(学生)九年级相似三角形动点问题

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(学生)九年级相似三角形动点问题

实用标准文档相似三角形动点问题一．选择题（共1小题）1．如图，小形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1，故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B．二．填空题（共10小题）2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当= 或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的．解：设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2，①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴，②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴，③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=∴，④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且，∴=，∴=，∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的，故答案为：或或．3．如图，在形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x= 或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．相似三角形的性质；形的性质．，AB=1∴CN=×1=，∵BM=x，∴CM=1﹣x，①当CN与BM是对应边时，=，即=解得x=，②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．综上所述，x的值是或．故答案为：或．4.在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 1 条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= 或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．分析：5．如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点D 从A点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是 3秒或4.8秒．（1）过点P 作l 3∥BC 交AC 于Q ，则△APQ ∽△ABC ，l 3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P 作l 3∥BC 交AC 于Q ，则△APQ ∽△ABC ；故答案为：1；（2）设P （l x ）截得的三角形面积为S ，S=S △ABC ，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l 1，此时P 为斜边AB 中点，l 1∥AC ，∴=； ②第2条l 2，此时P 为斜边AB 中点，l 2∥BC ，∴=；③第3条l 3，此时BP 与BC 为对应边，且=，∴==；④第4条l 4，此时AP 与AC 为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．动点型；分析：如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB=AE：AC，∴t：6=（12﹣2t）：12∴t=3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC=AE：AB，∴t：12=（12﹣2t）：6，∴t=4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．三．解答题（共19小题）1．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．动点型．分析：首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC 时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．2．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．分析：（1）①可通过构建全等三角形来求解；②可根据相似比来求面积比．（2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时；解：（1）①证明：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°∴∠HPC+∠CPN=90°∵∠CPN+∠NPD=90∴∠HPC=∠NPD∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN又∵∠PHC=∠PND=90°∴△PCH≌△PDN∴PC=PD②∵PC=PD∴∠PDG=45°∵∠POD=45°∴∠PDG=∠POD∵∠GPD=∠DPO∴△POD∽△PDG∴．（2）①若PC与边OA相交，∵∠PDE＞∠CDO令△PDE∽△OCD∴∠CDO=∠PED∴CE=CD∵CO⊥ED∴OE=OD∴OP=ED=OD=1②若PC与边OA的反向延长线相交过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，∵∠PED＞∠EDC令△PDE∽△ODC∴∠PDE=∠ODC∵∠OEC=∠PED∴∠PDE=∠HCP∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND∴HC=ND，PC=PD∴∠PDC=45°∴∠PDO=∠PCH=22.5°∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣∵HC=HO+OC=+x∴1﹣=+x∴x=即OP=3．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题：（1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由）（2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形．（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．九年级相似三角形动点问题分析：（1）不能相似，因为相似时，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的锐角不能为30°；（2）分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，③当QA=QD时，求出AQ长即可；（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据△ROC ≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，根据△RQE∽△PQA得出=，代入求出即可．解：（1）不能相似；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3；②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC﹣CE=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面积公式得：S△ADE=×AD×DE=AE×DM，∴DM=cm，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM==（cm），∵DM⊥AQ，AD=DQ，∴AQ=2AM=cm（三线合一定理），即t=；③当QA=QD时，过Q作QN⊥AD于N，则AN=ND=，∵∠ADC=∠ANQ=90°∴QN∥DC，∵DN=AN，∴EQ=AQ=AE=×5cm=cm，即t=九年级相似三角形动点问题综合上述，当t为3秒或秒或秒时，△ADQ是等腰三角形．（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠OCR=∠OAP，∵在△ROC和△POA中，，∴△ROC≌△POA（ASA），∴CR=AP=2t，∵CE=2，∴RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，∵DC∥AB，∴△RQE∽△PQA，∴=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去）．即t=3秒时，直线PQ平分矩形ABCD的面积．4．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与Rt△OAB相似，并直接写出点C 的坐标．分析：根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似，根据网格结构写出此时点C的坐标即可；又当PC⊥OB时，分割得到的三角形与Rt△OAB也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出AC的长度，从而得到此时点C的坐标．解：如图，PC∥AB时，△OCP∽△OAB，此时点C的坐标为（3，0），PC∥OA时，△PCB∽△OAB，此时点C的坐标为（6，4），PC⊥OB时，△CPB∽△OAB，根据勾股定理得，OB==10，∵P（3，4）为OB的中点，∴PB=OB=5，∴=，即=，解得BC=，AC=AB﹣BC=8﹣=，此时点C的坐标为（6，），综上所述，点C的坐标为（3，0），（6，4），（6，）．5．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．动点型．分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，动点P从点A开始在线段AC上以1厘米/秒的速度向点C 移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以2厘米/秒的速度向点A移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束．设点P、Q移动的时间为t秒．（1）设△APQ的面积为y（厘米2），请你求出y与t的函数关系式，写出自变量t的取值围，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大；（2）在整个运动过程中，是否会存在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请你求出此时t的值；若不存在，请你说明理由．分析：（1）根据已知条件求出AB的长，再过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，的长△QHA∽△BCA，求出，即可求出QH的值，最后求S△APQ 的值；（2）存在在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此小题要分两种情况进行讨论，①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值；②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值，经检验它们都符合题意即可．解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，∴AP=t ，CP=6﹣t，BQ=2t，AQ=10﹣2t，过点Q作QH ⊥AC，交AC与点H，∴△QHA∽△BCA，∴，∴，∴QH=8﹣t，∴S△APQ =AP•QH=t（8﹣t）=4t﹣t2；当t==时，面积有最大值，是4×﹣×（）2=5﹣=；（2）①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，则，∴，∴t=；②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，则，则，解得t=，当t为或时，经检验，它们都符合题意，此时△AQP和△ABC相似，故存在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．7．如图，在形网格上有若干个三角形，找出与△ABC相似的三角形．分析：可利用形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．解：观察可以发现AC=AB，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为．△EBF中，BF=，EF=，BF=5，△DIB中，DI=2，DB=2，BI=2，△HFE中，HF=，HE=2，EF=，△ABC中，AB=1，AC=，BC=，计算对应边比值即可求得△EBF∽△DIB∽△HFE∽△ABC．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=10，对角线AC=4，动点E从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，运动时间为t（s）（0≤t≤5）．那么当t为何值时，以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似．．分析：由于AD∥BC，得∠DAC=∠BCA；若以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似，可得两种情况：①△ADC∽△CEA，此时对应边AD=AD，则两三角形全等，AD=EC=2；②△ADC∽△CAE，此时AD：AC=AC：CE，根据所得的比例式，即可求出CE的长；根据上述两种情况所得出的CE的值，再除以B点的速度，即可求出时间t的值．解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA；①当△ADC∽△CEA时，，即EC=AD=2，t=2÷2=1s；②当△ADC∽△CAE时，，即CE=AC2÷AD=8，t=8÷2=4s；故当t为1s或4s时，以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC向终点C移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？分析：根据勾股定理求出AB，根据相似得出两种情况，根据相似得出比例式，代入比例式求出即可．解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根据勾股定理，得AB==5cm，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时，=，即=，解得t=；②当△APM∽△ABC时，=时，即=，解得t=，综上所述，当t=或t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．选作题1．在△ABC中，∠C=90°（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．例如：过点P作PD∥BC 交AB于D，则截得的△ADP与△ABC相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）分析：（1）根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可以作DP∥BC，PE∥AB；又由有两个角对应相等的三角形相似，可以过点P作PG⊥AB交AC于点G，过点P作∠PFC=∠A即可；（2）本题需要根据BQ的取值围不同，所画的直线条数不同讨论即可．解：（1）如图所示：（2）当0＜BQ≤时，满足条件的直线有3条；当＜BQ＜6时，满足条件的直线有4条．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，点A（6，0），∠BAO=30°．（1）求点B的坐标；（2）点P是线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，求点P的坐标；（3）在第一象限是否存在点Q，使得以Q、O、B为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA与tan30°的值求出OB的长，即可确定出B的坐标；（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，①当OP1=P1A 时，连接OP1，作P1C1⊥OA，则C1为AO的中点，P1C1为△AOB的中位线，求出P1C1与OC1的长，确定出此时P1的坐标；②当P2A=AO时，连接OP2，作P2C2⊥OA，可得出P2A=AO=6，∠P2AO=30°，在Rt△P2AC中，求出P2C与AC2的长，进而确定出OC2的长，确定出此时P2的坐标即可；（3）分三种情况考虑：当∠OBQ为直角时，如图2所示，再分两种情况考虑：①若△BQO∽△OAB；②若△BQO∽△OAB时，分别求出Q的坐标；当∠CQB为直角时，如图3所示，再分两种情况考虑：③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，④若△QBO∽△OAB时，分别求出Q的坐标；当∠BOQ为直角时，经检验不合题意，综上，得到所有满足题意Q的坐标．解：（1）在Rt△AOB中，OB=OA•tan30°=6×=2，则B坐标为（0，2）；（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，①当OP1=P1A时，连接OP1，作P1C1⊥OA，则C1为AO的中点，P1C1为△AOB的中位线，∴P1C1=BO=，OC1=OA=3，此时P1（3，）；②当P2A=AO时，连接OP2，作P2C2⊥OA，∵P2A=AO=6，∠P2AO=30°，∴在Rt△P2AC中，P2C=P2A=3，AC2=P2Acos30°=3，则OC2=OA﹣C2A=6﹣3，即P2（6﹣3，3）；（3）当∠OBQ为直角时，如图2所示，①若△BQO∽△OAB，则∠BOQ=∠OAB=30°，则BQ=OBtan30°=2，即Q（2，2）；②若△BQO∽△OAB时，则∠BOQ=∠OAB=30°，BQ=OBtan60°=2×=6，即Q（6，2）；当∠CQB为直角时，如图3所示，③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，∠BOQ=∠BAO=30°，在Rt△OQB中，BQ=OA=，OQ=OBcos30°=3，∵在Rt△QMO中，∠OQM=30°，∴OM=OQ=，QM=OQcos30°=，即Q（，）；④若△QBO∽△OAB时，则∠OBQ=∠OAB=30°，作QN⊥OA，∠QON=30°，如图4所示，∴QN=OQ=×OB=，ON=OQcos30°=，即Q（，）；当∠BOQ为直角时，Q在x轴上，不符合要求，综上，符合题意的点Q有四个，分别为Q1（2，2），Q2（6，2），Q3（，），Q4（，）．。

