线性差分方程
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
线性差分方程
线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
1.3 常系数线性差分方程
同一个差分方程，边界条件不同，所求的h(n)表达 式不同。即：
同一个差分方程，边界条件不同，其对应的系统 是不同的。
二、常系数线性差分方程的求解
解得：此系统不是线性系统，也不是移不变系统。 结论：常系数线性差分方程，其所对应的
系统并不一定是线性移不变的。
一些关于差分方程的结论
一个差分方程不能唯一确定一个系统 常系数线性差分方程描述的系统不一定
利用查找表实现4bit x 4bit
4bit x 4bit 乘法器
用D触发器实现延时器
1. 己知差分方程，作出系统运算结构
2. 己知系统运算结构，求差分方程表达式
例：已知某系统结构如下所示，求此系统所对应的 差分方程。
四、系统运算结构的实现
当输入x(n)=nR10(n)，求输出y(n)。
(输入和输出信号均为8件编程
课后自训
某线性移不变离散时间系统的单位抽样响应序 列h(n)=R3(n)，
1.求此系统对应的差分方程； 2.作出此系统的运算结构； 3. 分别用硬件电路和软件编程实现此系统，
当输入信号x(n)＝nR10(n)时，求出输出 信号y(n)。（输入输出信号均用8bit表示）
1.3 常系数线性差分方程
(3) y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
(使用3之前要证明此系统是线性移不变系统)
一、常系数线性差分方程的定义
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
是线性移不变的 不一定是因果的 不一定是稳定的
在今后的讨论中，通常假设常系数 线性差分方程就代表线性移不变系统， 且多数代表可实现的因果系统。
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
第七章线性差分方程模型的辨识
第七章线性差分方程模型的辨识根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。
线性差分方程模型的最小二乘估计首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。
辨识问题的提法设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述：y(k) + a^y(Jc—1) + •• - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式：A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k),其中，= 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1)= 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n,辨识问题的提法，已知：(1)由方程描述的系统都是稳定的。
(2)系统的阶是n阶。
(3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数：a】, b](i = 1,2, ・・・N + n),参数最小二乘估计的慕本思根是，选择b x(i = 1,2, ...N + n),使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为：A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。
现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小最小二乘估计将下式A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\改成以下形式广义最小二乘估计-般最小二乘法简称LS法，广义最下二乘法简称GLSGLS的基本思想是，将相关残差啲用白噪声屮)，经过传递函数右的滤波器的滤波输出來表示，即e(k)=€伙)其中,C((7_1)= 1 + Cig" + c2q~2 + …+ c p q~p cg・..p)为常数,p表示残差模型的阶,c,和p事先是未知的: {G (k)}为白噪声序列根据方程的误差定义A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),可得：A(q_1)y(k) 一B(q_1)u(k) =C(q 丄)进而，AS")C(qT)y(k) 一B(qT)C(qT)u(k) =G (k)由丁花(幻为白噪声，所以系统参数和噪声参数可以通过以上方程而得到无偏估计，为此定义谋差函数：丿=》2⑹刁[A(qT)C(q7)y(k) - B(q")C(qT)u(k)]2现在的问题是，选择参数使得误差函数J的值为最小，由于参数a,b,c在上述方程中的关系不是线性的，所以不能用一般的LS法求解。
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（3）
vm = c1um(1) + c2um(2) + L + ckum(k)
也是（2）的解，其中 cj ( j = 1, 2,L, k ) 为常数。
命题 2 设 um(1) , um(2) ,L, um(k) 是 k 阶齐次差分方程（2）的解，且行列式
命题 4 如果 um(1) , um(2) ,L, um(k) 为齐次方程（2）的线性无关解，则（1）的通解可以表为
（9）
k
m−k
∑ ∑ um = c jum( j) + g b m,n n
j =1
n=0
其中 gm,n 为（5）的解。
命题 4 把求非齐次方程解的问题化成求齐次方程的解。
当差分方程的初始值 u0 , u1,L, uk−1 已经给定，则利用通解表达式（9）我们有
（7）
∑ ⎧
⎪ ⎨
( ) a j m gm+ j,n = δm,n , m = 0,1, 2,L
⎪⎩ gl,n = 0, 当l < n + k时, n = 0,1, 2,L
容易证明，
（8）
m−k
∑ um = gm,nbn n=0
是非齐次方程（1）的解。事实上，利用（8）和（7）式，有
k
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n+ j−k
（5）
