高三数学一轮复习精品课件9：§3.2导数与函数的单调性、极值、 最值第1课时导数与函数的单调性
高考数学一轮复习讲义 第3章 第2节 第1课时 必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值
第二节导数在研究函数中的应用1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).第1课时必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值利用导数研究函数的单调性1.函数f(x)(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间上是单调递增．(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间上是单调递减．(3)若f′(x)＝0,则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求f′(x)．(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．[提醒](1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时,用“,”隔开或用“和”连接,不能用“∪”连接．(3)若函数y＝f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,且在(a,b)的任意子区间,等号不恒成立;若函数y＝f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f′(x)≤0,且在(a,b)的任意子区间,等号不恒成立．[小题练通]1.[教材改编题]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D ．当x ＝2时,f (x )取到极小值 答案:C2.[教材改编题]设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y ＝f ′(x )的图象如图所示,则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )答案:C3.[教材改编题]函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞,－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1,＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞,－1]和[1,＋∞)答案:A4.[易错题]若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞13 C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞13 解析:选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ,由条件知y ′≥0在R 上恒成立,∴Δ＝4－12m ≤0,∴m ≥13.5．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1,＋∞)单调递增,则k 的取值范围是( ) A ．(－∞,－2]B ．(－∞,－1]C ．[2,＋∞)D ．[1,＋∞)解析:选D 因为f (x )＝kx －ln x ,所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1,＋∞)上单调递增,所以当x >1时,f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立,即k ≥1x 在区间(1,＋∞)上恒成立．因为x >1,所以0<1x <1,所以k ≥1.故选D.6．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间,则a 的取值范围是________．解析:∵y ′＝－4x 2＋a ,且y 有三个单调区间,∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根,∴Δ＝02－4×(－4)×a >0,∴a >0.答案:(0,＋∞)利用导数研究函数的极值1.在包含x 0的一个区间(a ,b )内,函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值,称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点,其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ,b )内,函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值,称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点,其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点．[提醒] (1)极值点不是点,若函数f (x )在x 1处取得极大值,则x 1为极大值点,极大值为f (x 1);在x 2处取得极小值,则x 2为极小值点,极小值为f (x 2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数．(3)f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的必要而非充分条件．例如,f (x )＝x 3,f ′(0)＝0,但x ＝0不是极值点．[小题练通]1.[教材改编题]设函数f (x )＝2x ＋ln x ,则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 答案:D2.[教材改编题]如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象,则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选A 由图象及极值点的定义知,f (x )只有一个极小值点．3.[教材改编题]若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值,则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析:选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3,由题意知f ′(－3)＝0,即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0,解得a ＝5.4.[易错题]已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2,当x ＝－1时有极值0,则a ＋b 的值为________． 解析:f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0f (－1)＝0即⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋b ＋3＝0a 2＋3a －b －1＝0解之,得⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2b ＝9.当a ＝1,b ＝3时,f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立,所以f (x )在x ＝－1处无极值,舍去．所以a ＝2,b ＝9.所以a ＋b ＝11.答案:115．设x 1,x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点,若x 1<2<x 2,则实数a 的取值范围是________．解析:由题意得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2的两个零点x 1,x 2满足x 1<2<x 2.所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2<0,解得2<a <6.答案:(2,6)6．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点,则f (x )的极小值为________．