数学物理方法4.1 数项级数、幂级数
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4.1数项级数
∑
∞
n=1
∑
∞
1 1 1 1 1 发散. =1+ + + L+ +L 发散. n 2 3 4 n
n→ ∞
lim S n = S ,
n→ ∞
lim S 2 n = S ,
于是
n→∞
lim ( S 2n − S n )= S − S = 0.
1 1 1 1 1 1 1 > + +L+ = , 但S 2 n − S n = + +L+ 2 n 2n 2n n+1 n+ 2 2n 1442443 2
a (1− q n ) （ 2） 当 q > 1 时 ， ∵ lim S n = lim =∞ ， n→∞ n→∞ 1− q
级数发散. ∴级数发散.
（3 ）当 q =1 时，
故级数发散. ① 当 q =1 时， lim S n = lim na = ∞ ，故级数发散.
n→∞ n→∞
② 当 q = −1 时， S n = a − a + a − a +L+ ( −1)n−1 a ，
等比级数
n −1 q < 1,收敛 ∑ aq q ≥ 1,发散 n =1 ∞
∞
级数
n=1
∑ un
n→ ∞
lim u n ≠ 0 ⇒ 发散
n→∞
lim un = 0, 不一定收敛 .
利用级数的基本性质 判定其敛散性
利用级数收敛和发散的 定义 判定其敛散性
n
1 n2 n ) ]
1 e
0
= 1 ≠ 0,
lim [(1 +
∞
数学物理方法4.1 数项级数、幂级数
n
所以，级数的收敛半径是1
幂级数收敛半径判别法
比式判别法
根式判别法
讨论： 两者结果应该是一致的！ 如何证明之？
收敛半径判别：举例
解：根据比式判别法，知lim | cn1 | 1，所以该级数的收敛半径为1；
当z
0时，级数为
n
(1)
n cn ，级数收敛，但不绝对收敛；
当z
n1
2时，级数为
n 1，级数发散。
k 1
k 1
k 1
无穷多项
函数项级数
函数项级数：
f1(z) f2 (z) fn (z)
注意：所有函数项在同 一个区域D内有定义。
n
前n项和 Sn (z) fk (z) k 1
若在D内每一点都有，S ( z )
lim
n
S
n
(
z
)
k 1
fk (z)
那么：
称函数项级数在D内收敛。 结果：
b(1 z / b) b 1 z / b b n0 bn
3、分析运算（求导，求积分）
解：该函数 d
1
d
(1)n z n n(1)n1 z n1
dz 1 z dz n0
n1
第四章 解析函数的幂级数
➢复数项级数 ➢幂级数 ➢泰勒（Taylor）级数 ➢罗朗（Laurent）级数
本章以函数的复变函数微分知识为基础； 是第五章（留数）的重要基础。
复数项级数
称表达式：
α1+α2+α3+…+αn+…
为无穷级数，记为
k
k 1
其中 k ak ibk
前n项和Sn
n
n
n
所以，级数的收敛半径是1
幂级数收敛半径判别法
比式判别法
根式判别法
讨论： 两者结果应该是一致的！ 如何证明之？
收敛半径判别：举例
解：根据比式判别法，知lim | cn1 | 1，所以该级数的收敛半径为1；
当z
0时，级数为
n
(1)
n cn ，级数收敛，但不绝对收敛；
当z
n1
2时，级数为
n 1，级数发散。
k 1
k 1
k 1
无穷多项
函数项级数
函数项级数：
f1(z) f2 (z) fn (z)
注意：所有函数项在同 一个区域D内有定义。
n
前n项和 Sn (z) fk (z) k 1
若在D内每一点都有，S ( z )
lim
n
S
n
(
z
)
k 1
fk (z)
那么：
称函数项级数在D内收敛。 结果：
b(1 z / b) b 1 z / b b n0 bn
3、分析运算（求导，求积分）
解：该函数 d
1
d
(1)n z n n(1)n1 z n1
dz 1 z dz n0
n1
第四章 解析函数的幂级数
➢复数项级数 ➢幂级数 ➢泰勒（Taylor）级数 ➢罗朗（Laurent）级数
本章以函数的复变函数微分知识为基础； 是第五章（留数）的重要基础。
复数项级数
称表达式：
α1+α2+α3+…+αn+…
为无穷级数，记为
k
k 1
其中 k ak ibk
前n项和Sn
n
n
n
4-1复数项级数与幂级数
n0
n0
25
如果级数 cnz0n发散, 且如果| z || z0 | n0
用反证法, 设级数 cnzn反而收敛,则根据 n0
前面的结论可导出 cnz0n收敛,与所设 n0
矛盾. 因此只能是 cnzn发散 n0
26
2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出 幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛 情况不外乎三种:
3
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
收敛到-1
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
不收敛
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛到0
4
二、级数的概念
1.定义 设{n} {an ibn} (n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
34
更为重要的是代换(复合)运算
如果当| z | r时, f (z) an zn ,又设在 | z | R n0
内g(z)解析且满足 | g(z) | r,则当| z | R时,
f [g(z)] an[g(z)]n. n0
• 这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着 广泛的应用.
