8-0常系数齐次线性差分方程
用矩阵的方法求解常系数齐次线性差分方程
第２ ３卷 第 ３期
２０ ０ ７年 ６ 月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ０ ． ３， ． １２ № ３
Ｊ ｎ ２０ ｕ ．０ ７
用 矩 阵 的方 法 求 解 常 系数 齐 次 线性 差 分 方 程
一
ｌ
０
；
０
０
，
由此 知 ， 分 方 程 （ ） 差 ２ 的特 征 方 程 （ ） 实 就 是 矩 阵 Ａ 的 特 征 方 程 （ 一０ 即 ， ， ４其 ） ． … Ａ 的 Ｐ ， ｚ … ， 特 征 值 ， Ｐ ， Ｐ 重 则
ｌ
分 别 是 矩 阵
一
０
０
．
２ 主 要 结 果
其 中 一 （ 为 的任 意 户 一１ 多项 式 ， ・ ） 次 即
。
一
。
（ ） 表达式 中含有 Ｐ 个 任意 常数 ． 的
≥¨
” ｍ ＋ ”＋ ｍ 一 １ ＋ １一
，
Ａ ： ＝ ：
” ２ ＋
” １ ＋
则
Ｍ ＡＭ 一 … 一 Ａ ０ （ — 一１ Ｍ ∈ ）
且 都是 直接 给 出它 的求 解结 论． 本文 用矩 阵 的方法 来推 求 ｍ 阶常 系数 齐次 线性 差分 方程
Ｙ＋ ＋ 口 Ｙ ＋ 一 ＋ … ＋ 口 一 Ｙ ＋ ＋ 口 Ｙ １ １ １ １ 一 ０ （ ≠ Ｏ 口 ） （ ） ２
的通解．
引理
设若 当块
Ｃ 一
ｉ
１ １ …
０
，‘
一
一
；
１
Ｃ Ｃ ＂ Ｈ
（ 一 － Ｃ 一 一 葛 ２ｋ ：。。
求常系数线性非齐次差分方程的特解
2 .
- 将该式 0 . . + # # 两边再同时取一次差分得 0 令0 代入 ’ ( # 得0 2 L$ # 0< < < < L "+ L #0 L #+ L #+ + . - 由此得原差分方程的一个特解为 -. 2+ I + 代入 ’ ( # 得 !0 0 L" ( L$ L" L 1 ! L #L $ L # < < + 0 . 0 3 L ! "#" 二" L ;7 ! L 5!
+
-# - # - $-’( - ’ + 从而 0 故可取 \ ( # 于是第二个差分方 \L # L L 0 L # L$ L# 0 0 0 J
-’ + L ( # 程有特解 < 4+ L $L + # J 对第三式方程两边乘8并与其 2 共轭 3差分方程 < 得新的差分方 J 1 L 相加 # $ < < L + $0 L - "0 L #8 " " L 8 L 8 8 L $ $ $ 程Q 这里 # 因为) # ’ 故QL # ( # 0 QL 0 QL #) ( Q- #< ? 8 ) (# ’ L 0 QL 0 QL # $L +$ -" L" L +$ -" " " " " L L L 设它有一个特解 Q’ ( ’ 代入 # 并消去 ’ 进一步 ’ (# ( (# ( 得\L # L L 0 \ \ $# \’ $$+" L - "0 L #" " -# -$ + L 8 # ( 改写成 0 于是可令 \ 从而得Q’ 从而 \ 3 \L "/ \ L L" 8 L# ’ $ $ 8 ( 0 $ $ # ) # 9 L" L #L# / / / / 得第三个差分方程一个特解 < L 1 $ 8 ( $ . # / 最后 # 由又叠加原理 # 得到原差分方程的一个特解 -’ + L ( 8 ( L + L( $ $L " $ J / 对于更高阶的常系数线性差分方程或一阶线性差分方程 # 自然也可以用此方法求其特解 (
差分方程
xk = ( − a ) x0 , k = 1, 2,L
k
所以当且仅当|a|<1时 方程（ 所以当且仅当|a|<1时，方程（2）的平衡点 |a|<1 从而方程（ 的平衡点）才是稳定的. （从而方程（1）的平衡点）才是稳定的.
