圆形边界磁场
圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有答案)
圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律操练之青柳念文创作当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场鸿沟上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示.规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场鸿沟上的同一点射出，而且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示.【典型题目操练】1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不思索粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A．只要对着圆心入射，出射后都可垂直打在MN上B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线纷歧定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D．只要速度知足qBR，沿分歧方向入射的粒子出射后都vm可垂直打在MN上2．如图所示，长方形abed的长ad=，宽ab=，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(鸿沟上无磁场)磁感应强度B=0.25T.一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列断定正确的是（）A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子分开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变成沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终分开磁场的总时间t.4．如图所示的直角坐标系中，从直线x=−2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向.在电场左鸿沟从A（−2l0，−l0）点到C（−2l0，0）点区域内，持续分布着电量为+q、质量为m的粒子.从某时刻起，A点到C点间的粒子依次持续以相同速度v0沿x轴正方向射入电场.从A点射入的粒子恰好从y轴上的A （0，−l0）点沿沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示.不计粒子的重力及它们间的相互作用.（1）求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小.（2）求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？（3）为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0与圆形磁场鸿沟的一个交点.则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B 是多大？5．如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=的圆形磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG（2y x x=-+-，100.025单位：m）和直线DH（0.425=-，单位：m）构成的区域中，y x存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T.现有大量质量m=1×10-6 kg（重力不计），电量大小为q=2×10-4 C，速率均为20m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至1800之间.（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证明这些粒子颠末x轴时速度方向均与x轴垂直；（3）通过计算说明这些粒子会颠末y轴上的同一点，并求出该点坐标.6．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ.电场的场强大小均为E，区域Ⅰ的场强方向沿x轴正方向，其下鸿沟在x轴上，右鸿沟刚好与区域Ⅱ的鸿沟相切；区域Ⅱ的场强方向沿y轴正方向，其上鸿沟在x轴上，左鸿沟刚好与刚好与区域Ⅳ的鸿沟相切.磁场的磁感应强度大小均为22mE qL ，区域Ⅲ的圆心坐标为（0，2L ）、磁场方向垂直于xOy 平面向外；区域Ⅳ的圆心坐标为（0，2L -）、磁场方向垂直于xOy 平面向里.两个质量均为m 、电荷量均为q 的带正电粒子M 、N ，在外力约束下运动在坐标为（32L -，2L ）、（32L -，234L +）的两点.在x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy 平面.将粒子M 、N 由运动释放，它们最终打在感光板上并当即被吸收.不计粒子的重力.求：（1）粒子分开电场Ⅰ时的速度大小.（2）粒子M 击中感光板的位置坐标.（3）粒子N 在磁场中运动的时间.7．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O1在x 轴上，OO1间隔等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B1.虚线MN 平行x 轴且与半圆相切于P 点.在MN 上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E ，方向沿x 轴负向，磁场磁感应强度大小为B2.B1，B2方向均垂直纸面，方向如图所示.有一群相同的正粒子，以相同的速率沿分歧方向从原点O 射入第I 象限，其中沿x 轴正方向进入磁场的粒子颠末P 点射入MN 后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m ，电荷量为q （粒子重力不计）.求：（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径.（2）若撤去磁场B2，则颠末P 点射入电场的粒子从y 轴出电场时的坐标.（3）试证明：题中所有从原点O 进入第I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动.8．如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2.0×10−3T ，方向垂直于纸面向里，在x=r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L=0.5m 的匀强电场区域,电场强度E=1.5×103N/C，在x=2m 处有一垂直x 方向的足够长的荧光屏，从O 点处向分歧方向发射出速率相同的比荷91.010/q C kg m=⨯带负电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内.