高一数学期末考试数学试题
河南省郑州中学2024届高一上数学期末复习检测试题含解析
19．已知函数
f
x
a 3x 1 3x 1
（1）当 a 1时，解方程 lg f 2x lg f x 1 lg16 ；
（1）用“五点法”做出函数 f x 在 x 0, 2 上的简图；
（2）若方程
f
x
a在
x
2 3
,
5 6
上有两个实根，求
a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
【解题分析】利用分段函数在 R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
A.
1 3
,1
B.
,
1 3
1,
C.
1 3
,
1 3
D.
,
1 3
1 3
,
7．下面四个不等式中不正确的为
A. sin 1 1 15 15
B. 20.9 0.92
C.
ln
1 2
log3
1 2
D. 20.3 0.30.2
8．函数 f (x) 2 tan( x 3) 的最小正周期为 2
【解题分析】设函数 y x2 4x 3 ，求出 x [0, 4]时 y 的取值范围，再根据 a [2, 2]讨论 a 的取值范围，判断 f x
是否能取得最大值 3 ,从而求出对应的概率值
【题目详解】在区间 2, 2 上任取一个数 a ，基本事件空间对应区间的长度是 4 ， 由 y x2 4x 3 x 22 1, x [0，4] ，得 y [1,3] ，
高一数学期末考试试题及答案doc
高一数学期末考试试题及答案doc一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 椭圆答案：B2. 函数f(x)=2x^2-4x+3的零点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=-1答案：A3. 集合{1,2,3}与集合{2,3,4}的交集是：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}答案：B4. 如果一个角是直角三角形的一个锐角的两倍，那么这个角是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C5. 函数y=x^3-3x^2+4x-2在x=1处的导数值是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B6. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 + n(n-1)/2C. a_n = a_1 + n^2D. a_n = a_1 + n答案：A7. 圆的面积公式是：A. A = πrB. A = πr^2C. A = 2πrD. A = 4πr^2答案：B8. 以下哪个选项是复数的模？A. |z| = √(a^2 + b^2)B. |z| = a + biC. |z| = a - biD. |z| = a * bi答案：A9. 以下哪个选项是向量的点积？A. a·b = |a||b|cosθB. a·b = |a||b|sinθC. a·b = |a||b|tanθD. a·b = |a||b|secθ答案：A10. 以下哪个选项是三角恒等式？A. sin^2x + cos^2x = 1B. sin^2x - cos^2x = 1C. sin^2x - cos^2x = 0D. sin^2x + cos^2x = 0答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 如果一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么它的公差是______。
2024北京丰台区高一(上)期末数学试题及答案
2024北京丰台高一（上）期末数 学2024.01考生须知：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID 号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID 号、姓名。
在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次练习所有答题均在答题卡上完成，选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在练习卷、草稿纸上答题无效。
4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}21A x x =−<<，{}12B x x =−≤<，则AB =（ ） A.{}22x x −<< B.{}11x x −≤< C.{}11x x −≤≤ D.{}12x x −≤< 2.下列函数在区间()0,+∞上单调递减的是（ ）A.ln y x =B.cos y x =C.e x y =D.y x =−3.若0a b >>，c d >，则下列结论一定成立的是（ ）A.0a b −<B.a c b c +>+C.ac bc >D.ac bd > 4.已知tan 24πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A.3−B.1−C.13D.15.13lg 2lg58−+−+=（ ） A.12π− B.2π− C.4π− D.32π− 6.函数()sin cos 2f x x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则（ ）A.()f x 是最小正周期为2π的奇函数B.()f x 是最小正周期为2π的偶函数C.()f x 是最小正周期为π的奇函数D.()f x 是最小正周期为π的偶函数7.函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b >>8.若α，β都是第一象限角，则“sin sin αβ>”是“tan tan αβ>”成立的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a ，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n 天后，甲同学的知识储备量为()12%na +，乙同学的知识储备量为()12%n a −，则甲、乙的知识储备量之比为2时需要经过的天数约为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg102 2.0086≈，lg98 1.9912≈） A.15 B.18 C.30 D.3510.记()R A 为非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,R A R B R A R B A B R B R A R A R B −≥⎧⎪=⎨−<⎪⎩ .若{}1,2A =，()(){}2250B x x ax x ax =+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则()R S 等于（ ）A.1B.2C.3D.4 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)高一第一学期期末考试试卷考试时间：120分钟注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合A={x|3≤x<7}，B={x|x^2-7x+10<0}，则(A∩B)的取值为A。
(−∞,3)∪(5,+∞)B。
(−∞,3)∪[5,+∞)C。
(−∞,3]∪[5,+∞)D。
(−∞,3]∪(5,+∞)2.已知a⋅3^a⋅a的分数指数幂表示为A。
a^3B。
a^3/2C。
a^3/4D。
都不对3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是A。
e=1与ln1=0B。
8^（1/3）=2与log2^8=3C。
log3^9=2与9=3D。
log7^1=0与7^1=74.下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2∈(−∞,0)，当x1f(x2)”的是A。
x^2B。
x^3C。
e^xD。
1/x5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=logx，则f(f(100))的值等于A。
log2B。
−1/lg2C。
lg2D。
−lg26.对于任意的a>0且a≠1，函数f(x)=ax^−1+3的图像必经过点(1,4/5)7.设a=log0.7(0.8)，b=log1.1(0.9)，c=1.10.9，则a<b<c8.下列函数中哪个是幂函数A。
y=−3x^−2B。
y=3^xC。
y=log_3xD。
y=x^2+1是否有模型能够完全符合公司的要求？原因是公司的要求只需要满足以下条件：当x在[10,1000]范围内时，函数为增函数且函数的最大值不超过5.参考数据为e=2.L，e的8次方约为2981.已知函数f(x)=1-2a-a（a>1），求函数f(x)的值域和当x 在[-2,1]范围内时，函数f(x)的最小值为-7.然后求出a的值和函数的最大值。
北京市海淀区2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案
