第4节 n阶常系数线性差分方程
线性差分方程
线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
常系数线性差分方程的解
常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n kn =+++-++（1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n kn x a x a x a（2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如nnx λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k k a a a a λλλ（3）称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出（3）的根，则可以得到（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：nkk nnn c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ，则通解中有构成项：nm m nc n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根βαλi ±=，令：ϕρλi e±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项：nc n c nnϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e±=，则（2）的通项中有构成项：n nc n c c n nc n c c nm m m m nm m ϕρϕρs i n )...(c o s )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解：=n x -nx +*n x （4）特解可通过待定系数法来确定。
差分方程方法总结
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
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2018年10月15日
2018年10月15
一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式:
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
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2018 年 10 月 15日 2018 年10 月 15 日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式:
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2, xk 1 xk 1
13
, n)
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
根据定义，则有一般的求积公式:
b
a
f ( x)dx 。
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
1.3 常系数线性差分方程
同一个差分方程，边界条件不同，所求的h(n)表达 式不同。即：
同一个差分方程，边界条件不同，其对应的系统 是不同的。
二、常系数线性差分方程的求解
解得：此系统不是线性系统，也不是移不变系统。 结论：常系数线性差分方程，其所对应的
系统并不一定是线性移不变的。
一些关于差分方程的结论
一个差分方程不能唯一确定一个系统 常系数线性差分方程描述的系统不一定
利用查找表实现4bit x 4bit
4bit x 4bit 乘法器
用D触发器实现延时器
1. 己知差分方程，作出系统运算结构
2. 己知系统运算结构，求差分方程表达式
例：已知某系统结构如下所示，求此系统所对应的 差分方程。
四、系统运算结构的实现
当输入x(n)=nR10(n)，求输出y(n)。
(输入和输出信号均为8件编程
课后自训
某线性移不变离散时间系统的单位抽样响应序 列h(n)=R3(n)，
1.求此系统对应的差分方程； 2.作出此系统的运算结构； 3. 分别用硬件电路和软件编程实现此系统，
当输入信号x(n)＝nR10(n)时，求出输出 信号y(n)。（输入输出信号均用8bit表示）
1.3 常系数线性差分方程
(3) y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
(使用3之前要证明此系统是线性移不变系统)
一、常系数线性差分方程的定义
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
是线性移不变的 不一定是因果的 不一定是稳定的
在今后的讨论中，通常假设常系数 线性差分方程就代表线性移不变系统， 且多数代表可实现的因果系统。
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
第4节 n阶常系数线性差分方程
其重数为 k ( 2 k ≤ n ) , 则
r t cos ω t , t r t cos ω t , L , t k − 1 r t cos ω t t r sin ω t , t r t sin ω t , L , t k − 1 r t sin ω t 为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解， 为齐次方程 的2k个线性无关的特解，其中 b 2 2 r = a + b , tan ω = , ω ∈ ( 0 , π ) a
相应齐次方程的通解为
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π = B ， 入原方程得 B = 1 ， 一特解为 yt = 1 ， 代 方程得 得
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
4
阶常系数非齐次线性差分方程的解法 非齐次线性差分方程的 二、 n 阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
对应齐次方程 (1)
常数， 其中 a1 , L , a n −1 , a n , b 为常数，且 a n ≠ 0 , b ≠ 0 ，
3
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(2) (3)
上述特解共有n个 将它们用任意常数组合起来， 上述特解共有 个，将它们用任意常数组合起来， 即得齐次方程(2)的通解 的通解. 即得齐次方程 的通解.