一个速度方向沿y 轴正方向射入磁场的粒子M ，恰能从磁场与电场的相切处进入电场.不计重力及阻力的作用.求：（1）粒子M 进入电场时的速度.（2）速度方向与y 轴正方向成30°（如图中所示）射入磁场的粒子N ，最后打到荧光屏上,画出粒子N 的运动轨迹并求该发光点的位置坐标.9．如图甲所示,质量m=8.0×10−25kg ，电荷量q=1.6×10−15C 的带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与x 方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向分歧，但大小均为v0=2.0×107m/s.现在某一区域内加一垂直于xOy 平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏MN 上,而且当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置坚持不变.(π=3.14)求：（1）粒子从y 轴穿过的范围.（2）荧光屏上光斑的长度.（3）打到荧光屏MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差.（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线暗示）.参考答案1．当v⊥B 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为mv R qB =、2m T qBπ=的匀速圆周运动；只要速度知足qBR v m=时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，分歧方向入射的粒子出射后都可垂直打在MN 上，选项D 正确.2．由0.3mv R m qB==知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa 入射的粒子，出射点一定在b 点；从Od 入射的粒子，颠末四分之一圆周后到达be ，由于鸿沟无磁场，将沿be 做匀速直线运动到达b 点；选项D 正确.3．解析：（1）当粒子速度沿x 轴方向入射，从A 点射出磁场时，几何关系知：r=a ；由2v qvB m r =知：mv mv B qr qa == （2）从A 点进入电场后作类平抛运动；沿水平方向做匀加速直线运动：2x Eq v a m= 沿竖直方向做匀速直线运动：vy=v0；∴粒子分开第一象限时速度与y 轴的夹角：202tan xy v Eqa v mv θ== （3）粒子从磁场中的P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从P 点的出射方向与OO1平行，即与y 轴平行；轨迹如图所示；∴粒子从O 到P 所对应的圆心角为θ1=600，粒子从O 到P 用时：163T a t vπ==. 由几何知识可知，粒子由P 点到x 轴的间隔13sin 2S a a θ==； 粒子在电场中做匀变速运动的时间：22mv t Eq=； 粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：32()(23)a S a t v v--==； 粒子由P 点第2次进入磁场，从Q 点射出，ＰO1QO3构成菱形；由几何知识可知Q 点在x 轴上，即为（2a ，0）点；粒子由P 到Q 所对应的圆心角θ2=1200，粒子从P 到Q 用时：4233T a t v π==；∴粒子从射入磁场到最终分开磁场的总时间：12342amv t t t t t v Eqπ=+++=+. 4．解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有002l t v =从A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知201()22Eq t l m = 解得2002082ml mv E qt ql == （2）设距C 点为y ∆处入射的粒子通过电场后也沿x 轴正方向，第一次达x 轴用时t ∆，有水平方向0x v t ∆=∆ 竖直方向21()2qE y t m∆=∆ 欲使粒子从电场射出时的速度方向沿x 轴正方向，有022l n x=⋅∆（n =1，2，3，…） 解得：2002201()2qE l l y n m v n ∆== 即在A 、C 间入射的粒子通过电场后沿x 轴正方向的y 坐标为021y l n=-（n =1，2，3，…） （3）当n=1时，粒子射出的坐标为10y l =当n=2时，粒子射出的坐标为2014y l =- 当n≥3时，沿x 轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间（如图）y1到y2之间的间隔为12054L y y l =-=； 则磁场的最小半径为0528L l R == 若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO1QO2为棱形，由200mv qv B R = 得：0085mv B ql =5．解析：（1）由211v qvB m R =知：110.1mv R m B == （2）考查从A 点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K 点分开磁场，O1和O2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O1AO2K 为菱形，分开磁场时速度垂直于O2K ，即垂直于x 轴，得证.（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x ，y1）,分开电场时的坐标为（x ，y2）,分开电场时速度为v2；在电场中运动过程，动能定理：2221211()22Eq y y mv mv -=- 其中21100.0025y x x =-+-，20.425y x =- 解得v2=100x在B2磁场区域做圆周运动的半径为R2，有22222v qv B m R =解得R2=x 因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径刚好为x 坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y 轴上；又因v2的方向与DH 成45º，且直线HD 与y 轴的夹角为450，则所有粒子在此磁场中恰好颠末四分之一圆周后刚好到达H 处，H 点坐标为（0，–0.425）.6．解析：（1）粒子在区域Ⅰ中运动，由动能定理得2012EqL mv = 解得02EqL v m =（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有200v qv B mr=，又有22mE B qL=，解得02mvL r qB==因M 运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故M 在磁场Ⅲ中运动四分之一个周期后颠末原点进入磁场Ⅳ，再运动四分之一个周期后平行于x 轴正方向分开磁场，进入电场Ⅱ后做类平抛运动.