61A知识讲解_函数的极值与最值_基础
A知识讲解_函数的极值与最值_基础
导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。
2. 会用导数求函数的极大值、极小值。
3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。
4. 掌握函数极值与最值的简单应用。
【要点梳理】 要点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
函数的极值与最值
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7
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
证: (1)
f
(
x0
)
lim
xx0
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x x0
f (x) x x0
由 f (x0) 0知, 存在 0,当0 x x0 时,
当
f (x) f (x0)
充分接近 o((时x ,
x上f0)(式nx)0左)(x端正x0负) 号由右f 端(nn) (第!x0一) (x项确x0定)n
,
故结论正确 .
2019年12月20日5时33分
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例2. 求函数
解: 1) 求导数
f (x) 6x (x2 1)2,
的极值 .
f (x) 6(x2 1)(5x2 1)
2) 求驻点
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 0, x3 1
3) 判别
因 f (0) 6 0, 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0, 故需用第一判别法判别.
故当 x0 x x0 时，f (x) 0;
当x0 x x0 时，f
由第一判别法知 f (x)在
(x) 0, x0 取极大值.
x0
x0 x0
(2) 类似可证 .
2019年12月20日5时33分
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经济学专业数学函数的极值与最大值、最小值配套课件
说明：
由定理 1 可知： 1、 可导函数的极值点必为驻点。 2、 函数的驻点（Stagnation Point）不一定为极值 点. 3、 驻点和导数不存在的点是函数可能的极值 点。
下面给出判断极值点的两种不同方法.
2017年4月14日星期五
4
3.第一充分条件
（The First Sufficient Condition）
2017年4月14日星期五 10
4.第二充分条件
（The Second Sufficient Condition
定理 3（第二充分条件） 设函数 f ( x) 在点 x0 处具有 二阶导数，并且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0 ．则
（1）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极大值；
（2）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极小值；
注 1：本定理可利用极限的保号性加以证明；
注 2：当 f ( x0 ) 0 时，本定理失效！
例如，函数 f ( x) x3 时，本定理失效！
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解题步骤：
（1）求出 f ( x), 并求出 f ( x) 全部驻点；
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3 2 例 4 求函数 y x x 6 x 2 在闭区间 [2, 1] 的最 2 大值与最小值.
3
函数的导数为 y 3x2 3x 6 3( x 2)( x 1) ， 令 y 0 ， 在 闭 区 间 [2, 1] 内 ， 函 数 的 驻 点 为 ： x1 1 ，函数无不可导点 . 3 3 当 x 2 时， y (2) (2) 2 6 (2) 2 4; 2 3 3 3 2 当 x 1 时， y (1) (1) 6 (1) 2 ; 2 2
函数的极值与最值——知识梳理
\g
( - x ) +g
(x)
=
2x+1 +
2x +1
sin
x
2 -1+
1+ 2x
- sin
x
-1 =
0
思思老师
\g(-x) = -g(x)
\ g ( x) 为奇函数，函数图像关于原点对称.
\函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最大值记为 a,(a>0),则函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最小
f (2) 4
4 16
类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用
例 5. （ 2016 全 国 新 课 标 Ⅱ ） ( Ⅰ ) 讨 论 函 数 f (x) = x - 2 ex 的 单 调 性 ， 并 证 明 当 x > 0 时 ， x+2
(x - 2)ex + x + 2 > 0 ；
(Ⅱ)证明：当
f
(x)
=1+
2x+1 2x +1
+ sin
x
在区间 [-k, k ]( k
>
0)
上的值域为 [m, n]
，则
m+n=
.
