因为2是常数，我们可以使用常数积分规则得出结果。
根据常数积分规则，如果f(x)=k，则∫f(x)dx = kx + C。
所以，对于f(x)=2，我们可以得到其不定积分为∫2dx = 2x + C，其中C是一个任意常数。
3. 2的原函数又是什么？2的原函数是指满足f(x)的不定积分为2x + C的函数，其中C是任意常数。
在这里，我们可以将2x + C称为2的原函数，因为只有这个函数的不定积分为2。
4. 如何证明2x + C是2的原函数？为了证明2x + C是2的原函数，我们必须证明它的导数为2。
使用求导公式，可得到：d/dx(2x + C) = 2因此，我们可以认为2x + C是2的原函数。
5. 都有哪些常见的原函数？除了2的原函数，还有许多常见的原函数，例如：- sin(x)的原函数为-cos(x) + C- cos(x)的原函数为sin(x) + C- x^n的原函数为x^(n+1)/(n+1) + C (其中n≠-1)- e^x的原函数为e^x + C6. 总结总之，不定积分是定义函数的基本工具之一。
2的原函数是指在不定积分意义下能够得到值为2常数的那个函数。
如何求出一个函数的原函数，需要使用积分公式或常数积分规则等数种方法。
在学习微积分时，了解这些知识将有助于更深入地理解函数的性质。
结果为2的高级函数
结果为2的高级函数高级函数是编程中常用的概念，它可以返回一个函数作为结果。
在本文中，我们将讨论一类特殊的高级函数，即以结果为2的高级函数。
我们需要明确什么是高级函数。
在编程中，函数是一段可重复使用的代码块，它接受输入并产生输出。
而高级函数则更进一步，它可以接受一个或多个函数作为输入，并返回一个函数作为输出。
这种函数可以称为高级函数，也被称为函数的函数。
那么，什么是以结果为2的高级函数呢？以结果为2的高级函数是指返回结果为2的函数。
换句话说，无论输入是什么，这个函数的输出始终为2。
这样的函数可能看起来毫无意义，但在某些情况下却非常有用。
让我们来看一个简单的例子。
假设我们有一个高级函数，它接受一个函数作为输入，并返回一个新的函数，这个新的函数将输入函数的结果乘以2再返回。
那么无论我们输入什么函数，输出都将是2的倍数。
def multiply_by_2(func):def wrapper(x):return 2 * func(x)return wrapper现在，我们来测试一下这个高级函数。
我们定义一个简单的函数，将输入的数字加1，并用multiply_by_2函数进行包装。
然后，我们输入一个数字，看看最终得到的结果是不是2的倍数。
def add_one(x):return x + 1result_func = multiply_by_2(add_one)result = result_func(3)print(result)在上述代码中，我们输入的数字是3，add_one函数将其加1后返回4。
然后，multiply_by_2函数将4乘以2得到8，并返回最终的结果。
因此，输出结果将是8。
这个例子展示了以结果为2的高级函数的一个简单应用。
尽管这个例子可能不太实用，但它帮助我们理解了高级函数的概念。
接下来，让我们来看一个更实际的例子。
假设我们有一个高级函数，它接受一个函数作为输入，并返回一个新的函数，这个新的函数将输入函数的结果除以2再返回。
高中数学第二章函数
2.1。
1 函数-2.1。
2 函数的表示方法自主整理1。
函数的概念设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数值y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y=f（x)，x∈A.其中，x叫做自变量，自变量的取值范围A叫做函数的定义域；如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称作函数在a处的函数值，记作y=f（a)或y｜x=a.所有函数值构成的集合｛y｜y=f（x）,x∈A}叫做函数的值域。
2。
两个函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。
3.区间(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点的线段来表示（如下表）。
用实心点表示端点包括在区间内，用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x｜a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x|a〈x<b｝开区间(a，b）｛x|a≤x〈b} 半开半闭区间［a，b){x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b］(2）无穷区间的概念：关于-∞,+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，它的定义和符号如下表：{x｜x≥a｝[a，+∞）｛x|x>a｝(a,+∞)｛x|x≤a}(-∞，a］{x｜x〈a} （-∞，a)R (—∞，+∞)取遍数轴上所有值4.映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对A内任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x 对应，则称f是集合A到集合B的映射。
这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x).于是y=f（x）,x称作y的原象,映射f也可记为f:A→B，x→f （x）。
其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f（x）构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A). 5。
常用的函数表示法（1)列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法；（2）图象法:就是用函数图象来表达函数关系；(3）解析法:如果在函数y=f（x)（x∈A)中,f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法(也称公式法）.6。
高一数学函数的奇偶性2
（3） f ( x) x
2
( x [3,1])
定义域是否关于 原点对称
（ 4） f ( x ) 2 x 1
解：（3） 当x 2时,由于2 [3,1]