中考数学动点之相似三角形问题

动点之相似三角形问题【例4】在边长为4的正方形ABCD 中，动点E 以每秒1个单位长度的速度从点A 开始沿边AB 向点B 运动,动点F 以每秒2个单位长度的速度从点B 开始沿边BC 向点C 运动，动点E 比动点F 先出发1秒,其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F 的运动时间为t 秒.()1如图1，连接DE ,AF ，若DE AF ⊥，求t 的值()2如图2，连接,EF DF ，当t 为何值时，?EBF DCF【答案】(1)t=1;(2) 当t 为秒时，EBF DCF【解析】(1)利用正方形的性质及条件，得出ABF DAE ≌，由BF=AE ，列出方程解方程即可(2)EBF DCF ~，得到EB BF DC CF =，用t 表示出BF 、AE 、FC 、BE 列出方程解方程即可，最后对t 的取值进行取舍【详解】解：()1四边形ABCD 是正方形,90AB AD ABF DAE ︒∴=∠=∠=90ADE AED ︒∴∠+∠=DE AF ⊥90BAF AED ︒∴∠+∠=BAF ADE ∴∠=∠ABF DAE ∴≌由题意得，2,1BF t AE t ==+21t t ∴=+解得：1t =()2若EBF DCF ~ 则EB BF DC CF = 1,2AE t BF t =+=413BE t t ∴=-+=-，42CF t =-32442t t t -∴=-解得129922t t == 由题意知：2t ≤92t -∴=∴当t 为秒时，EBF DCF ~【点睛】本题考查正方形基本性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，第二问的关键在于能够写出比例式列出方程，最后要记得对方程的解进行取舍【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A(﹣3，0)，C(1，0)，BC ＝34AC(1)求过点A ，B 的直线的函数表达式；(2)在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似(不包括全等)，并求点D 的坐标；(3)在(2)的条件下，如P ，Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP ＝DQ ＝m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝34x+94；(2)D点位置见解析，D(134，0)；(3)符合要求的m的值为125 36或25 9．【解析】(1)先根据A(−3，1)，C(1，0)，求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；(2)运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；(3)由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB 两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：(1)∵A(﹣3，0)，C(1，0)，∴AC＝4，∵BC＝34AC，∴BC＝34×4＝3，∴B(1，3)，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；(2)若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝AC•AD．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为(134，0)；(3)∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴AP•AD＝AB•AQ，∴254m＝5(254﹣m)，解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴AP•AB＝AD•AQ，∴5m＝254(254﹣m)，解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．【变式4-2】如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A(－3，0)、B(8，0)、C(0，4)三点，点D 是抛物线上的动点，连结AD 与y 轴相交于点E ，连结AC ，CD ．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当AD 平分∠CAB 时．①求直线AD 所对应的函数表达式；②设P 是x 轴上的一个动点，若△PAD 与△CAD 相似，求点P 的坐标．【答案】(1)215466y x x =-++；(2)①1322y x =+；②(2，0)或(13，0)．【解析】(1)将()30A -,、()8,0B 、()0,4C 点坐标代入抛物线2y ax bx c =++，化简计算即可；(2)①设()0,E t ，根据AD 平分CAB ∠，EH AC ⊥，EO x ⊥轴，求得5AC =，并证得CHE ∽ COA ，利用A EH OA CE C = 可的32t =，可得E 点坐标，把()30A -,，30,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx b =+，化简可得AD 所对应的函数表达式；②因为P 是x 轴上的一个动点，且PAD △与CAD 相似，并且ACD 是腰长为5的等腰三角形，所以P 点有两种情况：AD 为等腰三角形的斜边，或者以AD 为腰，2P A 为底，分别讨论求解即可.【详解】解(1)∵抛物线经过()30A -,、()8,0B 、()0,4C 三点，∴93064804a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：16564a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的表达式为215466y x x =-++；(2)①作EH AC ⊥于点H ，如图，设()0,E t ．∵AD 平分CAB ∠，EH AC ⊥，EO x ⊥轴，∴EH EO t ==，4CE t =-，在Rt OAC △中，5AC ==．∵90CHE COA ∠=∠= HCE OCA ∠=∠，∴CHE ∽ COA ， ∴A EH OA CE C =∴435t t -=，解得：32t =， ∴30,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AD 的表达式为y kx b =+，把()30A -,，30,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得0332k b b =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AD 所对应的函数表达式为1322y x =+； ②直线AD 与二次函数相交于点D ， ∴2154661322y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得30x y =-⎧⎨=⎩或54x y =⎧⎨=⎩，点D 在第一象限，∴点D 坐标为()5,4，∴5DC AC ==，且DC AB ∥，∴ACD 是腰长为5的等腰三角形， P 是x 轴上的一个动点，且PAD △与CAD 相似，∴PAD △也为等腰三角形，如上图示，当AD 为等腰三角形的斜边时，115P A PD ==，()3,0A - ∴点1P 的坐标为()2,0；当以AD 为腰，2P A 为底时，作2DF AP ⊥ 点D 坐标为()5,4，()30A -,∴358AF OA OF =+=+=∴2216AP AF ==,2216313OP AP OA =-=-=,∴点P 的坐标为()13,0．综上所述点P 的坐标为()2,0或()13,0．【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和角平分线的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；灵活利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质．。

相似三角形中的动点问题—2023-2024学年九年级数学下册(苏科版)(解析版)