解析:因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1,所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点,所以－2是x 2＋(a ＋2)x＋a －1＝0的根,所以a ＝－1,f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0,解得x <－2或x >1,令f ′(x )<0,解得－2<x <1,所以f (x )在(－∞,－2)上单调递增,在 (－2,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,所以当x ＝1时,f (x )取得极小值,且f (x )极小值＝f (1)＝－1.答案:－1函数的最值(1)在闭区间[a ,b ](2)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值．[提醒] 求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论．[小题练通]1.[教材改编题]函数f (x )＝ln x －x 在区间(0,e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－eD ．0解析:选B 因为f ′(x )＝1x －1＝1－x x ,当x ∈(0,1)时,f ′(x )＞0;当x ∈(1,e]时,f ′(x )＜0,所以f (x )的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x ＝1时,f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.2.[教材改编题]函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值,无最小值 B ．有最大值,也有最小值 C ．无最大值,有最小值D ．既无最大值,也无最小值解析:选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．令f ′(x )＝0,得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1),∴该方程无解,故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.3.[教材改编题]函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0π2上的最大值是________．答案:3＋π64.[易错题]已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2,－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值,则m 的取值范围是________．答案:(－4,－2)5．函数f (x )＝x e －x ,x ∈[0,4]的最小值为________．解析:f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )．令f ′(x )＝0,得x ＝1(e －x >0),f (1)＝1e >0,f (0)＝0,f (4)＝4e4>0,所以f (x )的最小值为0. 答案:06．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ,则f (x )的最小值是________． 解析:f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．∵cos x ＋1≥0,∴当cos x <12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当cos x >12时,f ′(x )>0,f (x )单调递增．∴当cos x ＝12,f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x ), ∴当sin x ＝－32时,f (x )有最小值, 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.答案:－332[课时跟踪检测]1．(2019·厦门质检)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1)B ．(0,1]C ．(1,＋∞)D ．(0,2)解析:选B 由题意知,函数的定义域为(0,＋∞),由y ′＝x －1x ≤0,得0<x ≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1]．2．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息: ①f ′(x )>0时,－1<x <2; ②f ′(x )<0时,x <－1或x >2; ③f ′(x )＝0时,x ＝－1或x ＝2. 则函数f (x )的大致图象是( )解析:选C 根据信息知,函数f (x )在(－1,2)上是增函数．在(－∞,－1),(2,＋∞)上是减函数,故选C.3．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0解析:选C ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3,∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0, 得x ＝0或x ＝1或x ＝－1,又当x <－1时,f ′(x )<0,当－1<x <0时,f ′(x )>0, 当0<x <1时,f ′(x )<0,当x >1时,f ′(x )>0, ∴x ＝0,1,－1都是f (x )的极值点．4．(2019·成都高三摸底测试)已知函数f (x )＝x 3－ax 在(－1,1)上单调递减,则实数a 的取值范围为( )A ．(1,＋∞)B ．[3,＋∞)C ．(－∞,1]D ．(－∞,3] 解析:选B ∵f (x )＝x 3－ax ,∴f ′(x )＝3x 2－a .又f (x )在(－1,1)上单调递减,∴3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立,∴a ≥3,故选B.5.(2019·赤峰模拟)设函数f (x )在定义域R 上可导,其导函数为f ′(x ),若函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析:选D 由题图可知,当x ＜－2时,f ′(x )＞0;当x ＝－2时,f ′(x )＝0;当－2＜x ＜1时,f ′(x )＜0;当1＜x ＜2时,f ′(x )＜0;当x ＝2时,f ′(x )＝0;当x ＞2时,f ′(x )＞0.由此可得函数f (x )在x ＝－2处取得极大值,在x ＝2处取得极小值．故选D.6．下列函数中,在(0,＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析:选B 对于A,f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4k π＋π4(k ∈Z);对于B,f ′(x )＝e x(x＋1),当x ∈(0,＋∞)时,f ′(x )>0,∴函数f (x )＝x e x 在(0,＋∞)上为增函数;对于C,f ′(x )＝3x 2－1,令f ′(x )>0,得x >33或x <－33,∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－33和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33＋∞上单调递增;对于D,f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ,令f ′(x )>0,得0<x <1, ∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述,应选B.7.