假设M 射出电场后再打在x 轴的感光板上，则 M 在电场Ⅱ中运动的的时间0Lt v =（1分）沿电场方向的位移22011()2242Eq L L L y at m v ==⨯⨯=<（2分）假设成立，运动轨迹如图所示.沿电场方向的速度2yqELv at m== 速度的偏向角01tan 2y v v θ== 设射出电场Ⅱ后沿x 轴方向的位移x1，有124tan 2L L L x θ-== M 击中感光板的横坐标122L x L x L =++=，位置坐标为（2L ，0） （1分）（3）N 做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N 将从b 点进入磁场Ⅲ，从原点O 分开磁场Ⅲ进入磁场Ⅳ，然后从d 点分开磁场Ⅳ，沿水平方向进入电场Ⅱ.轨迹如图.在磁场Ⅲ中，由几何关系334cos 22LL θ==则θ=300，圆弧对应的圆心角φ=1800−300=1500粒子在磁场中运动的周期222L mLT v qEππ⨯== 粒子在磁场Ⅲ中运动的时间105360122mLtT qEϕπ== 由对称关系得粒子在磁场Ⅲ、Ⅳ中运动时间相等； 故粒子在磁场中运动的时间15262mLt tqEπ==7．解析：（1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有02Eq qv B =解得02EvB =粒子在磁场B1中匀速圆周运动，有2001v qv B m R=解得0112mvmER qB qB B ==由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径相同，即12mER qB B =（2）撤去磁场B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有水平方向匀加速212Eq R t m =竖直方向匀速0221222E mR mEy v t B Eq qB B B === 从y 轴出电场的坐标为0211212()mE y y R v t qB B B B '=+==+（3）证明：设从O 点入射的任一粒子进入B1磁场时，速度方向与x 轴成θ角，粒子出B1磁场与半圆磁场鸿沟交于Q 点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q 四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q 与OO1平行.所以从Q 点出磁场速度与O2Q 垂直，即与x 轴垂直，所以垂直进入MN 鸿沟.进入正交电磁场E 、B2中都有02Eq qv B =故做直线运动.8．解析：（1）由沿y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子M 在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m.粒子M在磁场中匀速圆周运动有：2v qvB m R=解得6110/qBR v m s m==⨯（2）由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N 在磁场中转过120°角后从P 点垂直电场线进入电场，运动轨迹如图所示.在电场中运动的加速度大小1221.510/Eqa m s m==⨯ 穿出电场的竖直速度57.510/y L v at a m s v===⨯速度的偏转角tan 0.75y v vα==在磁场中从P 点穿出时距O 点的竖直间隔11.50.75yr m ∆==在电场中运动沿电场方向的间隔22211()0.187522Eq L y at m m v∆===射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上3()tan 0.75y x r L m α∆=--=最好达到荧光屏上的竖直坐标123()0.1875y yy y m =∆-∆+∆=-故发光点的位置坐标（2m ，−0.1875m ） 9．解析：粒子在磁场中匀速圆周运动，有2v qvB mR=解得0.1mvR m qB== 当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置坚持不变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即R=0.1m ；且圆形磁场的圆心在y 轴上O 点正上方，如图所示的O1点.（1）初速度沿y 轴正方向的粒子直接从原点穿过y 轴；初速度与x 轴正方向成300的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为O2，则∠OO2B=1500；设此粒子从y 轴上的A 点穿过y 轴，由几何关系知∠OAO2=300，则有02cos303OA R R ==.粒子从y 轴穿过的范围为0~3R .（2）初速度沿y 轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如图所示，打在光屏上的P 点，有PyR =；初速度与x 轴正方向成300入射的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，如图所示，打在光屏上的Q 点，有03s 602Q y R R in R R =+=+；荧光屏上光斑的长度Q P l y y =-== （3）粒子在磁场中运动的周期8210m T s qBππ-==⨯打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间815111012466t T T T s π-∆=-==⨯ 打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间8211024R t s v -∆==⨯ 打到最高点和最低点的粒子运动的时差间89121()107.71064t t t s s π--∆=∆+∆=+⨯=⨯（4）所加磁场的最小范围如图所示，其中从B 到C 的鸿沟无磁场分布.。
专题：圆形磁场问题
B v0
长，偏转角度越大。而弧小于半
aα r
O
b
个圆周时，弦越长则弧越长。
R
sin = r/R = 37º，
α
最大偏转角为 2 = 74º。
例题：如图所示，在真空中半径r＝3.0×10－2 m的圆 形区域内，有磁感应强度B＝0.2 T，方向如图的匀强 磁场，一批带正电的粒子以初速度v0＝1.0×106 m/s， 从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场， 且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为q/m
r
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的
圆弧应是磁场区域的下边界。
两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
S
2( 1 4
r2
r2 2
)
(
2
1)
m2v02 e2B2
例题：（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀
强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。
T＝2qπBm， 运动时间 tm＝22πα×T＝2qαB·m，
又 sinα＝Rr ＝35，∴tm＝6.4×10－8 s.