海淀区高一年级练习数 学考生须知：1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分150分，考试时间120分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1,0A =--，则U A = （ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．()0,2D ．()1,22．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ）A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人3．命题“,20x x ∃∈+≤R ”的否定是（ ）A ．,20x x ∃∈+>RB ．,20x x ∃∈+<RC ．,20x x ∀∈+>RD ．,20x x ∀∈+<R 4．方程组202x y x x +=⎧⎨+=⎩解集是（ ）A ．()(){}1,1,1,1--B ．()(){}1,1,2,2-C ．()(){}1,1,2,2--D ．()(){}2,2,2,2-- 5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[]10,20，并分成[)[)[)[)[]10,12,12,14,14,16,16,18,18,20五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）A ．56B ．80C ．144D ．1846．若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．a b >B ．a c b c +>+C ．22a b >D ．22ac bc >7．函数()22x f x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28．在同一个坐标系中，函数()()()log ,,x a a f x x g x a h x x -===的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上单调递减的是（ ）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()11f x x 2=+ D ．()3f x x = 10．已知0.1232,log 3,log 2a b c ===，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>11．已知函数()1212x f x a =-+，则“1a =”是()f x 为奇函数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()()2log 12f x x x =++-，则不等式()0f x <的解集为A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()0,1D ．()1,+∞13．科赫（Koch ）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N 个与它的上一级图形相似，且相似比为r 的部分组成．若1D r N=，则称D 为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）A ．2log 3B ．3log 2C ．1D ．32log 2 14．已知函数()2,,x a x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．1,4⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦ C ．[]4,0 D ．12,4⎡-⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分15．函数()()lg 1f x x =-的定义域是__________．16．已知幂函数()f x 经过点()2,8，则函数()f x =___________．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则a b -=___________．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为12,s s ，则1s ____2s （用“<，>或=”连接）．18．已知函数()4f x x a x=+-没有零点，则a 的一个取值为_______；a 的取值范围是___________．19．已知函数()22,0,0x x x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()f x 的单调递增区间为________；满足()4410f x <⨯的整数解的个数为____________（参考数据：lg 20.30≈）20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock 竞争函数”进行近似估计，其解析式为()()[],0,1,01aa a x S x x a x x =∈>+-（其中参数a 表示市场外部性强度，a 越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：①()S x 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②()S x 在[]0,1上单调递增；③()S x 关于12x =对称； ④取定x ，外部性强度a 越大，()S x 越小．其中所有正确结论的序号是______________．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（本小题12分）化简求值：（I ）()10.530.204640.13π927-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （II ）5log 333325log 2log 59-+ 22．（本小题12分）已知一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x求值：（I ）2212x x +；（II ）1211x x + 23．（本小题9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A ：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B ：石窟寺”、“C ：古建筑及历史纪念建筑物”、“D ：石刻及其他”、“E ：古遗址”、“F ：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（I ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C ：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（II ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A ：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（III ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C ：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为1P ，抽不到海淀区的概率记为2P ，试判断1P 和2P 的大小（直接写出结论）．24．（本小题9分）已知集合{}25320,22|A x x x B x x ⎧⎫=--<=-≥⎨⎬⎩⎭（I ）求,R A B A B ；（II ）记关于x 的不等式()222440x m x m m -+++≤的解集为M ，若B M R =，求实数m 的取值范围．25．（本小题11分）已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =-++，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：条件①：()()0f x f x +-=条件②：()()0f x f x --=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（I ）求实数k 的值；（II ）设函数()()()11k F x x x =-+，判断函数()F x 在区间上()0,1的单调性，并给出证明；（III ）设函数()()2k g x f x x k =++，指出函数()g x 在区间()1,0-上的零点的个数，并说明理由．26．（本小题11分）已知函数()()(),,f x g x h x 的定义域均为R ，给出下面两个定义：①若存在唯一的x ∈R ，使得()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换；②若对任意的x ∈R ，均有()()()()f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 任意交换．（I ）请判断函数()1g x x =+与()1h x x =-关于()2f x x =是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（II ）设()()()22()20,1f x a x a g x x bx =+≠=+-，若存在函数()h x ，使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换，求b 的值；（III ）在（II ）的条件下，若()g x 与()f x 关于()11x x e x e ω-=+唯一交换，求a 的值．。