35
n0
这种级数称为幂级数.
• 如果令za=z, 则(4.2.2)成为
cnz n , 这是
• (4.2.3)的形式, 为了方便, 今后n常0就(4.2.3)讨论
23
定理一(阿贝尔Abel定理)
如果级数 cnzn在z z0( 0)收敛,则对满足 n0
数学物理方法复变函数第三章幂级数
阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分 和进行估计来确定收敛半径的方法， 适用于幂级数的系数随幂次增加而趋 于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
数学物理方法课件：04第四章 解析函数的幂级数表示 (1)
z n1
( z 1)
n0 n 1
1
zn ( z 1)
微分 m 次
1 z n0
m!
(1 z)m1
n(n 1)...(n m 1) znm
nm
n=m+k
1 (1 z)m1
Ck mk
k0
zk
(z
1)
一般情形
1 (1 z)
1 ( 1)...( k 1) zk ( z 1)
级数 (1) 处处发散，级数 (3) 处处绝对收敛；
级数 (2) 在 z=1 处发散，在其余点处收敛。
魏尔斯特拉斯定理 + 阿贝尔定理
➢ 幂级数的和函数在收敛圆内解析
幂级数 cn (z a)n 的和函数 f(z) 在收敛圆 |z-a|=R n0
的内部解析，可逐项求导、逐项积分：
z
f ( )d
1
zn ( z 1)
n0 n!
1 z n0
•导出：cos z ei z ei z 1 z2 z4 (1)n z2n
2
2! 4!
(2n)!
积分
sin z
zz
z3
z5
(1)n
z 2n1
0
3! 5!
(2n 1)!
z dz
lnk (1-z) lnk1 0 1 z
k 1
k!
规定 (1 z) |z0 1
例2：求 f (z) ez 在 z=0 和 z=3 处的泰勒展开
1 z
在
ez
zn ,
1
zn
z=0
n0 n! 1 z n0
收敛半径 = 1
处
幂级数相乘：f (z) cn zn ,
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
THANKS
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幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
4-1复数项级数和幂级数
则 limr n cosn limr n sinn 0, lim n 0
n
n
n
20
（2） 若r 1, 则 n r n(cosn i sinn ),
则1
n
r -n[co（s - n）
i sin（- n )],
r-n[cosn - i sinn ],
则 limr-n 0,cosn ,sinn有界， n
称为该级数前n项的部分和.
24
n
Sn (z) f1(z) f2(z) fn(z)= fk (z) k 1
若对
D
内的
某一点
z0，
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 )
存在，称 fn(z) 在 z0 收敛, 且S(z0 )为它的和.
n1
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 S(z)
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
其中 z R, R min( r1, r2 )
32
定理4 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R, 则
（1）
1 (1 i ),
n1 n
n
(2)
(1
1
i
)e n
n1
n
解
（1）
n1
1 (1 n
i )= n
n1
(
1 n
i n2
)
(8i)n
(3) n1 n!
