测不准关系理论推导
15-5 测不准关系
15.5 测不准关系
15章 第15章 量子物理基础
海森堡严格的理论给出光子坐标与动量的测不 准关系为
h ∆ x∆ p x ≥ 2
h ∆y∆p y ≥ 2
h ∆ z∆ p z ≥ 2
h h= = 1.0545887 × 10 −34 J ⋅ s 2π
或：
∆ x∆ p x ≥ h
∆ y∆ p y ≥ h ∆ z∆ p z ≥ h
15.5 测不准关系
15章 第15章 量子物理基础
例15.13 假定原子中的电子在某激发态的平均寿 τ = 10−8 s ，该激发态的能级宽度是多少？ 该激发态的能级宽度是多少？ 命 解：
1.05 ×10 ∆E ≥ = −8 τ 10 h
−34
= 1.05 × 10
−26
J = 6.6 × 10 eV
15.5 测不准关系 用电子衍射说明测不准关系 电子经过缝时的位置 电子经过缝时的位置 不确定 ∆x = b . 一级最小衍射角
15章 第15章 量子物理基础
x
b p=h λ
ϕ
sin ϕ = λ b
λ
b
y
o
电子经过缝后 x 方向 动量不确定
p=h λ
∆p x = p sin ϕ = p
h ∆ห้องสมุดไป่ตู้ x = b
−8
当原子从激发态向基态跃迁时， 当原子从激发态向基态跃迁时，由于能级有一 定的宽度，则光谱线也有一定的宽度， 定的宽度，则光谱线也有一定的宽度，称为自然宽 反过来， 度.反过来，根据谱线的自然宽度可以确定原子在激 发态的平均寿命. 发态的平均寿命.
15.5 测不准关系
15章 第15章 量子物理基础
h λ= p
§6.10测不准原理及其证明
t0 t 的范围之内，可以规定从t0 - t~ t0+ t为h(t)的持
续时间。
同理，若 H( j ) Fh( t ) 的中心值位于 0 ，且信号的
能量主要集中于 0 的范围内，可以规定从 0 ~ 0为带宽B。
借助二阶矩的概念表示信号的能量分布，并规定：
1
1
t
t
t
0
2
h2
图示
t
g(t)=
h
d
1
延迟=t0
0 h(t)
上升时间
2t
h(t0)
延迟=t0
0
持续时间
2t
t
t
返回
注意
1）这里的 t 、 都是相对于t0 、 0的单边增量值，
如果求双边差值，此时下限应为2，
2t 2 4t 2
若将角频率更换为频率值，此下限对单边、双边情 况分别为 1 或 1 。
4 2）上述测不准原理也称为加博关系式。
3）事实上，任何成对矛盾量之间，均符合测不准原理。
其中一个测量越精确，另一个量的误差就越大。 返回
§6.10 测不准原理及其证明
一．问题的引出 二、测不准原理的推证
返回
一．问题的引出
在第五章中，我们讨论理想低通滤波器的阶跃响应时得 到：响应上升时间tr与系统带宽B之间存在一种约束关系， 即： tr B=1（常数）。
从这里可以看出，系统在时域的分辩能力与频域的分辩能 力之间存在着相互制约的关系，即：若要减少tr则须以加大B为 代价；若要减小B 则须要以牺牲tr 为代价。
2 H
j
2
d
2
H j 2 d
由傅氏变换微分特性可得： F jh' t H j
从认识论角度理解量子力学中测不准关系
从认识论角度理解量子力学中测不准关系测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”，由海森伯在1927 年率先提出, 经历了大半个世纪争论，近30年来才逐渐取得一致, 成为量子力学的重要内容。
量子力学是现代物理学的理论支柱之一, 被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。
这一原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。
测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数 2（π2h = ，其中h 是普朗克常数）是德国物理学家海森伯在1927年首先提出的，用公式表示可有：2 ≥∆∆x p x ，2 ≥∆∆y p y ，2 ≥∆∆z p z ，2 ≥∆∆t E ，该原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。
测不准关系中所说的测得精确和不精确是指对一个粒子的单次测量结果，还是指对一个粒子系统各成员的测量结果的统计分布？或者是对一个粒子的多次测量结果的统计分布？首先，从海森堡提出的各种论据来看，他的论点是把这些测不准量解释为属于一个粒子单次测量的结果，而不是作为测量粒子系综各成员的位置或动量时所得结果的统计分布，并认为测不准关系给出了单次测量中对两个力学量同时进行测量所可能达到的精确度的限制。
雅默把这种来源于海森堡的思想实验的关于测不准关系的同时测量的解释称为非统计解释。
罗伯逊对于测不准关系的证明，则是根据量子力学的基本假设严格导出的，并被多数物理学家认同。
这种证明实际上可以说明：测不准关系对于电子系综是成立的，对于单个电子多次测量的结果也适用，但对于单个电子一次测量的结果是不适用的。