相似三角形中的动点问题【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C−D−A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接PQ交AC于点E．过点E作EF⊥PQ，交直线CD于点F．（1）当点Q在线段CD上时，求证：CEAE =32．（2）当DQ=1时，求△APE的面积．（3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．（1）证明△CQE∽△APE（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=ℎ，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°，∴△ABC∽△PHQ，则PHQH =ABBC=2，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC，EFEQ =BABC=2，∠FEG=∠B=90°，作EN⊥CD于点N，EG⊥AD于点G．，则∠NEQ=90°，再结合相似三角形的性质建立方程可得答案．（1）当点Q在线段CD上时，由题意可得：AB∥CD，CQ=3t，AP=2t，∴△CQE∽△APE，∴CE AE =CQAP=32．（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．由CQAP =V点QV点P=32，得AP=2．由△CQE∽△APE，得ENEM =CEAE=32，∴EM=25MN=45，∴S△APE=12AP⋅EM=12×2×45=45．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=ℎ．AQ=AD−DQ=1，AP=23(CD+DQ)=103．同理：△AME∽△ABC，∴EM AM =BCAB=12，∴AM=2EM=2ℎ．同理：△PME∽△PAQ，得EMPM =AQPA=1103=310，∴PM=103EM=103ℎ．∴AP=PM+AM=103ℎ+2ℎ=103，解得ℎ=58，∴S△APE=12AP⋅EM=12×103×58=2524．∴△APE 的面积为45或2524．（3）①当点Q 在CD 上时，设CQ =3t ，则AP =2t ．若点F 在Q 的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC ，则∠1=∠2．作PH ⊥CD 于点H ，而∠B =∠PHQ =90°， ∴△ABC ∽△PHQ ，则PHQH =ABBC =2， ∴QH =12PH =1．∵HD =AP =2t ，∴CD =CQ +QH +HD =3t +1+2t =4，解得t =35．∴BP =4−2t =4−65=145．若点F 在Q 的左侧，如图4，△△ABC ，点F 与点C 重合．∵AC =√AB 2+BC 2=√42+22=2√5，又∵CEAE =32 ∴AE =25AC =4√55． ∵由△FEQ∽△ABC 结合对顶角可得：∠AEP =∠B =90°，而∠PAE =∠BAC ， ∴△AEP∽△ABC ，∴AE AB =APAC ，即4√554=2√5，则AP =2，∴BP =AB −AP =2．②当点Q 在AD 上时，如图5，△FEQ∽△ABC ，EFEQ =BABC =2，∠FEG =∠B =90°，作EN ⊥CD 于点N ，EG ⊥AD 于点G ．，则∠NEQ =90°，由∠FEQ =∠NEG =90°，得∠FEN =∠QEG ， ∴Rt △FEN∽Rt △QEG ， ∴ENEG =EFEQ =2．同理可得：AGEG =BCAB=12，设AG =k ，则EG =2AG =2k ，EN =2EG =4k ． ∴DG =EN =4k ，AD =AG +DG =5k ，由AD =2，得5k =2，k =25， ∴AG =25，EG =45．由题意，AQ BP =V 点Q V 点P=6−3t 4−2t=32，设AQ =3x ，则BP =2x ，AP =4−2x ，QG =AQ −AG =3x −25，由△QGE∽△QAP ，得EGAP =QGQA ，即454−2x =3x−253x，化简，得15x 2−26x +4=0，解得x 1=13+√10915（舍去），x 2=13−√10915．∴BP =2x =26−2√10915．综上所述，BP 的长为145或2或26−2√10915．1．（2023秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(20,0)和(0,15)，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=9时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．【思路点拨】（1）由于EF//x轴，则S△PEF=12⋅EF⋅OE,t=9时，OE=9，关键是求EF.易证△BEF∽△BOA，则EFOA=BEBO，从而求出EF的长度，得出△PEF（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．即可得解．【解题过程】（1）∵EF//OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA =BEBO，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，BE=OB−OE=15−9=6，∴EF=20×615=8，∴S△PEF=12EF⋅OE=12×8×9=36(cm2)；（2）不存在．理由：∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE⋅OABO =(15−t)⋅2015=43(15−t)，∴12×43(15−t)×t=40，整理，得t2−15t+60=0，∵△=152−4×1×60<0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA =OEOB，即20−2t20=t15，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB =OEOA，即20−2t15=t20，解得t=8011．∴当t=6s或t=8011s时，△EOP与△BOA相似．2．（2022·四川·九年级专题练习）如图1，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．（1）若△AMN是等腰直角三角形，则t=___________（直接写出结果）．（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接CN 、CM ，试求CN +2CM 的最小值．【思路点拨】（1）根据题意可知只有AM =AN 时，△AMN 是等腰直角三角形，再根据题意可用t 表示出AM =t ，AN =6−2t ，列出等式，解出t 即可；（2）分类讨论①当△ACD ∼△NMA 时和②当△CAD ∼△NMA 时，列出比例式，代入数据，即可求解；（3）取CN 中点E ，作E 点关于CD 的对称点E ′，连接CE ′．作M 点关于BC 的对称点M ′，连接CM ′，E ′M ′．根据作图可知CE ′=CE ，CM ′=CM ，即可知当CE ′+CM ′最小时CN +2CM 最小，即最小值为E ′M ′的长．连接E ′E 并延长，交CD 于点F ，AB 于点G ．由作图结合题意易求出E ′G =E ′F +AD =t +6，BG =12AB =32，BM ′=BM =AB −AM =3−t ，从而可求出GM ′=BG +BM ′=92−t ．在Rt △E ′GM ′中，利用勾股定理可求出E ′M ′=√E ′G 2+GM ′2=√2(t +34)2+4418，最后根据二次函数的性质，即得出t =0时，√2(t +34)2+4418最小，即此时E ′M ′=152，故可求出CN +2CM 的最小值为15．【解题过程】（1）∵∠MAN =90°，∴若△AMN 是等腰直角三角形时，只有AM =AN ．根据题意可知AM =t ，DN =2t AN =AD −DN =6−2t ， ∴t =6−2t ，解得t =2，故答案为：2．（2）∵∠MAN =∠ADC =90°，∴以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似分为两种情况， ①当△ACD ∼△NMA 时，有ADAN =CDAM ，即66−2t =3t ，解得：t =32；②当△CAD ∼△NMA 时，有ADAM =CDAN ，即6t =36−2t ，解得：t =125．当t =32或t =125时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似；（3）如图，取CN中点E，作E点关于CD的对称点E′，连接CE′．作M点关于BC的对称点M′，连接CM′，E′M′．根据作图可知CE′=CE，CM′=CM，∴CN+2CM=2(CE+CM)=2(CE′+CM′)，∴当CE′+CM′最小时CN+2CM最小，∵CE′+CM′≥E′M′，∴CE′+CM′的最小值为E′M′的长，即CN+2CM的最小值为2E′M′的长．如图，连接E′E并延长，交CD于点F，AB于点G．∵作E点关于CD的对称点E′，∴E′F//AD，E′F=EF．又∵E为中点，∴E′F=EF=12DN=t，G为AB中点，∴E′G=E′F+AD=t+6，BG=12AB=32．∵作M点关于BC的对称点M′，∴BM′=BM=AB−AM=3−t，∴GM′=BG+BM′=32+3−t=92−t．在Rt△E′GM′中，E′M′=√E′G2+GM′2=√(6+t)2+(92−t)2=√2(t+34)2+4418，∵t≥0，2>0∴t=0时，√2(t+34)2+4418最小，即E′M′=√2×(34)2+4418=152．∴CN+2CM=2E′M′=15．3．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．（1）当m＝1时，求PE的长；（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△P AB≌△PEB？请说明理由；（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．【思路点拨】（1）根据勾股定理得出AC，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；（3）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解题过程】解：（1）连接BE，由已知：在Rt△ADC中，AC＝√AD2+DC2=√32+42=5，当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠PCE，∴△ACD∽△PCE，∴AD PE =ACPC，即3PE=54，∴PE＝125；（2）如图1，当△P AB≌△PEB时，∴P A ＝PE ，∵AP ＝m ，则PC ＝5﹣m ，由（1）得：△ACD ∽△PCE ， ∴3PE =55−m， ∴PE ＝3(5−m)5，由P A ＝PE ，即3(5−m)5=m ，解得：m ＝158， ∴EC ＝√PC 2−PE 2=√(5−158)2−(158)2=52，∴BE ＝√EC 2+BC 2=√(52)2+32=√312≠AB ，∴△P AB 与△PEB 不全等， ∴不能使得△P AB ≌△PEB ；（3）如图2，延长EP 交AB 于G ，∵BP ⊥PF ， ∴∠BPF ＝90°， ∴∠EPF +∠BPG ＝90°， ∵EG ⊥AB ， ∴∠PGB ＝90°， ∴∠BPG +∠PBG ＝90°， ∴∠PBG ＝∠EPF ， ∵∠PEF ＝∠PGB ＝90°， ∴△BPG ∽△PFE ，∴BG PE =PGEF，由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝3(5−m)5，∴EC DC =PCAC，即EC4=5−m5，∴EC＝4(5−m)5，∴BG＝EC＝4(5−m)5，∴3−3(5−m)54(5−m)5−n=4(5−m)3(5−m)=43，∴5m+4n＝16．4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图（1），在矩形ABCD中，AB=6cm，tan∠ABD=43，E、F 分别是AB、BD中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ，设运动时间为ts（0<t<4），解答下列问题：∴t=1（1）当0<t<2.5时，FQ=______．（用含有t的式子表示）（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）当t为______时，△PQF为等腰三角形?（直接写出结果）．【思路点拨】（1）先由题目条件求出AD，再利用勾股定理求出DF，当0<t<2.5时，接着判断出点Q的位置，即可求解．（2）先判断出△QMF∽△BEF，进而得出，再利用面积公式建立方程求解即可．（3）分点Q在DF和BF上，利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．【解题过程】（1）在矩形ABCD中，∠A=90°∴在直角三角形DBA中tan∠ABD=ADAB =AD6=43∴AD=8∵E、F分别是AB、BD中点，∴EF=12AD=4∵BD=√AB2+AD2=10∴DF=12BD=5∴Q从D到F的时间为52=2.5当0<t<2.5时，Q在线段DF上，∴FQ=DF−DQ=5−2t．故答案为：5−2t．（2）过点Q作QM⊥EF交EF延长线于点M，可知：QM∥BE，∴△QMF∽△BEF，∴QM BE =QFBF，∴QM3=5−2t5，可得QM=35(5−2t)，∴S△PFQ=12×PF⋅QM=12×(4−t)×35(5−2t)=0.6=35，解得：t=92（舍去）或t=2，∴当t=2时，△PQF的面积为0.6cm2；故答案为：t=2．（3）当点Q在DF上时，如图PF=QF∴4−t=5−2t∴t=1当点Q在BF上时，如图PF=QF∴4−t=2t−5∴t=3当PQ=FQ时，如图∴12(4−t)2t−5=45∴t=207当PF=PQ时，如图∴12(2t−5)4−t=45∴t=19 6所以t=1或3或207或196时，△PQF为等腰三角形．故答案为：t=1或3或207或196．5．（2023秋·山东青岛·九年级山东省青岛第五十九中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止运动．设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段CP=_______________、CQ=_______________．（2）在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ:S△ABC=9:100？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长，据此求解即可；（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用S△CPQ:S△ABC=9:100建立t的方程，解方程即可解决问题；（3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB =√62+82=10，∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12BC ⋅AC =12AB ⋅CD ， ∴CD =BC·AC AB =6×810=245，由题意得CQ =PD =t ，∴CP =245−t故答案为：t ，245−t ；（2）解：过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如图2所示．由题可知CQ =PD =t ，CP =245−t ，∵∠ACB =∠CDB =90°，∴∠HCP =90°−∠DCB =∠B ，∵PH ⊥AC ，∴∠CHP =90°，∴∠CHP =∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ，∴ PH AC =PC AB ， ∴ PH 8=4.8−t 10，∴PH =9625−45t ，∴S △CPQ =12CQ ⋅PH =12t (9625−45t)=−25t 2+4825t ；存在某一时刻t ，使得S ΔCPQ :S ΔABC =9:100，∵S ΔABC =12×6×8=24，且S △CPQ :S △ABC =9:100，∴(−25t 2+4825t):24=9:100，整理得：5t 2−24t +27=0，即(5t −9)(t −3)=0，解得：t =95或t =3，∵0≤t ≤245， ∴当t =95秒或t =3秒时，S ΔCPQ :S ΔABC =9:100；（3）解：由（2）知∠ACD =∠B ①当∠CPQ =∠BCA =90°时，∴△CPQ ∽△BCA ，∴CP BC =CQ AB ，∴245−t 6=t 10， ∴t =3；②当∠CQP =∠BCA =90°时，∴△CQP ∽△BCA ，∴CP AB =CQ BC ，∴245−t 10=t 6∴t=95，即：t为3秒或95秒时，△CPQ为直角三角形．