2023-2024学年河南省开封市通许县高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省开封市通许县高一上册期末数学试题一、单选题1．若{}0,1,2A =，{}3,4B =，{},,M x x ab a A b B ==∈∈，则M 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】C【分析】根据集合M 的定义，结合已知集合,A B ，即可求得结果.【详解】根据题意，{}0,3,4,6,8M =，故M 中元素的个数为5.故选：C.2．已知集合{14},{03}A x x B x x =-<<=<≤∣∣，则A B = （）A ．{14}xx -<<∣B ．{03}xx <≤∣C ．{13}xx -<≤∣D ．{04}xx <<∣【正确答案】B【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】因为集合{14},{03}A xx B x x =-<<=<≤∣∣，所以{03}A B x x =<≤ ∣.故选：B ．3．下列四个选项中，能推出11a b <的是（）A ．0b a >>B ．0a b>>C ．0b a >>D ．0b a>>【正确答案】A【分析】利用不等式的性质即可求解.【详解】解：对A ：因为0b a >>，所以110a b<<；对B ：因为0a b >>，所以110b a<<；对C ：因为0b a >>，所以11a b >；对D ：因为0b a >>，所以11a b>．故选：A.4．若命题“0x ∃∈R ，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或m>2【正确答案】A【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.【详解】命题“0x ∃∈R ，200220x mx m +++<”的否定为“x ∀∈R ，2220x mx m +++≥”，该命题为真命题，即()24420m m ∆=-+≤，解得[]1,2m ∈-.故选：A5．若函数()()2212f x ax a x =+-+在区间(),4∞-上为减函数，则a 的取值范围是（）A ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】分()f x 为一次函数和二次函数讨论，当0a ≠时，()f x 为二次函数，要满足在(),4∞-上为减函数，须使其开口向上，且对称轴再区间(),4∞-右侧，据此求解a 的取值范围即可.【详解】当0a =时，()22f x x =-+，满足在(),4∞-上为减函数；当0a ≠时，()f x 为二次函数，要满足在区间(),4∞-上为减函数，则02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩，解得105a <≤.综上，a 的取值范围是1[0,]5.故选：B.6．定义在()0,∞+的函数()y f x =满足：对1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()39f =，则不等式()3f x x >的解集为（）A ．()9,+∞B ．()0,9C ．()0,3D ．()3,+∞【正确答案】D【分析】构造函数()()f x g x x=，讨论单调性，利用单调性解不等式.【详解】由()()2112120x f x x f x x x ->-且1x ∀，()20,x ∈+∞，则两边同时除以12x x 可得()()121212f x f x x x x x ->-，令()()f x g x x =，则()()f x g x x=在()0,∞+单调递增，由()3f x x >得()3f x x>且(3)(3)33f g ==，即()(3)g x g >解得3x >，故选：D.7．若幂函数()y f x =的图像经过点(，则函数()()23f x f x ⎡⎤-+⎣⎦的最小值为（）A ．114B ．3C ．134D ．72【正确答案】B【分析】根据题意求出幂函数的解析式得到()12f x x ==()()23[]f x f x x -+=，换元法即可求出函数的最值.【详解】设函数()f x x α=，由题意可知：12α==，故12α=，于是()()()1223[]f x x f x f x x ==-+=，t =，则：23x t =+，且0t ≥，故()()()223[]30f x f x x t t t -+==++≥易知函数23y t t =++在[)0,∞+上单调递增，因此当0=t 即3x =时，函数取得最小值3，故选：B.8．设函数()2,0,1,0,x x f x x ⎧≥=⎨<⎩则满足()()2f a f a <的实数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．()0,1D ．()1,+∞【正确答案】B【分析】分类讨论：①当a<0时和②当0a ≥时，由单调性解不等式即可.【详解】①当a<0时，20a <，此时()()21f a f a ==，不合题意；②当0a ≥时，20a ≥，()()2f a f a <可化为222a a <，所以2a a <，解得0a >．综上，实数a 的取值范围是()0,+∞．故选：B ．9．若235log 5,log 7,log 11a b c ===，则下列式子成立的是（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b c a>>【正确答案】A【分析】利用对数的性质判断各式的大小关系.【详解】由323log log log log 2log 52c b a =<==<=<<=，即a b c >>.故选：A10．已知1tan 2θ=，则332sin sin cos sin cos θθθθθ++＝（）A ．12B ．2C ．16D ．6【正确答案】A【分析】巧用1将所求化为齐次式，然后根据基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为1tan 2θ=所以332sin sin cos sin cos θθθθθ++()32232sin sin sin cos cos sin cos θθθθθθθ++=+32322sin sin cos cos sin cos θθθθθθ+=+32tan tan 1tan θθθ+=+311321224132122⎛⎫⨯+⎪⎝⎭===+故选：A11．函数sin 2sin y x x =+，[]0,2x π∈的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为（）A ．[]0,3k ∈B ．[]1,3k ∈C ．()1,3k ∈D ．()0,3k ∈【正确答案】C【分析】根据函数的解析式去绝对值，然后利用正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】因为函数3sin ,[0,π]sin 2sin sin ,(π,2π]x x y x x x x ∈⎧=+=⎨-∈⎩，当[0,π]x ∈时，函数3sin [0,3]y x =∈，当(π,2π]x ∈时，函数sin [0,1]y x =-∈，作出函数的草图如下：由图可知：要使函数sin 2sin y x x =+，[]0,2x π∈的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则有13k <<，故选.C12．将函数π()2cos 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（）A ．函数()g x 的图象关于点π(,1)12-对称B ．函数()g x 的最小正周期是4πC ．函数()g x 在5(0,)12π单调递减D ．函数()g x 在5(0,)12π的最小值是-3【正确答案】C【分析】利用函数cos()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再利用余弦函数的对称性可判断A;利用周期公式，判断B;根据余弦函数的单调性，判断C,D.【详解】由已知可得π()2cos 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，对于A,由于当π12x =-时，()1g x =为函数最大值，故函数()g x 的图象不关于点π(12-，1)对称，故A 错误；对于B,函数()g x 的最小正周期是2π=π2,故B 错误；对于C,当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ2,π66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时g （x ）单调递减．