【答案】4
【解析】记 g ( x)
=
f
(x)-2 =
2x+1 + sin x -1
2x +1
\
g
(-x)
=
2- x+1 2-x +1
+
sin
(-x)
-1
2 = 1+ 2x - sin x -1
高中数学《函数的极值》知识点讲解及重点练习
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二 函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．1．导数为0的点一定是极值点．( × )2．函数的极大值一定大于极小值．( × )3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( × )4．函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( √ )一、求函数的极值例1 求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－1时，函数y ＝f (x )有极大值，且f (－1)＝10；当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22.(2) f (x )＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．跟踪训练1 (1)求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f ′(x )－0＋0－f (x )↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.(2)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋1，a ∈R .求此函数的极值．解 函数的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝1－ax 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时函数f (x )在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－a )－a (－a ，0)(0，a )a (a ，＋∞)f ′(x )＋0－－0＋f (x )↗极大值↘↘极小值↗由上表可知，当x ＝－a 时，函数取得极大值f (－a )＝－2a ＋1.当x ＝a 时，函数取得极小值f (a )＝2a ＋1.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝－a 处取得极大值－2a ＋1，在x ＝a 处取得极小值2a ＋1.二、由极值求参数的值或取值范围例2 (1)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________.答案 4 －11解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得Error!即Error!解得Error!或Error!但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以Error!不符合题意，应舍去．而当a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.(2)已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以Error!解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．反思感悟 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22处取得极值，则实数a 的值为( )A.2B.22C ．2 D.12答案 A解析 因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(22)＝0，即a －122＝0，解得a ＝2.(2)已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1.①若函数的极大值点是－1，求a 的值；②若函数f (x )有一正一负两个极值点，求a 的取值范围．解 ①f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得，f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值，故a ＝－3.②由题意得，方程x 2－2x ＋a ＝0有一正一负两个根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝a <0，故a 的取值范围是(－∞，0)．三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题例3 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23(23，4)4(4，＋∞)g ′(x )＋0－0＋g (x )↗极大值↘极小值↗则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由g (x )的图象与x 轴有三个不同的交点，得Error!解得－16<m <6827.∴实数m 的取值范围为(－16，6827).反思感悟 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．跟踪训练3 若函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.1．(多选)函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )A．在(1,2)上函数f(x)单调递增B．在(3,4)上函数f(x)单调递减C．在(1,3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点答案 ABC解析 由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当2＜x＜4时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当4＜x＜5时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)答案 AB解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.3．设函数f(x)＝x e x，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案 D解析 令f′(x)＝e x＋x·e x＝(1＋x)e x＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点．4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．答案 2解析 由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.列表如下：x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝2时，f (x )取得极小值．5．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＝___________，b ＝________.答案 2 －4解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知Error!即Error!解得Error!经验证知符合题意．1．知识清单：(1)函数极值的定义．(2)函数极值的判定及求法．(3)函数极值的应用．2．方法归纳：方程思想、分类讨论．3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．1．下列函数中存在极值的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝2D ．y ＝x 3答案 B解析 对于y ＝x －e x ，y ′＝1－e x ，令y ′＝0，得x ＝0.在区间(－∞，0)上，y ′>0；在区间(0，＋∞)上，y ′<0.故当x ＝0时，函数y ＝x －e x 取得极大值．2．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－e B ．－1C ．1－e D ．0答案 B解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.4．已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( )A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.5．(多选)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的值可以是( )A ．－4 B ．－3 C ．6 D ．8答案 AD解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.6．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．答案 －12解析 f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1；令f ′(x )>0，得－2<x <1.所以f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增，所以f (x )极小值 ＝f (－2)＝－12.7．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________.答案 －23解析 因为f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得Error!所以a ＝－23.8．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________.答案 －1 3解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由Error!解得Error!或Error!若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值；若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，当－3<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求．9.设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32(x >0)．由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3，无极大值．10．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值 ↗∴f(x)的极大值是f (－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f (－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )答案 C解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f ′(x )＜0；当x ＞－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )＞0.