6．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB=6cm，BC=8cm．点E从点D 出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN 是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3．6），请回答下列问题：（1）求当t为何值时，△EFD～△ABD？（2）设四边形BMEN的面积为S（cm2），求S关于t之间的函数关系式；（3）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；（4）将△EMN沿直线MN t的值；若不存在，请说明理由；【思路点拨】（1）由题意得，DE=2t，BF=t，在Rt△ABD中，BD=10，DF=BD=BF=10-t，当△ABD∼△EFD，利用对应边成比例，即可求出t值；（2）证得△BFM∼△BAD，可求出BM=53t，BN=54t，AM=AB-BM=6-53t，代入面积表达式，即可求出关系式；（3）分种情况进行讨论即可，注意结果是否符合；（4）假设t值存在，则四边形EKCD为矩形，利用勾股定理表示出EN2=EK2+NK2=16916t2−52t+100，EM2=AM2+AE2=616t2−52t+100，可知t=0，不符合题意，可知不存在符合的t值．【解题过程】（1）解：由题意得，DE=2t，BF=t，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，BD=√AB2+AD2=√62+82=10，∴DF=BD=BF=10-t，当△ABD∼△EFD时，则EDAD =DFDB，即2t8=10−t10，解得：t=207．即当t为207时，△EFD～△ABD；（2）∵MN⊥BD，∴∠MFB=90°，∵∠MBF=∠MBF，∴△BFM∼△BAD，∴BF AB =BMBD，即t6=BM10，∴BM=53t，同理BN=54t，∴AM=AB-BM=6-53t，S=S梯形ABNE −S△AME=(8−2t+54t)×62−(8−2t)×(6−53t)2=−53t2+12512t，即S关于t之间的函数关系式为：S=−53t2+12512t；（3）ED=DF时，则2t=10-t，解得：t=103；ED=EF时，过点E作EG⊥BF于G，∵ED=EF，∴△EFD为等腰三角形，又∵EG⊥DF，∴DG=12DF=10−t2，∵∠EDG=∠BDA，∠EGD=∠BAD=90°，∴△EGD∼△BAD，∴DG AD =EDBD，即10−t28=2t10，∴t=5021；EF=FD时，过点F作FH⊥AD，∵EF=FD，∴△EFD为等腰三角形，又∵FH⊥ED，∴HD=12ED=t，∵∠ADB=∠HDF，∠BAD=∠FHD，∴△DHF∼△DAB，即t8=10−t10，∴t=409＞3.6（舍去）；综上所述，当t=103或5021时，△EFD为等腰三角形；（4）假设存在符合题意的t，则EM=EN，过点E作EK⊥BC交BC于K，则四边形EKCD为矩形，∴ED=CK=2t，EK=CD=6，NK=BC-BN-CK=8−54t−2t=8−134t，∴EN2=EK2+NK2=62+(842=16916t2−52t+100，EM2=AM2+AE2=(6−53t)2+(8−2t)2=616t2−52t+100，∴169 16t2−52t+100=619t2−52t+100，即t1=t2=0，∵t=0不符合题意，∴不存在符合题意的t．7．（2023春·山东青岛·九年级专题练习）已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm.延长BC至点E，使CE=BC，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为1cm s⁄，过点F作FG⊥ED垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为1cm s⁄，过点H作HP∥AB，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为t(0<t≤3)，解答下列问题：（1）求证：∠BDE=90°；（2）是否存在某一时刻t，使G点在ED的垂直平分线上?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.（3）设六边形PCGFDH的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；（4）连接HG，是否存在某一时刻t，使HG∥AC?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）根据菱形和等腰三角形的性质，得四边形ACED为平行四边形、∠E=∠CDE，从而完成证明；（2）根据平行四边形和垂直平分线的性质分析，即可得到答案；（3）根据菱形和勾股定理的性质，得CE；延长CP，交AD于点M，根据相似三角形的性质，得MD；设AD和BC的距离为ℎ，根据三角形面积的性质，得ℎ=245cm，根据相似三角形的性质得S△GFES△BDE=t6，通过计算即可得到答案；（4）根据相似三角形的性质，得GE=5t3cm，根据平行四边形和一元一次方程的性质计算，即可得到答案．【解题过程】（1）∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AD=BC，AD//BC，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∴∠CBD+∠ACB=90°，∠CBD=∠CDB，∵CE=BC，∴AD=CE，CD=CE，∴四边形ACED为平行四边形，∠E=∠CDE，∴AC//DE，∴∠ACB=∠E，∴∠CDB+∠CDE=90°，即∠BDE=90°；（2）∵四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC=6cm，∵FG⊥ED，∴当EF=DF=12DE时，使G点在ED的垂直平分线上，∴t=12DE1cm s⁄=3s；（3）∵点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为1cm s⁄，点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为1cm s⁄，∴AH=EF=t(cm)，∵AC⊥BD，AC=6cm，BD=8cm，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∴CE=BC=CD=AD=√(12AC)2+(12BD)2=5cm，∴DH=AD−AH=5−t(cm)，∵菱形ABCD，∴∠ADP=∠CDP，∵HP，∴∠HPD=∠CDP，∴∠ADP=∠HPD，∴PH=DH，如图，延长CP，交AD于点M，∵HP，∴∠MHP=∠MDC，∵∠PMH=∠CMD，∴△MPH∽△MCD，∴S△MPH S△MCD =PHCD=DHCD=5−t5，MHMD=MHMH+DH=PHCD=5−t5，∴MH MH+5−t =5−t5，∴MH=(5−t)2t，∴MD=MH+DH=(5−t)2t +5−t=5(5−t)t，设AD和BC的距离为ℎ，∴S△ACD=12AC×OD=12AD×ℎ，∴ℎ=245cm，∵∠BDE=90°，FG⊥ED，∴△GFE∽△BDE，∴S△GFE S△BDE =EFDE=t6，∴六边形PCGFDH的面积，=S△MCD−S△MPH+S△CDE−S△GFE=S△MCD−5−t5×S△MCD+S△CDE−t6×S△BDE=t5×S△MCD+S△CDE−t6×S△BDE=t5×12×MD×ℎ+12×CE×ℎ−t6×12×(BC+CE)×ℎ=t5×12×5(5−t)t×245+12×5×245−t6×12×10×245=12−12t5+12−4t=24−32t5cm，∴S=24−32t5(0<t≤3)；（4）∵△GFE∽△BDE，∴GE BE =EFDES，∴GE=EF×BEDE =t×(BC+CE)6=t×106=5t3cm，∵DH=AD−AH=5−t(cm)，当GE=DH时，得5t3=5−t，∴t=158，∵AD//BE，GE=DH，∴四边形HGED为平行四边形，∴HG//DE，∵AC//DE，∴HG//AC，∴当t=158时，HG//AC．8．（2022秋·山西运城·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=BC=4，CD=5．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B→A→D→C方向，向点C运动：动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①在运动过程中，是否存在这样的t P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DP为底的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△COE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）作DF∥AB交BC于F，即易证四边形ABFD是平行四边形，从而可求出DF=AB=3，BF=AD=1，CF=3．再利用勾股定理逆定理即可证∠ABC=∠DFC=90°，最后利用梯形的面积公式计算即可；（2）①在图1的基础上作QG⊥AB于G，易证四边形BEQG是矩形，即得出BG=EQ，QG=BE．又易证△CEQ∽△CFD，得出EQDF =CECF=CQCD，从而可用t表示出CE=35t，EQ=45t，BG=45t，QG=BE=4−35t．PG=t5，即可利用勾股定理得出PQ2=(15t)2+(4−35t)2，最后根据等腰三角形的定义列出等式，解出t即可；②分类讨论当△PAD∽△QEC时和当△PAD∽△CEQ时，根据对应边成比例计算即可．【解题过程】（1）如图1，作DF∥AB交BC于F，∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形，∴DF=AB=3，BF=AD=1，∴CF=BC−BF=3．∵32+42=52，即CF2+DF2=CD2，∴∠DFF=90°，∴∠ABC=∠DFC=90°，∴S梯形ABCD =12(1+4)×4=10；（2）①如图2，在图1的基础上作QG⊥AB于G，由题意可知t≤6．∵∠B=∠QEB=90°，∴四边形BEQG是矩形，∴BG=EQ，QG=BE．∵EQ∥DF，∴△CEQ∽△CFD，∴EQ DF =CECF=CQCD，∴EQ 4=CE 3=t 5， ∴CE =35t ，EQ =45t ，∴BG =45t ，QG =BE =BC −CE =4−35t ．在Rt △PQG 中，PG =BP −BG =t −45t =t 5， ∴PQ 2=PG 2+QG 2=(15t)2+(4−35t)2，由PQ 2=DQ 2得，(15t)2+(4−35t)2=(5−t)2，解得：t 1=13−√1092，t 2=13+√1092(舍去)， ∴当t =13−√1092时，使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DP 为底的等腰三角形；②如图3，当△PAD∽△QEC 时，∵∠A =∠QEC =90°，∴PA AD =QE CE，即AP 1=43， ∴AP =43，∴t =4−43=83；当△PAD∽△CEQ 时，∴PA AD =CE QE ，即PA 1=34，∴PA =34，∴t =4−34=134．综上所述：t =83或134．9．（2022秋·陕西咸阳·九年级期末）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图①，当t＝3时，求DF的长；（2）如图②，当点E在线段AB上移动的过程中，DFDE的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出DFDE的值；（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t＜3时的值．【思路点拨】（1）当t=3时，可知DE//OA，DE=12OA=4，则四边形DFAE是矩形，得DF=AE=3；（2）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB N，根据两个角相等，可证明ΔDMF∽ΔDNE，得DFDE =DMDN=34；（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，则点G为EF的三等分点，利用（2）同理可得E、F的坐标，从而得出点G的坐标，代入直线AD的解析式即可解决问题．【解题过程】（1）当t=3时，E为AB的中点，∵A(8,0)，C(0,6)，∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE//OA，DE=12OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）DFDE的大小不变，理由如下：如图，作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM//AB，DN//OA，∴BDDO =BNNA,DOBD=OMMA，∵点D是OB的中点，∴M，N分别是OA，OB的中点，∴DM=12AB=3,DN=12OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴ΔDMF∽ΔDNE，∴DFDE =DMDN=34；（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，若AD将ΔDEF的面积分成1:2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点，如图，NE=3−t，由ΔDMF∽ΔDNE得，MF=34(3−t)，∴AF=4+MF=−34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G(3t+7112,23 t)，设直线AD的表达式为y=kx+b，将A(8,0)，D(4,3)代入得{8k+b=04k+b3，解得{k=−34b=6，∴直线AD的表达式为y=−34x+6，将G(3t+7112,23t)代入得：t=7541，∴当t<3时的值为t=7541．10．（2022秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB=14cm，BC=CD=6cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t(s)，0<t<10．（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当ΔQMB为直角三角形时，直接写出．．．．t的值．【思路点拨】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=6cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；（3）分∠QMB=90°和∠MQB=90°两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．【解题过程】（1）如图，作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形∴CD=BH=6cm，DH=BC=6cm∴AH=8cm在RtΔADH中，由勾股定理得AD=√DH2+AH2=√62+82=10(cm)∵DP=tcm∴AP=AD−DP=(10−t)cm（2）①当ΔAPQ∽ΔADB时则有APAQ =ADAB∴10−tt =1014解得：t=356②当ΔAPQ∽ΔABD时则有APAQ =ABAD∴10−tt =1410解得：t=256综上所述，当t=356或256时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）①当∠QMB=90°时，ΔQMB为直角三角形如图，过点P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H∴∠PNQ=∠BHD∵∠QMB=90°∴∠PQN+∠DBH=90°∵∠PQN+∠QPN=90°∴∠QPN=∠DBH∴ΔPNQ∽ΔBHD∴QN PN =DHBH=66=1即QN=PN∵PN∥DH∴ΔAPN∽ΔADH∴PN AP =DHAD=610=35，ANAP=AHAD=810=45∴PN=35AP=35(10−t)，AN=45AP=45(10−t)∴QN=AN−AQ=45(10−t)−t=8−95t由QN=PN得：8−95t=35(10−t)解得：t=53②当∠MQB=90°时，ΔQMB为直角三角形，如图则PQ∥DH∴ΔAPQ∽ΔADH∴AQ AP =AHAD=45∴AQ=45AP即t=45(10−t)解得：t=409综上所述，当t=53或409时，ΔQMB是直角三角形．