从海森堡最初提出测不准关系的各种论据来看，他的论点是把测不准的原因归结为在单次测量中被测量的微观系统所受到的不可控制的扰动。
这样的看法实际上认定，在系统被测量之前，各种力学量都是有确定值的，只是在测量时受到了干扰才使他们变得不确定了。
量子力学中的测不准关系
量子力学中的测不准关系量子力学是研究微观世界的物理学分支，它的出现彻底改变了我们对于自然界的理解。
在量子力学中，测量是一个核心概念，而测不准关系则是量子力学中重要的原理之一。
本文将探讨量子力学中的测不准关系，并解释其背后的物理原理。
一、测不准关系的定义在量子力学中，测不准关系也被称为海森堡不确定关系，它由物理学家维尔纳·海森堡于1927年提出。
测不准关系指的是当我们试图同时测量一个粒子的位置和动量时，无法同时获得它们的精确值，而只能得到一个不确定的范围。
换句话说，我们无法同时获得一个粒子的位置和动量的确切数值。
二、海森堡不确定原理为了更好地理解测不准关系，我们需要了解海森堡不确定原理。
海森堡不确定原理可以分为位置-动量不确定关系和能量-时间不确定关系两个方面。
1. 位置-动量不确定关系根据位置-动量不确定关系，我们无法准确地同时知道一个粒子的位置和动量，其原理可以用数学表达式来描述：Δx·Δp ≥ h/(4π)其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式告诉我们，当我们试图减小位置的不确定度时，动量的不确定度就会增加，反之亦然。
也就是说，如果我们越来越精确地知道一个粒子的位置，我们就越来越不确定它的动量，反之亦然。
2. 能量-时间不确定关系能量-时间不确定关系是海森堡不确定原理的另一个方面。
根据能量-时间不确定关系，我们无法准确地同时知道一个量子态的能量和持续时间，其原理可以用数学表达式来描述：ΔE·Δt ≥ h/(4π)其中，ΔE表示能量的不确定度，Δt表示时间的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式告诉我们，当我们试图减小能量的不确定度时，时间的不确定度就会增加，反之亦然。
也就是说，如果我们越来越精确地知道一个量子态的能量，我们就越来越不确定它的持续时间，反之亦然。
三、测不准关系的物理解释量子力学中的测不准关系并非是由于我们的测量工具或者技术的限制，而是与量子粒子的本质有关。
海德堡测不准原理
海德堡测不准原理海德堡测不准原理，又称海森堡测不准原理或海森堡测不准关系，是量子力学的一个基本原理，也是量子世界中一项重要的不确定性原理。
该原理由德国物理学家马克斯·波恩和沃纳·海森堡在1927年提出，它揭示了在微观世界中，同时准确确定粒子的位置和动量是不可能的。
海德堡测不准原理的内容可以用简单的数学公式表示为：Δx * Δp ≥ℏ/2其中，Δx是粒子的位置不确定性，Δp是粒子的动量不确定性，ℏ是普朗克常数的约化普朗克常数，约等于1.0545718×10^-34J·s。
这个公式表明了粒子的位置和动量之间存在一个最小不确定性，无论我们使用多么精密的测量仪器，都无法同时测量出粒子的位置和动量的精确数值。
换句话说，海德堡测不准原理告诉我们，当我们试图更精确地测量粒子的位置时，粒子的动量就会变得更加不确定，反之亦然。
这意味着在微观世界中，我们无法同时知道粒子的精确位置和动量，我们只能通过概率的方法来描述粒子的运动状态。
海德堡测不准原理的重要性不仅在于它揭示了微观世界中的不确定性，更在于它对量子力学的基本概念和理论体系产生了深远的影响。
首先，它对于测量过程的影响是十分深刻的。
在测量一个粒子的位置或动量时，测量仪器本身也是一个与粒子相互作用的量子系统，因此测量的过程会对粒子的位置和动量产生干扰，从而使得测量结果变得更加不确定。
其次，海德堡测不准原理也对于量子力学中的态描述和演化产生了深远的影响。
在量子力学中，波函数可以描述粒子的位置和动量的概率分布，海德堡测不准原理确立了不确定性的概念，从而为波函数的物理意义提供了重要的依据。
海德堡测不准原理的实际应用也十分广泛。
在现代物理学和工程技术中，海德堡测不准原理不仅被应用于理论探讨，还广泛应用于各种量子器件的设计与制造中。
例如在原子钟、激光技术、半导体器件等领域，海德堡测不准原理的不确定性影响是不可忽视的，并且需要通过精密的实验设计和工程技术来加以解决。
测不准关系
x
h p
phh p
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：
px x h
经严格证明此式应为：
px x 2 py y 2 pzz 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
测不准关系式的理解
1. 用经典物理学量——动量、坐标来描写微观粒子 行为时将会受到一定的限制 。
107 m s1 vx 106 m s1
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。
1932诺贝尔物理学奖
• W.海森堡 • 创立量子力学，