常数矩阵A构成的 常数矩阵 对于n维向量 x ( k ) 和n×n常数矩阵 构成的 对于n (3) 方程组 x ( k + 1) + Ax ( k ) = 0 其平衡点稳定的条件是A的特征根 其平衡点稳定的条件是 的特征根
g 曲线斜率 y P3 f f P4 g P4 P3 K f < Kg K f > Kg y0 y0 P0 P0 y3 P2 P2 P1 y1 P1 0 x2 x x3 x1 x 0 x0 x 0
y y2
方程模型
yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线
yk − y0 = −α ( xk − x0 ) (α > 0) xk +1 − x0 = β ( yk − y0 ) ( β > 0)
k +1
xk +1 − x0 = −αβ ( xk − x0 ) x
− x 0 = ( −αβ ) ( x1 − x 0 )
k
αβ < 1 (α <1/ β)
xk → x0 xk → ∞
= 1，故有解 an = 2 −1
n
1.3 差分方程的平衡点及稳定性 (1) 一阶线性方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数分方程
x k +1 + axk = b, k = 0,1,2,L
的平衡点由 x + ax = b 当
常系数线性差分方程的解
常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n kn =+++-++（1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n kn x a x a x a（2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如nnx λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k k a a a a λλλ（3）称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出（3）的根，则可以得到（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：nkk nnn c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ，则通解中有构成项：nm m nc n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根βαλi ±=，令：ϕρλi e±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项：nc n c nnϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e±=，则（2）的通项中有构成项：n nc n c c n nc n c c nm m m m nm m ϕρϕρs i n )...(c o s )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解：=n x -nx +*n x （4）特解可通过待定系数法来确定。
差分方程的一般表达式
差分方程的一般表达式嘿，朋友们！今天咱们来唠唠差分方程那点事儿。
差分方程就像是时间长河里的一个个小脚印，记录着事物的变化规律呢。
一般来说，一阶常系数线性差分方程长这样：\(y_{n + 1}-ay_{n}=f(n)\)。
这就好比是一个小火车在轨道上跑，\(y_{n}\)是火车在第\(n\)站的状态，\(a\)呢就像是这个火车的速度调整系数。
如果\(f(n) = 0\)，那就像是火车在一条平坦的轨道上匀速行驶，没有什么额外的干扰。
再说说二阶常系数线性差分方程\(y_{n + 2}+ay_{n+1}+by_{n}=f(n)\)。
这就像一场双人舞蹈，\(y_{n}\)、\(y_{n + 1}\)和\(y_{n+2}\)就像是舞者在不同节拍下的姿势。
\(a\)和\(b\)呢，就像是舞蹈的规则参数，决定着舞者如何从一个姿势转换到另一个姿势。
要是\(f(n)=0\)，就像是舞者在一个没有外界干扰的舞台上，按照自己的节奏翩翩起舞。
还有那种齐次差分方程，就像是一群小伙伴整齐划一地做着同一件事。
比如说\(y_{n + 1}-ay_{n}=0\)，这就像一群小蚂蚁，每一只小蚂蚁的行动都和前一只有着固定的比例关系，\(a\)就是这个比例的关键。
非齐次差分方程呢，就像是平静的湖水里突然扔进了一颗小石子。
比如\(y_{n + 1}-ay_{n}=g(n)\)，\(g(n)\)就像是那颗小石子激起的涟漪，打破了原本齐次方程那种和谐又规律的状态。
差分方程有时候还能像魔法咒语一样预测未来呢。
就拿简单的人口增长模型来说，如果人口数量满足差分方程\(P_{n+1}=(1 + r)P_{n}\)，这里\(r\)是人口增长率，就像一个魔法数字。
这个方程就像一个神奇的水晶球，告诉我们未来人口的大致情况。
对于差分方程组，那就像是一场多角色的戏剧。
每个方程都是一个角色的行动指南，它们之间相互关联又相互影响，就像戏剧里的人物关系一样复杂又有趣。
差分方程方法总结
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
33
2018年10月15日
2018年10月15
一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式:
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
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2018 年 10 月 15日 2018 年10 月 15 日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式:
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2, xk 1 xk 1
13
, n)
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
根据定义，则有一般的求积公式:
b
a
f ( x)dx 。
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
经济数学-差分方程的概念与解的结构
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
事实上，作变量代换 t x 1，即可写成 yt 2 3 yt 1 3 yt 1 0.