所以当x ＜－2时，y ＝xf ′(x )＞0；当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2＜x ＜0时，y ＝xf ′(x )＜0；当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0.结合选项中的图象知选C.12．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析 由题意知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为(－1，－1e )，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e.13．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．答案 [1,5)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根．又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足Error!∴Error!∴1≤a <5.14．若函数f (x )＝x 3－3ax ＋1在区间(0,1)内有极小值，则a 的取值范围为________．答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a .当a ≤0时，在区间 (0,1)上无极值．当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a 或x <－a .令f ′(x )<0，解得－a <x <a .若f (x )在(0,1)内有极小值，则0<a <1.15．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，且f (x )在x ＝x 0与x ＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于0答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .令f ′(x )＝0，则x 0和2是该方程的根．∴x 0＋2＝－2b 3a <0，即b a>0.由题图知，f ′(x )<0的解集为(x 0,2)，∴3a >0，则b >0，∵f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)>0.16．设函数f (x )＝x 33－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R .(1)若函数f (x )在x ＝3处取得极小值12，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若函数f (x )在(－1,1)上只有一个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ，所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝32.由f (3)＝13×27－52×9＋4×32×3＋b ＝12，解得b ＝－4.(2)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝2.当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)．(3)由题意可得Error!即Error!解得－12<a<12，所以实数a的取值范围是(－12，12).。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数是数学中的一种重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
在函数中，极值和最值是十分重要的概念，它们能够帮助我们找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的性质和特点。
本文将介绍函数的极值和最值的概念及其求解方法。
一、函数的极值在数学中，函数的极值是指函数在某个点上取得的最大值或最小值。
根据极值的概念，我们可以将其分为两种类型：极大值和极小值。
当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都大时，该点上的极值称为极大值；当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都小时，该点上的极值称为极小值。
为了找到函数的极值，我们可以通过求函数的导数来实现。
首先，我们需要求函数的导数，然后将导数为零的点找出来。
这些点就是函数可能存在极值的点。
接下来，我们可以通过求二阶导数来判断这些点是否是极值点，也就是通过判断导数的变化来确定函数的极值。
二、函数的最值函数的最值是指函数在某个区间或整个定义域上取得的最大值或最小值。
与极值相似，最值也可以分为最大值和最小值两种类型。
当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都大时，该函数值称为最大值；当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都小时，该函数值称为最小值。
要求解函数的最值，我们需要先找到函数的临界点和边界点。
临界点是指导数为零或导数不存在的点，而边界点是指函数定义域的端点。
然后，我们将这些点代入函数式中计算函数值，最后找到其中的最大值和最小值。
综上所述，函数的极值和最值是函数分析中的重要内容。
通过求导数和二阶导数，我们可以找到函数可能存在极值的点，并通过判断导数的变化来确定函数的极值。
而求解函数的最值则需要找到临界点和边界点，通过计算函数值来确定最大值和最小值。
这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
最后，需要提醒的是，在实际问题中，函数的极值和最值往往对应着一些有意义的物理量或经济量，通过求解函数的极值和最值，我们能够找到最优解或者最优方案，为实际问题的解决提供有力的理论基础。
函数的极值与最值知识点总结
函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。
本文将对函数的极值和最值进行详细总结。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。
1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。
极大值点和极小值点合称为极值点。
1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。
1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。
这是极值判定的充分条件。
2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。
2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。
但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。
2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。
首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。
从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。
3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。
3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。
首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。
当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。
计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。
第五节函数的极值与最值-8页精选文档
第五节 函数的极值与最值一、 函数极值1、 数极值概念定义4.1 如果在0x 的某邻域内，只要0x x ≠，总有①()()x f x f ≥0 称()0x f 为极大值②()()x f x f ≤0 称()0x f 为极小值注：①极值是局部概念，最值是整体概念②极值不能在端点取得，最值可能在端点取得。
2、函数极值的必要条件定理4①()x f在x处有极值②()xf'存在注：极值点可能在临界点处取得，即在驻点（使()0='xf的点）或函数的导数不存在的点（导函数中分母=0的点）3．取得极值的充分条件1）．充分条件I定理5设()x f在点0x的某邻域内连续且可导，（但()xf'可以不存在）（即对函数的所有临界点作出判断）例1 求()32)1()1(+-=x x x f 的单调区间和极值 解：())15()1)(1(2-+-='x x x x f例2 求()3223xxxf-=的单调区间和极值解：（临界点）2）．充分条件II定理6设()0='xf，()0xf''存在如果①()0>''xf()xf是极小值②()0<''xf()0x f是极大值③()0= ''xf例3 求()xxxf33-=的极值注：1）、求极值的一般过程①解方程()0='xf求出所有的根及导数不存在的点，即临界点②将所有的临界点从小到大排列划分函数()x f的定义域，列表，由判定定理写出结果③确定单调区间与极值2）、导数复杂，第②步困难时，可用()xf''来判断，但有时可能会失效。
二、最大值与最小值引入：问题1 最值存在的条件？问题2 如何求最值？极值点最值点不可导点求最值方法端点注：极值、最值的应用：()x f在[]b a,上单调①如果最值在端点取得极值点，则该极值就为最值。
很多求最值的实际问题就属此种类型。
函数的极值与最大值最小值
f (n) (x0 ) 0,
是极大点 .
2) 当 n为奇数时, 不是极值点 .
证 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0)
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
当 充分接近 o((时x ,x上0 )式n ) 左端正负号由右端第一项确定 ,
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节
第五节 函数的极值与最大值最小值
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值 三、最优化问题及其应用
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、函数的极值及其求法
第五节 函数的极值与最大值最小值
定义
在其中当
时,
(1)
则称 为 的 极大值点,
说明： 这里没有直接以 为自
变量，是为了使计算简便. 如果以
1 2
O r
hR O
为自变量建立目标函数，可能会更方便些.
最简便的方法是是以h 为自变量建立目标函数
V (R2 h2 )h, 0 h R.
