2021年成考专升本高等数学二重点及解析精简版

高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）I 、函数、极限一、 基本初等函数（又称简朴函数）：（1）常值函数：y = c （2）幕函数：y = （3）指数函数：y = / （“〉0,且d H1）（4） 对数函数：y = \og a x （u ） 0,且oHl ）（5） 三角函数：y = sin x > y = cosx> y = tanx » y = cot x（6） 反三角 函数：y = arcsin x, y = arccosx> y = arctan x» y = arc cot x二、 复合函数：要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成。

例如：|y = lncosx 是由y = ln“ , u = cosx 这两个个简朴函数复合而成. 例如：|y = arctan e'x 是由y = arctan u > u = e 和y = 3x 这三个简朴函数复合而成. 该某些是背而求导核心！三、 极限计算1、运用函数持续性求极限（代入法）：对于普通极限式（即非未定式），只要将凡代 入到函数表达式中，函数值即是极限值，即lim/（x ） = /（x 0）.XT 心注意：（1）常数极限等于她自身，与自变量变化趋势无关，即limC = C o（2）该办法使用前提是当x->x 0时候，而xts 时则不能用此办法。

例lim 4 = 4, lim-3 = -3, Iimlg2 = lg2, lim/r = /r, ------ A —»-XA —>-l .TfX J 〜丸•1弋2.未定式极限运算法（1）对于+未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。

x 2 +3x-l~x+i02+3>0-l _o+i- 丽^1曲空41k 空—1------- 22 X-l 2-1（非特殊角三角函数值不用讣算出来）ini西计算黒m …•…存定式’提取公因式解：原式二 lim- V ~3)( V + 3)23X -3(2)对于三未定式：分子、分母同步除以未知量最髙次幫，然后运用无穷大倒数是无穷小 Q0这一关系进行讣算。

(1)定义：设a 和0是同一变化过程中两个无穷小，如果limE 二1,称0与a 是等价无 a穷小，记作0〜a ・(2)定理：设a 、a 、卩、0’均为无穷小，又a 〜a,卩〜卩、且lim£存在 a 1(3)惯用等价无穷小代换：当XT *0时，sinx~x, tanx~x例 1： |当 x —» 0 时，sin 2x 〜2 x , tan(-3x)〜-3x 例 2： |极限 lim S " J’ 二 lim — = lim 二二二..... sin 2兀用 2 x 等价代换------- g () 5x go 5x z 5 5=lim(x + 3) = 6XT 3匝訂计算lim ：V -~2-+13 JT — 1侍泄式，提取公因式解：原式呵(2)(5)=ii m Lls 12=2=o解:匝訂计算lim2-0_23 + 0" 33x 2-2.r-l2疋一疋+53 2 1——.2 — .3 Q解：原式二lim ― ------ 二一 =0-2-1 + 4 2X X3、运用等价无穷小代换求极限..... 三未定式，分子分母同步除以noO..... 无穷大倒数是无穷小..... 工未定式,分子分母同除以分OC..... 无穷大倒数是无穷小，因而分子是0分母是2则 lim©a或 lima= lima. tan 3 Y 3 vtan3x用3工等价代换例3：极限lim - = lim — = lim3 = 3.V—>0 x v-M) x x-><)II、一元函数微分学一、导数表达符号(1)函数/(Q在点％处导数记作：/ (x0), y \或—I(2)函数/(x)在区间Q,b)内导数记作:/G)，y 或冬dx二.求导公式(必要熟记)(1)(C)=0 (C 为常数) (3)(e x) =e x(5) (sin x) =cosx. 1(7)(arcsin x) = / _____ 亍(2) (x a) =ax^11(4) (In x)=—x■(6) (cos x) =-sinx、, . 1(8) (arctan x)= ---------- -1 + f|例：|1、(^3) =3A24、zr =0三、导数四则运算3、应卜。

运算公式(设U, V是关于X函数，求解时把已知题目中函数代入公式中U和V即可，代入后用导数公式求解•)(1) (M ± V)=11 ± v(2) («• v) = u v + uv特别地(Cu) =C U (C 为常数)例1： |已知函数y = x"+3cosx — 2,求y .解：y =(^4) +3(cosx) -2 =4x 3 -3sinx-0=4.r 3 -3sinx 例东1已知函数f(x) = x 2 \nx,求厂(x )和f(e).解：/ (A ) = (X 2) lnx + x 2(lnx) =2x-lnx +x 2 --=2x-lnx+x因此fXe)^2eAne + e = 2e + e = 3e (注意：lne=l,lnl=O) 亟訂已知函数f （x ） = —^,求f\x ）.1 +疋解：八斫⑴（1 +十）—彳1 +十）（1 +十）—id四. 复合函数求导1、方法一：亟|求复合函数y = sinx 2导数.（1）一方面•判断该复合函数是由哪几种简朴函数复合而成. 如y = sin x 2由y = sin "和u = x 2这两个简朴函数复合而成（2）甩导数公式求出每个简朴函数导数.（3）每个简朴函数导数乘私即为复合函数导数；注意中间变量要用原变量x 代替回去. dy du c c 2—•——=2x cos ii =2x cos du dx 2.方法二（直接求导法）:复合函数导数等于构成该复合函数简朴函数导数乘积。