11．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图1，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）当ΔPQC 是等腰三角形时，请直接写出t 值为．（2）如图2，在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得沿PC 翻折ΔCPQ 所得到的四边形CQPM 是菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图3，连接BP ，设四边形BPQC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t ，使得P 、Q 、B 三点共线？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据勾股定理及等面积法可求CD ，由等腰三角形的性质分PC =QC 、PC =QP 、PQ =CQ 三种情况讨论即可求解；（2）根据菱形的性质可知，当PQ =CQ 时复合题意，过点Q 作QF ⊥CD ，证ΔABC ∼ΔQCF ，得CF =35t ，由PC =2×35t =245−t ，即可求解；（3）过点Q 作QH ⊥CD ，证ΔABC ∼ΔQCH ，得10t=8QH，即QH =45t ，证ΔABC ∼ΔBCD ，得BD =185，由S =S Δ⬚PCQ +S ΔBPC =12PC ⋅QH +12PC ⋅BD 即可求解；（4）过点P 作PG ⊥BC ，可得，ΔABC ∼ΔCPG ，得245−t 10=CG8，即CG =45(245−t)，BG =6−45(245−t)，由S ΔPBC =12PC ⋅BD =12BC ⋅PG 可得PG =35(245−t)，由CQPG =66−45(245−t)，当ΔBCQ ∼ΔBGP 时，B 、P 、Q 三点共线，得t35(245−t)=66−45(245−t)，即可求解；【解题过程】（1）解：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6， ∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10， ∵CD ⊥AB ， ∴CD =AC⋅BC AB=6×810=245，∵ΔPQC 是等腰三角形，①当PC =QC 时，即245−t =t ，解得：t =125；②当PC =QP 时，如图，过点P 作PE ⊥AC ，∵PC =QP ，PE ⊥AC ， ∴QE =CE ，∵PE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∠ACB =90°， ∴∠A =∠ACD ， ∴ΔABC ∼ΔPCE ， ∴AB PC=BC EC，即，10245−t=612t，解得：t =14455．③当PQ =CQ 时，过点Q 作QF ⊥CD ，∵∠A =∠ACD ， ∴ΔABC ∼ΔQCF ， ∴ABQC =BCCF，即10t =6CF ， ∴CF =35t ，∵PQ =CQ ，QF ⊥CD ， ∴CF =PF =35t ， ∴PC =2×35t =245−t ，解得：t=2411，故当ΔPQC是等腰三角形时，t值为125或14455或2411．（2）当PQ=CQ时，四边形CQPM是菱形，过点Q作QF⊥CD，∵∠A=∠ACD，∴ΔABC∼ΔQCF，∴AB QC =BCCF，即10t=6CF，∴CF=35t，∵PQ=CQ，QF⊥CD，∴CF=PF=35t，∴PC=2×35t=245−t，解得：t=2411，（3）如图，过点Q作QH⊥CD，∵∠A=∠ACD，∴ΔABC∼ΔQCH，∴AB QC =ACQH，即10t=8QH，∴QH =45t ，易证ΔABC ∼ΔBCD ，AB BC=BC BD ，即106=6BD ，解得：BD =185．S =S Δ⬚PCQ +S ΔBPC =12PC ⋅QH +12PC ⋅BD =12×(245−t)(45t +185)=−25t 2+325t +21625；（4）如图过点P 作PG ⊥BC ，可得，ΔABC ∼ΔCPG ，∴CPAB =CGAC ，即245−t 10=CG 8，∴CG =45(245−t)， ∴BG =6−45(245−t)，∵S ΔPBC =12PC ⋅BD =12BC ⋅PG ， ∴PG =PC⋅BD BC =(245−t)×1856=35(245−t)，∴CQPG =t 35(245−t)，BCBG =66−45(245−t)，当ΔBCQ ∼ΔBGP 时，B 、P 、Q 三点共线，所有t35(245−t)=66−45(245−t)，解得：t 1=12√6−185，t 2=−12√6−185（舍去）， ∴当t =12√6−185时，P 、Q 、B 三点共线．12．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =3，动点P 从点A 出发，沿AB 边以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC −CD 匀速向终点D 运动，点P 、Q 同时到达终点，BD 与PQ 交于点E ．过点B 作BF ⊥PQ 于点F ．设点P 、Q 的运动时间为t 秒．（1）求点Q的运动速度．（2）如图2，当点Q与点C重合时，求BE的长．（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以B、E、F为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求运动时间t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）求出点P运动的时间即Q运动的时间计算解题即可；（2）当点Q与点C重合时，求出BD长，利用△EPB∽△ECD解题即可；（3）分①点Q在BC边上，②点Q在DC边上，点Q在P的右侧时，③点Q在DC边上，点Q在P的左侧时三种情况利用三角形相似解题即可．【解题过程】（1）解：由题可知点P运动的时间为62=3s，点Q运动的速度为：3+63=3，（2）如图，当点Q与点C重合时，∴t=33=1∴BP=AB−AP=6−2×1=4，在Rt△BDC中，BD=√BC2+CD2=√32+62=3√5，∵AB∥CD∴△EPB∽△ECD∴BE ED =BPCD即3√5−BE=46解得：BE =65√5（3）解：∵BF ⊥PQ ∴∠BFE =∠C =90°，当△BEF ∽△BDC 时，则∠BEF =∠BDC ∴PQ ∥CD 不符合题意，当△BEF ∽△DBC 时， ∴∠BEF =∠DBC , 当点Q 在BC 边上∴BQ =EQ =3t ，EP =PQ −3t 过点Q 作QH ∥CD 交BD 于点H ，则AB ∥CD ∥QH ,∴HQBP =EQ EP ,HQCD=BQ BC∴HQ =EQ×BP EP =3t(6−2t)PQ−3t,∴3t(6−2t)PQ−3t6=3t 3，解得：PQ =2t +3，在Rt △PQB 中，PB 2+BQ 2=PQ 2 即(2t +3)2=(6−2t)2+(3t)2, 解得：t =1或t =3(舍去)当点Q 在DC 边上，点Q 在P 的右侧时，如图，过Q 作QH ∥BC 交AB 、BD 于点H 、M ，则HB=QC=3t−3，DQ=9−3t ∵QH∥BC，BC∥AD∴QH∥BC∥AD，∴△BMH∽△BDA∴HM AD =HBAB即3t−36=HM3解得HM=32t−32，∴QE=MQ=3−(32t−32)=92−32t，PH=6−2t−(3t−3)=9−5t∵AB∥CD∴△BPE∽△DQE∴PB DQ =PEEQ即6−2t9−3t =PE92−32t，解得PE=3−t∴PQ=PE+EQ=3−t+92−32t=152−52t在Rt△PQH中，PH2+HQ2=PQ2即(152−52t)2=(9−5t)2+32解得t=95或t=1(舍去)；如图，当点Q在P的左侧时，过Q作QH∥BC交AB、BD于点H、M，则∠PEB=∠EDQ=∠DEQ=∠PBE∴PE=PB=6−2t，EQ=QD=9−3t，∴PQ=6−2t+9−3t=15−5t在Rt △PQH 中，PH 2+HQ 2=PQ 2 即(15−5t)2=(9−5t)2+32 解得t =94综上所述，当t =1或t =95或t =94时，以B 、E 、F 为顶点的三角形与△BCD 相似13．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市南长实验中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B (6,5)，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，作y 轴的垂线，垂足为C ．点D 从O 出发，沿y 轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F 从B 出发，沿BA 方向以每秒2个单位长度运动．当E 点运动到点A 时，三点随之停止运动．运动过程中△ODE 关于直线DE 的对称图形是△O ′DE ，设运动时间为t ．（1）用含t 的代数式分别表示点E ，点F 的坐标；（2）若△ODE 与以点A ，E ，F 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在这样的t ，使得以D ，E ，F ，O′所围成的四边形中有一组对边平行?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由题可得OE =3t ，OD =t ，BF =2t ，易证四边形OABC 是矩形，从而得到AB =OC ，BC =OA ，即可求出AF ， OE ，即可求出点E ，点F 的坐标（2）只需两种情况讨论①当△ODE ∽△AEF ，②当△ODE ∽△AFE ，然后运用相似三角形的性质即可求解；（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，易得△MDO′∽△NO′E，设MO′=a，根据相似三角形的性质可得出a=35t，然后分两种情况讨论即可求解．【解题过程】（1）由题可得OE=3t，OD=t，BF=2t，∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC=90°，∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB=OC，BC=OA，∵B(12,10)，∴BC=OA=12，AB=OC=10，∴AF=10−2t，OE=12−3t，∴点E的坐标为(3t,0)，点F的坐标为(12,10−2t)；（2）①当△ODE∽△AEF时，则有ODAE =OEAF，∴t 12−3t =3t10−2t，解得t1=0(舍去)，t2=267，②当△ODE∽△AFE时，则有ODAF =OEAE，∴t 10−2t =3t12−3t，解得t1=0(舍去)，t2=6，∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，∴3t≤12，∴t≤4，∴t=6舍去，综上所述：t的值为267；（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，则有∠DMN=90°，∠N=90°，由折叠可得：DO′=DO=t，O′E=OE=3t，∠DO′E=∠DOE=90°，∴∠DMO′=∠N=90°，∠MDO′=90°−∠MO′D=∠NO′E，∴△MDO′∽△NO′E，∴MO′NE =MDNO′=O′DEO′=t3t=13，∴NE=3MO′，NO′=3MD，设MO′=a，则有OM=NE=3a，NO′=3t−a，MD=3a−t，∴3t−a=3(3a−t)，解得：a=35t，∴MO′=35t，OM=95t，∴点O′的坐标为(35t,95t)，①若DO′∥EF，如图2，延长O′D交x轴于S，则有O′M∥OS，∠DSE=∠FEA，∴∠MO′D=∠DSE=∠FEA，∵∠O′MD=∠EAF=90°，∴∠O ′MD ∽∠EAF ，∴MO ′AE =MD AF ， ∴35t 6−3t =95t−t 5−2t ，解得：t 1=0(舍去)，t 2=32，经检验：t =32是分式方程的解， ②若OF∥DE ，如图3，过点O ′作x 轴的平行线与AB 交于点Q ，延长DE 交 BA 的延长线于点T ，同①可得：△DOE ∽△FQO ′，∴OD QF =OE QO ′，t95t−(5−2t )=3t 6−35t ，解得t 1=0(舍去)，t 2=74，综上所述：t 的值为32或74． 14．（2023秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，AB =5，点D 为边AB 上一点且BD =2．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，且点P 不与点A 、B 、D 重合．过动点P 作PQ ⊥AB 交折线AC −CB 于点Q ，作点P 关于点D 的对称点E ，连结QE ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点Q 与点C 重合时，t =________；（2）用含t的代数式表示PE的长；（3）当△PEQ∽△CAB时，求t的值；（4）当Q在BC上运动时，若△BEQ为等腰三角形，直接写出此时t的值．【思路点拨】（1）利用面积计算即可；（2）分两种情况讨论即可；（3）由△PEQ∽△CAB可得PEAC =PQBC，代入线段计算即可；（4）画出图形，分类讨论即可．【解题过程】（1）∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=√AB2−AC2=4，当点Q与点C重合时，S△ABC=12AC⋅BC=12PQ⋅AB∴S△ABC=12×3×4=12PQ×5∴PQ=125，∴PA=√AC2−PQ2=95，∴t=PA÷1=95，故答案为：95；（2）由题意可得，PA=t，PB=AB−PA=5−t，AD=AB−BD=3∵点P关于点D的对称点E，∴PD=DE，∴PE=2PD，当点P在点D的右边时，0<t<3，此时PD=AD−PA=3−t=DE，∴PE=2PD=6−2t，当点P在点D的左边时，3<t<5，此时PD=PA−AD=t−3=DE，∴PE=2PD=2t−6，综上所述，PE ={6−2t(0<t <3)2t −6(3<t <5)（3）当0<t ≤95时，点Q 在AC 边上，点P 在点D 的右边，PE =6−2t ∵∠APQ =∠ACB =90°∴△PAQ ∽△CAB ，∴PA AC=PQ BC ， ∴t 3=PQ 4∴PQ =43t ∵△PEQ ∽△CAB∴PE AC =PQ BC ∴6−2t 3=43t 4 ∴t =2（舍）当95<t <3时，点Q 在BC 边上，点P 在点D 的右边，PE =6−2t ，∵∠BPQ =∠ACB =90°∴△PBQ ∽△CBA ，∴BP BC =PQ AC =BQ AB ， ∴5−t 4=PQ 3=BQ 5 ∴PQ =34(5−t)，BQ =54(5−t)∵△PEQ ∽△CAB∴PE AC =PQ BC ∴6−2t 3=34(5−t)4t =5123，当3<t<5时，点Q在BC边上，点P在点D的左边，此时PQ=34(5−t)，PE=2t−6∵△PEQ∽△CAB∴PE AC =PQBC∴2t−63=34(5−t)4t=141 41综上，当△PEQ∽△CAB时，t=5123，t=14141（4）当当Q在BC上运动时，95<t<5，当95<t<3时，点Q在BC边上，点P在点D的右边，PE=6−2t，PQ=34(5−t)此时△BEQ为钝角三角形，若△BEQ为等腰三角形，则EB=EQ=AB−PE−PA=5−(6−2t)−t=t−1，在Rt△PQE中，PQ2+PE2=QE2，∴[34(5−t)]2+(6−2t)2=(t−1)2，此方程无解当3<t<5时，点Q在BC边上，点P在点D的左边，PE=2t−6，PQ=34(5−t)，BE=PA−PE=t−(2t−6)=6−t，BQ=54(5−t)。