一点发散成平行
R r
R r
平行会聚于一点
结论4：如果在圆形匀强磁场区域的 边界上某点向磁场发射速率相同的 带电粒子，且粒子在磁场中运动的 轨道半径与磁场区域半径相同，那 么粒子射出磁场时运动方向一定相 同．反之，粒子以相同速度平行射 人这样的磁场，粒子就能会聚于磁 场边界上的某点。
为多大？（不考虑电子间的相互作用）
y
v0
O
O1
x
O2 O3
O5O4 On
解2: 磁场上边界如图线所示。
圆形磁场中的几个典型问题的相关规律练习
圆形磁场中的几个典型问题的相关规律练习一、当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，即“磁聚焦”存在两条特殊规律规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
【典型题目练习】1．如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q ，质量为m ，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ）A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上B ．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C ．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D ．只要速度满足qBR v m，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上 2．如图所示，长方形abed 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的四分之一圆弧和以O 为圆心Od 为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T 。
一群不计重力、质量m=3×10-7kg 、电荷量q=+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ）A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边D ．从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O 1（a ，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y =a 的上方和直线x =2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ，一质量为m 、电荷量为+q （q >0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O 1点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B 的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。
圆形边界磁场
圆形边界磁场
1.在圆形有界匀强磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出。
2.磁场圆与轨迹圆公共弦最长时等于其中一个的直径。
3.轨迹圆半径等于（匀强）磁场圆半径的粒子会平行离开磁场。
圆形边界磁场运动的特点：
带电粒子在有界匀强磁场中做不完整的圆周运动，由于磁场区域边界可能是圆形的、三角形的、矩形的等各种几何形状及粒子射入的速度不同，造成它在磁场中运动的圆弧轨迹﹑偏转角度、运动时间等各不相同，这成为学生学习的一个难点。
圆形边界磁场知识讲解
B
·
O•1 R
x
r2R vqBr2qBR r
mm
qU 1 mv2 2
U 2qB2R2
600
r
O2
6．如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，在小 孔S处正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。
圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大
小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点 射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内 壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
此时速度方向与y轴的夹角为300,P到O的距离为L,如图
所示.不计重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和xy
平解:面上qv磁B场区m域v的2 半径LR. 3r
300 y
r
B mv 3mv qr qL
P Lr A
r
R2rco3s00 3L 3
0 vR
1． 如图所示，当滑动变阻器R3的滑片C向B方向移 动时，电路中各电表示数如何变化？（电表内阻对电 路的影响不计）
O’
y
v
y
P(x y)
v
oO• x
B
t 600 T12mm
3600 6 qB 3qB xRco6s00 1R 2
yRsin600 3R
x
2
P(1 R, 3 R)
22
2．在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．从磁
场边缘A点沿半径方向射人一束速率不同的质子，对
这些质子在磁场中的运动情况的分析中，正确的是：
无损失）
B
解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒
碰撞从原孔射出，其运动轨迹具
有对称性．当发生最少碰撞次数
r
． R vO0
高考物理试题库 专题3.11 圆形边界磁场问题(基础篇)(解析版)
（选修3-1）第三部分磁场专题3.11 圆形边界磁场问题（基础篇）一．选择题1.（2019合肥三模）图示为一粒子速度选择器原理示意图。
半径为l0cm的圆柱形桶内有一匀强磁场，磁感应强度大小为1.0×10-4T，方向平行于轴线向外，圆桶的某直径两端开有小孔，粒子束以不同角度由小孔入射，将以不同速度从另一个孔射出。
