一阶常系数线性差分方程
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第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。对于 f ( x) 是一般的 n 次多项 式的情况可类似求解。
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
差分方程(1)-基础知识省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).
(10)
(其中 a , b 0, 且均为常数)旳方程, 称为二阶常系数线性 差分方程. 当 f (x) = 0 时, 即
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与 其有相同旳解旳构造. 故先求齐次方程(11)旳通解.
故所求通解为
yx
C1
C2 (2)x
10 3
x
2x2.
(2) f (x) = Cqx 设特解旳待定式为
y x Bq x (q不是特征根); y x Bxq x (q是特征方程单根); y x Bx2q x (q是二重特征根). 其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x旳一种特解.
x B0 B1x Bm xm (a 1) (6)
或
y x (B0 B1x Bm xm ) x (a 1) (7)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 旳一种特解.
解 这里 a = 2, 设 y x B0 B1x B2 x2 , 代入差分方程, 得
解 相应旳齐次方程旳特征方程为
2 3 + 2 = 0.
方程旳根为
1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y x Bx2x ,
代入原方程, 得
B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x,
一阶线性常系数差分方程及其应用
r=[.09;.09;-.1;-.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09]; % 增长率
x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15];
% 初始值
for n=1:20
x(:,n+1)=(1+r).*x(:,n);
% 迭代计算
end s{1}='单调增趋于正无穷大,r>0,x_0>0';
3.2.4 按揭贷款
1. 问题提出
购买商品房，首付至少两成，余款做按揭贷款， 如何设计合适的按揭计划.
2. 问题分析
个人住房按揭贷款通常有两种分期还本付息方 式，一种是等额本息还款法，每月还款计算公式为：
每月还款额=贷款本金×月利率× （1+月利率）还款月数/[（1+月利率）还款月数-1]
3.2.4 按揭贷款
解答（续） 结论 （1）在中等和较差的自然环境下，由于 1 r 0 ，且 x0 0 ，所以 xk 单调衰减趋于 0，即沙 丘鹤将濒于灭绝；在 1 r 0 范围内，r 的绝对值越 大， xk 单调衰减得越快. （2）在较好的自然环境下，由于 r 0 ，且 x0 0 ， 所以 xk 单调增趋于无穷大，即沙丘鹤数量将无限增长.
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 增 趋 于 正 无 穷 大 ,r>0,x0>0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 负 无 穷 大 ,r>0,x0<0
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 0,-1<r<0,x0>0
一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
10-7_一阶常系数线性差分方程
2、f ( x) pn x 型
x
方 程2为 y x1 ayx pn x
x
1 0， 1 2 0， 1
类 型1
设y x x z x
代入方程得 x1 z x 1 a x z x x pn x
消去 x，即得 z x 1 azx pn x 类 型1
(1) 1不是特征方程的根，即 1 a 0
n n 1 令y Q ( x ) b x b x x n 0 1
bn
(2) 1是特征方程的根，即 1 a 0
n n 1 令y xQ ( x ) x b x b x 0 x n 1
bn
综上讨论
2
练习题答案
x 3 1 x x 1.(1) y x A( 1) ( ) 3 ( ) ; 2 4 3 3 3 37 ( 2) y x A 5 x , y x 5x; 4 4 12 1 1 5 x x x ( 3) y x 2 A( 1) , y x 2 ( 1) x ; 3 3 3 36 1 2 2 ( 4) y x x x A( 4) x ; 125 25 5 36 1 2 2 161 yx x x ( 4 ) x . 125 25 5 125
5 B1 B2 1 代入原方程为 B1 5 B2 0
5 1 解之得到B1 , B2 26 26 5 1 x 所求通解为 yx A 5 cos x sin x 26 2 26 2
三、小结
1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）写出通解. 2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解
一阶常系数线性差分方程.ppt
yn1 ayn 0, n 0, 1, 2,
(10 13) (10 14)
方程 (10 14) 变形后改写为
yn1 ayn , n 0, 1, 2, 这是等比数列所满足的关系式, 由等比数列通项公式
可以得到 yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程 (10 14) 的通解
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 15)
其中C 为任意常数.