九年级数学动点问题之相似三角形

因动点产生的相似三角形问题（一）例1、直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．图1 思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ ＝90°是解题的前提．°是解题的前提．4．△ABQ 与△COD 相似，相似，按照直角边的比分两种情况，按照直角边的比分两种情况，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个．个．例2、Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x =¹在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P 的坐标．的坐标．图1 思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．例3、如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36为S，A1、B1的坐标分别为的坐标；时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、的值；若不存在，请说明理由．抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注．通过代数变形就可以了．意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴轴的上方．的下方，或者假设交点G在x轴的上方．例4、如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n上．=++上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边为菱形，求平移后抛物线的表达式；形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1 思路点拨1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法的长．中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．两边对应成比例，分两种情况讨论．例5、如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．）三点．（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．,思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．例6、如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域；的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图备用图备用图思路点拨 1．先解读背景图，△ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF 也是等腰三角形．腰三角形．2．用含有x 的式子表示BD 、DE 、MN 是解答第（2）题的先决条件，注意点E 的位置不同，DE 、MN 表示的形式分两种情况．表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．合题意．4．第（3）题按照DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．们轻松解题．。

专题13 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(解析版)

专题13难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (9)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (17)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (25)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (31)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (40)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【答案】185或367或365【分析】根据题意可知B B∠=∠【详解】解：∵在Rt ABC△中，【变式训练】【答案】经过0.8s或2s秒时，△△【分析】设经过t秒时，QBP边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQ(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【答案】(1)3050 1113或；(2)2或3．∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QE∥BO，∴△AEQ∽△AOB，∴45 QE BO AQ AB==(1)填空：当t=___________时，AF CE=，此时BH (2)当BEF△与BEH△相似时，求t的值．当BEF BHE △∽△时：BE BF BH BE=即()24212t t =-⨯，解得：317t =+(负值已舍)；综上，t 的值为2或4或317+【点睛】此题考查了相似图形，掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键．【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例题：（2023春·江西九江·九年级统考期中）如图，菱形16BD =，点P 是AD 上一点，【答案】8或294或6465-【分析】分三种情况讨论：当角形的判定与性质即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD∴7DF =，∵90,QFD AOD QDF ∠=∠=︒∠∴QDF ADO ∽ ，∴AD OD QD FD =，即1087QD =，∴354QD =，∴OA PE ∥，∴AOD PED ∽ ，∴AD AO OD PD PE ED==，即10106-∴1216,55PE ED ==，12【变式训练】【答案】2或8【分析】由矩形的性质，垂直的定义推出=，列出关于x的方程，求出设DE x=，【详解】解：设DE x【答案】487或163【分析】分两种情形：如图明BPM BDC ∽△△，利用相似三角形的性质列式计算即可；设CM PM PN CN ===∵PM CD ∥，∴BPM BDC ∽△△，∴PM BM CD BC =，设MC MP y ==．∵16AB =，12BC =，∴22BD BC CD =+=由折叠的性质得PD =【答案】4或134或11926【分析】由翻折变换的性质得：AE则BG FG ==12BF ，90BCG B A ∠=︒-∠=∠，又90CGB ACB ∠=∠=︒，∴CGB ACB ∽，【答案】53或634或6【分析】通过直角三角形未确定直角分三种情况进行讨论，利用互余关系，得到三角形相似，得到边长比例关系进行求解即可．∴90AED CEP∠+∠＝，∵矩形ABCD，∴90C D∠∠== ，∴90CEP CPE∠+∠= ，∵90DAE BAE BAE BAP ∠+∠=∠+∠=同理得到ADE ABP ，∴1259AD DE AB PB BP===，同理得：ABP PCE ~ ，∴9124AB BP x PC CE x ===-，∴126x x ==，【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【答案】8 5【分析】作点理可求得AB=点H，交AB于点则PC PC '=，90ACB ∠=︒ ，90C HC '∴∠=︒，此时，PH PC PC '+=+C H BC '∥ ，【变式训练】【答案】32【分析】取BE 的中点，连接12BH BE =，可得到BH BF BF BC =1DF FC DF FH +=+，当点∵BEM △沿着BM 翻折得到 ∴BF BE =，∵4BC =，E 是BC 中点，∴122BE BC ==，4【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定是解题的关键．【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）．．．．【答案】B【分析】分别求出点F 在边重合时时，点F 在边即可求解．【详解】解：24AB PA ==，【变式训练】1．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==，点P 为边AB 上一动点，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设,AP x CQ y ==，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B⊥，∵直线l AB∠=∠=∴BPQ ACB ∵B B∠=∠，A．．．D．【分析】分三种情况讨论得出y关于x的函数关系式即可得出答案．与点A重合时，【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点3．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线下方的l上的一动点AB=，设AD若6．．．．【答案】B【分析】根据AE BD ∥得∠，根据直线l 是线段AB 的中垂线可得132BC AB ==，再证，然后根据相似三角形列比例式化简可得定函数图像即可即可解答．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与△【答案】(1)()3,0t ，()12,2t (2)四边形APCQ 的面积不会随时间【变式训练】【答案】（1）DG BE =；（2）12DG BE DG BE =⊥，．理由见解析；（3）2；（4）410∵矩形ECGF 、矩形ABCD ，∴90ECG BCD ∠=∠=︒，∴DCG BCE ∠=∠，∵:2:41:2CD CB ==，:CG CE ∴::CD CB CG CE =，则90ENC CMG ∠=∠=︒，∵90ECG ∠=︒，∴ECN GCM GCM ∠+∠=∠+∠根据解析（3）可知，点G 的运动轨迹是直线∵DG GG '=，∴BG DG BG GG BG ''+=+=，∵两点之间线段最短，∴此时BG GD +的值最小，最小值为特例故知：（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，45B ∠=︒，E 为AB 的中点，则变式探究（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“B ∠进行解答即可；（3）过点E 作,EM AD EN BC ⊥⊥，垂足分别为,M N ，证明EMG ENF △∽△，结合解直角三角形的知识进行解答即可．【详解】解：（1）过点E 作,EM AD EN BC ⊥⊥，垂足分别为,M N ，∵90CAB ∠=︒，AD BC ⊥，45B ∠=︒，∴45MAE NBE ∠=∠=︒，∵90AME ENB ∠=∠=︒，∴AME △和ENB △为等腰直角三角形，∵E 为AB 的中点，∴AE BE =，∴EM EN =，∵AD BC ⊥，,EM AD EN BC ⊥⊥，∴四边形M END 是矩形，∴90MEN ∠=︒，∵EF CE ⊥，∴MEG CEN CEN NEF ∠+∠=∠+∠，∴MEG NEF ∠=∠，在MEG 和NEF 中，MEG NEF EM EN EMG ENF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)MEG NEF ≌，∴EF EG =，故答案为：EF EG =；（2）过点E 作,EM AD EN BC ⊥⊥，垂足分别为,M N ，同理可得四边形M END 是矩形，∴90MEN ∠=︒，∵EF CE ⊥，∴MEG CEN CEN ∠+∠=∠+∠同（2）可得EMG ENF △∽△，∴EG EM EF EN=，∵B α∠=，AE kBE =，【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】5BC 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②AE MN ∥，理由见解析；(3)223或4．【分析】（1）根据题可得90AEC ACE ∠+∠=︒、90ACD ACE ∠+∠=︒（2）①90EAC BAD ∠=∠=︒ ．EAC BAC BAD BAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠．AB AD = ，由（1）知AEC ACD ∠=∠，(ASA)BAE DAC ∴ ≌．BE DC ∴=．∵M ，F 分别是BD ，BC 的中点，MF ∴是BCD △的中位线．2CD MF ∴=．2BE MF ∴=．②//AE MN ，理由如下：（3）解：①如图：当点E在线段CF交于点K，335,AB AB BC == ,∴5BC =∵四边形ABCD 是矩形，∴90BCD AB CD ∠=︒⊥，，∴90OHC BCD OPC ∠=∠=∠=∴四边形OHCP 是矩形，同理可得OPF OHE ∽，即∴3354CF CP PF =+=+=【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；【尝试应用】①2，【拓展提高】∥，交作CE AP∴∽APB CEBPA AB∴=，CE BC∠PB平分APC∴∠=∠APB CPB∴∠=∠，CPB E=延长PC至T，使CT PC延长PC 至Q ，使PQ AP =PCD QCB ∴∽ ，PD PC BQ CQ∴=，PB 平分APC ∠，AP AB m PC BC n∴==，不妨设AP ma =，PC na =由上知：PAB QPB ≌ ，BQ AB m ∴==，(1)操作推断如图1，点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，沿BP折叠，使点A落在点连接PF．则BPF∠＝︒．(2)迁移探究小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长PM交CD于点E，连接设BF与AD交于E，∵DF AB∥，∴ABE DFE∽，∴AB AE BE DF DE EF==，∵DF AB∥，∴ABH DFH∽，∴AB AH BH DF DH FH==，。

浙教版九年级上学期第四章相似三角形动点问题分类讨论(包含答案)

由动点产生的相似三角形的解题方法和策略：1.寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏条件）2.注意分类讨论，先找是否有相等角，再决定分类讨论情况：3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件）4.注意三个易忘定理：线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。

例1.如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CE 是斜边AB 上的中线，10=AB ，43tanA =，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作CB PQ ⊥，交CB 延长线于点Q ，设EP x =，BQ y =。

（1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）过点B 作AB BF ⊥交PQ 于F ，当BEF ∆和QBF ∆相似时，求x 的值。

【解答】（1）在Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，∵4tan 3BC A AC ==，10AB = ∴8,6BC AC ==．∵CE 是斜边AB 上的中线，∴152CE BE AB === ∴,PCB ABC ∠=∠∵90PQC ACB ︒∠=∠=∴△PQC ∽△ABC∴484,555CQ BC y PC AB x +===+即； ∴445y x =-，定义域为5x >．（2）∵90,Q ACB QBF A ︒∠=∠=∠=∠∴△BQF ∽△ABC当△BEF 和△QBF 相似时，可得△BEF 和△ABC 也相似．分两种情况： ①当FEB A ∠=∠时，在Rt △FBE 中，90FBE ︒∠=，5BE =，53BF y =∴54445353x ⎛⎫-=⨯⎪⎝⎭，解得10x =； ②当FEB ABC ∠=∠时，在Rt △FBE 中，590,5,3FBE BE BF y ︒∠===∴54345354x ⎛⎫-=⨯⎪⎝⎭，解得12516x = 综合①②，12516x =或10．练习1.已知如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB=CD ，AD=3，BC=9，34tan =∠ABC ，直线MN是梯形的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CF∥AB 交射线BP于点F。

相似三角形之动点问题-含参考答案

中考数学复习之相似之动点问题（学案）知识与方法梳理1．研究基本图形，标注基本图形是动点运动的背景，需要研究边和角，寻找模型或结构，或者转化坐标和表达式．2．分析运动过程，分段，定范围关注起点、终点和状态转折点．状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等．3．根据不变特征建等式依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果．表达的常用手段有s=vt、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等．例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻使△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．（1）1025713t=或；（2）525321t=或．解：(1)若A、P、Q与ABC相似时，∆APQ为直角三角形；1.若∠APQ=90°时，易知∆APQ~∆ACB，AP AQAC AB=即有5245t t-=得t=2513Q2.若∠AQP=90°时，∆APQ~∆ABC ，AP AQ AB AC =即有5254t t -=得t=107(2)1.当PA=PQ 时，作PD ⟂AQ 于点D ，AQ=2t ，则AD=t ，AP=5-t ，∆APD~∆ABC ，AP AD AB AC =，即有554t t -=，t=209>2，故舍去.2.当AP=AQ 时，即有5-t=2t ，即t=53；3.当QA=AP 时，作QF ⟂AP 于点F ，易知∆AQF~∆ABC ，AF AQ AC AB =，即有52245tt-=，t=2521练习题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC:BC=4:3．点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿折线B→C→A 向点A运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x（s）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当Q在BC上运动时，是否存在以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）当Q在CA上运动，且PQ⊥AB时，以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC是否相似？请说明理由．CA BCA BCA B2．如图，直角梯形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA∥CB，A(4，0)，B(3，3)．点M从点O出发以每秒2个单位长的速度向点A运动，同时点N从点B出发，以每秒1个单位长的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点N作Array NP⊥x轴于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t（秒）．（1）使线段AQ，QM，MA能围成三角形的t的取值范围是_____________．（2）求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式．（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=B=45°．动点M从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位长的速度向终点C运动，动点N同时从点C出发，沿折线C→D→A以同样速度向终点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求在运动过程中形成的△MCN的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（2）当N在CD上运动时，△MCN能否成为等腰三角形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．A DB CA DB CA DB C4．如图，直角梯形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA∥CB，A(15，0)，B(10，12)．动点P，Q分别从O，B两点同时出发，点P以每秒2个单位长的速度沿OA方向向终点A运动，点Q以每秒1个单位长的速度沿BC方向向终点C运动，当一个点到达Array终点时，另一个点也随之停止运动．线段OB，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q的运动时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形P ABQ是平行四边形？（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？5．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A ，B 坐标分别为(8，6)，(16，0)．点P 从点O 出发沿OA 方向向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 从点B 出发沿BO 方向向终点O 运动，速度为每秒2个单位．如果P ，Q 同时出发，用t （秒）表示运动时间，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）设△OPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（2）△OPQ 与△OAB 能否相似？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．6．如图，直线y=-4x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y=43x-b过点C，与x轴交于点B．动点D从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时动点E从点B出发，沿线段BC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t （秒），当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）连接ED，设△BDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）在运动过程中，当△BDE为等腰三角形时，求t的值．【参考答案】1.（1）2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤．（2）存在，3013x =．（3）不相似 2.（1）0≤t <2（2）23332442S t t t =-++<（0）≤（3）存在，M (2,0)或M (2619，0)3.（1）22405522058t tt S t t ⎧-+⎪=⎨⎪-+⎩＜＜≤≤（2）能成为等腰三角形，50511t =或 4. （1）t =5（2）174（3）t =13或56或43或1935.（1）232455y t t =-+(08)t <<（2）能相似，12840219t t ==或 6.（1）22855S t t =-+（2）202421111t =或或。

