(学生)九年级相似三角形动点问题

相似三角形动点问题

一．选择题（共1小题）

1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）

A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5

解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．

因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，

所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，

又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1，

故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B．

二．填空题（共10小题）

2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三

角形与△ABC相似，当= 或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的．

解：设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2，

①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，

∴，

②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，

∴，

③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=

∴，

④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且，

∴=，

∴=，

∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的，

故答案为：或或．

3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x= 或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．

相似三角形的性质；正方形的性质．，AB=1∴CN=×1=，

∵BM=x，∴CM=1﹣x，

①当CN与BM是对应边时，=，

即=解得x=，

②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．

综上所述，x的值是或．故答案为：或．

4.在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线，简记为P （l x ）（x 为自然数）． （1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C ，当BP=2PA 时，P （l 1）、P （l 2）都是过点P 的△ABC 的相似线（其中l 1⊥BC ，l 2∥AC ），此外，还有 1 条；

（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当

=

或或

时，P （l x ）截得的三角形面积为△ABC 面积的．

5．如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是 3秒或4.8秒 ．

分析：

（1）过点P 作l 3∥BC 交AC 于Q ，则△APQ ∽△ABC ，l 3是第3条相似线；

（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏． 解：（1）存在另外 1 条相似线． 如图1所示，过点P 作l 3∥BC 交AC 于Q ，则△APQ ∽△ABC ； 故答案为：1；

（2）设P （l x ）截得的三角形面积为S ，S=S △ABC ，则相似比为1：2． 如图2所示，共有4条相似线：

①第1条l 1，此时P 为斜边AB 中点，l 1∥AC ，∴=； ②第2条l 2，此时P 为斜边AB 中点，l 2∥BC ，∴=； ③第3条l 3，此时BP 与BC 为对应边，且

=，∴

=

=

；

④第4条l 4，此时AP 与AC 为对应边，且

=，∴==，∴=．

故答案为：或或．

动点型； 分析：

如果以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，由于A 与A 对应，那么分两种情况：①D 与B 对应；②D 与C 对应．根据相似三角形的性质分别作答．

解：如果两点同时运动，设运动t 秒时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，

则AD=t

，CE=2t ，AE=AC ﹣CE=12﹣2t ． ①当D 与B 对应时，有△ADE ∽△ABC ． ∴AD ：AB=AE ：AC ，∴t ：6=（12﹣2t ）：12∴t=3； ②当D 与C 对应时，有△ADE ∽△ACB ． ∴AD ：AC=AE ：AB ，∴t ：12=（12﹣2t ）：6，∴t=4.8． 故当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．

三．解答题（共19小题）

1．如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点M 从点A 出发，以1cm ∕秒的速度向点B 运动，动点N 从点C 出发，以2cm ∕秒的速度向点A 运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

动点型． 分析：

首先设经过t 秒时，△AMN 与△ABC 相似，可得AM=t ，CN=2t ，AN=12﹣2t （0≤t ≤6），然后分别从当MN ∥BC 时，△AMN ∽△ABC 与当∠AMN=∠C 时，△ANM ∽△ABC 去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案． 解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似（无此过程不扣分） 设经过t 秒时，△AMN 与△ABC 相似， 此时，AM=t ，CN=2t ，AN=12﹣2t （0≤t ≤6）， （1）当MN ∥BC 时，△AMN ∽△ABC ，（1分） 则

，即

，（3分）

解得t=3；（5分）

（2）当∠AMN=∠C 时，△ANM ∽△ABC ，（6分） 则

，即

，（8分）

解得t=4.8；（10分）

故所求t 的值为3秒或4.8秒．

2．已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：

（1）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与边OA ，OB 交于点C ，D ． ①在图甲中，证明：PC=PD ；