(完整版)数理统计考试题及答案
(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题(每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。
答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。
答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________。
数理统计学考试题及答案
数理统计学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，若原假设为H0：μ=μ0，备择假设为H1：μ≠μ0，则该检验属于：A. 单尾检验B. 双尾检验C. 左尾检验D. 右尾检验答案：B3. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. t分布C. F分布D. 泊松分布答案：A4. 以下哪个选项是描述数据离散程度的统计量？A. 众数B. 中位数C. 极差D. 均值答案：C5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 方差C. 标准差D. 均值答案：A6. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 众数D. 标准差答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 标准差D. 均值答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 众数答案：C9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 均值B. 众数C. 方差D. 偏度答案：C二、多项选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪些统计量可以用来描述数据的集中趋势？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：ABC2. 以下哪些统计量可以用来描述数据的离散程度？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 均值答案：ABC3. 以下哪些统计量可以用来描述数据的分布形态？A. 偏度B. 峰度C. 均值D. 方差答案：AB4. 以下哪些分布是描述连续型随机变量的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 二项分布D. t分布答案：AD5. 以下哪些检验是用于检验总体均值的？A. t检验B. 方差分析C. 卡方检验D. F检验答案：A三、计算题（每题10分，共50分）1. 给定一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求其平均数和标准差。
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8、设总体X 具有连续的分布函数()F x ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量1, , (1,2,,)0, i i i X Y i n X μμ>⎧==⎨≤⎩试确定统计量1ni i Y =∑的分布.解 由题意知(1,)i Y B p ，()1()1i i p P X P X μμμ=>=-≤=-， 1,2,,i n = .从而由二项分布定义知1(,)ni i Y B n p =∑ .14、设125,,,X X X 是来自总体(0,1)X N 的样本.1)、试确定常数11,c d ，使得2221121345()()()c X X d X X X n χ++++ ，并求出n ;2)、试确定常数2c ，使得222212345()/()(,)c X X X X X F m n +++ ，并求出m 和n .解 1)、由题意知：12(0,2)X X N + ，345(0,3)X X X N ++(0,1)N，(0,1)N .故有：222(2)χ+ .即2221234511()()(2)23X X X X X χ++++ . 由上得：1111,,223c d n ===. 1)、由题意知：22212(2)X X χ+ ，345(0,3)X X X N ++22(1)χ .故有：221222(2,1)X X F + ，即221223453()2(2,1)()X X F X X X +++ . 由上得：23,2,12c m n ===.19、设12,,,n X X X 是来自总体[,]X U a b 的样本，试求：1)、(1)X 的密度函数;2)、()n X 的密度函数.解 因为[,]X U a b ，所以X 的密度函数与分布函数分别为1, [,],()0, [,],x a b f x b ax a b ⎧∈⎪=-⎨⎪∉⎩0, ,(), ,1, .x a x a F x a x b b a x b ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨-⎪>⎪⎩ 因此所求的(1)1()(1())()n f x n F x f x -=-11(1), [,],0, [,],n x a n x a b b a b ax a b --⎧-∈⎪=--⎨⎪∉⎩1(), [,],()0, [,],n n n b x x a b b a x a b -⎧-∈⎪=-⎨⎪∉⎩()1()(())()n n f x n F x f x -=11(), [,],0, [,],n x a n x a b b a b ax a b --⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩1(), [,],()0, [,].n nn x a x a b b a x a b -⎧-∈⎪=-⎨⎪∉⎩21、设121,,,,,,m m m n X X X X X ++为来自总体2(0,)X N σ 的一个样本，试确定下列统计量的分布：1)、1miX Y =、21221mi i m ni i m n X Y m X =+=+=∑∑;3)、223221111()()mm n i i i i m Y X X m n σσ+==+=+∑∑. 解 1）、由2(0,) 1,2,,,1,,i X N i m m m n σ=++ ，知：21(0,)m i i X N m σ=∑ ，21(0,)m ni i m X N n σ+=+∑(0,1)miXN ∑ ，221()m ni i m X n χσ+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑ . 1)、1()mmiimiXXX Y t n ===∑∑ ;2)、22122121222211122(,)mmii mii i i m nm nm ni i i i m i m i m XXn X n m Y F m n mm X X X nσσσσ===+++=+=+=+===∑∑∑∑∑∑;3)、222223221111()()(2)m m niimm ni i i i m XXY X X m n χσσ++==+=+=+∑∑∑∑22、设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X ，2S 为样本方差，问样本容量n 取多大能满足22(1)32.670.95n S P σ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭？ 解 已知：222(1)(1)n S n χσ-- ，由所求的22(1)32.670.95n S P σ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭有： 0.95(1)32.67n χ-=.查表得0.95(21)32.67χ=.故有121n -=即22n =.23、从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，2212,S S 分别为两样本方差，求2122 2.39S P S ⎛⎫> ⎪⎝⎭.解 由题意可得2122(19,14)S F S ，易得221122222.391 2.39S S P P S S ⎛⎫⎛⎫>=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由上知2.39为(19,14)F 的分位数，即(19,14) 2.39p F =.查表得0.95(19,14) 2.39F =.于是2122 2.390.95S P S ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.故所求的221122222.391 2.3910.950.05S S P P S S ⎛⎫⎛⎫>=-≤=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1, a ,3);,0, x b f x a b a b b a ⎧≤≤⎪=<-⎨⎪⎩未知；其他，解矩估计法：因为总体X 的数学期望为,2a bEX +=方差()212b a DX -=所以 ()2*2,2,12a bX b a M +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得11a X b X ⎧=⎪⎨=+⎪⎩. 最大似然估计法：因为该总体X 的密度函数为()1, a ,;,0, x b f x a b a b b a ⎧≤≤⎪=<-⎨⎪⎩未知；其他，则该总体决定的似然函数为()()()()()1211, a ,1,2, ,,;,,;,0, ni n n i i x b i n b a L a b L a b x x x f x a b =⎧≤≤=⎪-==∏=⎨⎪⎩其他， 因为似然方程()()1ln ,0n L a b nab a +∂==∂-，()()1ln ,0n L a b nbb a +∂-==∂-，显然似然方程关于,a b 无解.这时利用似然估计的定义，当()1,2, i a x b i n ≤≤= 时，有()()()12n a x x x b ≤≤≤≤≤ ，则()()()()()()12111,,;,,n nnnL a b L a b x x x b a x x ==≤-- ，显然当 ()21a X =， ()2n b X =时，可使似然函数取最大值，因此,a b 的最大似然估计为，()211min i i na X X ≤≤==， ()21max i n i nb X X ≤≤==. ()()()228);11,x f x x θθθ-=--其中2,3,,0 1.x θ=<<解 矩估计法：因为总体X 的数学期望为()()222211x x X x x θθθ+∞-==⋅--=∑E ，所以2X θ=，得到 12Xθ=. 最大似然估计法：因为总体X 的分布密度为()()()22;11,x f x x θθθ-=--其中2,3,,0 1.x θ=<<则该总体决定的似然函数为()()()()()221211;,,;11i nnx n i i i i L L x x x f x x θθθθθ-====∏=∏-- ，其中2,3,,0 1.i x θ=<<当2,3,01i x θ=<< 时知()0L θ>，两边取对数得()()()11ln ln 12ln 2ln 1nn i i i i L x n x n θθθ==⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭∑∑，两边对θ求导得()1ln 21201n i i d L n x n d θθθθ=-⎛⎫=+-= ⎪-⎝⎭∑ 令()ln 0d L d λλ=，得到 22Xλ=.12.设总体()2,X N μσ ，12,,,n X X X 为其样本，1)求常数k ，使 ()122111n i i i X X k σ-+==-∑为2σ的无偏估计量；2)求常数k ，使 11n i i X X k σ==-∑为σ的无偏估计量. 解1) ()()()()()()11222211111112n n i i i i i i i i E E x x E x E x E x E x k k σ--+++==⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑()()()()()()12211111[]2[]n i i i i i i i D x E x E x E x D x E x k -+++=⎡⎤=+-++⎣⎦∑()2122222212112n i n k kσσμμσμσ-=-⎡⎤=+-++==⎣⎦∑， 所以()21k n =-；19.设总体X 具有如下密度函数：1,01,(;)(0)0, ,x x f x θθθθ-⎧<<=>⎨⎩其他，12,,,n X X X 是来自于总体X 的样本，对可估计函数()1g θθ=，求()g θ的有效估计量()gθ，并确定C R -下界. 