1-3时域离散系统的差分方程描述
an , h(n) = 0,
n≥0 n<0
a <1 稳 系 是 定 统
求差分方程描述的系统的单位抽样响应——MATLAB 求差分方程描述的系统的单位抽样响应
2.2 时域离散系统 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
x(n)
⊗ ⊕
b0
b0 x(n)
b0 x(n)-a1y(n-1)
y(n)
-a1y(n-1)
⊗
-a1
Z
−1
y(n-1)
求解差分方程——递推法 递推法 求解差分方程
2.2 时域离散系统 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
求解差分方程y(n)=ay(n-1)+ x(n)，y(-1)=1。 求解差分方程 ， 。 MATLAB代码： 代码： 代码 a=0.8;ys=1 %设a=0.8 设 xn=[1,zeros(1,30)]; %设x(n)= δ(n),长度 长度N=31 设 长度 B=1;A=[1,-a]; xi=filtic(B,A,ys); yn=filter(B,A,xn,xi); n=0:length(yn)-1; subplot(3,2,1);stem(n,yn,’.’) title(‘(a)’);xlabel(‘n’);ylabel(‘y(n)’)
或者 ai y (n − i ) = ∑ bi x(n − i ), a0 = 1 ∑
i =0 i =0 N M
§7.4 常系数线性差分方程的求解
(
) u(n)
2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)， 若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值 (0)， 始样值y (0)=1应满足方程 应满足方程： 则y+(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)= u(n) <0时 迭代法得： 当n<0时，由迭代法得： y+(n)=0 当n ≥ 时，则有： 0 则有： y+(0)= 1 +3y y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y − (− 1) = 1 1 y − (0 ) = 3 3 2 1 1 y − (− 2 ) = y − (− 1) = 3 3
…...
1 1 y − (n ) = y − (n + 1) = 3 3
−n
假设系统是因果系统， 假设系统是因果系统， 由于激励u n=0 由于激励u(n)在n=0接 那么,此解就是n 入，那么,此解就是n<0 时系统的零输入响应。 时系统的零输入响应。
如果系统起始样值 如果系统起始样值y-(n) ≠ 0，则系统差分方程的完全 起始样值y 0，则系统差分方程的完全 解将不满足线性时不变的特性。 解将不满足线性时不变的特性。 今后我们规定，所有初值如无下标 值如无下标， 今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始 样值处理。 样值处理。
返回
种方法） 二、差分方程的解法（前3种方法） 差分方程的解法（
y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3+32=13 +3y …... 1 2+……+3n = (3 n +1 − 1) y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+3 +3y 2 1 n +1 则方程的解为： 则方程的解为： y(n)= (3 − 1) u(n)
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(3)
1. 若(3)有一实特征根 λ ,其重数为 m ( m ≤ n ) ,则 )
λ , tλ , L , t
t
λ
t
为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解； 为齐次方程 的m个线性无关的特解； 2. 若(3)有一对共轭复根： λ = a ± b i ( b > 0 ) 有一对共轭复根： 有一对共轭复根
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
t
t 将 yt = λ 代入方程 (2), 得
(2)
的特解. 下面来寻找方程 (2)的形如 y t = λ ( λ ≠ 0) 的特解.
(λ + a1λ
n
n −1
+ L a n −1λ + a n ) λ = 0 ,
3
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(2) (3)
上述特解共有n个 将它们用任意常数组合起来， 上述特解共有 个，将它们用任意常数组合起来， 即得齐次方程(2)的通解 的通解. 即得齐次方程 的通解.
t
而 λ ≠ 0 ,于是有
t
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(3)
代数方程(3)称为差分方程 的特征方程, 代数方程 称为差分方程(2)的特征方程, 称为 它的根称为特征根 特征根( 特征值). 它的根称为特征根(或特征值).
2λ + a1λn Nhomakorabeat
n−1
+Lan−1λ + an = 0
相应齐次方程的通解为
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) .
设特解为 y t = B ， 入原方程得 B = 1 ， 一特解为 yt = 1 ， 代 方程得 得
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
故原方程通解为
yt = (C1 + C 2 t )( −1) + C 3 + C 4 t + t .
t 2
9
例3 求三阶差分方程 yt + 3 + 3 yt + 2 + 4 yt +1 + 12 yt = 13 + 20t
的通解. 的通解.
解 例1已求出相应齐次方程的通解为 已求出相应齐次方程的通解为
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) + 1 ,
8
其中 C1 , C 2 , C 3 为任意常数 .
的通解. 例2 求 四 阶差分方程 y t + 4 − 2 y t + 2 + y t = 8 的通解.