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1、代数运算（加减乘除） 2、代换运算
解：该函数 1 1 1 1 zn
b(1 z / b) b 1 z / b b n0 bn
3、分析运算（求导，求积分）
解：该函数 d
1
d
(1)n z n n(1)n1 z n1
dz 1 z dz n0
n1
lim
n
S
n
(
z
)
k 1
fk (z)
那么：
称函数项级数在D内收敛。 结果：
讨论函数项级数
n1
sin nz的敛散性。 n2
当z是实数时，此级数绝对收敛； 当Im(z) 0时，此级数发散。
特殊的函数项级数：幂级数
若 fn (z) cn (z z0 )n ，则函数项级数
cn (z z0 )n
n0
n
解：根据根式判别法，需计算 lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 |
n
n
lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 | lim(1 sin 1 )n
n
n
n
n
lim(1 sin
1
(1/
)
sin
1 n
)(
sin 1 n
1/ n
)
e 1
n
n
所以，该级数的收敛半径是e
幂级数的运算：利用运算法则展开级数
幂级数的收敛半径
根据Abel判别法，对任意幂级数，总是存在一个圆， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；
概念：(收敛圆)
区域|z|<|z0|=R表示一个圆盘（不包括圆周）， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；该圆周称为收
敛圆，半径R是收敛半径。
例：讨论级数 求其收敛半径。
的敛散性，
解：级数的前n项和为Sn
1 zn 1 z
,
当
|
z
|
1时，lim n
S
n
1 zn 1 z
1 1 z
,
当
|
z
|
1时，S
发散，即级数发散
n
所以，级数的收敛半径是1
幂级数收敛半径判别法
比式判别法
根式判别法
讨论： 两者结果应该是一致的！ 如何证明之？
收敛半径判别：举例
解：根据比式判别法，知lim | cn1 | 1，所以该级数的收敛半径为1；
当z
0时，级数为
n
(1)
n cn ，级数收敛，但不绝对收敛；
当z
n1
2时，级数为
n 1，级数发散。
n1 n
例4：
n0
n! nn
zn
解：采用比式判别法，则 lim
n
(n 1)! (n 1)n1
nn n!
lim
n
nn (n 1)n
e1
所以，该级数的收敛半径为e.
收敛半径判别：举例
例5： (1)n (1 sin 1 )n2 zn
分离实部虚部，则
n
n
lim
n
Sn
lim
n
k 1
ak
i lim n
bk
k 1
Sr iSi
n
n
结论：复数项级数收敛<=>实数项级数 ak 和 bk
都收敛。
k 1
k 1
实数项级数收敛的必要条件是：llnniimm
an bn
0 0
那么：
lim
n
n
0
复数项级数的敛散性
收敛与绝对收敛的关系
如果|k |收敛，则，k 必收敛。称为绝对收敛
n0
称为幂级数，特例z0=0，则 cn zn n0
幂级数敛散性判别（Abel判别法）
若级数 cn zn在z0处收敛，那么当 | z || z0 | 时，该级数绝对收敛； n0
若级数 cn zn在z0处发散，那么当 | z || z0 | 时，该级数发散； n0 当|z|=|z0| 时，级数的敛散性? 具体问题具体分析！
k 1
k
逆命题不成立。
讨论级数
k 1
in n1
, (
0)
的敛散性。
当δ>0时，级数绝对收敛；
当δ=0时，级数收敛但不绝对收敛；
函数项级数
函数项级数：
f1(z) f2 (z) fn (z)
注意：所有函数项在同 一个区域D内有定义。
n
前n项和 Sn (z) fk (z) k 1
若在D内每一点都有，S ( z )
数学物理方法4.1 数项级数、幂级数
复数项级数
称表达式：
α1+α2+α3+…+αn+…
为无穷级数，记为
k
k 1
其中 k ak ibk
前n项和Sn
n
n
n
Sn k ak i bk
k 1
k 1
k 1
无穷多项
复数项级数的敛散性