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图,则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞,－2]B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫98＋∞ 解析:选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1,∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ,∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0,f ′(3)＝0,∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0,∴b ＝－32,c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6,y ′＝2x －94.当x ≥98时,y ′≥0,∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫98＋∞.故选D. 8．已知定义在R 上的函数f (x ),f (x )＋x ·f ′(x )<0,若a <b ,则一定有( ) A ．af (a )<bf (b )B ．af (b )<bf (a )C ．af (a )>bf (b )D ．af (b )>bf (a )解析:选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )<0, ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数,∵a <b ,∴af (a )>bf (b )．9．(2019·广州模拟)若函数f (x )＝e x(sin x ＋a cos x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4π2上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,1]B ．(－∞,1)C ．[1,＋∞)D ．(1,＋∞)解析:选A f ′(x )＝e x [sin x ＋cos x －a (sin x －cos x )],当a ＝0时,f ′(x )＝e x (sin x ＋cosx ),显然x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4π2,f ′(x )>0恒成立,排除C 、D;当a ＝1时,f ′(x )＝2e xcos x ,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4π2时,f ′(x )>0,故选A.10．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1,且f (x )的导函数f ′(x )>12,则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析:选B 令g (x )＝2f (x )－x －1,∵f ′(x )>12,∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0,∴g (x )为单调增函数,∵f (1)＝1,∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0,∴当x <1时,g (x )<0,即2f (x )<x ＋1,故选B.11．已知e 为自然对数的底数,设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2),则( ) A ．当k ＝1时,f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时,f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时,f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时,f (x )在x ＝1处取到极大值解析:选C 当k ＝1时,f (x )＝(e x －1)(x －1),0,1是函数f (x )的零点．当0<x <1时,f (x )＝(e x－1)(x －1)<0,当x >1时,f (x )＝(e x －1)(x －1)>0,1不会是极值点．当k ＝2时,f (x )＝(e x －1)(x －1)2,零点还是0,1,但是当0<x <1,x >1时,f (x )>0,由极值的概念,知选C.12．(2019·湖北咸宁重点高中联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1,a ＋1]上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4,＋∞)C ．(－∞,2)D ．(0,3]解析:选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ,∴f ′(x )＝x －9x (x >0),由x －9x ≤0,得0<x ≤3,∴f (x )在(0,3]上是减函数,则[a －1,a ＋1]⊆(0,3],∴a －1>0且a ＋1≤3,解得1<a ≤2.13．函数f (x )＝13x 3＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析:f ′(x )＝x 2＋2x －3,令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去),又f (0)＝－4,f (1)＝－173,f (2)＝－103,故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.答案:－17314．(2019·长治联考)定义在(0,＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1>0,f (1)＝6,则不等式f (lg x )<1lg x＋5的解集为________．解析:构造g (x )＝f (x )－1x －5,则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2f ′(x )＋1x 2>0,所以g (x )在(0,＋∞)上单调递增,∵f (1)＝6,∴g (1)＝0,故g (x )<0的解集为(0,1),即f (x )<1x ＋5的解集为(0,1),由0<lg x <1,得1<x <10,不等式的解集为(1,10)．答案:(1,10)15．已知函数f (x )＝e xx 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x ,若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点,则实数k 的取值范围为________．解析:f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x ＝(x －2)⎝⎛⎭⎫e xx －k x 2(x >0)．设g (x )＝e xx (x >0),则g ′(x )＝(x －1)e x x 2,∴g (x )在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0,＋∞)上有最小值,为g (1)＝e,结合g (x )＝e xx 与y ＝k 的图象可知,要满足题意,只需k ≤e.答案:(－∞,e]16．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2,且存在实数x 0,使得不等式2m －1≥g (x 0)成立,则实数m 的取值范围为________．解析:g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ,令x＝1,得g′(1)＝g′(1)－g(0)＋1,∴g(0)＝1,g(0)＝g′(1)e0－1＝1,∴g′(1)＝e,∴g(x)＝e x－x＋12x2,g′(x)＝e x－1＋x,当x<0时,g′(x)<0,当x>0时,g′(x)>0,∴当x＝0时,函数g(x)取得最小值g(0)＝1. 根据题意得2m－1≥g(x)min＝1,∴m≥1.答案:[1,＋∞)。
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值
专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
处的切线方程为y= x+b(其中a,b∈R,e是自然对数的底数),则
3
27e
f(x)在区间[-3,3]上的最大值为
,最小值为 0
解析:由 f(x)=
得 f′(x)=
- -
( )
=
依题可得f′(1)= = ,所以a=3.