5x 400
x2
(k
3) ,
为某常数 )
y 5k
400 (400 x2 )32
令
得
又
所以 x 15为唯一的
极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节 函数的极值与最大值最小值
第四节 函数的极值与最值(知识梳理)
第四节函数的极值与最值复习目标学法指导了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间;理解极大值、极小值的概念,能利用单调性探究极值与导数间的关系.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);掌握求函数在闭区间上的最大值、最小值的一般方法(其中多项式函数不超过三次). 1.熟练掌握极值、最值的概念是求极值、最值的基础.2.求函数极值时,尽可能列出自变量x变化时,导数f′(x)与函数f(x)的变化情况表,这样求解直观、不易出错.一、函数的极值与导数1.函数极小值的概念(1)函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小;(2)f′(a)=0;(3)在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0;则点x=a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.2.函数极大值的概念(1)函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大;(2)f′(b)=0;(3)在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0;则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值;极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极值.二、函数的最值与导数求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.1.概念理解(1)极值是一个局部性概念,反映的是函数在某个点附近的大小情况,并不意味它在函数的整个定义域内最大或最小;最值是一个整体性的概念,函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得出的.(2)函数的极值点一定出现在区间内部,区间的端点不能成为极值点;连续函数在某一个闭区间上的最值必在极值点或区间端点处取得.(3)函数的极值个数不确定,而函数在某一闭区间上,最大值和最小值是唯一的.2.与极值、最值有关的结论(1)可导函数极值点处的导数值为0(变号零点),而导数值为0的点不一定是极值点;(2)若函数f(x)有多个极值点,则极大值点和极小值点是交替出现的; (3)函数的极大值与极小值无确定大小关系; (4)极值点是函数单调增区间与单调减区间的分界点;(5)若函数f(x)在定义域内只有一个极值点,则极值点是函数的最值点;(6)三次函数有两个极值点的充要条件是其导函数有两个零点; (7)奇(偶)函数在x=x 0处取得极大值或最大值f(x 0),则在x=-x 0处取得极小值或最小值-f(x 0)(相同的极大值或最大值).1.函数y=2x-21x 的极大值为( A )(A)-1 (B)-2 (C)-3 (D)1 2.设函数f(x)=xe x ,则( D ) (A)x=1为f(x)的极大值点 (B)x=1为f(x)的极小值点 (C)x=-1为f(x)的极大值点 (D)x=-1为f(x)的极小值点解析:f ′(x)=e x +xe x =(1+x)e x ,令f ′(x)=0,解得x=-1,且当x<-1时,f ′(x)<0;当x>-1时,f ′(x)>0;函数f(x)=xe x 在x=-1处取得极小值,即x=-1是f(x)的极小值点.故选D.3.(2018·安徽六安月考)已知函数f(x)=-13x 3+bx 2+cx+bc 在x=1处有极值-43,则b 等于( A )(A)-1 (B)1 (C)1或-1 (D)-1或3解析:f ′(x)=-x 2+2bx+c,若f(x)在x=1处有极值-43,故()()1120,141,33'⎧=-++=⎪⎨=-+++=-⎪⎩f b c f b c bc 解得b=-1且c=3,符合题意;或b=1且c=-1, 此时f ′(x)=-x 2+2bx+c=-(x-1)2≤0,f(x)=-13x 3+bx 2+cx+bc 单调递减,f(x)在x=1处不存在极值,故b=1且c=-1,不合题意,所以b=-1.故选A.4.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:①函数y=f(x)在区间(-3,-12)内单调递增; ②函数y=f(x)在区间(-12,3)内单调递减; ③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当x=2时,函数y=f(x)有极小值; ⑤当x=-12时,函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的是( D ) (A)①② (B)②③ (C)③④⑤ (D)③解析:对于①,函数y=f(x)在区间(-3,-12)内有增有减,故①不正确; 对于②,函数y=f(x)在区间(-12,3)有增有减,故②不正确;对于③,函数y=f(x)当x∈(4,5)时,恒有f′(x)>0,故③正确;对于④,当x=2时,函数y=f(x)有极大值,故④不正确;时,f′(x)≠0,故⑤不正确.故选D.对于⑤,当x=-125.(2019·镇海中学高三模拟考试)已知函数f(x)=xln x-x+2a,若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域,则a的取值范围是( A ) ,1] (B) (-∞,1](A)(12(C) [1,3) (D) [1,+∞)2解析:令g(x)=xln x-x,则g′(x)=ln x,g(1)=-1,由g(x)的单调性可知,g(x)≥-1,所以f(x)≥2a-1,所以要使f(x)与f(f(x))的值域相同,则只需0<2a-1≤1,<a≤1,故选A.解得12考点一利用导数求函数的极值x2-(a+1)x+a(1+ln x).[例1] 设a>0,函数f(x)=12(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.,解:(1)由已知,得x>0,f′(x)=x-(a+1)+axy=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,a=1,所以f′(2)=1,即2-(a+1)+2所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故所求的切线方程为y=x-2.