二、非齐次方程的特解与通解
1. f (n) Pm (n), Pm(n) 为m 次多项式, 则方程(10 13) 为
yn1 ayn Pm (n)
(10 16)
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解. 解 因a 1, 对应齐次方程的通解为
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程, 有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
其中a0,a1,,am为待定系数, 代入方程后, 比较同幂次系数, 可以解代数方程确定待定系数. 若 a 1, 要使方程恒等, 则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn. 代入方程, 比较同幂次系数, 可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
y(n) (a)n1 f (0) (a)n2 f (1) (a) f (n 2)
f (n 1)
n1
(a)i f (n i 1)
3 4
2n
由
y0
4,
(10 13) (10 14)
方程 (10 14) 变形后改写为
yn1 ayn , n 0, 1, 2, 这是等比数列所满足的关系式, 由等比数列通项公式
可以得到 yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程 (10 14) 的通解
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 15)
其中C 为任意常数.
二、非齐次方程的特解与通解
1. f (n) Pm (n), Pm(n) 为m 次多项式, 则方程(10 13) 为
yn1 ayn Pm (n)
(10 16)
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解. 解 因a 1, 对应齐次方程的通解为
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程, 有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
其中a0,a1,,am为待定系数, 代入方程后, 比较同幂次系数, 可以解代数方程确定待定系数. 若 a 1, 要使方程恒等, 则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn. 代入方程, 比较同幂次系数, 可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
y(n) (a)n1 f (0) (a)n2 f (1) (a) f (n 2)
f (n 1)
n1
(a)i f (n i 1)
3 4
2n
由
y0
4,
差分方程公式总结
差分方程公式总结嘿，咱们来聊聊差分方程这玩意儿！差分方程，听起来是不是有点让人头大？其实啊，它没那么可怕。
先来说说啥是差分方程。
简单来讲，就是含有未知函数差分的方程。
就像我们解普通方程一样，只不过这里的主角变成了差分。
比如说，有个一阶差分方程：$y_{n+1} - y_{n} = f(n)$ 。
这就表示相邻两个时刻函数值的差和自变量之间的关系。
咱们来仔细瞅瞅它的公式。
一阶线性常系数差分方程的一般形式是：$y_{n+1} + ay_{n} = f(n)$ ，这里的$a$是个常数。
求解它的办法有很多，像迭代法啦、特征根法啦。
拿迭代法来说，假设初始值是$y_0$ ，那么就可以一步一步地算下去：$y_1 = -ay_0 + f(0)$ ，$y_2 = -ay_1 + f(1)$ ，以此类推。
再说说特征根法。
先求出特征方程$r + a = 0$的根$r$ ，要是特征根不同，那通解就是$y_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n$ ；要是特征根相同，通解就是$y_n = (C_1 + C_2n)r^n$ 。
我还记得之前给学生讲差分方程的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们预测人口增长、经济发展，都可能用到差分方程呢。
”然后我给他举了个例子，假设一个城市每年的人口增长数量是上一年人口数量的10%，初始人口是 10 万，那咱们就可以用差分方程来算算未来几年的人口。
小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然发现了新大陆。
二阶线性常系数差分方程也有它的一套公式和解法。
一般形式是$y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = f(n)$ 。
求解的时候还是先看特征方程，不过这次是$r^2 + ar + b = 0$ 。
在实际应用中，差分方程可太有用啦。
比如在金融领域，分析股票价格的波动；在工程领域，预测系统的稳定性。
总之，差分方程虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的公式和方法，就能在很多地方派上用场。
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例6
求方程yn11源自3yn2n的通解.
5, 2
所以
y(n) 1 n2 5 n, 22
所给方程通解为 y(n) C 1 n2 5 n, 22
其中C 为任意常数.