故 f(x)=
.
考点二
利用导数解决函数的最值问题
[例4] (2024·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=xln x-a(x-1),求函
数f(x)在区间[1,e]上的最小值.
解:f(x)=xln x-a(x-1),则f′(x)=ln x+1-a,
①当ea-1≤1,即a≤1时,x∈[1,e],
则f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,
解得 a> 或 a<- .
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
利用导数解决函数的极值问题
角度一
根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)(2024·重庆检测)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)
的图象如图所示,则(
)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确;
因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,
可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值
点,所以B错误,C正确,D错误.故选AC.
由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可
高三数学,理科一轮复习,课标通用 3-2,导数与函数的单调性,、极值、最值 ,课件
a －2<2<－1， 由Δ>0， g′－2>0， g′－1>0，
－4<a<－2， a2－8>0， 得 6＋2a>0， 3＋a>0，
－4<a<－2， 即a>2 2或a<－2 2， a>－3
解得－3<a<－2 2，
即实数a的取值范围为(－3，－2 2)．
考点1
利用导数研究函数的单调性
函数的单调性与导数 在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于0.
增函数 ． f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________
减函数 ． f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________
(1)[教材习题改2，＋∞) ． ___________
(2)[教材习题改编]求f(x)＝x＋cos x， x∈R的单调区间．
解：f′(x)＝1－sin x≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 即(－∞，＋∞)是f(x)的单调递增区间．
导数符号与单调性． 已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值 [0,3] 范围为__________ ．
[题点发散1] －1)，如何求解？
在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(－2，
解：∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)， ∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.
[题点发散2]
在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)上存在
单调递减区间，如何求解？
第三章
导数及其应用
§3.2 导数与函数的单调性、极值、最 值
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数与函数的极值、最值》课件ppt
－ae，a≥e，
综上，g(a)＝－ln
a，1e<a<e，
2－ae，a≤1e.
思维升华
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对 参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值 为__1___.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值 都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ， 则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
知识梳理
2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 连续不断 的曲线，那么它 必有最大值和最小值. (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 极值 ； ②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值.
且极大值为 f －21a＝ln－21a－21a－1.
若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞) 上单调递增，无极值. 综上，当 a<0 时，f(x)的极大值为 ln－21a－21a－1，无极小值； 当a>0时，f(x)无极值.
命题点3 已知极值(点)求参数
D.－1
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
1．设f(x)为R 上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)<sin x的解集为 ________． 解析：令φ(x)＝f(x)－sin x，当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x<0，∴φ(x)在 [0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，∴φ(x)为R上的奇函数，∴φ(x)在 (－∞，0]上单调递减，故φ(x)在R 上单调递减且φ(0)＝0，不等式f(x)<sin x可化为 f(x)－sin x<0，即φ(x)<0，即φ(x)<φ(0)，故x>0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)
分别是________，g(x)在(1,2)上的最小值和最大值________．
[记结论] 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分 条件．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数 的最值点．
4 27
．若f(x)在(a－1，a＋3)上存在极大值，则a
的取值范围是________．
1．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数 为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必 须检验．
2．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)的图象关于直
考向1 根据函数图象判断函数极值
(2022·郑州模拟)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为
高考数学一轮复习第讲导数与函数的单调性极值最值课件文人教B版
考点突破 考点一 利用导数研究函数的单调性
【训练 1】(2015·嘉兴质检)已知函数 f(x)＝e2x－e1x－ax(a∈R)． (1)当 a＝32时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在[－1，1]上为单调函数，求实数 a 的取值范围．
∵函数f(x)在[－1，1]上为单调函数，
若函数f(x)在[－1，1]上单调递增，
则 a≤2t ＋1t 对 t∈1e，e恒成立，所以 a≤ 2；
若函数f(x)在[－1，1]上单调递减， 则 a≥2t ＋1t 对 t∈[1e，e]恒成立，所以 a≥e＋21e，
综上可得 a 的取值范围是(－∞， 2]∪e＋21e，＋∞.