并导致氢的同素 异形的发现
问题？ 1. 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？
例 m 102 kg 的乒乓球 , 其直径 d 5cm vx 200m s1，若 x 106 m, 可以认为其位
置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？
2. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典 力学来描写还是用量子力学来描写。
3. 对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均 时间Δt 之间也有下面的测不准关系：
Et 2
Et 2
原子处于激发态的平均寿命一般为 t 108 s
于是激发态能级的宽度为：
E 1026 J 2t
13-6 测不准关系
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率 波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。
x
电子束
a缝
屏
2
幕
衍射图样
X方向电子的位置不准确量为： x a
x
x a
屏
电子束
a缝
2 px
X方向的分动量px的测不准量为：
量子力学中的测不准关系
量子力学中的测不准关系量子力学是研究微观世界的基本物理理论，它描述了微观粒子的行为和性质。
而测不准关系是量子力学中的一个重要概念，它揭示了在测量某个物理量时的固有不确定性。
本文将介绍测不准关系的基本原理、相关数学表达式以及其在现实世界中的应用。
测不准关系的基本原理可以追溯到1927年由维尔纳·海森堡所提出的海森堡不确定性原理。
该原理指出，在任何时刻，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这意味着，如果我们试图确定粒子的位置，那么它的动量就将变得模糊不清；反之，如果我们试图确定其动量，其位置也将变得不确定。
换句话说，存在一个固有的不确定度，限制了我们在同一时间测量多个相关物理量的精确性。
测不准关系可以用数学表达式来描述。
以位置(x)和动量(p)的测量为例，海森堡不确定性原理给出了以下数学关系：Δx × Δp ≥ ħ/2其中，Δx代表位置的不确定度，Δp代表动量的不确定度，ħ是普朗克常量的约化值。
这个关系的意义是，位置和动量的不确定度的乘积不能小于普朗克常量的一半。
这说明了在微观尺度上，我们无法同时精确测量位置和动量。
值得一提的是，测不准关系并不是由于观测方法或仪器的限制，而是与量子粒子的本质有关。
这是因为在测量时，我们必须使用光子或其他粒子与被测系统相互作用，而这种相互作用必然会对被测系统的状态产生不可忽视的影响。
因此，测不准关系实际上揭示了微观粒子的固有性质。
测不准关系在实际应用中具有重要意义。
首先，它对于狭义相对论与量子力学的统一提供了重要的线索。
狭义相对论描述了高速运动下的物体，量子力学描述了微观尺度的物体。
然而，这两个理论之间的矛盾问题一直困扰着物理学家。
通过引入测不准关系，我们可以看到，测量的不确定性与时空观念的相对性密切相关，这为两个理论的统一提供了可能性。
其次，测不准关系在量子信息科学、量子计算和量子通信等领域也有广泛应用。
在量子计算中，信息的存储和处理是通过量子比特来实现的。
高二物理竞赛课件：坐标和动量的测不准关系+
Lx 2 Lˆ y 2
Lˆ x 2
Lˆ y 2
1 [l(l 2
1)
m 2 ]2
则测不准关系：
（Lx )2
Lx 2
2
Lx
Lx 2
（Ly )2
Ly 2
2
Ly
Ly 2
（Lx
)2
•（Ly
)2
1 [(l(l 4
1)
m 2 ]2 4
定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学
量
算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
0 x
n * x ndx
Nn2
xe 2 x2 H n2 (x)dx
p
n *
pˆ ndx i
n
*
x
dx
被积函数是x 的 奇函数
处 n =0
i n * n
|
i
n
x
* dx
i
n
x
* dx i
n
*
x
dx
p
n 为实
p0
于是：
x 2 (x)2 p2 (p)2
Lˆ x2 Lˆ y2 Lˆz2 Lˆ2 Lˆ x2 Lˆ y2 Lˆ2 Lˆz2
将上式两边在 Ylm 态下求平均：
Yl*m ( Lˆ x 2 Lˆ y 2 )Ylmd Yl*m ( Lˆ2 Lˆ z 2 )Ylmd
Lˆ x 2 Lˆ y 2 [l(l 1)2 m22 ] Yl*mYlmd
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
例 2： 氢原子，完全确定其状态也 需要三个两两对易的力学量：
pˆ x , pˆ y , pˆ z . Hˆ , Lˆ2 , Lˆz .