故C 正确；对于D,当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ2,π66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时g （x ）单调递减．5π()()312g x g >=-，故D 错误，故选：C ．二、填空题13．已知集合{}2|(1)320A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数=a __________.【正确答案】1或18-【分析】结合已知条件，求出2(1)320a x x -+-=的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.【详解】若A 恰有两个子集，所以关于x 的方程恰有一个实数解，①当1a =时，23x =，满足题意；②当0a ≠时，810a ∆=+=，所以18a =-，综上所述，1a =或18a =-.故1或18-.14．已知集合{}5237A x x =-<-+<,(){}223120B x x a x a a =--+-<,若B A ⊆，则实数a的取值范围为______．【正确答案】15[,]22-【分析】分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.【详解】依题意，()(){}210B x x a x a =--+<，当21a a <-，即1a >时，(,21)B a a =-，当21a a =-，即1a =时，B =∅，当21a a >-，即1a <时，(21,)B a a =-，又(2,4)A =-，B A ⊆，于是得1214a a >⎧⎨-≤⎩，解得512a <≤，或1212a a <⎧⎨-≥-⎩，解得112a -≤<，而A ∅⊆，则1a =，综上得：1522a -≤≤，所以实数a 的取值范围为15[,]22-．故15[,]22-15．设函数()()212log ,0log ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】()()1,01,-⋃+∞【分析】根据分段函数的解析分0a >和a<0两种情况讨论，再结合对数函数的性质计算可得.【详解】解：由题意可得220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<．∴a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞．故()()1,01,-⋃+∞16．已知1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【正确答案】14【分析】由诱导公式计算．【详解】因为1sin()34πα+=，则1cos()sin(())sin()62634ππππααα-=--=+=．故14．三、解答题17．已知p ：实数x 满足集合{}11A x a x a =-≤≤+，q ：实数x 满足集合B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}.(1)若a ＝﹣1，求A ∪B ；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1){0A B x x ⋃=≤或}3x ≥(2)3a ≤-或4a ≥【分析】（1）利用并集概念及运算即可得到结果；（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，结合数轴得到结果.【详解】（1）因为a ＝－1，所以{}20A x x =-≤≤，又B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}.所以{0A B x x ⋃=≤或}3x ≥（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，所以12a +≤-或13a -≥，所以3a ≤-或4a ≥.18．已知不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．(1)求常数a 的值；(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围．【正确答案】(1)1a =(2)[]4,4-【分析】（1）由题意可得－1和3是方程()21460a x x +--=的解，将=1x -代入方程中可求出a 的值；（2）由240x mx ++≥的解集为R ，可得0∆≤，从而可求出m 的取值范围【详解】（1）因为不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．所以－1和3是方程()21460a x x +--=的解，把=1x -代入方程解得1a =．经验证满足题意（2）若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，即240x mx ++≥的解集为R ，所以2160m ∆=-≤，解得44m -≤≤，所以m 的取值范围是[]4,4-．19．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x ．(1)求函数f （x ）在R 上的解析式；(2)解关于x 的不等式f （x ）＜3．【正确答案】(1)()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩(2)()3,-+∞【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（2）利用分段函数的表达式分别进行求解即可．【详解】（1）当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+-=--，由()f x 是定义在R 上的奇函数，得()()22f x f x x x =--=+，且()00f =，故()22200020x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，，，．（2）当0x >时，223x x -+<恒成立；当0x =时，03<显然成立；当0x <时，223x x +<解得31x -<<，即30x -<<.综上所述：不等式的解集为()3,-+∞．20．已知函数()13x f x a +=-（0a >且1a ≠），若函数()y f x =的图象过点（2，24）．(1)求a 的值及函数()y f x =的零点；(2)求()6f x ≥的解集．【正确答案】(1)3，零点是0(2)[1，+∞）【分析】（1）代值求出函数的表达式，再根据零点的定义求解即可；（2）解不等式即可求出解集.【详解】（1）因为函数f （x ）＝ax +1﹣3（a ＞0且a ≠1），图象过点（2，24），所以24＝a 2+1﹣3，a 3＝27，a ＝3．函数f （x ）＝3x +1﹣3＝0，得x +1＝1，x ＝0．所以函数的零点是0．（2）由f （x ）≥6得3x +1﹣3≥6，即3x +1≥32，所以x ≥1．则f （x ）≥6的解集为[1，+∞）．21．设函数()22()x x f x a a R -=⋅-∈．(1)若函数()y f x =的图象关于原点对称，求函数3()()2g x f x =+的零点0x ；(2)若函数()()42x x h x f x -=++在[0x ∈，1]的最大值为2-，求实数a 的值．【正确答案】(1)1-(2)3-【分析】（1）通过()()0f x f x -+=，求出1a =．得到函数的解析式，解方程，求解函数的零点即可．（2）利用换元法令2x t =，()2h t t at =+，[]1,2t ∈，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可．【详解】（1）解：()f x 的图象关于原点对称，()f x ∴为奇函数，()()0f x f x ∴-+=，22220x x x x a a --∴⋅-+⋅-=，即(1)(22)0x x a -∴-⋅+=，1a ∴=．所以()22x x f x -=-，所以3()222x xg x -=-+，令3()2202x xg x -=-+=，则22(2)3(2)20x x ⋅+⋅-=，(22)(221)0x x ∴+⋅⋅-=，又20x >，2210x ∴⋅-=，解得=1x -，即01x =-，所以函数()g x 的零点为1-．（2）解：因为()2242x x x x h x a --=⋅-++，[]0,1x ∈，令2x t =，则[]1,2t ∈，()2h t t at =+，[]1,2t ∈，对称轴2a t =-，当322a -，即3a -时，()()2422max h t h a ==+=-，3a ∴=-；②当322a ->，即3a <-时，()()112max h t h a ==+=-，3a ∴=-（舍)；综上：实数a 的值为3-．22．已知函数()2sin cos cos ,f x x x x x R=⋅+∈（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值（2）求函数()f x 最小正周期;（3）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.【正确答案】（1（2）最小正周期为π；（3）10,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）将自变量直接代入函数式，求值.（2）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式有()12242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求最小正周期.（3）由给定自变量区间求24x π+的区间，根据正弦函数的性质求()f x 的值域即可.【详解】（1）211sin cos cos 3333444f ππππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭.（2）()11cos 21sin 2sin 222242x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期为π.（3）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()1120,2422f x x π⎡⎤⎛⎫∴=++∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴函数()f x 的值域为12⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题含解析