例 7 下列等式是差分方程的有(
).
loga ( x 1) loga x 1 loga (1 ); x
( 2)Δ y x sina( x 1) sinax 1 a 2 cosa( x ) sin . 2 2
例3求y x! 的一阶差分，二阶差分 .
解
y x y x 1 y x
方 程 中 未 知 数 下 标 的大 最值 与 最 小 值 的 差 称为差分方程的阶 .
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
则左边 C 2 x 1 C 2 x 2 右边，
( x 1)! x!
x x!
y x y x x x!
2
x 1 x 1! x x!
x x 1 x!
2
例4 设y x( n ) x( x 1)(x 2)( x n 1), x
，Cn 是任意常数） （ C1 , C2，
n I 内的 注： 设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 n 个不全为零的常数， 个函数．如果存在 使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0
那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.
差分方程齐次解的一般形式
差分方程齐次解的一般形式
【实用版】
目录
1.差分方程的定义与性质
2.齐次解的定义与性质
3.差分方程齐次解的一般形式
4.求解差分方程齐次解的方法
5.总结与展望
正文
1.差分方程的定义与性质
差分方程是一种离散时间的微分方程，它描述了离散时间序列的演化规律。
差分方程广泛应用于物理、数学、生物学、经济学等领域。
差分方程具有以下性质：线性性、时移不变性、齐次性和非齐次性。
2.齐次解的定义与性质
在差分方程中，如果方程左右两边同时除以时间步长，可以得到齐次方程。
齐次方程的解称为齐次解。
齐次解具有以下性质：稳定性、周期性和同构性。
3.差分方程齐次解的一般形式
对于差分方程 $y[n] - a * y[n-1] = b * x[n]$，其齐次解的一般形式为：$y[n] = c * e^{-frac{a}{T}} * x[n]$，其中 $c$ 为任意常数，$T$ 为时间步长，$e$ 为自然对数的底数。
4.求解差分方程齐次解的方法
求解差分方程齐次解的方法通常有以下两种：
（1）常数变易法：通过变易法将差分方程化为齐次方程，然后求解
齐次方程，得到齐次解。
（2）特征方程法：设 $y[n] = e^{lambda n}$，代入差分方程，求
解特征方程，得到齐次解。
5.总结与展望
差分方程齐次解是差分方程研究的基础，对于理解差分方程的稳定性、周期性和同构性具有重要意义。
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注1 方程(1.4.3) 的解 { Xt }是由 p个初值 惟一确定的时间序列，有无穷个解； 方程(3)的等价形式
A( B) X t 0, t Z ,
A(z)有k个互不相同的零点z1, z2…, zk，其
中zj 是r( j )重零点，则
{ z t }, l 0,1,, r ( j ) 1, j 1,2,, k
是方程(1.4.4)的 p 个解，且其任何解均可 以表示为通解形式：
k r ( j ) 1 l 0
t l j
Xt
6）对时间序列{Xt}, {Yt}, 多项式 ( z ) c j z j 以及随机变量U,V,W有
j 0
p
( B)(UX t VYt W ) U ( B) X t V ( B)Yt W (1)
2. 差分算子▽： X t X t X t 1 (1 B) X t ▽的幂运算定义为
d
d
差异
设模型 X t mt st Yt 周期为d ，则
d ( X t ) ( mt st Yt ) ( mt d st d Yt d )
(m t m t d ) (Yt Yt d )
趋势项 噪声项
