差分方程

差分方程对连续型变量而言，我们常常导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致另一类的问题.一、差分的定义 定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分. 一般记)(1x n x ny y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni inx ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ; (5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x xxz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )=i n ni i nx C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m . 例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。

它的一般形式为0),,,,(1=++n x x x y y y x F 或0),,,,(=∆∆x n x x y y y x G ， 其中F , G 是表达式，x 是自变量. 使等式成立自变量的取值范围称为该方程的定义域. 0),,,,(1=++n x x x y y y x F 的方程，也称为n 阶差分方程. n 为方程的阶. 形如)()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ （14-7-1）称为n 阶线性差分方程.. 0)(=x f 时为齐次的. 0)(≠x f 为非齐次的.差分方程是含有未知函数及其导数的方程, 满足该方程的函数称为差分方程的解．对于一阶差分方程来说，它的含有一个任意常数的解，称为此微分方程的通解．一般来说，对于n 阶差分方程，其含有n 个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解．不含有任意常数的解称为差分方程的特解．同微分方程一样椰油初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: 00y y x x x==.二阶的如:00y y x x x==,00y y x x x∆=∆=等等.对于线性差分方程的解的结构有如下结论.定理 如果)(1x y y =和)(2x y y =都是方程（14-7-1）的解，则对任意常数C 1, C 2,)()(2211x y C x y C +也是方程（14-7-1）的解．定理 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n x x x y y y 是0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，则)()2(2)1(1.....n x n x x x y C y C y C y +++=是它的通解. 定理 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n xx x y y y 是齐次方程 0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，*x y 是非齐次方程)()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++的一个特解,则*)()2(2)1(1.....x n x n x x x y y C y C y C y ++++=是非齐次方程的通解. 定理 设，)1(x y 是方程 )()()()(1110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解， )2(xy 是方程 )()()()(2110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解,则)2()1(xx x y y y +=是方程 )()()()()(21110x f x f y x a y x a y x a x n n x n x +=+++-++ 的解.本书着重研究一阶和二阶常系数的差分方程.三、一阶常系数的差分方程一阶常系数的差分方程是)(1x f py y x x =-+ (常数p ≠0).（a ）当0)(=x f ，设x x r y =是其齐次方程的解, 即 01=-+x x pr r ,所以 r=p . 那么01=-+x x pr r有通解x x Cp y =(C 为任意常数)例 求差分方程0231=-+x x y y 的通解.解 事实上原方程是0321=-+x x y y 所以其通解为xx C y ⎪⎭⎫⎝⎛=32 (C 为任意常数)..（b ）当0)(≠x f ，用待定系数法求其特解.(i) 如果)()(x P x f n =(n 次多项式),则非齐次方程为 )(1x P py y n x x =-+. 若 p =1, 即 )(1x P y y n x x =-+, 那么x y 可以是n +1次多项式.,相减时常数项和最高次数相被消去, 所以可以设][2210n n x x b x b x b b x y ++++= , 代入方程后,比较系数确定n b b b b ,,,,210 便得到一个特解.若 p ≠1, 最高次数相不可能被消去, 所以可以设有特解n n x x b x b x b b y ++++= 2210, 同样代入方程后,比较系数确定n b b b b ,,,,210 便得到一个特解..(ii) 如果)()(x P x f n x λ=()(x P n 是n 次多项式,λ是常数),则非齐次方程为)(1x P py y n x x x λ=-+.为了求之一个特解,分两步: 第一步, 令 x x x z y λ=,代入方程得)(11x P z p z n x x x x x λλλ=-++,它等价于)(1x P pz z n x x =-+λ. 第二步, 用(i)的方法.总之,对这种情况,可以直接设其特解为)(2210n n s x x x b x b x b b x y ++++= λ,其中当p ≠λ时, s=0 , 当p =λ时, s =1 .例 求差分方程 xx x y y 2731⋅=-+ 的通解.解 显然其齐次方程的通解为xx C y 3⋅=(C 为任意常数). 设其特解为x x b y 2⋅=, 所以有x x x b b 272321⋅=⋅-⋅+, 从而得b =-7.因此,原方程的通解为xxx C y 273⋅-⋅=.四、二阶常系数的差分方程这里讨论的是这样的方程: )(12x f qy py y x x x =++++ (p ,q 是常数). 先给结论 .定理 x x r y =是方程 012=++++x x x qy py y (16-7-2) 的解的充分必要条件r 为方程 02=++q pr r (16-7-3) 的根 (读者自己证明).(16-7-3))称为原方程的特征方程. 下面分步讨论. （a ）当0)(=x f ，如果 042>-q p , 即其特征方程有两个不同实根,记为21,r r . 注意到x x r r 21,是线性无关的, 所以(16-7-2)有通解x x x r C r C y 2211+=, (21,C C 是任意常数).如果042=-q p , 即其特征方程有两个相同实根,记为221pr r -==.,可以验证xx p x p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2是(16-7-2)的线性无关的特解. 所以xx p x C C y ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2)(21(21,C C 是任意常数)是(16-7-2)的通解.如果 042<-q p ,因 p, q 是实数, 即其特征方程有两互为共轭的复根, 记为2422p q i p -±-,记为0),sin (cos >±=±λθθλβαi i . 可以验证)sin(),cos(x x x x θλθλ是(16-7-2)的线性无关的特解. 所以))sin()cos((21x C x C y x x θθλ+=(21,C C 是任意常数)是(16-7-2)的通解 .例 求03412=++++x x x y y y 的通解.解 其特征方程0342=++r r , 有根 -1, -3 . 原方程有通解 x x x C C y )3()1(21-+-= (21,C C 是任意常数)例 求042=++x x y y 的通解.解 其特征方程042=+r , 有根 -2i , 2i . 原方程有通解)2cos(2)2sin(221x C x C y x x x ππ+=, (21,C C 是任意常数).（a ）当0)(≠x f ，同一阶相似,只要求其一个特解即可.(i) 如果)()(x P x f n =(n 次多项式),注意到)(12x f qy py y x x x =++++可以写成 )()1()2(12x f y q p y p y x x x =+++∆++∆+.若01≠++q p , 令特解为n n x x b x b x b b y ++++= 2210. 若02,01≠+=++p q p ,令特解为}{2210n n x x b x b x b b x y ++++= .若02,01=+=++p q p ,令特解为}{22102n n x x b x b x b b x y ++++= .将特解代入原方程,再比较系数确定n b b b b ,,,,210 便得到一个特解.. 例 求242=++x x y y 的通解.解 前例已知其齐次的通解,故只需求一个特解. 令0b y x =,代入的210=b ,所以它的通解为 21)2cos(2)2sin(221++=x C x C y x x x ππ, (21,C C 是任意常数).(ii) 如果)()(x P x f n x λ=()(x P n 是n 次多项式,λ是常数),则非齐次方程为)(12x P qy py y n x x x x λ=++++.可以直接设其特解为)(2210n n s x x x b x b x b b x y ++++= λ,其中当λ不是其特征方程的根时, s=0 , 当λ是其特征方程的单根时, s =1 ; 当λ是其特征方程的重根时, s =2.例 求x x x y y 242=++的通解.解 令xb y 2=, x x x b b 22422=++, 所以81=b , 所以其通解 82)2cos(2)2sin(221xxxx x C x C y ++=ππ, (21,C C 是任意常数).习题 14-71．求下列函数的一阶和二阶差分 1）)()2)(1(n x x x x y ---= ；2）xx y ⎪⎭⎫⎝⎛+=313；3）x y xsin 3=；4）xe y x=；5）x x y ln =。