相似三角形之动点问题(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)

专题15 相似三角形之动点问题1．如图，在Rt ABC 中，9034C AC BC ∠=︒==，，，点E 是直角边AC 上动点，点F 是斜边AB 上的动点（点F 与A B 、两点均不重合）．且EF 平分Rt ABC 的周长，设AE 长为x ．(1)试用含x 的代数式表示AF = ；(2)若AEF △的面积为165，求x 的值； (3)当AEF △是等腰三角形时，求出此时AE 的长．证明FDA BCA ∽，根据相似三角形的性质得出即可求解； AE =，②AE EF =，③Rt ABC 中，由勾股定理得：∴ABC 的周长512=．AE AF +=6AF AE =-故答案为：（2）过点AC ．∴BC AC FD AC ⊥⊥，，∴FDA BCA ∽．BC DF AB AF =，即456=2445x DF -=， AEF △的面积为165∴90EMA C EAM CAB ∠=∠=︒∠=∠，，∴EAM BAC ∽，AE AM AB AC=， 1(6)253x x -=，同理FAN BAC∽，ANAC=，123xx=，3611，．如图，在ABC中，秒5个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ，以PQ、PB为边作PBMQ．设PBMQ与ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．(1)直接用含t的代数式表示线段PQ的长并写出t的取值范围；(2)当点M落在边AC上时，求t的值及此时PBMQ的面积；(3)求S与t之间的函数关系式；(4)当PBMQ的对角线的交点到ABC的两个顶点的距离相等时，直接写出t的值．由意得5AP t ＝，PO QO ＝，在Rt ABC △中，AB ＝4，BC ＝3，11ABC S =△AB BM ∴=∴四边形PQMB PQ BM ∴=PBMQ S BM =3）当0<4196PQMB S S -△BT AC⊥125AB BCBTAC∴==22AT AB BT∴=-=AOP ABC∽△△::AP OA OP AC∴=3OP t∴=OT AT∴=∴(12S OP=则AK CK=，设AK CK x==．Rt CBK中，(234=+-258x=，=，∴OL AB∥，QO OB-+=x x14480根，连结BD，动点P从B出发，以1个单位每秒速度，沿BD方向运动，同时，动点Q从点D出发，以同样的速度沿射线DA运动，当点P到达点D时，点Q即停止运动，设运动时∆，使点M落在线段BD上.间为t秒.以PQ为斜边作Rt PQM(1)求线段BD 的长度；(2)求PDQ ∆面积的最大值；(3)当PQM ∆与BCD ∆相似时，求t 的值. DBA ∆4t 50BDC ∆时PM BC958t - 50DBC ∆时PM DC956t - 40DBC ∆时BDC ∆时综上，当5013t =或【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，别注意分类讨论.．如图，在ABC 中，P A B 2cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm /s 的速度移动，如果P Q ，分别从A B ，同时出发，问经过几秒钟，△△PBQ ABC ．△ABC ，△ABC ，则20cm BC =420t ，解方程得，△ABC ，则2t ，解方程得，或5s 2时，△△ABC ，故答案是：1s 或5s 2【点睛】本题主要考查相似三角形性质的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED 的面积为y ．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED 相似，求BED 的面积．在ABC 中，2AB AC =E 为AB 上动点可与5x =时，C 到AB 的距离为AC CB h AB ⨯=BEH BAC ∴∽EH BE AC AB= 35AC BE EH x AB ⋅== 12DEBS BD EH =⋅=6165y x =（2）由题意知90BEF ∠≠︒，故可以分两种情况．为顶点的三角形与BED 相似，又知EH BC H ⊥于综上所述，BED 的面积是【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，函数关系式．注意（2）中都要分情况进行讨论：要分BEF ∠时钝角还是锐角进行分类讨论，不要丢掉任何一种情况． 6．如图，矩形ABCD 中，AD AB ==25 ，，P 为CD 边上的动点，当ADP △与BCP 相似时，求DP 长．【答案】1DP = 或4 或2.5PBC ∽分两类情况讨论即可；PBC ∽时，2x 1 或4x = 1= 或4 本题考查了相似三角形与动点问题；在ABC 中，的速度向终点A 运动，另一动点Q 同时从点A 出发沿着AC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动，P 、Q 两点同时到达各自的终点，设运动时间为t （s ）．APQ 的面积为2cm S ．(1)求BC的长；(2)求S与t的函数关系式，并写出的取值范围；(3)当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和ABC相似？∴APH ABC ∆∆，PH BC， 6cm AB ==，2106t PH =， 486t -，AQ AC．如图，在ABC中，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为s t,(1)则AP=；AQ=____ (用含t的代数式表示)(2)求运动时间t的值为多少时，以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？为顶点的三角形与ABC 相似，为顶点的三角形与ABC 相似．相似三角形的动点问题，=8cm BC ，，动点边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t ＜＜，连接PQ ．(1)若BPQ 与ABC 相似，求t 的值；(2)直接写出BPQ 是等腰三角形时t 的值；(3)如图2，连接AQ 、CP ，若AQ CP ⊥，求t 的值．(2)BPQ 是等腰三角形时78t =【分析】（1）根据勾股定理可得①BPQ BAC ~，②BPQ BCA ~，根据相似三角形的性质将10cm 8cm BC =，代入计算即可得；BGQ BCA ~，得到比例式进而即可求解；（3）设AQ ，CP 交于点得3cm PM t =，BM ，再证出ACQ CMP ~，根据相似三角形的性质即可得．（1）解：∴=90ACB AC ∠︒，当BPQ BAC ~时，84=8t -， =1；当BPQ BCA ~时，BP BC 84=10t -， 4132=，综上，t 的值为1或4132；15∴BGQ BCA ~，BG BQ BC BA =即582=810t -解得：6457t =；综上所述：BPQ 是等腰三角形时解：如图，设AQ ，CP∴=90PM BC ACB ⊥∠︒，，BAC △，PM BM AC BC =，即3cm t =，BM (=8BC BM -+=90NCA ∠∠∴ACQ CMP ~，AC CQ CM MP=，即68-解得78t =，经检验78t =是该分式方程的解．，在ABC 中，线PD PE ⊥，分别交AC 、BC 于点D ，E ．(1)问题产生∴若P 为AB 中点，当,PD AC PE BC ⊥⊥时，PD PE= ； (2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∴DPE 绕着点P 旋转到图2的位置，PD PE 的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决：如图3，连接DE，若PDE与ABC相似，求BP的值．是ABC的中位线，利用中位线定理即可得解；PM BC PN∥是ABC的中位线，得到,PNE，得到，即可得证；︒=︒，CAB∽△，利用90180，利用相似比即可得解，当（3）如图3，当PDE CBA △∽△时，则PDE B ∠=∠，165段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．(1)当t为何值时，∴APQ与∴AOB相似？(2)当t为何值时，∴APQ的面积为24 5∴QE∴AO，BO∴AO，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)填空：①当t为______s时，四边形EGFH是菱形；②当t为______s时，四边形EGFH是矩形．∴四边形EGFH是菱形，G是AE的中点．点，连结DE ，点P 从点B 出发，沿折线BD －DE －EA 运动，到点A 后立即停止．点P 在BD 的速度运动，在折线DE －EA 上以1cm/s 的速度运动．在点P 的运动过程中，过点P 作PQ ∴BC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，点M 在线段BQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．(1)当点P 在线段DE 上时，求正方形PQMN 的边长．(2)当点N 落在边AB 上时，求t 的值．(3)在点P 的整个运动过程中，记正方形PQMN 与∴ABC 重叠部分图形面积为S （cm ²），求S 与t 的函数关系式，写出相应t 的取值范围．（2）（3）∴PQ∥AC，∴DP=t-2，PQ=MQ=2，20∴PE=t-2-4=t-6，∴PE =t-6，P A 的速度向点B 匀速移动，动点Q 从点D 出发，沿DA 边以1/s cm 的速度向点A 匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P ，Q 同时出发，设运动时间为s t ．(1)当t 为何值时，APQ △的面积为216cm(2)t 为何值时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似．为顶点的三角形与ABC APQ 的面积为(12102t ∴⋅⋅解得2t =或07.5t<< ABC∠=∴当BCAB=为顶点的三角形与ABC相似，1010 152∴=解得307t=为顶点的三角形与ABC相似．一元二次方程的解法等知识，角形的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与∴ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．DE AD ）根据题意可知有两种情况分别是AMNDCA 和AMN DAC ，然后列出方程进行∴ADEABC 正确比例式是：DE BC ＝AD AB BC AB ⋅＝()AB BD AB -5⨯5 另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点DE AD 第一种：当AMN DCA 时，，则AN =6-2t ，第二种：当AMN DAC时，AN，DC，，向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当POQ与AOB相似时t的值．【答案】4或2∴ 当t＝4或t＝2时，∴POQ与∴AOB相似．【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解答的关键．17．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s 的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的∴Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．(1)当t为何值时，线段DP与∴Q相切；(2)若∴Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；(3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值．1 DE AN∴AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AN∴BC，则2t ＝10，5个单位长度的速度沿折线BA ﹣AC 运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿折线BC ﹣CA 运动，当点P ，Q 相遇时，两点同时停止运动，设点P 运动的时间为t 秒，∴PBQ 的面积为S ．(1)当P ，Q 两点相遇时，t ＝秒；(2)求S 关于t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．2(02)824(2)3896(3)3t t t t <+<+．02t <时，当823t <时，当833t 时，利用三角形相似和三角形的的关系式．90C ∠=6AC =， AB ∴=53t t ∴+3．∴当P ，两点相遇时，3t =秒，故答案为：（2）02t <时，当823t <时，ABC ∆中，过点P 作PH ⊥90PHB C ∴∠=∠=︒，B ∠∠=ΔABC ∴∽∴PH BP AC AB=5BP t =，3PH t ∴=3BQ t =，132S ∴=⨯当823t <时，如图，165PCt =-，833t 时，如图，248PQ t =-，2(02)824(2)3896(3)3t t t t <+<+．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决问题的关键是理清图象的含义即会识图．通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、中，∴C ＝90°以每秒 2 个单位长度的速度向终点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发，沿折线 AC —CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动．设运动的时间为 t 秒．(1)AB = ；(2)用含 t 的代数式表示线段 CQ 的长；(3)当Q 在AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与∴ABC 相似，求t 的值；(4)设点O 是P A 的中点，当OQ 与∴ABC 的一边垂直时，请直接写出t 的值．∴（4）OP OB =∴QP QB =点 O 是12OP ∴=B B ∠=∠BOQ BCA ∴∽，BQ OB AB BC∴=， ()1202222016t t -∴=，解得50t =， AC BC ⊥OQ AC ∴∥BOQ BAC ∴∽，BQ OB BC AB∴=， ()1202221620t t -∴=， ∴207t =，AOQ ABC ∴∽，AQ AO AC AB∴=， 2AQ AC BC t =+-=122AO AP PB t =+=+2821012t t -+∴解得11013t =【点睛】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关20．如图，抛物线3y ax bx =+-交轴于，两点，与轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．若AON ABC ∽，②若AON ACB ∽，由相似三角形的性质可求出点坐标，联立直线ON 和抛物线的解析式可求出答案．交x 轴于()30A -，，()10，两点，S=PEG12PG4PG=2为顶点的三角形与ABC相似，可分两种情况：∽，若AON ABCOA=，AB3=，49∽，若AON ACBOA=，AC3=，32=，22)--，，12。