解 因为总体X 的分布密度为1,01,(;)(0)0, ,x x f x θθθθ-⎧<<=>⎨⎩其他，则该总体决定的似然函数为()()()11121,01,;,,;0, nn ni i i n i i x x L L x x x f x θθθθθ-==⎧∏<<⎪==∏=⎨⎪⎩ 其他，当()0112,n i x i <<= ，，时，由0θ>知()0L θ>，两边取对数得 ()()1ln ln +-1ln ni i L n x θθθ==∑，两边对θ求导得()11ln 11+ln ln nni i i i d L nx n x d n θθθθ==⎛⎫==--- ⎪⎝⎭∑∑， ()1211,,ln nn i i T X X X X n ==-∑ ，1110ln ln ln i E X x x dx xdx θθθ-==⎰⎰1111101ln ln x x x x dx x x θθθθθθ-=-=-=-⎰所以1ET θ=.根据教材中定理2.3.2知()1211,,ln n n i i T X X X X n ==-∑ 是()1g θθ=的有效估计量.C R -下界为()()2211g DT c n n θθθθ-'===- . 20.设总体X 服从几何分布：{}()()111,2,k P X k p p k -==-= ，对可估计函数()1g p p=，则 1)求()g p 的有效估计量()12,,n T X X X ；2)求方差DT 和信息量()I p ； 3)验证T 的相合性.解 1)因为总体X 的分布密度为{}()()111,2,k P X k p p k -==-=则该总体决定的似然函数为()()()()()11211;,,;11i nnx nn n i i i L p L p x x x f x p p p p p --====∏=∏-=- ，当0,1,2,i x = 时，由0p >知()0L p >，两边取对数得()()()ln ln ln 1L p n p nx n p =+--，两边对p 求导得()ln 111d L p n nx n n x dpp p p p ⎛⎫-=-=-- ⎪--⎝⎭所以()12,,n T X X X X =()()1111111k k k k EX EX k p p p k p p+∞+∞--====-=-=∑∑ 所以()12,,n T X X X X = 为()1g p p=的有效估计量. 2)由1)知()1nc p p =--，()()()()211c p g p I p n p p '==-， ()()()21g p np DT c p p '==-.3)()210,DX pDT DX n n np -===→→+∞，()12,,n T X X X X = 是相合估计量.28.假设0.5,1.25,0.8,2.0是总体X 的简单随机样本.已知()ln ,1Y X N μ= .1)求参数μ的置信度为0.95的置信区间；2)求EX 的置信度为0.95的置信区间.解 1)由题意可得411ln 0,44i i y x n ====∑，0.9750.05,10.975, 1.962u αα=-==，1σ=，0.9750.975110 1.960.98,+0 1.960.9822a y u b y u =-=-⨯=-==+⨯=， 所以参数μ的置信度为0.95的置信区间为[]0.98,0.98-.2)由()ln ,1Y X N μ= 得Y X e =且()()22,y Y f y y R μ--=∈.()()()2122y YYyY EX E ee f y dy edy eμμ-+∞+∞-+-∞-∞====⎰⎰，因为,YX e y R =∈是严格递增函数，参数μ的置信度为0.95的置信区间为[]0.98,0.98-，所以EX 的置信度为0.95的置信区间为0.48 1.48,e e -⎡⎤⎣⎦.29.随机地从A 批导线中抽取4根，并从B 批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：Ω）为A 批导线：0.143,0.142,0.143,0.137B 批导线：0.140,0.142,0.136,0.138,0.140设测试数据分别服从()21,N μσ和()22,N μσ，并且他们相互独立，又212,,μμσ均未知，求参数12μμ-的置信度为0.95的置信区间.解 由题意得4511110.14125,0.139245i i i i x x y y ======∑∑，()()4522262611118.2510, 5.21034Ai Bi i i S x xS y y--===-=⨯=-=⨯∑∑，()()2212261212114,5, 6.57102A B Wn S n S n n Sn n --+-====⨯+-，()0.9750.00255,7 2.365W S t ==，()0.97570.002W a x y t S =--⨯=-， ()0.97570.0061W b x y t S =-+⨯=， 故参数12μμ-的置信度为0.95的置信区间为[]0.002,0.0061-.32.在105次设计中，有60次命中目标，试求命中率的置信度为95%的置信区间. 解 60470.5714,0.05105p X α=====，0.4763,0.6665a X u b X u =-==+=，命中率的置信度为95%的置信区间为[]0.4763,0.6665.1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？解 由题意知，()24.55,0.108X N ，5n =，511 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=已知时，①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.975121.96uu α-==，临界值121.960.0947c α-===， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=已知时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=.②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为22220212222{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2,100X N μ ，问这批元件是否合格()0.05α=？解 由题意知，()2,100X N μ ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()1.6533c α==-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g ），假定罐头质量服从正态分布.问1)机器工作是否正常()0.05α=？