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课程论文
学院：物理电子工程学院
专业：物理学
年级： 2012级物理学班
*名：***
论文题目：测不准关系的理论推导成绩：
2016 年 1 月 2 日
目录
摘要 (1)
Abstract (1)
1.引言 (1)
2.历史发展 (1)
3.测不准关系实验验证 (3)
4.相关质疑 (3)
5.意义 (4)
5.1理论意义 (4)
5.2现实意义 (4)
6.总结 (4)
参考文献 (4)
测不准关系的理论推导
学生姓名：李赵坤学号：20125041015
学院：物理电子工程学院专业：物理学
摘要：在量子力学里，测不准关系表明，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性与动量的不确定性遵守不等式。
一个微观粒子的某些物理量，如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。
关键词：波粒二象性，不确定原理
1引言
测不准原理，又称“不确定性原理”、“不确定关系”，是量子力学中的一个重要关系，也是一个相当深奥的问题[1]。
表明粒子的位置与动量不可同时被确定，它反映了微观客体的特征。
即一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值。
例如位置与动量、力一位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。
它来源于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。
2历史发展
1900年普朗克为了解释黑体辐射的实验规律提出能量量子化的概念；1905年爱因斯坦为了解释光电效应引入光子的概念；1913年玻尔提出的氢原子理论中运用光子概念构造了频率条件；1923年，德布罗意提出物质波假设：实物粒子与光相似，也具有波粒二象性。
1925年6月，维尔纳·海森堡发表论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》创立了矩阵力学。
旧量子论渐渐式微，现代量子力学正式开启[2]。
海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观察到的物理量才具有物理意义，才可以用理论描述其物理行为。
海森堡抓住云室实验中观察电子径迹的问题进行思考。
他试图用矩阵力学为电子径迹作出数学表述，意识到关键在于电子轨道的本身有问题。
人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴串形成的雾迹，所以人们也许只能观察到一系列电子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。
因此，在量子力学中，一个电子只能以一定的不确定性处于某一位置，同时也只能以一定的不确定性具有某一速度。
可以把这些不确定性限制在最小的范围内，但不能等于零。
据海森堡晚年回忆，爱因斯坦1926年的一次谈话启发了他。
爱因斯坦和海森伯讨论可不可以考虑电子轨道时，曾质问过海森堡：“难道说你是认真相信只有可观察量才应当进入物理理论吗？”对此海森堡答复说：“你处理相对论不正是这样的吗？你曾强调过绝对时间是不许可的，仅仅是因为绝对时间是不能被观察的。
”爱因斯坦承认这一点，但是又说：“在原则上试图单靠可观察量来建立理论，那是完全错误的。
实际上恰恰相反，是理论决定我们能够观察到的东西，只有理论，即只有关于自然规律的知识，才能使我们从感觉印象推论出基本现象。
”
因此，海森堡避开任何涉及粒子运动轨道的详细计算，例如，粒子随着时间而改变的确切运动位置。
因为，这运动轨道是无法直接观察到的。
替代地，他专注于研究电子跃迁时，所发射的光的离散频率和强度。
他计算出代表位置与动量的无限矩阵。
这些矩阵能够正确地预测电子跃迁所发射出光波的强度。
同年6月海森堡的上司马克斯·玻恩，在阅读了海森堡交给他发表的论文后，发觉了位置与动量无限矩阵有一个很显著的关系──它们不互相对易。
这关系称为正则对易关系，以方程表示为：
[] i
-
,, (1)
=
x=
p
px
xp
在他著名的1927年论文里，海森堡写出以下公式：
∆, (2)
∆
p
h
x≈
在海森堡的芝加哥讲义里，他又进一步改善了这关系式：
∆, (3)
∆