解 特征方程为 λ4 − 2λ2 + 1 = 0 ⇒ ( λ 2 − 1) 2 = 0 , 特征根为 λ1 = λ2 = −1 , λ3 = λ4 = 1 相应齐次方程的通解为
7
例1 求三阶差分方程 yt + 3 + 3 yt + 2 + 4 yt +1 + 12 yt = 20 的通解. 的通解 . 解 特征方程为 λ 3 + 3λ 2 + 4λ + 12 = 0
⇒ ( λ + 3)(λ 2 + 4) = 0 , 特征根为 λ1 = −3, λ2 = 2i , λ3 = −2i
4
阶常系数非齐次线性差分方程的解法 非齐次线性差分方程的 二、 n 阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
对应齐次方程 (1)
常数， 其中 a1 , L , a n −1 , a n , b 为常数，且 a n ≠ 0 , b ≠ 0 ，
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) .
设特解为 yt = B0 + B1 t ，代入原方程可得 B0 = 0 , B1 = 1 ，
得一特解为 yt = t ，
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
若 n + ( n − 1)a1 + L + 2a n −1 + a n ≠ 0 ， 则得 (1)的特解
b yt = . n + (n −1)a1 +L+ 2an−1 + an
若 n + ( n − 1)a1 + L + 2an−1 + an = 0 ， 则再改设(1)的
2 特解 yt = B t ,
5
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
(1)
为待定常数 代入(1)得 常数. 设特解为 y t = B ，B 为待定常数 代入 得
(1 + a1 + L + a n−1 + a n ) B = b .
则得(1)的特解 若 1 + a1 + L + a n−1 + a n ≠ 0 ，则得 的特解
(1)的对应齐次方程为 的对应齐次方程为
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
(2)
(1)、(2)可与二阶常系数线性差分方程类似地求解. 、 可与二阶常系数线性差分方程类似地求解 可与二阶常系数线性差分方程类似地求解.
1
阶常系数齐次线性差分方程的解法 齐次线性差分方程的 一、 n 阶常系数齐次线性差分方程的解法
yc ( t ) = (C1 + C 2 t )( −1) t + C 3 + C 4 t .
直接验证可知， 都不是原方程的解， 直接验证可知， y t = B 和 y t = B t 都不是原方程的解，
2 2 得一特解 yt = t ， 方程得 设特解为 y t = B t ， 入原方程得 B = 1 ， 代
如此继续下去，至多到设 有特解 如此继续下去，至多到设(1)有特解 y t = B t 求得(1)的一个特解 求得 的一个特解. 的一个特解
n −1
，必可
为多项式函数, 若 f ( t )为多项式函数,指数函数正弦-余弦型三角函 为多项式函数 指数函数正弦以及它们的线性组合等情形,可类似地进行. 数,以及它们的线性组合等情形,可类似地进行.
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
是方程(1)的一个特解 的一个特解, 设 y t 是方程 的一个特解,
(2)
yc (t ) 是(2)的通解, 的通解, 的通解
那么方程(1)的通解为 那么方程 的通解为
yt = yc (t ) + yt .
问题归结为求方程(1)的一个特解. 问题归结为求方程 的一个特解. 的一个特解 用待定系数法求解. 待定系数法求解. 求解
b yt = . 1+ a1 +L+ an−1 + an
若 1 + a1 + L + an−1 + an = 0 ， 则改设 (1)的特解 yt = B t ,
[n + ( n − 1)a1 + L + 2a n−1 + a n ]B = b .
6
[n + ( n − 1)a1 + L + 2a n −1 + a n ]B = b
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) + t ,
其中 C1 , C 2 , C 3 为任意常数 .
10
练习： 练习：
P384 习题十
11
其重数为 k ( 2 k ≤ n ) , 则
r t cos ω t , t r t cos ω t , L , t k − 1 r t cos ω t t r sin ω t , t r t sin ω t , L , t k − 1 r t sin ω t 为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解， 为齐次方程 的2k个线性无关的特解，其中 b 2 2 r = a + b , tan ω = , ω ∈ ( 0 , π ) a
第四节 n 阶常系数线性差分方程
n 阶常系数线性差分方程一般形式
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = f (t ) (1)
常数， 其中 a1 , L , a n−1 , a n 为常数，且 an ≠ 0 ，
函数 f (t ) 为 t 的已知函数，当 t = 0, 1, 2, L 时有定义 的已知函数， 时有定义.