若部分和Sn有极限：lnim Sn S ，则称级数为收敛级 数；反之，则为发散级数。
解：该函数 1 1 1 1 zn
b(1 z / b) b 1 z / b b n0 bn
3、分析运算（求导，求积分）
解：该函数 d
1
d
(1)n z n n(1)n1 z n1
dz 1 z dz n0
n1
lim
n
S
n
(
z
)
k 1
fk (z)
那么：
称函数项级数在D内收敛。 结果：
讨论函数项级数
n1
sin nz的敛散性。 n2
当z是实数时，此级数绝对收敛； 当Im(z) 0时，此级数发散。
特殊的函数项级数：幂级数
若 fn (z) cn (z z0 )n ，则函数项级数
cn (z z0 )n
n0
n
解：根据根式判别法，需计算 lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 |
n
n
lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 | lim(1 sin 1 )n
n
n
n
n
lim(1 sin
1
(1/
)
sin
1 n
)(
sin 1 n
1/ n
)
e 1
n
n
所以，该级数的收敛半径是e
幂级数的运算：利用运算法则展开级数
幂级数的收敛半径
根据Abel判别法，对任意幂级数，总是存在一个圆， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；
概念：(收敛圆)
区域|z|<|z0|=R表示一个圆盘（不包括圆周）， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；该圆周称为收
敛圆，半径R是收敛半径。
例：讨论级数 求其收敛半径。
的敛散性，
解：级数的前n项和为Sn
1 zn 1 z
,
当
|
z
|
1时，lim n
S
n
1 zn 1 z
1 1 z
,
当
|
z
|
1时，S
发散，即级数发散
n
所以，级数的收敛半径是1
幂级数收敛半径判别法
比式判别法
根式判别法
讨论： 两者结果应该是一致的！ 如何证明之？
收敛半径判别：举例
解：根据比式判别法，知lim | cn1 | 1，所以该级数的收敛半径为1；
当z
0时，级数为
n
(1)
n cn ，级数收敛，但不绝对收敛；
当z
n1
2时，级数为
n 1，级数发散。
n1 n
例4：
n0
n! nn
zn
解：采用比式判别法，则 lim
n
(n 1)! (n 1)n1
nn n!
lim
n
nn (n 1)n
e1
所以，该级数的收敛半径为e.
收敛半径判别：举例
例5： (1)n (1 sin 1 )n2 zn
分离实部虚部，则
n
n
lim
n
Sn
lim
n
k 1
ak
i lim n
bk
k 1
Sr iSi
n
n
结论：复数项级数收敛<=>实数项级数 ak 和 bk
都收敛。
k 1
k 1
实数项级数收敛的必要条件是：llnniimm
an bn
0 0
那么：
lim
n
n
0
复数项级数的敛散性
收敛与绝对收敛的关系
如果|k |收敛，则，k 必收敛。称为绝对收敛
n0
称为幂级数，特例z0=0，则 cn zn n0
幂级数敛散性判别（Abel判别法）
若级数 cn zn在z0处收敛，那么当 | z || z0 | 时，该级数绝对收敛； n0
若级数 cn zn在z0处发散，那么当 | z || z0 | 时，该级数发散； n0 当|z|=|z0| 时，级数的敛散性? 具体问题具体分析！
k 1
k
逆命题不成立。
讨论级数
k 1
in n1
, (
0)
的敛散性。
当δ>0时，级数绝对收敛；
当δ=0时，级数收敛但不绝对收敛；
函数项级数
函数项级数：
f1(z) f2 (z) fn (z)
注意：所有函数项在同 一个区域D内有定义。
n
前n项和 Sn (z) fk (z) k 1
若在D内每一点都有，S ( z )
数学物理方法4.1 数项级数、幂级数
复数项级数
称表达式：
α1+α2+α3+…+αn+…
为无穷级数，记为
k
k 1
其中 k ak ibk
前n项和Sn
n
n
n
Sn k ak i bk
k 1
k 1
k 1
无穷多项
复数项级数的敛散性
若部分和Sn有极限：lnim Sn S ，则称级数为收敛级 数；反之，则为发散级数。