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（ ） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024高一数学上学期期末考试试题
2024高一数学上学期期末考试试题1. 单选题1. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(x)的图像经过点(1,3)，(2,4)，(3,5)，则a,b,c的值分别为（）。
A. 1, 2, 0B. 1, 0, 2C. 1, -2, 3D. -1, -2, 32. 在平面直角坐标系中，点A(-3, 2)和点B(5, 4)分别为矩形ABCD 的对角线的两个顶点，那么矩形ABCD的面积为（）。
A. 24B. 26C. 12D. 363. 已知向量α, β满足|α| = 3, |β| = 2，且α与β的夹角为60°，则2α与β的夹角为（）。
A. 60°B. 30°C. 120°D. 150°2. 填空题1. 设二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）与直线y=2x-1相切，则a+b+c 的值为（）。
2. 动点P在抛物线y=x^2上运动，若P的纵坐标y增加2，则P的横坐标的增加量为（）。
3. 解答题1. 设向量α = (3,4)以及β = (x,y)，且α与β的夹角为90°，求x和y 的值。
2. 已知点A(1,3)，点B(4,y)关于点A的对称点为C(-1,5)，求点B 的坐标y的值。
3. 求解方程组：{ 2x - y = 1{ x + 3y = 74. 应用题假设一个球从10米高的位置自由落下，在每次反弹时球的高度都会减少到原来的一半。
请计算：1. 第一次反弹后球的高度是多少？2. 球共经过了多少米的路程？3. 球在第几次反弹时，高度将小于0.1米？5. 思考题1. 如何通过勾股定理判断一个三角形是否为直角三角形？2. 请列举一些平面几何中常用的相似三角形判定方法。
这是2024年高一数学上学期期末考试试题，题目包含了单选题、填空题、解答题、应用题和思考题。
请同学们仔细审题，按照题目要求作答，并注意答题的形式和内容要规范准确。
2023-2024学年广东省深圳市高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省深圳市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}24xA x =>，{}ln 1B x x =<，则集合A B = （）A ．(,e)-∞B ．(2,e)C ．(,1)-∞D ．(0,2)【正确答案】B【分析】解不等式求得集合A 、B ，由此求得A B ⋂.【详解】()224222,x x A >=⇒>⇒=+∞，()ln 1ln e 0e 0,e x x B <=⇒<<⇒=，所以()2,e A B ⋂=.故选：B2．记0cos(80)k -=，那么0tan100=A ．kB ．k-C D ．【正确答案】B【详解】()cos 80k -= ,cos80k ∴= ,从而sin80==sin 80tan 80cos80∴==，那么tan100tan(18080)tan 80=-=-=故选B ．3．使不等式101x<<成立的一个充分不必要条件是（）.A ．102x <<B ．1x >C ．2x >D ．0x <【正确答案】C解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式101x<<，∴011x x>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得1x >，故不等式的解集为：(1,)+∞，则其一个充分不必要条件可以是2x >，故选：C ．本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．4．下列函数是偶函数且在区间(–),0∞上为减函数的是（）A ．2y x =B ．1y x=C ．y x =D ．2y x =-【正确答案】C根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】2y x =不是偶函数；1y x=不是偶函数；y x =是偶函数，且函数在(),0∞－上是减函数，所以该项正确；2y x =-是二次函数，是偶函数，且在(–),0∞上是增函数，故选：C.5．将函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A ．3x π=B ．6x π=C ．23x π=D ．x π=【正确答案】D【分析】根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式，从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.【详解】将函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则函数解析式变为2cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；向左平移3π个单位得2cos 2cos 33y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为：x k π=，k ∈Z ，k ＝1时，x π=.故选：D.6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则3131x y x y +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【正确答案】A 【分析】将3131x y x y +--分离常数为112131x y ++--，由1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，可得1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，再结合基本不等式求解即可.【详解】由311311112131131131x y x y x y x y x y -+-++=+=++------，又1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，所以1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，所以()11111311311124131131311x y x y x y x y y x ⎛⎫--+=-+-+=+++≥+= ⎪------⎝⎭，当且仅当131311x y y x --=--，即32x =，12y =时，等号成立，故3131x y x y +--的最小值为6.故选：A.7．已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log 2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b>>【正确答案】A首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<.故选：A.关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2x f x =的性质，后面的问题迎刃而解.8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P 的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（）A ．()2cos 2,1sin 2--B ．()1sin 2,2cos 2--C ．()1cos 2,2sin 2--D ．()2sin 2,1cos 2--【正确答案】D【分析】如图，根据题意可得22BAP π∠=-，利用三角函数的定义和诱导公式求出cos 2sin 2DP DA =-=，，进而得出结果.