例2 求差分方程 yn1 2 yn 2n2 1 的通解. 解 因a 2, 对应齐次方程的通解为
y C (2)n C2n 设 y(n) a0n2 a1n a2 , 代入原方程, 有
y C(2)n 设 y1(n) a0n a1 , y2(n) Aen , 于是
y(n) a0n a1 Aen 代入方程有
3a0n a0 3a1 ( Ae 2A)en 2n 1 en
比较系数,
得
a0
2, 3
a1
5, 9
A
e
1
, 2
从而有
y(n) 2 n 5 1 en 3 9 e2
于是方程 (10 17) 的特解为 y(n) b d n ad
当a d 时, 要使等式恒成立, 应取 k 1, 从而得到 y(n) And n
代入方程 (10 17) , 可得 A b , d
于是方程(10 17)的特解为 y(n) b nd n , d
综上讨论, 于是方程 (10 17)的通解可表示为
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解.
解 特征方程为 1 0,
对应齐次方程的通解为 y C 1n C
由于1是特征根，设 y(n) n(a0n a1) , 代入原方程, 有 a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
a1
(10 13) (10 14)
方程 (10 14变) 形后改写为 yn1 ayn , n 0, 1, 2,
这是等比数列所满足的关系式, 由等比数列通项公式
可以得到 yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程 (10 14) 的通解
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 16)
根据 f (n) 的形式, 可设 y(n) Q(n)为特解,
Q(n) 为多项式, 代入方程 (10 16), 有
Q(n 1) aQ(n) Pm (n) 于是, 若 a 1, 要使方程恒等 , 则应设
y(n) a0nm a1nm1 am1n am
其中a0,a1,,am为待定系数, 代入方程后, 比较同幂次系数, 可以解代数方程确定待定系数.
(10 15)
其中C 为任意常数.
或特征根法：
yn1 ayn 0, n 0, 1, 2,
其特征方程：
a 0,
从而得到方程的通解。
(10 14)
二、非齐次方程的特解与通解
1. f (n) Pm (n), Pm(n) 为m 次多项式, 则方程(10 13)为
yn1 ayn Pm (n)
§10.2 一阶常系数线性差分方程
一、齐次方程的通解 二、非齐次方程的特解与通解
一、齐次方程的通解
一阶常系数线性差分方程一般形式为 yn1 ayn f (n), n 0, 1, 2,
其中a 为非零常数, f (n)为已知函数 , 方程 (10 13) 的对应齐次方程为
yn1 ayn 0, n 0, 1, 2,
若 a 1, 要使方程恒等, 则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn. 代入方程
代入方程, 比较同幂次系数, 可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
即（1）若1不是特征方程的根，则 y (n) Qm (n). （2）若1是特征方程的根，则 y (n) nQm (n).
为
yn1 ayn bd n
其中a , b 为非零常数.
(10 17)
根据 f (n) 的形式,可设 yn Ankd n, A为待定系数, 代入方程有 (n 1)k Ad nk Aa b
于是, 当a d 时, 要等式恒成立, 应取 k 0,
从而得到
y(n) Ad n
代入方程, 解得 A b , ad
a0n2 (2a0 a1)n (a0 a1 a2 ) 2n2 1 比较系数得 a0 2, a1 4, a2 5, 所以得
y(n) 2n2 4n 5, 从而所给方程的通解为 y C2n 2n2 4n 5
其中C 为任意常数.
2. f (n) bd n , 即 f (n) 为指数函数, 这时方程 (10 13)
yn
C
(a)n
a
b
C
b d
n
d
n
,
d
d
n,
a d a d
其中C 为任意常数.
例3 求方程 yn1 2 yn 3 2n 满足初始条件 y0 4 的 特解.
所给方程的通解为
yn
C (2)n
3 4
2n
由
y0
4,
得
C
13 , 4
例5 求方程 yn1 2 yn 2n 1 en 的通解. 解 对应齐次方程的通解为