(2)f ′(x)=x-(a+1)+a x=()21x a x ax-++=()()1x x a x--. ①当0<a<1时,若x ∈(0,a),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若x ∈(a,1),f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x ∈(1,+∞),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=a 是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-12a 2+aln a, 极小值是f(1)=- 12. ②当a=1时,f ′(x)=()21x x->0,所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增, 此时f(x)没有极值点,故无极值.③当a>1时,若x ∈(0,1),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若x ∈(1,a),f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x ∈(a,+∞),f ′(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=1是f(x)的极大值点,x=a 是f(x)的极小值点, 函数f(x)的极大值是f(1)=-12, 极小值是f(a)=-12a 2+aln a. 综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-12a 2+aln a, 极小值是-12; 当a=1时,f(x)没有极值;当a>1时,f(x)的极大值是-12,极小值是-12a 2+aln a.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根;(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右符号相同,则此根处不是极值点.提醒:若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.1.设函数f(x)=(x3-1)2,下列结论中正确的是( C )(A)x=1是函数f(x)的极小值点,x=0是极大值点(B)x=1及x=0均是f(x)的极大值点(C)x=1是函数f(x)的极小值点,函数f(x)无极大值(D)函数f(x)无极值解析:f′(x)=2(x3-1)·3x2=6x2(x-1)(x2+x+1);x2+x+1=(x+12)2+34>0,令f′(x)=0得x1=0,x2=1;即f′(0)=0,f′(1)=0,x<0时,f′(x)<0;0<x<1时,f′(x)<0;x>1时,f′(x)>0.故x=1是函数f(x)的极小值点,函数f(x)无极大值.故选C.2.已知函数f(x)=1ln xx.(1)若函数f(x)在区间(a,a+12)上存在极值,求正实数a的取值范围;(2)若当x ≥1时,不等式f(x)≥1+k x 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=211ln --x x =-2ln x x. 令f ′(x)=0,得x=1.当x ∈(0,1)时,f ′(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增; 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减. 所以x=1为f(x)的极大值点,无极小值点, 所以a<1<a+12, 故12<a<1,即正实数a 的取值范围为(12,1). (2)当x ≥1时,k ≤()()11ln ++x x x 恒成立, 令g(x)=()()11ln ++x x x则g ′(x)=()()211+ln 111ln ⎛⎫++-++ ⎪⎝⎭x x x x x x=2ln -x x x .令h(x)=x-ln x,则h ′(x)=1-1x ≥0, 所以h(x)≥h(1)=1,所以g ′(x)>0, 所以g(x)为[1,+∞)上的增函数, 所以g(x)≥g(1)=2,故k ≤2. 故实数k 的取值范围为(-∞,2]. 考点二 利用导数求函数的最值[例2] 设函数f(x)=ae x (x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x 2+bx+2,已知它们图象在x=0处有相同的切线. (1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值. 解:(1)f′(x)=ae x(x+2),g′(x)=2x+b,由题意,两函数图象在x=0处有相同的切线, 又因为f′(0)=2a,g′(0)=b,所以2a=b,f(0)=a=g(0)=2,所以a=2,b=4,所以f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)由(1)得f′(x)=2e x(x+2).当x>-2时,则f′(x)>0,所以f(x)在(-2,+∞)上单调递增,当x<-2时,则f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,因为t>-3,所以t+1>-2,①当-3<t<-2时,f(x)在[t,-2]上单调递减, 在[-2,t+1]上单调递增,所以f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,所以f(x)min=f(t)=2e t(t+1).综上,当-3<t<-2时,f(x)min=-2e-2;当t≥-2时,f(x)min=2e t(t+1).求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,可判断函数在[a,b]上的单调性,若函数在[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a),f(b)一个为最大值,一个为最小值.若函数在[a,b]上不单调,一般先求[a,b]上f(x)的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的即为最大值,最小的即为最小值.函数y=2x3-12x在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为( A ) 2(B)54,-12222解析:y′=6x222令y′=0,则22)当x=-1时22当x=3时,y=18,故选A.