故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由 于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。 （4） 因为f ( x) 2 x 1, f ( x) f ( x)且
例4、已知函数f(x)为奇函数，定义域
为R,且X≥0时，f(x)= 求函数f(x)的解析式。
x 2x
2
小结：
•奇偶性的概念 •判断奇偶性时要注意的 问题
作业：
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=3x (3) f(x)=6x2 (5) f(x)=2x+2a
2
(2) f ( x) 2 | x | 3
f ( x) f ( x) 故函数没有奇偶性。
思考：
在刚才的几个函数中有的是奇函数 不是偶函数，有的是偶函数不是奇 函数，也有既不是奇函数也不是偶 函数的。那么有没有这样的函数， 它既是奇函数又是偶函数呢？
f(x)=0
是不是具备这样性质的函数解析 式只能写成这样呢？
例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶 函数。求证：f(x)=0
(4) f(x)=6x3-1 (6) f(x)=0 (-2<x<2)
0
(7) f ( x) 4 x (2 x)
判断方法:
f x f x 1.定义式: 2.等价形式: f x f x 0
f x 1 f x 0 f x
2022数学第二章函数2
2。
4幂函数与二次函数必备知识预案自诊知识梳理1。
幂函数（1)幂函数的定义:形如（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是,α是。
(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质2。
二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：；顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.（2)二次函数的图象和性质1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论:（1)恒过点（1,1）；（2）当x∈(0,1）时,α越大，函数值越小；当x∈(1,+∞）时,α越大，函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在区间[m,n]（m<n)上的单调性与值域时,分类讨论-b2a与m或n 的大小。
3.设f(x）=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=m，当a〉0时,若｜x1-m|〉|x2-m|，则f(x1）〉f（x2);当a〈0时，若｜x1-m｜>|x2—m|,则f（x1）<f(x2). 4。
一元二次方程f（x)=x2+px+q=0的实根分布：(1)方程f（x）=0在区间(m，+∞）内有根的充要条件为f(m)<0或{p2-4q≥0,-p2>m;考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=-x2与y=2x12都是幂函数.（）(2）幂函数的图象经过第四象限,当α〉0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数.(）(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-b2a 时,y取得最小值4ac-b24a。
（)（4)幂函数的图象不经过第四象限。
(）(5）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒为负的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.(）2.如图是①y=x a;②y=x b；③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为(）A.a>b〉cB.a<b<cC。
b<c〈aD.a<c〈b3.（2020湖北荆州质检)若对任意x∈[a，a+2］均有(3x+a）3≤8x3,则实数a的取值范围是（)A。
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C语言程序设计实验报告
1实验目的
（1）掌握函数的定义方法，调用方法，参数说明以及返回值；
（2）掌握实参与形参的对应关系，以及参数之间的值传递的方式
（3）掌握函数的嵌套调用及地柜调用的设计方法；
（4）在编程过程中加深理解函数调用的程序设计思想。
2实验内容
编写函数 mulNum(int a,int b),它的功能是用来确定a和b是否是整数
倍的关系。
如果a是b的整数倍，则函数返回值为1，否则函数返回值为0。
要求：
①在主函数中从键盘输入一对整型数据a和b;
②调用函数后，根据返回值对a和b的关系进行说明。
例如，在主函数中输
入：10，5，则输出“10 is a multiple of 5”；
③分别输入下面几组数据进行函数的正确性测试：1与5，5与5，6与2，6
与4，20与4，37与9。
3算法描述流程图
4源程序
#include <stdio.h>
int mulNum(int a,int b) /* 定义函数确定两个数是否有整数倍关系*/ {
if (a%b==0) /* 判断出a是b的整数*/
return 1;
else /* 判断出a不是b的整数*/
return 0; }
void main () {
int m,n;
printf ("please input tow integers:\n");
scanf ("%d%d",&m,&n); /*从键盘输入两个数的值 */ if(mulNum(m,n)==1) / *用定义的函数判断两数的关系*/ printf("%d is a multiple of %d\n",m,n);
else
printf("%d is not a multiple of %d\n",m,n); }
5测试数据
1,5. 5,5. 6,2. 6,4. 20,4. 37,9 .
6运行结果
1,5
5,5.
6,2.
6,4
20,4.
37,9.
7出现问题及解决方法
在实验中把if(mulNum(m,n)==1) 中等于号打错了。
导致结果不正确.
8实验心得
在操作的过程中深刻地体会到函数调用的便捷。
通过对循环和条件选择的使用，我亲自感受并实践了程序设计的思想，同时对C程序设计也有了总体的认识。