有一粒子源发射出速度连续分布、比荷为2.0×1011C/kg的带正电粒子，若某粒子出射的速度大小为×106m/s，粒子间相互作用及重力均不计，则该粒子的入射角θ为（）A. B. C. D.【参考答案】B【命题意图】本题以带电粒子射入圆形匀强磁场区域做匀速圆周运动为情景，考查洛伦兹力、牛顿运动定律及其相关知识点。
【解题思路】画出粒子在圆形匀强磁场区域运动轨迹，如图所示，由图中几何关系可得rcosθ=R，由洛伦兹力提供向心力，qvB=m2vr，q/m=2.0×1011C/kg，联立解得θ=45°，选项B正确。
【方法归纳】对于带电粒子在有界匀强磁场中的运动，首先根据题述情景画出带电粒子运动轨迹，根据几何关系得出轨迹半径r （或r 的表达式），然后利用洛伦兹力等于向心力列方程解答。
2.(多选)(2019·广东省惠州市模拟)如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 以速度v 垂直磁场正对着圆心O 射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q 、质量为m ，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是( )A ．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长B ．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心OC ．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN 上D ．只要速度满足v ＝qBR m ，入射的粒子出射后一定垂直打在MN 上【参考答案】 BD【名师解析】 速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中轨道半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角θ越小，由t ＝θ2πT 知，运动时间t 越小，故A 错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，故B 正确；速度不同，半径不同，轨迹对应的圆心角不同，对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN 上，与粒子的速度有关，故C 错误；速度满足v ＝qBR m 时，粒子的轨迹半径为r ＝mvqB ＝R ，入射点、出射点、O 点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径垂直，粒子一定垂直打在MN 板上，故D 正确．3．（6分）（2019湖北武汉武昌5月调研）如图所示，真空中，垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在（含边界），两圆的半径分别为R 、3R ，圆心为O ．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P 点沿PO 方向以速度v 1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°．若将该带电粒子从P 点射入的速度大小变为v 2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v 1：v 2至少为（ ）A．B．C．D．2【参考答案】B【命题意图】本题以带电粒子在圆环形磁场区域的运动为情景，意在考查洛伦兹力和牛顿运动定律及其相关知识点。
圆形磁场中的几个典型问题
圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．一、最值问题的解题关键——抓弦长1．求最长时间的问题例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．2 ．求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计．小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
圆形边界磁场知识点总结
圆形边界磁场知识点总结磁场是指在空间中出现的一种物理现象，是由电荷运动所产生的基本物理场。
在工程和科学应用中，圆形边界磁场是一种常见的磁场形式，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将对圆形边界磁场的相关知识进行总结，包括其定义、性质、计算方法等方面，以便对圆形边界磁场有更深入的了解。
一、圆形边界磁场的定义圆形边界磁场是指由一个或多个电流元在圆形环路内产生的磁场。
在平面上，若电流I在半径为r的圆形环路上均匀分布，则在圆心的磁场大小可以用以下公式表示：\[ B = \frac{\mu_0 I}{2r} \]其中，B代表磁场强度，μ0代表真空磁导率, I代表磁场环路上的电流，r代表圆形环路的半径。
二、圆形边界磁场的性质1. 磁场方向圆形边界磁场有明确的磁场方向。
根据安培定则，磁场环路内部的磁场方向为环路的法向，指向环路内部；环路外部的磁场方向为环路的法向，指向环路外部。
2. 磁场大小圆形边界磁场的大小与环路的半径成反比，与环路上的电流成正比。
当环路的半径越大，磁场强度越小；当环路上的电流越大，磁场强度越大。
3. 磁场分布圆形边界磁场的分布是均匀的，即在圆形环路的内部，磁场大小和方向是均匀分布的。
4. 磁场叠加在多个圆形环路产生的磁场可以叠加。
根据叠加原理，多个圆形环路产生的磁场可以通过矢量合成得到总的磁场。
5. 磁场方向的变化圆形边界磁场的方向与环路上的电流方向有关。
根据右手定则，当电流方向与环路的法向方向相同时，环路内部的磁场方向指向环路内部；当电流方向与环路的法向方向相反时，环路内部的磁场方向指向环路外部。
三、圆形边界磁场的计算方法1. 定义电流元在计算圆形边界磁场时，先需要定义一个电流元，然后再将电流元叠加起来以得到总的磁场。
2. 利用比奥-萨伐尔定律计算磁场比奥-萨伐尔定律是用来计算电流元产生的磁场的公式，可以用来计算圆形边界磁场。
该定律表明，一个长直导线在某一点产生的磁场与该点到导线的距离成反比，与导线上的电流成正比。