考点三由函数的极值或最值求参数(范围)[例3] (1)函数f(x)=ln x-12ax2+x有极值且极值大于0,则a的取值范围是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D)(3,4)(2)已知函数f(x)=e2x-e-2x-cx(c∈R),若f(x)有极值,求c的取值范围.(1)解析:f′(x)= 1x -ax+1=21ax xx-++(x>0),当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值. 当a>0时,对于t=-ax2+x+1.因为Δ=1+4a>0,x1·x2=-1a<0,所以f ′(x)=0有且仅有一正根x 0=1142a a++,且f(x)在x 0处取极大值.要使极大值大于0,即f(x 0)>0. 因为-a 20x +x 0+1=0,所以a 20x =x 0+1,f(x 0)=ln x 0-12a 20x +x 0=ln x 0+02x -12,令g(x)=ln x+2x -12,(x>0)g(x)在(0,+∞)上单调递增且g(1)=0, 所以x>1.所以x 0>1, 所以1142a a++>1,解得0<a<2.故选C.(2)解:f ′(x)=2e 2x +2e -2x -c, 而2e 2x +2e -2x ≥2222e 2e x x-⋅=4,当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c<4时,对任意x ∈R,f ′(x)=2e 2x +2e -2x -c>0,此时f(x)无极值; 当c=4时,对任意x ≠0,f ′(x)=2e 2x +2e -2x -4>0,此时f(x)无极值; 当c>4时,令e 2x=t,注意到方程2t+2t-c=0有两根t 1,2=2164c c ±->0,即f ′(x)=0有两个根x 1=12ln t 1,x 2=12ln t 2. 当x 1<x<x 2时,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 又当x>x 2时,f ′(x)>0,f(x)单调递增, 从而f(x)在x=x 2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c 的取值范围为(4,+∞).(1)可导函数的极值点与其导函数的零点之间的关系是导函数的变号零点是函数的极值点,而不变号零点不是函数的极值点.(2)已知函数的极值、最值求参数,利用待定系数法列方程(组)求解.已知函数f(x)=x 2-2ax+1在区间[2,3]上最小值为1.函数g(x)=()33x xf -k ·3x .(1)求a 的值;(2)若存在x 0使得g(x)在x ∈[-1,1]上为负数,求实数k 的取值范围. 解:(1)f(x)=(x-a)2+1-a 2,当a<2时,f(x)min =f(2)=5-4a=1,解得a=1; 当2≤a ≤3时,f(x)min =f(a)=1-a 2=1, 解得a=0,不符合题意;当a>3时,f(x)min =f(3)=10-6a=1, 解得a=32,不符合题意. 综上,a=1.(2)由已知可得g(x)=(1-k)3x +13x-2,根据题意,存在x 0使得g(x)<0, 所以不等式(1-k)3x +13x-2<0,可化为1+(13x)2-2·13x<k,令t=13x,则 k>t 2-2t+1.因 x ∈[-1,1],故 t ∈[13,3]. 故k>t 2-2t+1在t ∈[13,3]上有解. 记h(t)=t 2-2t+1=(t-1)2,t ∈[13,3], 故h(t)min =h(1)=0,所以k 的取值范围是(0,+∞).利用导数研究函数的极值(点)问题[例题] (2019·天津卷)设函数f(x)=ln x-a(x-1)e x ,其中a ∈R. (1)若a ≤0,讨论f(x)的单调性; (2)若0<a<1e,①证明f(x)恰有两个零点;②设x 0为f(x)的极值点,x 1为f(x)的零点,且x 1>x 0,证明3x 0-x 1>2. (1)解:由已知,f(x)的定义域为(0,+∞), 且f ′(x)=1x-[ae x+a(x-1)ex]=21e -xax x.因此当a ≤0时,1-ax 2e x >0,从而f ′(x)>0, 所以f(x)在(0,+∞)内单调递增.(2)证明:①由(1)知,f ′(x)=21e -xax x.令g(x)=1-ax 2e x ,由0<a<1e ,可知g(x)在(0,+∞)内单调递减. 又g(1)=1-ae>0,且g(ln 1a )=1-a(ln 1a )2·1a =1-(ln 1a)2<0, 故g(x)=0在(0,+∞)内有唯一解, 从而f ′(x)=0在(0,+∞)内有唯一解, 不妨设为x 0,则1<x 0<ln 1a, 当x ∈(0,x 0)时,f ′(x)=()g x x >()0g x x =0,所以f(x)在(0,x 0)内单调递增;当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x)=()g x x <()0g x x =0,所以f(x)在(x 0,+∞)内单调递减, 因此x 0是f(x)的唯一极值点. 令h(x)=ln x-x+1, 则当x>1时,h ′(x)=1x-1<0,故h(x)在(1,+∞)内单调递减, 从而当x>1时,h(x)<h(1)=0, 所以ln x<x-1,从而f(ln 1a )=ln(ln 1a )-a(ln 1a-1)1ln e a=ln(ln 1a )-ln 1a +1=h(ln 1a)<0. 又因为f(x 0)>f(1)=0,所以f(x)在(x 0,+∞)内有唯一零点. 又f(x)在(0,x 0)内有唯一零点1, 从而f(x)在(0,+∞)内恰有两个零点.②由题意,()()010,0,'⎧=⎪⎨=⎪⎩f x f x 即()012011e 1,ln 1e⎧=⎪⎨=-⎪⎩x x ax x a x从而ln x 1=10121e--x x x x ,即10e-x x =2011ln 1-x x x .因为当x>1时,ln x<x-1, 又x 1>x 0>1, 故10e-x x <()201111--x x x =20x ,两边取对数,得ln 10e-x x <ln 20x ,于是x 1-x 0<2ln x 0<2(x 0-1), 整理得3x 0-x 1>2.[规范训练] (2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x. (1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a. (1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f ′(x)=ln(1+x)-1x x+. 设函数g(x)=f ′(x)=ln(1+x)-1x x+, 则g ′(x)=()21xx +.