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g ）.由题意知()2500,X N σ ，方差2σ未知.9n =，911500.88899i i x x ===∑，0.05α=，()()222111133.6111118n ni i i i s x xx x n ===-=-=-∑∑，()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==，临界值()121 2.306 4.4564c n α-=-==，拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.2)当0500μ=已知时，①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为22220212222{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率()%为 甲：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙：18.2,16.9,20.2,16.7假定含灰率均服从正态分布且2212σσ=.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异()0.05α=？解 设,X Y 分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：2212(,),(,)X N Y N μσμσ .5,4,21.5,18n m x y ====，22127.505, 2.59333s s ==.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异，因此，可进行以下假设检验。
数理统计考试试题及答案
一、(满分12分）设X X X n ,,,12为来自均匀分布θU (0,)的随机样本，θθ,ˆˆ12分别为未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量。
(1)证明nT n =+θθ和ˆˆ112都是未知参数θ的无偏估计; (2)比较两个估计量的优劣性.二、(满分14分）设X 服从伽玛分布Γαβ(,),其特征函数为=−−βϕαt itX ()(1).(1) 利用特征函数法求X 的数学期望和方差； (2)设X X X n ,,,12是独立同分布的随机变量，其概率密度为，⎩≤⎨=>⎧λλx f x e x x 0,0.(),0-试用特征函数法证明：∑=Γ=λY X n i i n~(,)1 三、（满分14分）从两个独立的正态总体中抽取如下样本值： 甲(X ) 4.4 4.0 2.0 4.8 乙（Y ）5.01.03.20.4经计算得x s y s ====3.8, 1.547, 2.4, 4.45312*2*2，在显著性水平=α0.05下，能否认为两个总体同分布？ 四、(满分10分）设X X X ,,,129是总体μσX N ~(,)2的一个样本.记Y X Y X k k k k ∑∑===63,=,11171269SS X Y Z Y Y k k ∑=−=−=2(),12()7212229求统计量 Z 的分布。
五、（满分14分）设X X X n ,,,12是总体X 的一个样本，X 的密度函数为f x x x ⎩⎨=<<⎧−θθθ他其0,.(;),01,1>θ0求未知参数g =θθ()1的最大似然估计量gθ()ˆ,并求g θ()的有效估计量.六、 (满分20分）观测某种物质吸附量y 和温度x 时，得到数据如下：x i 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 y i4.85.77.08.310.912.413.113.615.3应用线性模型N y a bx ⎩⎨⎧=++εσε~(0,)2(1) 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；(3)在温度x =60时，求吸附量y 0的置信水平为α−=10.95的预测区间; (4) 若要使吸附量在5-10之间，温度应该如何控制（=α0.05）.七、 (满分16分) 为了观察燃烧温度是否对砖块的密度有显著性影响，今在4种温度下做试验，得砖块密度的观察值如下： 温度（摄氏度） 砖块密度100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 125 21.7 21.4 21.5 21.4 150 22.9 22. 8 22.8 22.6 22.5 17521.9 21.7 21.8 21.4试问燃烧温度对砖块密度是否有显著影响？(=α0.01) 附注：计算中可能用到的数据如下：t r F F t F F ===Φ=====5(7) 2.3646,(7)0.6664,(1,7) 5.59,(1.96)0.976(3,3)15.5,(6) 2.4469,(2,15) 3.68,(3,14) 5.50.9750.050.950.9750.9750.950.99一、（满分12分）解：（1）总体X 的密度函数为总体X 的分布函数为0,0(),01,x x F x x x θθθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩；由于2θ=EX ，得X 2ˆ1=θθ的矩估计量为 1ˆ[2]2θθ===E E X EX ，故的无偏估计量。
(完整word版)概率论和数理统计考试试题和答案解析.doc
一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。
2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。
（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。
3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为：0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。
8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。
则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。
若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。
随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。