【详解】如图，由题意知， 2BPOB ==，因为圆的半径1R =，所以22DAP π∠=-，所以sin(2)cos 2cos(2)sin 222DP AP DA AP ππ=-=-=-=，，所以2sin 21cos 2OC PC =-=-，，即点(2sin 2,1cos 2)P --.故选：D 二、多选题9．下列函数中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（）A ．12y x =B ．y ＝x 2﹣2x +1C ．3y x=D ．3y x =【正确答案】ACD【分析】先判断函数的单调性，再求每个函数的值域得解.【详解】解：A.12y x =在（0，+∞）上是增函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确；B.y ＝x 2﹣2x +1在（0，+∞）上的值域是[0,)+∞，所以该选项错误；C.3y x=在（0，+∞）上是减函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确；D.3y x =在（0，+∞）上是增函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确.故选：ACD10．下列各式的值为1的是（）A ．tan20tan25tan20tan251+-B ．13661log 27log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭C ．sin72cos18cos108sin18-D ．22cos 2251⋅- 【正确答案】BC【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.【详解】()tan20tan25tan20tan25tan 2025tan451,A tan20tan2511tan20tan25++=-=-+=-=---错误；()1366666661log 27log 83log 33log 223log 3log 223log 621,B8-⎛⎫+-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭对；()sin72cos18cos108sin18sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901,C -=+=+== 对；22cos 22.51cos452-==，D 错误.故选：BC.11．下列说法正确的是（）A ．()f x x =与()ln e xg x =为同一函数B ．已知a ，b 为非零实数，且a b >，则2211ab a b>恒成立C ．若等式的左、右两边都有意义，则442sin cos 2sin 1ααα-=-恒成立D ．关于函数()2311x f x x =+-有两个零点，且其中一个零点在区间()1,2【正确答案】ABCD【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.【详解】对于A ，因为函数()f x x =与()ln e xg x x ==的定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，因为a ，b 为非零实数，且a b >，所以2222110a b ab a b a b --=>，故选项B 成立；对于C ，因为442222sin cos (sin cos )(sin cos )αααααα-=+-222sin cos 2sin 1ααα=-=-，故选项C 正确；对于D ，因为函数2()311x f x x =+-的零点个数等价于()3x g x =与2()11h x x =-图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，且(1)3(1)10g h =<=，(2)9(2)7g h =>=，所以函数2()311x f x x =+-有两个零点，且其中一个在(1,2)上，故选项D 正确，故选.ABCD12．已知函数2()1f x x mx =+-，则下列说法中正确的是（）A ．若12,x x 为方程()6f x =-的两实数根，且21123x x x x +=，则5m =±B ．若方程()2f x =-的两实数根都在(0,2)，则实数m 的取值范围是5(,2]2--C ．若(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x <，则实数m 的取值范围是(2,2)-D ．若[],1x m m ∀∈+，()0f x <，则实数m的取值范围是(2-【正确答案】ABD【分析】对于A ，由已知结合方程的根与系数关系可求；对于B ，结合二次方程的实根分布可求；对于C ，由已知不等式分离参数可得1m x x<+，然后结合基本不等式可求；对于D ，由已知结合二次函数的性质可求.【详解】对于A ，因为12,x x 为方程()6f x =-的两实数根，即12,x x 是方程250x mx ++=的两实数根，所以满足12125x x mx x +=-⎧⎨⋅=⎩，因为222112121212()2()2535x x x x x x m x x x x +---⨯+===，则5m =±，此时2450m ∆=-⨯>，故A 正确；对于B ，因为方程()2f x =-的两实数根都在(0,2)，即方程210x mx ++=的两实数根都在(0,2)，所以需满足2220224000102210m m m m ⎧<-<⎪⎪⎪-⎨⎪+⋅+>⎪+⋅+>⎪⎩，可得522m -<-，故B 正确；对于C ，因为(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x <，则210x mx -+>，即1m x x<+，因为12x x +，则2m <，故C 错误；对于D ，因为2()1f x x mx =+-图像开口向上，[x m ∀∈，1]m +，都有()0f x <，所以()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，即22210(1)(1)10m m m m ⎧-<⎨+-+-<⎩，解得02m -<<，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知函数()21f x x -=，则()2f -=__________.【正确答案】12-##0.5-【分析】令212x -=-求出x 的值，即为结果.【详解】令212x -=-，得12x =-，所以()122f -=-.故12-14．函数()lg sin y x =________.【正确答案】|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭由题意得sin 01cos 02x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得即可.【详解】由题意，要使函数有意义，则sin 01cos 02x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，即sin 01cos 2x x >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得()()22,22,33k x k k Z k x k k Z πππππππ⎧<<+∈⎪⎨-+≤≤+∈⎪⎩，所以()223k x k k Z πππ<≤+∈所以函数的定义域为|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为.|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.15．已知()1sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为44⎡-⎢⎥⎣⎦；④()f x 的图象可由()1sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度得到．以上四个说法中，正确的有为______．【正确答案】②【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】解：因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故①不正确；因为ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上递增，所以()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确；因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故③不正确；由于1π1πg()sin(2sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，故④不正确．故②．16．函数()(||2)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为1-，最大值是3，则n m -的最大值为__________.【正确答案】4【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出()3f x =和()1f x =-()0x <时自变量的值，结合图象得到n m -的最大值.