当-1<x<0时,g ′(x)<0;当x>0时,g ′(x)>0, 故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0, 当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f ′(x)≥0,当且仅当x=0时,f ′(x)=0. 所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0; 当x>0时,f(x)>0. (2)解:①若a ≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0), 这与x=0是f(x)的极大值点矛盾. ②若a<0,设函数h(x)=()22f x x ax ++=ln(1+x)-222x x ax++.由于当|x|<min{1,1||a }时,2+x+ax 2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点, 当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h ′(x)=11x +-()()()222222122x ax x ax x ax ++-+++=()()()2222246112x a x ax a x axx ++++++.若6a+1>0,则当0<x<-614a a+,且|x|<min{1,1||a }时,h ′(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1<0,则a 2x 2+4ax+6a+1=0存在根x 1<0, 故当x ∈(x 1,0),且|x|<min{1,1||a }时,h ′(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点. 若6a+1=0,则h ′(x)=()()()322241612x x x x x -+--,则当x ∈(-1,0)时,h ′(x)>0;当x ∈(0,1)时,h ′(x)<0. 所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点. 综上,a=-16.类型一 极值或极值点的应用1.若函数f(x)=x 3-2cx 2+x 有极值点,则实数c 的取值范围为( C ) 3∞) 3∞)(C)(-∞,-32]∪[32,+∞)(D)(-∞,-32)∪(32,+∞)解析:若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则f′(x)=3x2-4cx+1=0有根,故Δ=(-4c)2-12≥0,从而c≥32或c≤-32.故选C.2.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则21x+22x等于( C )(A)23(B)43(C)83(D)163解析:由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,因此1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x3-3x2+2x,所以f′(x)=3x2-6x+2,x1,x2是方程f′(x)=3x2-6x+2=0的两根,因此x1+x2=2,x1·x2=23,所以21x+22x=(x1+x2)2-2x1·x2=4-43=83,故选C.3.已知函数f(x)=13x3+ax2-2x在区间(1,+∞)上有极小值无极大值,则实数a的取值范围为( A )(A)a<12(B)a>12(C)a≤12(D)a≥12解析:因为函数f(x)=13x3+ax2-2x,所以f ′(x)=x 2+2ax-2,因为函数f(x)=13x 3+ax 2-2x 在区间(1,+∞)上有极小值无极大值,所以f ′(x)=x 2+2ax-2=0在区间(1,+∞)上有1个实根,(-∞,1]上有1个根.2480,(1)210,⎧∆=+>⎪⎨'=-<⎪⎩a f a 解得a<12.故选A.类型二 求最值或范围 4.已知奇函数f(x)=()e 1,0,,0,xx xh x x ⎧->⎪⎨⎪<⎩则函数h(x)的最大值为 .解析:先求出x>0时,f(x)= e xx-1的最小值.当x>0时,f ′(x)=()2e 1x x x -,所以x ∈(0,1)时,f ′(x)<0,函数单调递减,x ∈(1,+∞)时,f ′(x)>0,函数单调递增,所以x=1时,函数取得极小值即最小值,为e-1,所以由已知条件得h(x)的最大值为1-e. 答案:1-e5.函数f(x)=xln x+ax 2(a ≠0)存在唯一极值点. (1)求a 的取值范围;(2)证明:函数y=f[f(x)]与y=f(x)的值域相同. (1)解:f ′(x)=ln x+1+2ax,f ″(x)=1x +2a, 当a>0时,f ″(x)>0,故f ′(x)在(0,+∞)上单调递增, 又x →0时,f ′(x)<0,f ′(1)=2a+1>0, 故f ′(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根, 即f(x)在(0,+∞)内有唯一极值点;当a<0时,由f″(x)>0得0<x<-12a,故f′(x)在(0,-12a )上单增,在(-12a,+∞)上单减,若f′(-12a)≤0,则f′(x)≤0恒成立,此时f(x)无极值点,若f′(-12a)>0,又x→0时f′(x)<0,x→+∞时,f′(x)<0,此时f(x)有两个极值点;综上,a>0.(2)证明:由(1)知,a>0,设f′(x0)=0即ln x0+1+2ax0=0, 则f(x)在(0,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增,所以f(x)的值域为[f(x0),+∞),要使y=f[f(x)]与y=f(x)的值域相同,只需f(x0)≤x0,即x0ln x0+a2x≤x0,即ln x0+ax0≤1,又ax0=-12(ln x0+1),故12ln x0-12≤1即x0≤e3,故只需证x0≤e3,又f′(x)单增, 所以要证x0≤e3,即证f′(e3)≥0, 而f′(e3)=3+1+2ae3>0,故得证.。
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导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。
2. 会用导数求函数的极大值、极小值。
3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。
4. 掌握函数极值与最值的简单应用。
【要点梳理】 要点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
要点二、函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