则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。
解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。
抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。
所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。
2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。
问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。
设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。
要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。
首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。
《数理统计》测验卷一答案
1 •设随机变量X「X2，…，X10相互独立，且；■ 0，有___________10A. P{P' X i一1 I：：： ;} _1 一丫i 410C. P{P X i -10卜：；} _1 -20 ；'i 4EX i =1 , DX i = 2 ( i = 1,2，…,10 )，则对于任意给定的C10P{| a X i -1 卜：；}乞1 一；'i 410D. P{p' X i -1卜：；}乞1 -20；‘i丄B.A岀现的次数, p是事件A在每次试验中出现的概率，则对于任意，广>0,均有lim P j—-p< ®n_jpc n:2 •设」n是n次重复试验中，事件A. = 0B. = 1 3•设X1, X2,…,X n是来自总体1 n nA—、X i2 B. ' (X j」)2 n i 4 i 1C. 02N (•仁)的样本,D.不存在J为未知参数，则是一个统计量。
D. (X r二)2 t 24. X“X2，…，X n是来自总体的样本，记A.样本矩B.二阶原点矩5 •设总体X在区间［-1,1］上服从均匀分布,1 n—X i的方差D(X) = __________n i 11 nX为样本均值，则 -n -1 TC.二阶中心矩D.统计量X1 , X 2^ , X n为其样本,(X i -X)2则样本均值A. 01B.-31C.—3nD. 3166. X i,X2，…，X i6是来自总体X ~A. t(15)B. t(16) 7•设X「X2，…,X n是来自总体XA. 2(n -1)B. 2(n)2--------------------- 1N(2,二)的一个样本，X X i，则16 yD. N(0,1)n __2 、(X i -X) 丫二丄二2Acr 2 D. N(=) n1n2二乙、(X i -)24X -8C. 2 (15)〜N(亠二2)的样本,C. N(Y2)8 •设总体X〜)，X1, X2/ ,X n为其样本，则A. 2(n -1)B. 2(n)C. t(n _1)，其中X为样本均值，则服从分布9 •设总体X ~ N(」F2),X1,X2，…,X n为其样本，D.t (n)1 nX X in i彳B1n二丄7 (X i _x)2，则n u丫二n - 1(X -)服从的分布是S nA. (n -1)B. N(0,1)C. t(n -1)D.t(n)22 210 •设总体X ~ N(0,匚)，匚为已知常数,X i , X 2，…,X n 为其样本,二1^ X i 为样本均值，则服 n i 丄2 从 分布的统计量是 ,(其中 So X - 1 A. SCn C. 1 n 2(X i —X)2 )o n i 41 n 2、(X i -X) CT i 4 11 •若X i ,X 2，…，X n 是来自总体N(0,1)的一个样本，则统计量 n D” i 二 X a 2 (X i -X)2 X ； (n-1)X 12D. F(n,1) X ；A. 2(n -1)B. 2(n) 12 •两种水稻的亩产量分别为 X 与丫，(X 1,X 2，…，X n )、(丫1,丫2,…，Y n )为分别来自总体 X 、丫的样本, 且 E(X)二丄1 , D(X)=G 2, E(Y)^2, D(Y)=/ , CA.叫乞込 13 •矩估计必然是A.无偏估计C. F(n _1,1) 当条件 满足时，品种X 不次于品种Y 。
最新数理统计试题及答案
数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(201.0=χ,则}8{1612∑=≥i i X P =________；3、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；4、设n X X X ,..,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ<H ，拒绝域是________。
1、)210(，N ； 2、0.01； 3、nS n t )1(2-α； 4、202σσ<； 5、05.0z z -≤。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（）。
（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）3211X X X α（D ）231)(31α-∑=i i X2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，212)(1X X n S i n i n -=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
（A ）σμ）-X n ( （B ）n S X n )(μ- （C ）σμ）--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--3、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，2)(σ=X D 存在， 212)(11X X n S i ni --=∑=, 则（ ）。
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1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X •=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。