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相似三角形动点问题一．选择题（共1小题）1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1，故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B．二．填空题（共10小题）2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当= 或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的．解：设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2，①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴，②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴，③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=∴，④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且，∴=，∴=，∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的，故答案为：或或．3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x= 或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．相似三角形的性质；正方形的性质．，AB=1∴CN=×1=，∵BM=x，∴CM=1﹣x，①当CN与BM是对应边时，=，即=解得x=，②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．综上所述，x的值是或．故答案为：或．4.在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线，简记为P （l x ）（x 为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C ，当BP=2PA 时，P （l 1）、P （l 2）都是过点P 的△ABC 的相似线（其中l 1⊥BC ，l 2∥AC ），此外，还有 1 条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P （l x ）截得的三角形面积为△ABC 面积的．5．如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是 3秒或4.8秒．分析：（1）过点P 作l 3∥BC 交AC 于Q ，则△APQ ∽△ABC ，l 3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P 作l 3∥BC 交AC 于Q ，则△APQ ∽△ABC ；故答案为：1；（2）设P （l x ）截得的三角形面积为S ，S=S △ABC ，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l 1，此时P 为斜边AB 中点，l 1∥AC ，∴=； ②第2条l 2，此时P 为斜边AB 中点，l 2∥BC ，∴=； ③第3条l 3，此时BP 与BC 为对应边，且=，∴==；④第4条l 4，此时AP 与AC 为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．动点型；分析：如果以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，由于A 与A 对应，那么分两种情况：①D 与B 对应；②D 与C 对应．根据相似三角形的性质分别作答．解：如果两点同时运动，设运动t 秒时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AD=t，CE=2t ，AE=AC ﹣CE=12﹣2t ． ①当D 与B 对应时，有△ADE ∽△ABC ． ∴AD ：AB=AE ：AC ，∴t ：6=（12﹣2t ）：12∴t=3； ②当D 与C 对应时，有△ADE ∽△ACB ． ∴AD ：AC=AE ：AB ，∴t ：12=（12﹣2t ）：6，∴t=4.8．故当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．三．解答题（共19小题）1．如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点M 从点A 出发，以1cm ∕秒的速度向点B 运动，动点N 从点C 出发，以2cm ∕秒的速度向点A 运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．动点型．分析：首先设经过t 秒时，△AMN 与△ABC 相似，可得AM=t ，CN=2t ，AN=12﹣2t （0≤t ≤6），然后分别从当MN ∥BC 时，△AMN ∽△ABC 与当∠AMN=∠C 时，△ANM ∽△ABC 去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似（无此过程不扣分）设经过t 秒时，△AMN 与△ABC 相似，此时，AM=t ，CN=2t ，AN=12﹣2t （0≤t ≤6），（1）当MN ∥BC 时，△AMN ∽△ABC ，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C 时，△ANM ∽△ABC ，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t 的值为3秒或4.8秒．2．已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与边OA ，OB 交于点C ，D ． ①在图甲中，证明：PC=PD ；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB 分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．分析：（1）①可通过构建全等三角形来求解；②可根据相似比来求面积比．（2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时；解：（1）①证明：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°∴∠HPC+∠CPN=90°∵∠CPN+∠NPD=90∴∠HPC=∠NPD∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN又∵∠PHC=∠PND=90°∴△PCH≌△PDN∴PC=PD②∵PC=PD∴∠PDG=45°∵∠POD=45°∴∠PDG=∠POD∵∠GPD=∠DPO∴△POD∽△PDG∴．（2）①若PC与边OA相交，∵∠PDE＞∠CDO令△PDE∽△OCD∴∠CDO=∠PED∴CE=CD∵CO⊥ED∴OE=OD∴OP=ED=OD=1②若PC与边OA的反向延长线相交过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，∵∠PED＞∠EDC令△PDE∽△ODC∴∠PDE=∠ODC∵∠OEC=∠PED∴∠PDE=∠HCP∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND∴HC=ND，PC=PD∴∠PDC=45°∴∠PDO=∠PCH=22.5°∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣∵HC=HO+OC=+x∴1﹣=+x∴x=即OP=3．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q 也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题：（1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由）（2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形．（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．分析：（1）不能相似，因为相似时，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的锐角不能为30°；（2）分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，③当QA=QD时，求出AQ长即可；（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，根据△RQE∽△PQA得出=，代入求出即可．解：（1）不能相似；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3；②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC﹣CE=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面积公式得：S△ADE=×AD×DE=AE×DM，∴DM=cm，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM==（cm），∵DM⊥AQ，AD=DQ，∴AQ=2AM=cm（三线合一定理），即t=；③当QA=QD时，过Q作QN⊥AD于N，则AN=ND=，∵∠ADC=∠ANQ=90°∴QN∥DC，∵DN=AN，∴EQ=AQ=AE=×5cm=cm，即t=综合上述，当t为3秒或秒或秒时，△ADQ是等腰三角形．（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠OCR=∠OAP，∵在△ROC和△POA中，，∴△ROC≌△POA（ASA），∴CR=AP=2t，∵CE=2，∴RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，∵DC∥AB，∴△RQE∽△PQA，∴=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去）．即t=3秒时，直线PQ平分矩形ABCD的面积．4．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与Rt△OAB相似，并直接写出点C的坐标．分析：根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似，根据网格结构写出此时点C的坐标即可；又当PC⊥OB时，分割得到的三角形与Rt△OAB也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出AC的长度，从而得到此时点C的坐标．解：如图，PC∥AB时，△OCP∽△OAB，此时点C的坐标为（3，0），PC∥OA时，△PCB∽△OAB，此时点C的坐标为（6，4），∵P（3，4）为OB的中点，∴PB=OB=5，∴=，即=，解得BC=，AC=AB﹣BC=8﹣=，此时点C的坐标为（6，），综上所述，点C的坐标为（3，0），（6，4），（6，）．5．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．动点型．分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，动点P从点A开始在线段AC上以1厘米/秒的速度向点C移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以2厘米/秒的速度向点A移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束．设点P、Q移动的时间为t秒．（1）设△APQ的面积为y（厘米2），请你求出y与t的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大；（2）在整个运动过程中，是否会存在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请你求出此时t的值；若不存在，请你说明理由．分析：（1）根据已知条件求出AB的长，再过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，的长△QHA∽△BCA，求出，即可求出QH的值，最后求S△APQ的值；（2）存在在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此小题要分两种情况进行讨论，①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值；②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值，经检验它们都符合题意即可．解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，∴AP=t，CP=6﹣t，BQ=2t，AQ=10﹣2t，过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，∴△QHA∽△BCA，∴，∴，∴QH=8﹣t，∴S△APQ=AP•QH=t（8﹣t）=4t﹣t2；当t==时，面积有最大值，是4×﹣×（）2=5﹣=；（2）①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，则，∴，∴t=；②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，则，则，解得t=，当t为或时，经检验，它们都符合题意，此时△AQP和△ABC相似，故存在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．7．如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与△ABC相似的三角形．分析：可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．解：观察可以发现AC=AB，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为．△EBF中，BF=，EF=，BF=5，△DIB中，DI=2，DB=2，BI=2，△HFE中，HF=，HE=2，EF=，△ABC中，AB=1，AC=，BC=，计算对应边比值即可求得△EBF∽△DIB∽△HFE∽△ABC．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=10，对角线AC=4，动点E从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，运动时间为t（s）（0≤t≤5）．那么当t为何值时，以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似．．分析：由于AD∥BC，得∠DAC=∠BCA；若以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似，可得两种情况：①△ADC∽△CEA，此时对应边AD=AD，则两三角形全等，AD=EC=2；②△ADC∽△CAE，此时AD：AC=AC：CE，根据所得的比例式，即可求出CE的长；根据上述两种情况所得出的CE的值，再除以B点的速度，即可求出时间t的值．解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA；①当△ADC∽△CEA时，，即EC=AD=2，t=2÷2=1s；②当△ADC∽△CAE时，，即CE=AC2÷AD=8，t=8÷2=4s；故当t为1s或4s时，以A、E、C为顶点的三角形与△ADC相似．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC向终点C移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？分析：根据勾股定理求出AB，根据相似得出两种情况，根据相似得出比例式，代入比例式求出即可．解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根据勾股定理，得AB==5cm，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时，=，即=，解得t=；②当△APM∽△ABC时，=时，即=，解得t=，综上所述，当t=或t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．选作题1．在△ABC中，∠C=90°（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．例如：过点P作PD∥BC交AB于D，则截得的△ADP与△ABC相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）分析：（1）根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可以作DP∥BC，PE∥AB；又由有两个角对应相等的三角形相似，可以过点P作PG⊥AB交AC于点G，过点P作∠PFC=∠A即可；（2）本题需要根据BQ的取值范围不同，所画的直线条数不同讨论即可．解：（1）如图所示：（2）当0＜BQ≤时，满足条件的直线有3条；当＜BQ＜6时，满足条件的直线有4条．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，点A（6，0），∠BAO=30°．（1）求点B的坐标；（2）点P是线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，求点P的坐标；（3）在第一象限内是否存在点Q，使得以Q、O、B为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA与tan30°的值求出OB的长，即可确定出B的坐标；（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，①当OP1=P1A 时，连接OP1，作P1C1⊥OA，则C1为AO的中点，P1C1为△AOB的中位线，求出P1C1与OC1的长，确定出此时P1的坐标；②当P2A=AO时，连接OP2，作P2C2⊥OA，可得出P2A=AO=6，∠P2AO=30°，在Rt△P2AC中，求出P2C与AC2的长，进而确定出OC2的长，确定出此时P2的坐标即可；（3）分三种情况考虑：当∠OBQ为直角时，如图2所示，再分两种情况考虑：①若△BQO∽△OAB；②若△BQO∽△OAB 时，分别求出Q的坐标；当∠CQB为直角时，如图3所示，再分两种情况考虑：③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，④若△QBO∽△OAB时，分别求出Q的坐标；当∠BOQ为直角时，经检验不合题意，综上，得到所有满足题意Q的坐标．解：（1）在Rt△AOB中，OB=OA•tan30°=6×=2，则B坐标为（0，2）；（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，①当OP1=P1A时，连接OP1，作P1C1⊥OA，则C1为AO的中点，P1C1为△AOB的中位线，∴P1C1=BO=，OC1=OA=3，此时P1（3，）；②当P2A=AO时，连接OP2，作P2C2⊥OA，∵P2A=AO=6，∠P2AO=30°，∴在Rt△P2AC中，P2C=P2A=3，AC2=P2Acos30°=3，则OC2=OA﹣C2A=6﹣3，即P2（6﹣3，3）；（3）当∠OBQ为直角时，如图2所示，①若△BQO∽△OAB，则∠BOQ=∠OAB=30°，则BQ=OBtan30°=2，即Q（2，2）；②若△BQO∽△OAB时，则∠BOQ=∠OAB=30°，BQ=OBtan60°=2×=6，即Q（6，2）；当∠CQB为直角时，如图3所示，③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，∠BOQ=∠BAO=30°，在Rt△OQB中，BQ=OA=，OQ=OBcos30°=3，∵在Rt△QMO中，∠OQM=30°，∴OM=OQ=，QM=OQcos30°=，即Q（，）；④若△QBO∽△OAB时，则∠OBQ=∠OAB=30°，作QN⊥OA，∠QON=30°，如图4所示，∴QN=OQ=×OB=，ON=OQcos30°=，即Q（，）；当∠BOQ为直角时，Q在x轴上，不符合要求，综上，符合题意的点Q有四个，分别为Q1（2，2），Q2（6，2），Q3（，），Q4（，）．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。