（二）求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. （三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。
最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 要点三、函数极值与最值的简单应用1. 不等式恒成立，求参数范围问题。
一些含参不等式，一般形如(,)0f x m >，若能隔离参数，即可化为：()()m g x m g x ><（或）的形式。
若其恒成立，则可转化成max max ()()m g x m g x ≥≤（或），从而转化为求函数()g x 的最值问题。
若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥。
所以仍为求函数()g x 的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。
2. 证不等式问题。
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为()()f x g x >，则可化为()()0f x g x ->，一般设()()()F x f x g x =-，然后求()F x 的最小值min ()F x ，证min ()0F x >即可。
所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。
3. 两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程()()f x g x =的问题，即()()0f x g x -=的解的个数问题，我们可以设()()()F x f x g x =-，然后求出()F x 的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。
所以此类问题可转化为求函数的极值问题。
【典型例题】类型一： 求函数的极值 例1. 下列函数的极值。
（1）3()12f x x x =-； （2）2()xf x x e -=；【解析】（1）函数()f x 的定义域为R 。
2'()3123(2)(2)f x x x x =-=+-。
令'()0f x =，得x=－2或x=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：从上表可以看出，当x=―2时，函数有极大值，且3(2)(2)12(2)16f -=--⨯-=。
当x=2时，函数有极小值，且3(2)212216f =-⨯=-。
（2）函数的定义域为R 。
22'()2()'2(2)x x x x x f x xe x e x xe x e x x e -----=+⋅-=-=-。
令'()0f x =，得x=0或x=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且(0)0f =。
当x=2时，函数有极大值，且24(2)f e=。
【总结升华】 解答本题时应注意0'()0f x =只是函数()f x 在x 0处有极值的必要条件，如果再加上x 0左右导数的符号相反，方能断定函数在x 0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误。
举一反三：【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题1】 【变式1】 讨论函数43210()213f x x x x =-++（x ∈R ）的单调性并求极值．32'()41042(21)(2)f x x x x x x x =-+=--令'()0f x =，解得x 1=0， x 2=12, x 3=2 。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：x（－∞，0）0 （0，12） 12（12，2） 2 （2，+∞）'()f x － 0 + 0－ 0+ ()f x☎15548 ☎53-由上表可以看出，()f x 在（－∞，0）和（2，2）上为减函数，在（0，2）和（2，+∞）上 为增函数。
当x=0时，函数有极小值(0)1f =; 当x=2时，函数有极小值5(2)3f =-。
当x=12时，函数有极大值155()248f =。
【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题3】【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。
【变式3】已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处有极值10，求a,b 的值. 【答案】2'()32,f x x ax b =++依题意得方程组2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩ 解得34311a ab b =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或. 当a=-3,b=3时，2'()363,f x x x =++令'()0f x =得x=1.显然a=-3, b=3不合题意，舍去.当a=4, b=-11时，f ´(x)=3x 2+8x-11=(x-1)(3x+11) 令'()0f x =得11x -=或 x=1.f(x)在x=1处有极小值10，合题意，∴a=4, b=-11.类型二：求函数的最值【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题2】例2、求函数()3221f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值与最小值。
【解析】解法一： ()()()243434,00,03f x x x x x f f ⎛⎫'''=-=-==⎪⎝⎭，∴ 函数()3221f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2。
解法二：()()()243434,00,03f x x x x x f f ⎛⎫'''=-=-==⎪⎝⎭，∵f(-1)=-2,f(0)=1,f(43)=527,f(2)=1, ∴ 函数()3221f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2。
【总结升华】1. 解题格式要求：ⅰ. 对于()f x '分解因式，写出相应方程的根；ⅱ. 列表格，表格反映出()(),f x f x '随x 的变化情况，必须列出极值点，若求最值时，还要列出端点的函数值。
ⅲ. 一般要注明x 取何值时f(x)取得最大最小值。
2. 当方法熟悉后,可以不再列表. 也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。