图1.1.12
图1.1.13
例1.4.1 X t mt Yt at b Yt ,
( X t ) X t X t 1 at b Yt [a( t 1) b Yt 1 ],
a Yt Yt 1 a Yt
对趋势项有
m t (at b) a
j j 0
p
( B) X t c j X t j ;
j 0
p
j j ( z ) d z ( z ) c z 5）对多项式 j j 和
p
q
j 0
j 0
的乘积 A(z) =ψ(z)φ(z) 有
A( B) X t ( B)[ ( B) X t ] ( B)[ ( B) X t ]
以上方法也适用与一般模型：
X t mt st Yt
图1.1.9 方法4 延迟d 步差分法 延迟d 步差分算子 d
(1.4.2)
图1.1.11
适合剔除 季节项
d
d X t X t X t d (1 B ) X t
d 阶差分算子 d
X t (1 B ) X t
( X t ) (
j
j 1
( X t )), t 1,2,
(Xt ) Xt
0
关于算子B 和▽的多项式与实变量的多
项式定义相同，有相同的运算律. 二、推移算子与差分算子用于序列分解 方法3 产生平稳数据的差分方法 基本思想 用差分方法删除趋势项 结论：若模型 X t m t Yt 中的趋势项为
j 1
U
l, j
t z , tZ
l
t j
(1.4.5)
其中随机变量Ul , j由初值惟一确定.
满足差分方程(1.4.4)的实值时间序列可表示为
Xt
k r ( j ) 1
其中
p j
(1.4.4)
A( z ) 1 a j z 称为方程(3)的特征
j 1
多项式
注2 若{ Xt }和{ Yt }是方程(1.4.4) 的解，则 它们的线性组合{ ζXt + ηYt }也是解.
根据推移算子性质6
A( B)(X t Yt ) A( B) X t A( B)Yt 0
k
mt
a jt j
j0
{Yt}是零均值平稳过程，则 1） 算子 k 作用于k 次多项式的趋势项，结 果为常数：
mt (
k
k k
a jt
j 0
k
j
) k!a k
2) X t k ! a k Yt
均值为k!ak的平稳过程
k
具体方法： 对给定动态数据反复作用差分算子， 直到序列的趋势项mt为常数为止.
X t [a1 X t 1 a2 X t 2 a p X t p ] 0, t Z
为 p 阶常系数齐次线性差分方程.
方程(3)的解{ Xt }可由 p 个初值X0, X1, …, Xp－1递推而得
(1.4.3)
X t a1 X t 1 a2 X t 2 a p X t p , t p
引理1.4.1 设多项式A(z)有k个互不相同
的零点z1, z2…, zk，其中zj是r( j )重零点，
则对任何 1 j k , 0 l r ( j ) 1,
A( B)t z 0
l
t j
注 对多项式因式分解，并进行归纳证明.
定理1.4.1 设方程(1.4.4)的特征多项式
j
j b B j Xt
j
b X
j
t j
(1.4.1)
推移算子性质： 1）BY=Y; 2）对整数n，常数a, Bn (aXt)= aBn Xt= aYt－n;
3）对整数n，m, Bn+m (Xt)= Bn (Bm )Xt= Xt－n－m;
4）对多项式 ( z ) c j z 有
图1.1.14
注：在工程中对数据进行预处理，常采用
差分法或滑动平均平滑法，但可能会
遇到部分问题。 文献：“数据预处理对替代数据检验方 法的影响”，孙海云等，数学的实践与 认识，第36卷第1期，2006年1月， p160 —164
常系数齐次线性差分方程
定义 给定实数a1, a2, …, ap, ap≠0，称
推移算子和常系数差分方程
一、推移算子与差分算子 1. 推移算子B：BX t X t 1 延迟算子 时滞算子
(z)
j
j t j
b z
jj若级数Fra bibliotekj
b X
在某种意义下收敛
定义
( B) ˆ
j b B j ,
j
算子级数
( B) X t ˆ