【详解】解：函数()(2),0()2(2),0x x x f x x x x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩的图象如下，当0x ≥时，令(2)3x x -=，得11(x =-舍)，23x =，当0x <时，令(2)1x x --=-，得312x =--，412(x =-舍)，结合图象可得max 23()3(12)4 2.n m x x -=-=--=故42四、解答题17．完成下列计算，保留应有过程.(1)2sin 4cos 34?sin 34--=；(2)已知1sin cos 8αα=，且ππ42α<<，则cos sin ?αα-=；【正确答案】(1)3-(2)32【分析】（1）利用两角和差余弦公式和辅助角公式可化简分子为334- ，由此可得结果；（2）根据cos sin αα<，结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】（1）33sin 442sin 4cos342sin 4cos30cos 4sin 30sin 422sin 34sin 34sin 34+----+==-()34303343sin 34sin 34+==-=-（2）∵ππ42α<<，则cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴()213cos sin cos sin 12sin cos 142αααααα-=--=--=--=-.18．设x ∈R ，函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求ω和ϕ的值；(2)在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π上的图像；(3)若()f x >x 的取值范围．【正确答案】(1)2ω=，3πϕ=-(2)作图见解析(3)7{|,Z}2424x k x k k ππππ+<<+∈【分析】（1）利用最小正周期和4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭ωφ，即可；（2）利用列表，描点画出()f x 图像即可；（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.【详解】（1）∵函数()f x 的最小正周期2T ππω==，∴2ω=．∵cos 2cos sin 442f πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且02πϕ-<<，∴3πϕ=-．（2）由（1）知()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：x 06π512π23π1112ππ23x π-3π-02ππ32π53π()f x 1210－1012()f x 在[]0,π上的图像如图所示：（3）∵()f x >cos 232x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴222()434k x k k πππππ-<-<+∈Z ，则7222()1212k x k k ππππ+<<+∈Z ，即7()2424k x k k ππππ+<<+∈Z ．∴x 的取值范围是7{|,Z}2424x k x k k ππππ+<<+∈19．已知2(2)f x x bx c =++，不等式()12f x <-的解集是(2,3).(1)求()f x 的解析式；(2)不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解仅有2个，求实数k 取值范围；(3)若对于任意[1x ∈-，1]，不等式()2t f x ⋅恒成立，求t 的取值范围.【正确答案】(1)2()210f x x x=-(2)[3,2)--(3)11[,]46-【分析】（1）结合根与系数关系求得b ，c ；（2）根据不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解仅有2个，可得到758k <-，即可求解；（3）对t 进行分类讨论，结合函数的单调性求得t 的取值范围.【详解】（1）因为2(2)f x x bx c =++，不等式()12f x <-的解集是(2,3)，所以2，3是一元二次方程22120x bx c +++=的两个实数根，可得23212232b c ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩，所以2()210f x x x =-；（2）不等式()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩，即2221002()10()0x x x k x k ⎧->⎨+-+<⎩，解得5,05x x k x k><⎧⎨-<<-⎩，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6､7，可得到758k <-，解得32k -<-，则实数k 取值范围是[3-，2)-；（3）因为对于任意[1x ∈-，1]，不等式()2t f x ⋅恒成立，所以2510tx tx --≤，当0=t 时，10-<恒成立；当0t >时，函数251y tx tx =--在[1x ∈-，1]上单调递减，所以只需满足()()()2115110f t t -=⋅--⋅--≤，解得106t <；当0t <时，函数251y tx tx =--在[1x ∈-，1]上单调递增，所以只需满足f （1）215110t t =⋅-⋅-≤，解得104t -<，综上，t 的取值范围是11[,]46-.20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P 到水面的距离h （单位：m ，在水面下，h 为负数）表示为时间t （单位：s ）的函数，并求13t =时，点P 到水面的距离；(2)在点P 从0P 开始转动的一圈内，点P 到水面的距离不低于4m 的时间有多长？【正确答案】(1)()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2m (2)4s【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h 关于时间t 的函数，和13t =时的函数值；（2）先确定定义域[]0,12t ∈，再求解不等式，得到26t ≤≤，从而求出答案.【详解】（1）筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为52ππ606⨯=()rad /s ，故()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()13ππ134sin 2266h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故点P 到水面的距离为2m（2）点P 从0P 开始转动的一圈，所用时间012t =，令()ππ4sin 2466h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]0,12t ∈，解得：26t ≤≤，则624-=，故点P 到水面的距离不低于4m 的时间为4s.21．已知函数4()log (41)x f x kx =++与44()log (2)3x g x a a =⋅-，其中()f x 是偶函数．（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）求函数()g x 的定义域；（Ⅲ）若函数()()()F x f x g x =-只有一个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）12k =-；（Ⅱ）分类讨论，答案见解析；（Ⅲ）{}()31,-⋃+∞．（Ⅰ）由偶函数的性质，运算即可得解；（Ⅱ）转化条件为4203x a a ⋅->，按照0a >、a<0分类，即可得解；（Ⅲ）由对数的运算性质转化条件得方程()()22421223x x x a a +=-⋅有且只有一个实根，换元后，结合一元二次方程根的分布即可得解.