)X 1/()1X 2(ˆ,)2/()1()1()()(11--==++=+==⎰⎰++∞∞-ααααα得X dx x dx x xf x E 极大似然估计：∑∑∑∑∏∏∏=======--==++=∂∂++=++=+=+==n i ini i ni ini i ni i nni i n i i x nx nL x n x n x L x x f L 1111111ln 1ˆ0ln 1)(ln ln )1ln(ln )1ln()1(ln )(ln )1();()(αααααααααααααααα求得：：求导并令它等于零，得上式对两边取对数得：似然函数：四．设瓶装食用醋容量X N （2,μσ），现从中取出16个瓶测得容量下506，508，499，503，504，510，497，512，514，505，493，496，506，502，509，496（毫升），试求均值μ置信度为0.95的置信区间。
解：{}），）即（，故置信区间为（所以有分布分位数表得：查由题意知的置信区间为的置信度为得：所以由因为：则修正样本方差）（样本平均值：05.50745.5003.375.5033.375.5033.342.6*1315.2)1(1315.2)15(05.0)1(,)1(11)1(P )1(~/X T 2.638.46667)(116175.503496509502506496493505514512497510504503499508506161*2205.0*2*22**2161*2+-==-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----=-<--=≈=--==+++++++++++++++=∑=nS n t t t n S n t X n S n t X n t T n t nS S X X S X n n n n n i i nααααααμαμ五．设一批螺钉长度X N （2,μσ），随即抽取5枚检验长度如下试问在α=0.05的水平下，这批螺钉平均长度不超过1.25（cm ）？解：假设H 0：25.1≤μ，H 1：25.1>μ n=5,05.0=α035.0,00123.0)(151246.1X *251*2==--==∑=n i i nS X X S则，修正样本方差平均值 统计量：)1(~/X T *0--=n t n S n μ，则拒绝域：)1(/*-≥-n t n S x n αμ 从而计算得：2556.05/35.0.025.1246.1/25.1x t *-≈-=-=n S n 查t 分布分位数表得：1318.2)4(05.0=t ，由于t=-0.2556<1318.2)4(05.0=t , 故接受原假设H 0，即这批螺钉平均长度不超过1.25（cm ）六．现随即投一枚骰子600次，记录朝上点数如下表问在α=0.05的水平下，该枚骰子是否均匀？解：均匀的。
即可以认为这颗骰子是，故接受假设）（因为）（分布表得，查对计算得假设0205.02205.0222222261020210,5ˆ.1.111605.046/600)6/60093(6/600)6/600108(6/600)6/60089(6/600)6/600109(6/600)6/60094(61*600)61*600107()(ˆ)6,...,2,1(61:61:H np np N i p H p H n i i i i n i i χχχχαχ<=-==-+-+-+-+-+-=-==≠↔=∑= 七．设三种类型电路的反应时间，随机测试5次结果如下表Ⅱ 2.57 2.53 2.55 2.54 2.61 Ⅲ2.582.642.592.672.62利用方差分析的方法，在α=0.05下，试检验电路型号这一因素对反应时间有无显著差异？解：r=3,n 1=n 2=n 3=5 n=n 1+n 2+n 3=15由excel 方差分析得：方差分析：单因素方差分析SUMMARY组 观测数 求和平均 方差 1 5 12.1 2.42 0.00245 2 5 12.8 2.56 0.001 3 5 13.12.62 0.00135 方差分析差异源 SS df MS F P-value F crit 组间 0.105333 2 0.052667 32.91667 1.34E-05 3.885294 组内 0.0192 12 0.0016 总计 0.124533 14因为F=32.91667>F 0.05(2,12)=3.885294,故电路型号这一因素对反应时间有显著差异。
注意：Excel 方差分析步骤1. 点击“工具”—“加载宏”—勾选“分析工具库和规划求解” —确定2. 点击“工具”—“数据分析” —选择“方差分析：单因素分析” —确定3. 输入区域选择图中虚线部分，按下图选择数据的话就不需要勾选标准那个选项，分组方式选择行，填好05.0值为α，输出选项随便—确定，即可八．下表给出了12个父亲和他们长子身高的观察值：父亲的身高x 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71 长子的身高Y68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70（1） 试求Y 关于x 的线性回归方程（2） 在α=0.05下，利用F 检验法检验回归方程的显著性解：（1）、由公式⎪⎭⎪⎬⎫=+=+∑∑==n i i i n i i Y x x x n Y n x n n 112ˆˆˆˆβαβα得：⎩⎨⎧==476378.0ˆ8248.35ˆβαExcel 回归分析如下：SUMMARY OUTPUT回归统计Multiple R 0.702652 R Square0.493719 Adjusted R Square 0.443091 标准误差 1.403665观测值 12方差分析dfSS MS F Significance F回归分析 1 19.21391 19.21391 9.751890.010822249残差 10 19.70276 1.970276总计 1138.91667Coefficients标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept 35.8248 10.17795 3.519844 0.00554 13.14691045 58.5027 13.14691 58.5027 X Variable 10.476378 0.152548 3.122802 0.010822 0.13647925 0.8162770.1364790.816277（2）、经计算F=9.75189，查F 分布表得F 0.05(1,10)=4.96,因为F> F 0.05(1,10)=4.96,故所求线性回归方程是显著的。