量子力学chapter7-电子自旋

分量形式：
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y ˆz ˆ z ˆ y 2i ˆx ˆ ˆ ˆ x ˆ z 2i ˆy z x
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是±/2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是 1。
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ 2 3 2 S x y z 4
2 S 2 s(s 1) 2 3 4
ˆ2 S
仿照
算符的本征值是
0 1 Sx 2 1 0 0 i Sy 2 i 0 1 0 Sz 2 0 1
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ˆ x ˆ y ˆz i 1.证明：
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆz 证：由对易关系 ˆ x ˆ y ˆ y ˆx 0 ， 反对易关系 ˆ x ˆ y i ˆz
左乘σy 我们从对易关系: 证： ˆ ˆ ˆ z ˆ y 2i ˆx y z 出发 σy
2=1
ˆ y ˆ y ˆ z ˆ y ˆ z ˆ y 2i ˆ y ˆx
ˆ y ˆ z ˆ y ˆ z ˆ y 2 2i ˆ x ˆy ˆ y ˆ z ˆ y ˆ z 2i ˆ x ˆy
或
ˆ x ˆ y ˆ y ˆx
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x i ˆz ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y i ˆx ˆ ˆ ˆ x ˆ z i ˆy z x
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3. Pauli算符的矩阵形式
根据定义
0 x c 0 x c b 0 c* 0
由力学 量算符 厄密性
x
ˆ z Sz 2 0 1
1
0

ˆz 0 1
1
0
ˆ z ˆ x ˆ x ˆz
2 2
2c d
0

2
0

a 1 1 0 c 1
a 1 c 0
同理对Φ–1/2 处理，有
b 2 0 d 2 2
b 0 d 1
量子力学
1
第七章 电子自旋
§1
电子的自旋 §2 电子的自旋算符和自旋波函数 §3 简单塞曼效应 §4 全同粒子的特性
2
§1电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
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（一）Stern-Gerlach 实验
（1）实验描述 S 态的氢原子束流，经非 均匀磁场发生偏转，在感光板上 呈现两条分立线。 （2）结论 I、氢原子有磁矩因在非均匀磁场 中发生偏转 II、氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
2
求 Pauli 算符的 其他两个分量 利用反对易 a b 令 关系 ˆx c d 1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1 σX 简化为：
a b 0 0 2 c d 2 (r , t ) 2 2 (r , t )
最后得 SZ 的 矩阵形式
Sz
1 0 2 0 1
SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值±/2。
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（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式
Sz
a 2 c
b d
电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的 矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ1/2 描写的态， SZ 有确定值 /2 ，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态， 本征值为 /2，即有： a b ( r , t ) ( r 1 1 , t ) Sz 1 2 1 矩阵形式
求σy 的矩阵形式
ˆy ˆ z ˆx 由 i ˆ y i ˆ z ˆ x 出发
写成矩阵形式
1 得： y i 0
0 1
0 i e
e i 0
0 e i ( )
e i ( ) 0
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（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为 自旋角动量 轨道角动量 异同点 与坐标、动量无关 同是角动量
L2
l (l 1) 2
s 1 2
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自旋量子数 s 只有一个数值
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函 数需写为： 1 ( r , t ) ( x , y , z , 2 ,t) ( x, y, z, Sz , t ) 2 ( r , t ) ( x , y , z , 2 , t ) 由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 1 ( r , t ) 所以上式可写为两个分量： 写成列矩阵 ( r 2 , t )
Z
N
S
处于 S 态的 氢原子
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（3）讨论
设原子磁矩为 M，外磁场为 B， 则原子在 Z 向外场 B 中的势能为：
磁矩与磁 场之夹角
U M B MBz cos
原子 Z 向受力 分析
Bz U Fz M cos z z
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带
二式相加
ˆ y 2 ˆz ˆ y ˆ z ˆ y 2i ˆ y ˆx ˆz ˆ y ˆ z ˆ y 2i ˆ y ˆx
ˆ x ˆ y ˆ y ˆx 0
同理可证:x, y 分量的反对易 关系亦成立. [证毕]
由对易关系和反对易关系还 可以得到关于 Pauli 算符 的如下非常有用性质：
但是实验结果是：出现的两条分立线对cos = -1 和 +1 ，处 于 S 态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电 子的固有磁矩，即自旋磁矩。
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（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条亮黄线 5893Å，用高分辨率的 光谱仪观测，可以看到该谱 线其实是由靠的很近的两条 谱线组成。 其他原子光谱中也可以发现 这种谱线由更细的一些线组 成的现象，称之为光谱线的 精细结构。该现象只有考虑 了电子的自旋才能得到解释
3p
58 93 Å
3p3/2 D1
58 96 Å
3p1/2 D2
58 90 Å
3s
3s1/2
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（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了电子自旋 假设 （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向 上的投影只能取两个数值：
S Sz 2
这里有一个相位不定性，习惯上取α= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：
0 1 x 1 0 0 i y i 0 1 0 z 0 1
从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。
若已知电子处于 Sz = /2 或 Sz = -/2 的自旋态，则波函数可分别写为：
1 2
1 (r , t ) 0

1
2
0 ( r , t ) 2
得：b = c* ( 或 c = b* )
x
2
0 c* 0 c* c 0 c 0

| c |2 1
σx 2 = I
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令：c = exp[iα ] (α 为实），则
0 e i x e i 0
e MS S c
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz e MB 2 c
Bohr 磁子
(CGS )
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（四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz
（2）轨道回转磁比率
e c
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ˆ z ，得 上式两边乘
ML
则，轨道回转磁比率为：
e 2 c
L

e 2 c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
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§2
电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
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（2）Pauli 算符
1. Pauli 算符的引进
令
ˆ ˆ S 2