【详解】（Ⅰ）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x =-，∴44log (41)log (41)x x kx kx -++=+-，∴441log 241x x kx -+=-+，∴44(41)log 241x x x x kx +==-+，即(21)0k x +=对一切x R ∈恒成立，∴12k =-；（Ⅱ）要使函数()g x 有意义，需4203x a a ⋅->，当0a >时，423x >，解得24log 3x >，当a<0时，423x <，解得24log 3x <，综上可知，当0a >时，()g x 的定义域为24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当a<0时，()g x 的定义域为24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵()()()F x f x g x =-4414log (41)log 223x x x a a ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭只有一个零点，∴方程4414log (41)log 223x x x a a ⎛⎫+=+⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根，即方程2444444log (41)log 4log 2log 2233xx x x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦有且只有一个实根，亦即方程()()22421223x x x a a +=-⋅有且只有一个实根，令2x t =（0t >），则方程24(1)103a a t t ---=有且只有一个正根，①当1a =时，34t =-，不合题意；②当1a ≠时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由0∆=可得244(1)03a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得34a =或3-若34a =，则2t =-不合题意，舍去；若3a =-，则12t =满足条件；若方程有两根异号，则244(1)03101a a a ⎧⎛⎫∆=+->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨-⎪<⎪-⎩，∴1a >，综上所述，实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞.方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人.疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题.【主题一】【科学抗疫，新药研发】(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ktc t c e -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A ．5.32h B ．6.23h C ．6.93h D ．7.52h【主题二】【及时隔离，避免感染】(2)为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米()0a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低．【正确答案】(1)C(2)当01a <≤时，x =时总价最低；当1a >时，8x =时总价最低【分析】（1）利用已知条件0.10()e 2000e kt t c t c --==，求解指数不等式得答案．（2）根据题意表达出总造价()768001200,08a y x x x =+<≤，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.【详解】（1）解：由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，由10.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12e 1t -≥，故0.1ln 2t -≥-，ln 2 6.93h 0.1t ∴≤≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．故选：C ．（2）解：由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504a y x x =⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08a y x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥，当且仅当768001200a x x =，即x =取等号.故当8≤，即1a ≤，x =当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =时总价最低；当1a >时，8x =时总价最低.。
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商都高级中学高一数学期末考试试题
命题人： 栗文玲
一、选择题 (每小题5分,共50分)
1.下列事件中,不可能发生的事件是 ( ) A.三角形的内角和为180° B.三角形中大边对的角也较大
C.直角三角形中两个锐角的和小于90°
D.三角形中任意两边之和大于第三边 2.下面四个事件：
①明天天晴；②常温下,铁能够熔化；
③抛一枚硬币，出现正面向上的结果；④ 若x R ∈,则2
0x <；
其中随机事件的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ( )
3.一枚伍分硬币连掷3次,只有1次正面向上的概率为 ( ) A.
38 B.25 C. 13 D.14
4. 某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
5.300o 化为弧度为（ ）
A 67π
B 32π
C 35π
D 6
11π
6.与30o 角终边相同的角化为弧度表示的集合为（ ）
A {α| α= 6
π
+2k π,k ∈Z} B {
α|α=6
π
+k π,k ∈Z}
C {α| α= 3
π
+2k π,k ∈Z} D{
α|α=3
π
+k π,k ∈Z}
7.半径为πcm ，中心角为120o
的弧长为
（ ）
A ．cm 3
π
B ．
cm 3
2
π
C ．cm 3
2π
D ．cm 3
22
π 8. 已知sin α<0, cos α>0,则角α为（ ）
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角 9.下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A .cos 4y x =
B .sin 2y x =
C .sin 2x y =
D .cos 4
x
y =
10．函数)3
x 2sin(3y π
+=的图象，可由函数sinx y =的图象经过下述________变换
而得到（ ）. A.向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21
，纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移
3π个单位，横坐标缩小到原来的2
1
，纵坐标扩大到原来的3倍 C. 向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的3
1 D.向左平移
6π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标缩小到原来的3
1
二、填空题(每小题5分,共20分)
11.袋中5个球,其中3个是红球,2个是白球.从中任取2个球,这2个球都是红球的概率为
_________
12.α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=4
2
x ，则sin α的值为 ______
13函数y=sin2x 的单调减区间______. 14.sin
34π·cos 6
25π·tan 45π的值是_______. 15.（1）把与-60o 角终边相同的角的集合写成)3600(360000<≤⋅+ααk 的形式； （2）若角M ∈α且]360,360[00-∈α，求角α；
16.已知tana=2，求sina ，cosa 的值。
17.已知2tan =α，求下列各式的值： （1）2cos sin sin 2+⋅-ααα （2）α
αα
αcos 3sin 5cos sin +-
18.化简：)4sin()3sin()3cos()
8cos()2cos()5sin(πθπθθπθπθπ
πθ-------
19已知R x x x f ∈-+=,1)4
21sin(3)(π
，求：
（1）函数f(x)的最小值及此时自变量x 的取值的集合；
（2）函数y=sinx 图象经过怎样的变换得到函数1)4
21sin(3)(-+=π
x x f 的图象？
商都高级中学高一数学期末考试试题(答题卡） 命题人： 栗文玲
一 选择题（50分）
二 填空题（20分）
11 ______________. 12_________________.
13___________________________.14_______________
三 解答题（共50分）
15.（1）把与-60o 角终边相同的角的集合写成)3600(360000<≤⋅+ααk 的形式； （2）若角M ∈α且]360,360[00-∈α，求角α；
16.已知tana=2，求sina ，cosa 的值。
17.已知2tan =α，求下列各式的值： （1）2cos sin sin 2+⋅-ααα （2）α
αα
αcos 3sin 5cos sin +-
18.化简：)4sin()3sin()3cos()
8cos()2cos()5sin(πθπθθπθπθπ
πθ-------
19. 已知R x x x f ∈-+=,1)4
21sin(3)(π
，求：
（3）函数f(x)的最小值及此时自变量x 的取值的集合；
（4）函数y=sinx 图象经过怎样的变换得到函数1)4
21sin(3)(-+=π
x x f 的图象？。