考点突破 考点二 利用导数研究函数的极值
考点突破 考点三 利用导数研究函数的最值
【例 3】(2014·江西卷)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2) x， 其中 a＜0. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的单调递增区间； (2)若 f(x)在区间[1，4]上的最小值为 8，求 a 的值．
接上一页 f(x)在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，
考点突破 考点二 利用导数研究函数的极值
【例 2】(2014·重庆卷)已知函数 f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中 a∈R， 且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x. (1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
(2)由(1)知 f(x)＝x4＋45x－ln x－32， 则 f′(x)＝x2－44xx2－5. 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5. 因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.
导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
高三一轮复习函数的单调性ppt课件.ppt
高三总复习 数学 (大纲版)
[分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用函数单 调性的定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用； 对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适 当配凑，将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x) 的单调性来求解．
高三总复习 数学 (大纲版)
[例 1] 判断函数 f(x)＝x2a－x 1(a≠0)在区间(－1,1)上的 单调性．
高三总复习 数学 (大纲版)
[解] 解法 1：任取－1<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝ a((xx121x－2＋11)()x(22x－2－1x) 1).因为(x(1xx122－＋11))((xx222－－1x)1)>0，所以 a>0 时， 函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；a<0 时，函数 f(x)在(－1,1) 上单调递增．
高三总复习 数学 (大纲版)
2．若 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝x＋a 1在区间[1,2]上都是减
函数，则 a 的取值范围是
()
A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]
高三总复习 数学 (大纲版)
解析：由 f(x)＝－x2＋2ax 得对称轴为 x＝a，且在[1,2] 上是减函数，所以 a≤1.
解析：函数y＝ax－1和y＝logax在公共定义域内具有相 同的单调性，在[1,2]区间上的最值对应着函数的最值，故 (a1－1＋loga1)＋(a2－1＋loga2)＝1＋a＋loga2＝a，可得loga2 ＝－1，求得
高三总复习 数学 (大纲版)
4．如果二次函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 在区间(12，1) 上是增函数，求 f(2)的取值范围．
2025届高中数学一轮复习课件《导数与函数的单调性》ppt
高考一轮总复习•数学
(3)f′(x)＝2e2x－2e＝2e(e2x－1－1)， 求导后，解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0，得单调区间． 令 f′(x)＝0，解得 x＝12， x，f′(x)，f(x)的变化如下：
第17页
高考一轮总复习•数学
x
－∞，12
1 2
12，＋∞
f′(x)
－
0
高考一轮总复习•数学
第13页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
题型 简单函数的单调性问题
典例 1 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x＋2 1－x；
(2)f(x)＝2＋sincoxs
； x
(3)f(x)＝e2x－e(2x＋1)．
第14页
高考一轮总复习•数学
第15页
解：(1)f(x)的定义域为{x|x≤1}，
解析
高考一轮总复习•数学
第11页
3．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是____3____．
解析：f′(x)＝3x2－a，由结论 1 知 f′(x)≥0，即 a≤3x2， 又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即 a 的最大值是 3.
高考一轮总复习•数学
第12页
4．已知函数 f(x)＝x2(x－a)． (1)若 f(x)在(2,3)上单调，则实数
解析
高考一轮总复习•数学
第22页
题型 含参函数单调性的讨论 典例 2 已知函数 g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x.若 a＞0，试讨论函数 g(x)的单调性．
解：因为 g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x， 所以 g′(x)＝2ax2－2ax＋1x＋1＝2ax－1xx－1. 这样一来，使问题转化为含参二次不等式的解法，如果本题没有 a＞0 这个限制条件， 那么对 a 怎样分类讨论呢？一方面讨论 a 和 0 的大小，另一方面讨论21a和 1 的大小. 两方面 应兼顾． 由题意知函数 g(x)的定义域为(0，＋∞)，