二阶线性齐次差分方程
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
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第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
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第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
高数第七章(13)二阶差分方程PPT
称为相应方程的特征根 .
现根据 a2 4b的符号来确定其通式解 . 形
(1)第一种情形 a2 4b时
有 两 个 相 异 的1与 实2， 特此 征时 根的 通
如下形式：
yxA11xA22x(A1,A2为 任 意 ) 常 数
(2)第二种情形 a2 4b时
例2 求差分方程yx2 3yx1 4yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0 , 且 a 3 2
y xx(B0B1x) 代入方程得: B 0 (x 2 ) B 1 (x 2 )2 3 B 0 (x 1 ) 3 B 1 (x 1 )2 4 B 0 x 4 B 1 x 2 x 可B 得 0570 ,B1110
代入方程 B 0 B 1 (x 2 ) 5 B 0 5 B 1 (x 1 ) 4 B 0 4 B 1 x x 比较两端同次项系数有
1100BB10
7B1 1
0
B0170,0B1110
则yx
7 1 x 10010
故y x 通 1 7 0 1 1 解 x 0 A 1 ( 1 为 ) x A 2 ( 4 ) x
即 ( 2 )( 1 ) 0 解 1 得 2 ,2 1
yxA 1(2)xA2
1 a b 1 1 2 0 , 但 a 1 2 ,
yx
12x 12
4x
所给方yx 程 4x通 A 1( 解 2)x为 A 2 由 y0A 1A 2,即 A 1A 20 y142A 1A 2,即 2A 1A 24
i)i当 1ab0且 a 2时， s1 ; 取 ii)当 i1 a b0 ， a 且 2 时s ， 2 . 取
分别就以上定 情特 形解 ，代 将,入 设 可原 确方 定程 其特 . 解
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程的解法-推荐下载
法计算。常用的方法有：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
差分方程考研题库
差分方程考研题库一、基础知识题1. 定义差分方程：给定一个函数\( y \)，如果存在一个方程，使得\( y \)的第\( n \)项与前\( k \)项的函数值有关，那么这个方程被称为差分方程。
2. 差分方程的阶数：差分方程中，最高次的差分项的阶数称为该差分方程的阶。
3. 差分方程的解：满足差分方程的函数序列称为该差分方程的解。
二、计算题1. 给定一阶线性差分方程\( y_{n+1} - y_n = 2 \)，求其通解。
2. 考虑二阶齐次线性差分方程\( y_{n+2} - 2y_{n+1} + y_n = 0 \)，求其特征方程，并求出其通解。
3. 解下列非齐次线性差分方程\( y_{n+1} + y_n = 3n + 1 \)。
三、证明题1. 证明对于一阶线性齐次差分方程\( ay_{n+1} - by_n = 0 \)，其通解为\( y_n = C \cdot b^n \)，其中\( C \)为常数。
2. 证明二阶线性齐次差分方程\( y_{n+2} - 2y_{n+1} + y_n = 0 \)的特征方程为\( r^2 - 2r + 1 = 0 \)。
四、应用题1. 某公司每年的利润增长率为5%，如果第一年的利润为100万元，求第\( n \)年的利润。
2. 一个种群的增长遵循差分方程\( P_{n+1} = kP_n(1 -\frac{P_n}{K}) \)，其中\( k \)是增长率，\( K \)是环境的承载能力。
求该种群的稳定状态。
五、综合题1. 考虑一个具有周期性变化的差分方程\( y_{n+1} = y_n + 2\sin(\frac{2\pi n}{T}) \)，分析其解的性质。
2. 给定一个差分方程\( y_{n+1} = \alpha y_n + \beta n \)，其中\( \alpha \)和\( \beta \)是常数，求其通解。
结束语差分方程的解题方法多样，包括直接法、特征方程法、迭代法等。
7-13 二阶常系数线性差分方程解析
通解为
yx
x( 7 50
1 10
x)
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1.求下列差分方程的通解及特解． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0,( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0,( y0 2, y1 2)
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
练习题答案
1.(1) yx
4x ( Acos
3
x
B sin
3
x),
yx
4x ( 1 )sin
23 3
x;
(2) yx (
2)x ( Acos x B sin x),
4
4
yx (
2)x 2 cos x 1
4
§7-13 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
10.6二阶常系数齐次线性微分方程
微积分
二阶常系数齐次微分方程
―、特征方程法
二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法
y" + py' + qy = 0
设y = /x,将其代入上方程，
(r2 + pr + q )erx = 0
得
故有 r °+ pr + q = 0
主 ・.・e’x 特征0方, 程
特征根 ％ =~P2 -4q, 2
微积分
例2求微分方程y" -2y -8y=0
解特征方程为
r2 一 2r 一 8 = (r 一 4)(r + 2) = 0
解得 “=4g=_2
故所求通解为
一 y = c1 e4 x + c 2 e
2x
经济数学
微积分
例 ， 3求方程y" + 2y + 5y = 0的通
解. 解 特征方程为r2 + 2r + 5 = 0 ,
3)有一对共轭复根(A< 0)
伊 特征根为 r = a + ip, r2 = a- ，
( 伊 ) y1 = e a+ )% y2 = e(a-ip x,
1
重新组合yi = 2顷1 + y 2) =e" * p,
_i
y2 =
(yi - y2) =e"sin p，
2i
(注：利用欧拉公式eliC = cosx + isinx.)