h
x≥
p
1927年厄尔·肯纳德首先证明了现代不等式：
按照肯纳德的表述，位置的不确定性与动量的不确定性是粒子的秉性，无法同时压抑至低于某极限关系式，与测量的动作无关。
其中，是位置标准差，是动量标准差，是约化普朗克常数。
这公式给出了任何位置测量所造成的最小无法避免的动量不确定值[3]。
3测不准关系实验验证
海森堡测不准原理是通过一些实验来论证的。
设想用一个γ射线显微镜来观察一个电子的坐标，因为γ射线显微镜的分辨本领受到波长λ的限制，光的波长λ越短，显微镜的分辨率越高，从而测定电子坐标不确定的程度△q就越小。
但另一方面，光照射到电子，可以看成是光量子和电子的碰撞，波长λ越短，光量子的动量就越大。
再比如，用将光照到一个粒子上的方式来测量一个粒子的位置和速度，一部分光波被此粒子散射开来，由此指明其位置。
但人们不可能将粒子的位置确定到比光的两个波峰之间的距离更小的程度，所以为了精确测定粒子的位置，必须用段波长的光。
量子会扰动粒子，并以一种不能预见的方式改变粒子的速度。
所以，位置要测得越准确，所需波长就要越短，单个量子的能量就越大，这样粒子的速度就被扰动得更厉害。
经过一番推理计算，海森堡得出：
海森堡写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。
于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。
”海森堡还通过对确定原子磁矩的斯特恩-盖拉赫实验的分析证明，原子穿过偏转所费的时间△T越长，能量测量中的不确定性△E 就越小。
再加上德布罗意关系，海森伯得到
并且作出结论：“能量的准确测定如何，只有靠相应的对时间的测不准量才能得到。
”
4相关质疑
随着时代的发展科技的进步，20世纪80年代以来，有声音开始指出测不准原理有一定不足。
日本名古屋大学教授小泽正直在2003年提出“小泽不等式”，认为“测不准原理”可能有其缺陷所在。
为此，其科研团队对与构成原子的中子“自转”倾向相关的两个值进行了精密测量，并成功测出超过所谓“极限”的两个值的精度，使得小泽不等式获得成立，同时也证明了与“测不准原理”之间存在的矛盾[4]。
5意义
5.1理论意义
该原理表明：一个微观粒子的某些物理量，如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。
测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数，h是普朗克常数，是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律——以共轭量为自变量的概率幅函数构成傅立叶变换对；以及量子力学的基本关系，是物理学中又一条重要原理。
5.2现实意义
这个概念的本意是：在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。
精确地知道其中一个变量的同时，必定会更不精确地知道另外一个变量。
这就有点像是这样的一个情况：我们可以从一个条件甲推导出结论乙，但是我们是否知道条件甲会影响到结论乙。
这种情况在恋爱中很常见，很多妻子都想考验一下自己的丈夫是否忠诚，但是经常会有这样一个结果，丈夫发现你在考验他以后就不爱你了。
这样我们就发现，如果假设妻子的考验丈夫一定会发现，且丈夫一定会生气，那么我们就发现，貌似没办法测试出丈夫是否会真心了，这种没法知道一个事情的情况，就是测不准原理。
6总结
测不准原理对我们的世界观有非常深远的影响。
直到50多年以后，仍然是许多争议的主题。
不确定性原理使拉普拉斯科学理论寿终正寝：如果人们甚至不能准确地测量宇宙的现在的态，就肯定不能准确地预言将来的事件了。
对于一些超自然的生物，存在一组完全地决定事件的定律，这些生物能够不干扰宇宙地观测它现在的状态。
20世纪20年代。
在不确定性原理的基础上，海森堡、厄文·薛定谔和保尔·狄拉克运用这种手段将力学重新表达成称为量子力学的新理论。
在此理论中，粒子不再有分别被很好定义的、能被同时观测的位置和速度，而代之以位置和速度的结合物的量子态。
参考文献：
[1] 黄湘友.不确定关系的经典类比[J].物理学报，1996，45(3)：353-359.
[2] 程守洙，江之永.普通物理学[M].北京：高等教育出版社，1998.
[3] 张三慧.大学物理学[M].北京：清华大学出版社，1996.
[4] 余虹.大学物理学[M].北京：科学出版社，2001.。