如果对导数公式熟悉，对复合函数过程淸晰，可以不必写出中间变量而直接对复合函数丛处隹里求导. |例1： |设函数y = cos （—3x ）,求y ・1 + x2 (1 + F)dy dx U V 一 MVdu 二cos” ,解：y =(cox(-3x)) =-sin(-3x) • (一3x)二一sin(-3x) • (-3) = 3sin(-3x)例2：设函数y = 求y・(In x)=注意:一种复合函数求几次导,取决于它由几种简朴函数复合而成。

五.高阶导数1、二阶导数记作：〉，”，f\x）或孕dx~咱们把二阶和二阶以上导数称为蕊阶.足数：.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1：|已知y = 5sinx,求y .・解：T y =5cosx, :. y =-5sinx例2：|己知y = e2x,求y | A=0.即几=。

二4六、微分求法：(1)求出函数y = f(x)导数f \x ).(2)再乘以dx即可.即dy = f \x)dx. 例1：|已知y = In x2,求dy .解：•・• y=(lnx2)' = -l-(x2)' = -l--2x = |-2• • dy —— d.\x例2：|设函数y = xJ・cosx,求解:T y二(x4) cos x + x A (cos x) = 4x3 cos x-x4 sin x dy =(4x‘cosx-x sin x\dx川、二元函数微分学一.多元函数定义：由两个或两个以上自变量所构成函数，称为多元函数。

其自变量变• • • •化范畴称为泄义域，普通记作• • •例如：二元函数普通记作：z = /（x, y） t （x, y） e D二.二元函数偏导数1、偏导数表达办法:（1）设二元函数2 = /（坨刃，则函数z在区域D内对x和对y偏导数记为:（2）设二元函数？ = /（“*）,则函数z在点（兀,儿）处对％和对y偏导数记为^ dz dx( Z2、偏导数求法（1）对x求偏导时，只要将y当作是常量，将x当作是变量，直接对兀求导即可.(2)对y求偏导时，只要将x当作是常量，将y当作是变量，直接对y求导即可. 如果规泄函数在点(如,％)处偏导数，只规立出上述偏导函数后将％和儿代入即可. 丽一|已知函数z = 求兰和二.dx oy解：— = 3x2y-2y2, —-4xy dx dy •亟訂已知函数z = x2sin2y,求字和竿.解：—= 2xsin2ys — = 2x2 cos2ydx dy三、全微分$7 力7K 全微分公式：函数z = /(x,y)在点(x, y)处全微分公式为:dz = —dx +—dy dx dy2、全微分求法:(1).先求出两个一阶偏导数上和一.(2).然后裔入上述公式即可. dx oy例1： I设函数z = sin(x・y) + 3/+ y-l,求dz ・dz dz解:T — = ycos(x・ y) + 6x, — = xcos(x ・ y) + 1 dx ' dydz. = ^dx + ^~ dy =[y cos(x • y) + 6x]dx + [x cos(x • y) +1 同例2：|设函数z = /"v,求虫.解:V—= 2e2x^y , —二孑" ••• dz = —dx + — dy = 2e2x^y dx + e2x^dy dx dy dx dy四、二阶偏导表达办法和求法：(1) —(―) == f"…(x, y) = z"xv ..... 两次都对X 求偏导dx dx dx~d dz d 2z «.(2) 「(「)二=-二八、(兀刃二j ……先对x 求偏导，再对y 求偏导oy ox oxoy (3) —(―)=-^-==……先对y 求偏导，再对％求偏导dx dy dydxd d? 7 nK(4) 「(一)二仝二/、.(忑刃二z v>.……两次都对y 求偏导dy oy oy^可见二元函数二阶偏导琴四林，它们都是函数。

在求二阶偏导时候一左要注意对变量枣 导顺序(写在符号前面变量先求偏导)・• • • 丽一|设函数z = x 3y 2-3xy 3-xy + \,求匸，上二，上二和空.1------ 1 ax 2 dxoy dydx dy 2解:•••££ = 3x 2y2 一3y? - 厂 —=2x 3y-9xy^2 一 x 饭 • 6y/Q C 2Z .9 C 2Z 「 c 0( &兀得亦"b ，硏皿》9—l,—解：V —= -ysinxdxIV 、一元函数积分学一、原函数定义：设F(x)是区间I 上一种可导函数，对于区间I 上任意一点X, 均有F\x) = /(x),则称F(x)是f(x)在区间I 上一种原函数.例 1： |(sinx) = cosx ,因而sinx 是cosx —种原函数，cosx 是sinx 导数.由于(sinx + c) =cosx,可见只要函数有一种原函数，那么她原函数就有无穷各种. 匝訂设/(x) 一种原函数为£，求f(x).1 1 , /1 \ 1解:由于一是f(x)-种原函数，即F(X )=-9因此f(X )= F(X )=-二—r ・X X \x JQ 2Z= 6x 2y-9v 2-H —二 2疋一18小0y例2：设函数z = ycosx,求dx 1dxoy&乙・------- =—sinx dxdy咱们把/（X ）脈直愿•敢数•称为/（X ）在区间I 上不左积分，记作:J f(x)dx = F(x) + C (其中 F(x) = /(x))注意：不左积分是原函数全体.因而计算成果常数C 勿忘!（二入不定积分性质⑴ J[/(x) 土 g(x)}h ・=\f(x)dx± J g(x)dx <2) ^kf t Mdx = k^f(x)dx (其中 k 为常数)f-vtZx=-—+ CJ A又如：|cos ~}xd cos x = In |cosx| + C（四入不定积分计算K 直接积分法：对被枳函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分办法。