二阶常系数齐次线性微分 方
第6节二阶常系数齐次线性微分方程 第十章微分方程与差分方程
主讲 韩华
11 第十一章 差分方程 习题详解
λ − 2 = 0，
特征根为 λ = 2 ．故所求通解为
2
y x = C 2 x ( C 为任意常数).
(2) 方程对应的齐次方程 y x +1 − y x = 0 的特征方程为
λ −1 = 0 ，
其特征根为 λ = 1 .所以齐次方程的通解为 Yx = C ( C 为任意常数). 由于 1 是特征方程的根，所以方程的特解具有形式 y x = bx ，代入方程，并比较两端同
=1
所以，函数 y t = C1 + C 2 2 − t 是差分方程的通解．
t
(2) 由初始条件 y0 = 0 ， y1 = 3 ，得
⎧C1 + C2 = 0 ， ⎨ ⎩C1 + 2C2 − 1 = 3
解之得， C1 = −4 ， C2 = 4 ．故所求特解为 y t = −4 + 2
t+2
−t ．
解
(1) 方程 Δy x − 3 y x = 0 改写为 y x +1 − 4 y x = 0 ，它的特征方程为
λ − 4 = 0，
特征根为 λ = 4 ．故所求通解为
yx = C 4 x ( C 为任意常数).
由 y 0 = 1 ，得 C = 1 ，故原方程满足初始条件的特解为
yx = 4 x .
x
4．已知 y x = e 是方程 y x +1 + ay x −1 = 2e 的一个解，求 a ． 解 因为 y x = e 是方程 y x +1 + ay x −1 = 2e 的一个解，所以 e
x x
x +1
+ ae x −1 = 2e x ，
即 e + a = 2e ，故 a = e( 2 − e) ．
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z 二阶线性齐次差分方程012=++++n n n cx bx ax 的特征根法求解：
令形式解 ,代入方程得特征方程: , 根:
n n x λ=02=++c b a λλ(1) βα,为实根, 对应有解： 和 ;
n n x α=)1(n n x β=)2((2) αα,为重根, 对应有解： 和n n x α=)
1(1)
2(lim −→=−−=n n n n n x αα
βαβαβ ，或者 n n n x α=)2((3) , ϕβαλi e r i ±⋅=±=()()ϕϕλϕλn i n e e e x r n i r n n n n sin cos ln ln ln ±====±⋅,
对应有解： 和.
ϕn e x r n n cos ln )1(=ϕn e x r n n sin ln )2(=(4) 关于解的结构理论与线性微分方程类似，由此得一般解: )2(2)1(1n
n n x c x c x +=1. (98) 求差分方程的一般解。
(n y y n n 51021=++()72
51255−+−=n C y n n ) 解：齐次方程的通解为，设非齐次方程的特解为：()n
n C y 5−=b an y n +=~，代入求。
b a ,2. 斐波拉契数( ⎩⎨⎧==+=++11012x x x x x n n n ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=++1125125151n n n x ) 3． 银行实行贷款购房业务，A 贷元，月利r ，n 个月本利还清，在这个月内按复利计息，每月连本带息还n x 元。
(1) 求的关系； (2) 记个月的平均利息(r n A f x ,,=)n n
A x n v −=，求r v n ∞→lim . 设第i 个月欠元，则 i A (),101⎩⎨⎧=−+=−A
A x r A A i i 齐次方程的通解为 ();1n
n r C A +=非齐次方程的特解为r
x A n =~； 非齐次方程的通解为：();1r
x r C A n n ++= 代入初始条件得非齐次方程的特解为()();111r
r x r A A n n n −+−+= 0=n A 得x 值。
4. 己知差分方程⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=++201)1(1αααx n x x n n 的解满是条件：211lim =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∞→n n n x ，求常数?=α。
(2)
1(1ααα+++=
n x n )。