ak (m) um+k + ak−1 ( )m um+k−1 +L+ a0 (m) um = 0
其初始条件为
当m > n ，
（6）
( ) ak n un+k = 1 ， un+k−1 = un+k−2 = L = un+1 = 0
这 个 问 题 的 解 显 然 与 n 有 关 ， 记 为 gm,n ， m = n +1, n + 2,L ， 为 了 形 式 统 一 ， 对
为
ξ1 ξ2 L ξk
∏ ∏( ) ξ12
L
ξ22 L
L L
ξ
2 k
L
=
k
ξj
j =1
j>l
ξ j −ξl
≠0
ξ1k
ξ
k 2
L ξkk
在这种情形下，（2）的通解可以表为
（12）
k
∑ um =
c
jξ
m j
j =1
如果有某一ξ j 为（11）的 rj 重根，容易验证，
（13）
ξ
m j
,
mξ
m j
,
L
,
m = 0,1,L, n ，我们补充定义 gm,n = 0 ，从而有
gm,n = 0 ，当 m < n + k
由此，特别得到
( ) ( ) ( ) ak n gn+k,n + ak−1 n −1 gn+k−1,n + L+ a0 0 gn,n = 1
综合上述讨论得出，对 n = 0,1, 2,L ， gm,n 为下列差分方程的解：
m
rj
−1ξ
m j
为（2）的 rj 个线性无关解。这样一来，在特征多项式（11）有重根的情形，（2）的通解可
表为
（14）
k0 rj
∑ ∑ um =
c
jl
ml
−1ξ
m j
j=1 l =1
k0 为（11）互异根的个数。
若（11）有复根ξ j ，因为他的系数是实数，故 ξ j 也是它的根。令
ξ j = ρeiθ = ρ (cosθ + i sinθ )
解：将上式改写成为
( ) um+1 − 2 1+ h2q um + um−1 = 0
它的特征方程为
( ) λ 2 − 2 1+ h2q λ +1 = 0
它的根为
( ) λ = 1+ h2q ± h q 2 + h2q
1） 当 q = 0 时，特征方程二根相等： ξ1 = ξ2 = 1，
此时通解为
um = c1 + c2m
成下列形式： k 阶齐次线性差分方程的通解可以表为它的任意 k 个线性无关解的线性组合。 k 阶齐次线性差分方程线性无关解的个数不超过 k ，而且必存在 k 个线性无关解。
命题 3 非齐此方程（1）的通解可以表成为它的任一解与齐次方程（2）的通解之和。
证明：对 n = 0,1, 2,L ，考虑下列齐次差分方程
∑ ∑ ∑ aj (m)um+ j = aj (m)
gm+ j,nbn
j=0
j=0
n=0
k
m
∑ ∑ ( ) = aj m
gm+ b j,n n
j=0
n=0
∑ ∑ ( ) m ⎛ k
⎞
= ⎜ a j m gm+ j,n ⎟ bn
⎝ n=0 j=0
⎠
m
∑ = δ b m,n n n=0
= bm
即（8）满足方程（1）。 这样一来，利用命题 3 得到
m = 0,1, 2,L
称为 k 阶线性差分方程，其中 a j (m) ,bm 为给定的关于 m 的函数，并且 ak (m) a0 (m) ≠ 0 。
当 bm = 0 时方程
（2）
ak (m) um+k + ak−1 ( )m um+k−1 +L+ a0 (m) um = 0
m = 0,1, 2,L
cosθ = 1+ h2q , 0 ≤ θ < 2π
确定，通解为
um = c1 cos mθ + c2 sin mθ
（11）
ak λ k
+
λ a k −1 k −1
+L+
a1λ
+ a0 = 0
的根。反之，容易验证，如果 ξ 为（11）的根，则 um = ξ m 必为（2）的解。方程式（11）
叫做（1）或（2）的特征方程。
设
ξ1
,
ξ2
,L,
ξk
为（11）的
k
个互异的根，则
ξ1m
,
ξ
m 2
,L,
ξ
m k
为（2）的线性无关解，因
得满足给定初始条件的解。
对常系数线性差分方程，即当 a j (m) = a j 与 m 无关时，其次方程的通解可以利用特征
方程的根求得。
设（2）的系数与 m 无关。考虑形如
（10）
um = ξ m
的解。将其代入（2）得到
akξ k + ak−1ξ k−1 + L + a1ξ + a0 = 0
即ξ 为代数方程
2） 当 q > 0 时，特征方程有相异二实根：
( ) ξ1 = 1+ h2q + h q 2 + h2q ( ) ξ2 = 1+ h2q − h q 2 + h2q
并且当 h 充分小时 ξ1 > 1,ξ2 < 1，此时通解为
um
=
c1ξ1m
+
c2ξ
m 2
3） 当 q < 0 时，有二共轭复根，其模为 1，幅角θ 由关系式
k
∑ cjum( j) = um , m = 0,1, 2,L, k −1
j =1
因为当 m < k 时（9）式中第二个和为零。由于 um(1) , um(2) ,L, um(k) 线性无关，从上式可以唯一
地解出 c1, c2 ,Lck ，它们是 u0 , u1,L, uk−1 的线性组合。将求得的 c1, c2 ,Lck 代入（9）即求
ξ j = ρe−iθ = ρ (cosθ − i sinθ )
此时可取
ρ cos mθ , ρ sin mθ
为相应二线性无关解。
例 求下列二阶常系数差分方程的通解：
um+1
− 2um h2
+ um−1
− 2qum
=
0
其中 h, q 均为常数，且 h > 0 。上述方程是微分方程 u'' − 2qu = 0 的差分近似。
称为齐次差分方程。如果整变量 j 的函数 u j 使（1）和（2）成为等式，则称 u j 为相应方程
的解。容易看出，如果 u0 , u2 ,Luk−1（称为初始值）已给定，则由（1）或（2）可以逐次地
定出 u j ( j = k, k +1,L) 。
与线性方程组及线性常微分方程类似，对上述差分方程有
（4）
u1(1) u1(2) L u1(k ) u2(1) u2(2) L u2(k ) ≠ 0 L LLL uk(1) uk(2) L uk(k )
则齐次差分方程（2）的任何解均可表成（3）的形式，此时称（3）为（2）的通解。
如果 um(1) , um(2) ,L, um(k) 满足条件（4），则称 um(1) , um(2) ,L, um(k) 线性无关，故命题 2 可叙述
线性差分方程
在数学大家庭中，线性差分方程是重要的一员。如离散状态下的数学建模一般会产生差 分方程，将微分方程离散化仍然会产生差分方程。线性差分方程与线性方程组及线性常微分 方程有许多相似的性质，下面让我们讨论其解性质。
考虑如下一般的线性差分方程
（1）
ak (m) um+k + ( ) ak−1 m um+k−1 +L+ a0 (m) um = bm