绝对值基础知识讲解

绝对值(基础)
【学习目标】
1掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2. 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3. 会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小;
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题
.
【要点梳理】
要点一、绝对值 1.定义：
般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|.
要点诠释:
(1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0.
要点二、有理数的大小比较
1. 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小 .女口： a 与b 在数轴上的位置如图
所示，则a v b . 2. 法则比较法：
要点诠释：
禾U 用绝对值比较两个负数的大小的步骤： (1)分别计算两数的绝对值；(2)比较绝对值的大小；(3) 判定两数的大小.
3. 作差法：设a 、b 为任意数，若 a-b >0，则a >b ;若a-b = 0，则a = b ;若a-b v 0，a v b ;反之成立.
a
a a
4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若
1，则a b ；若 1，则a 二b ；若 1，则a ：：： b ；反之 b b b
0的绝对值
是0 .即对于任何有理数 a 都有: (2)绝对值的几何意义：一个数的 离，离原点的距离越远，绝对值越
|a| 才 0
(3) —个有理数是由符号和
(a 0)绝对值就是表示这个数的点到原点的距 (a= 0) 大；离原点的距离越近，绝对值越小.
-a (a ：. 0)绝对值两个方面来确定的.
也成立•若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反.
5.倒数比较法： 如果两个数都大于 0，那么倒数大的反而小
【典型例题】 类型一、绝对值的概念
1.求下列各数的绝对值.
1 1 -1 — , - 0. 3, 0, - -3 —
2 2
1
（ 1 \
【思路点拨】1丄，-0.3 , 0, _| _3- 在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的
2 I 2丿 绝对值.还可以用绝对值法则来求解.
【答案与解析】 解法一：因为-11到原点距离是1-个单位长度，所以
2 2
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以 卜
0. 3| = 0.3.
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|= 0. 因为一 一3丄 到原点的距离是31个单位长度，所以
I 2丿 2 因为-0. 3V 0,所以卜 0. 3| = -（- 0. 3） = 0. 3.
因为0的绝对值是它本身，所以I 0| = 0. 因为- -3丄
0，所以
I 2丿
【总结升华】 求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解 （如方法1），一种是利
用绝对值的代数意义求解（如方法2），后种方法的具体做法为： 首先判断这个数是正数、 负数还是0.再
根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是 0.从而求出该数的绝
对值.
▼ 2 .已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是 _________________ . 【答案】2009或-2009
【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是 2009的点有两个，从原点向左侧移动 2009个单位长度，
得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动
2009个单位长度，得到表示数 2009的点.
【总结升华】 已知绝对值求原数的方法：（1）利用概念；（2）利用数形结合法在数轴上表示出来.无论哪 种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数 举一反三:
1 =1
一 .
2
解法二：因为
—11 £0，所以-11 2 一
【变式1】求绝对值不大于 3的所有整数.
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3. 【高清课堂：绝对值比大小
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典型例题3】
【变式2】如果| X |= 2,那么X = __________ ；如果X |= 2,那么X= _____________
如果| x — 2 | = 1，那么x = _________________ ;如果| x |> 3,那么x 的范围
【答案】 2或-2 ； 2或-2 ； 1或3； x>3或XV-3
【变式3】数轴上的点 A 到原点的距离是 6,则点A 表示的数为 _____________ . 【答案】6或-6
类型二、比较大小
C 3.比较下列有理数大小：(1)-1和0 ;
(2)-2和卜3|
; (3)丄和一丄；(4 )
I 3丿 2
--1 _____ - -0.1
【答案】(1)0大于负数，即-1 v 0;
(2)先化简卜3| = 3，负数小于正数，所以-2v 3,即-2v |- 3| ; 1
3
1 0.1,
所以—1 V —0.1，即—-1 v — -0.1
【解析】(2)、(3)、(4)先化简，再运用有理数大小比较法则.
【点评】在比较两个负数的大小时， 可按下列步骤进行： 先求两个负数的绝对值， 再比较两个绝对值的 大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断. 举一反三：
【高清课堂：绝对值比大小 356845
典型例题2】
【变式1】比大小：
5 6 —3— —3—
; -1-3.21 -(+3.2) ; 0.0001 —1000;
6 7
-1.38 _____ — 1.384 ; — n ____ — 3.14 .
【答案】>；=;>;>;<
【变式2】(山东临沂)下列各数中，比一
1小的数是(
(3)先化简- -1
I 3丿3 (4)先化简 ----- 1 -1,
--0.1 = -0.1，这是两个负数比较大小：因为
_1 =1 , —0.1 =0.1，而
A. 0
B. 1
C.—2
D. 2
【答案】C
【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a, -a, -1的大小关系是（）.
A . - a v a v -1 B. -1 v - a v a
C. a v -1 v - a
D. a v - a v -1
【答案】C
类型三、绝对值非负性的应用
a
4. 已知|2-m|+ |n- 3| = 0，试求m-2n 的值.
【思路点拨】由丨a | > 0即绝对值的非负性可知，丨2-m |> 0,丨n-3 | > 0,而它们的和为0.所以丨
2-m | = 0, |n-3| = 0.因此，2-m= 0, n-3 = 0,所以m= 2, n= 3.
【答案与解析】因为|2-m|+| n-3| = 0
且| 2-m| >0, | n-3| >0
所以| 2-m| = 0, | n-3| = 0
即2-m= 0, n-3= 0
所以m = 2, n= 3
故m- 2n= 2- 2X 3 = -4.
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+| m| = 0时，则a= b=- =m= 0. 类型四、绝对值的实际应用
5. 正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，
下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超
过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.检测结果（单位：克）：-25, +10, -20, +30, +15, -40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢？请说明理由.
【答案】因为| +10 |v| +15 |v| -20 | v| -25 | v| +30 | v| -40 |,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好. 这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.
【点评】绝对值越小，越接近标准.
举一反三：
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.002L的误差.现
抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数. 检查结果如下表：
请用绝对值知识说明：
（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）?
（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】（1）绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0. 0018, -0. 0015, +0.0012, +0.0010 的这四瓶.
（2）第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量.
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm）依次记为：+5, -3, +10 , -8, -6, +12, -10,在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励 2 粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻【答案】小虫爬行的总路程
为：
| +5|+卜3| +|+10| +卜8| +卜6| +| +12| +卜10| = 5+3+10+8+6+12+10 = 54(cm). 小虫得到的芝麻数为54 X 2= 108(粒).。