冀教版数学九年级上24.4《一元二次方程的应用》ppt课件2
A
例4、（1）如图，在△ABC中，∠B=90o。点P从 点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此 同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速 度移动。如果P、Q分别从A，B同时出发，经过 几秒，△ PBQ的面积等于8cm2 ？ 解：设经过x秒，得： BP=6-x，BQ=2x ∴（6-x）×2x÷2=8 ∵ S△PBQ=BP×BQ÷2 解得：x1=2，x2=4
2.3 一元二次方程的应用（2）
回顾： 列方程解应用题的基本步骤怎样？
（1）析： 分析题中的量，分清有哪些已知量、未知 量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相 等关系； （2）设：设元，包括设直接未知数或间接未知数； 用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量； （3）列： 列方程(一元二次方程)； （4）解： 解方程； （5）检验并作答： 注意根的准确性及是否符合实际意义。
(1)图中C表示什么?B表示什么?圆又表示什么? 轮船 台风中心 台风影响区域 (2)△ABC是什么三角形？能求出AC吗？ 直角三角形 AC=400km
C
A
(3)显然当轮船接到台风警报时, 没有受到台风影响，为什么？BC＞200km
B
例3、一轮船以30km/h的速度由西向东航行在途中接到 台风警报,台风中心正以20km/h的速度由南向北移动, 已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风 影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km.
A P 6cm C Q 8cm
B
例4、（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°， AB=6m，BC＝8m，点P、Q同时由A、B两点 出发，分别沿AC、BC方向向点C匀速移动 ，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的 面积为Rt△ACB面积的一半？
20 解：设道路宽为
(32 2 х) m，宽为 (20 2 х) m，由 (32 2 х)(20 2 х) 540
х m,则草坪的长为
32
题意得： 解得 （不合题意舍去） х1 1 х2 25
答：道路宽为1米。
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2 分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的 道理，把纵横两条路平移一下
例1： 如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长 方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后， 折成如图乙所示的无盖纸盒。若纸盒的底面 积是450cm2， 40cm 那么纸盒的高是多少？
25cm
解:设高为xcm,可列方程为 （40－2x)(25 -2x)=450
甲
解得x1=5, x2=27.5
经检验：x=27.5不符合实际，舍去。
假如轮船一直不改变航向或速度，从开始到结束影响的总时间
(3) 如何才能避免轮船不进入台风影响区？
改变航向或速度
（4）如果船速为10 km/h,结果将怎样?
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则令：
(400-10t)2+(300-20t)2=2002
化简，得：t2-40t+420=0
由于此方程无实数根 C ∴轮船继续航行不会受到台风的影响。 B
200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形
纸板的长与宽分别为多少cm？
5cm
例2、泉生中学为美化校园，准备在长32m，宽20m的长 方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草 坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为 540m2求出设计方案中道路的宽分别为多少米？
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2 长方形面积=长×宽
B
解答例3如下
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则令： (400-30t)2+(300-20t)2=2002 解得：t1≈8.35 t2≈19.34
问：(1) 这方程解得的t1,t2的实际意义是什么？ 轮船首次受到台风影响的时间和最后受到影响的时间 (2) 从t1,t2的值中，还可得到什么结论？
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的 扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计 算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径； 若不能符合条件，请说明理由.
练习3Βιβλιοθήκη 取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去
四个边长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖
的长方体形状的包装盒。要使包装盒的容积为
答：纸盒的高为5cm。
乙
练习1
小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板 的四周各剪去一个同样大小的正方形，再 折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求 长方体的底面面积为81平方厘米，那么长 方形盒子的高为多少？
练习2
将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建 成一个花园（阴影部分）所占的面积为原 来荒地面积的三分之二. （1）设计方案1（如图2）花园中修两 条互相垂直且宽度相等的小路.
х m，则草坪的长为
m，宽为 (20 х） m，由题意 (32 2 х）
(32 2 х)(20 х) 540
例3、一轮船以30km/h的速度由西向东航行在途中接到 台风警报,台风中心正以20km/h的速度由南向北移动, 已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风 影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km.
解：设道路的宽为 意得，
x 米，根据题
(20 x)
(32 x)
(32 x)(20 x) 540
化简，得
20
x 52 x 100 0 解得 x ＝2， x ＝50（不合题意舍去）
2
1 2
32
答：道路宽为2米。
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
20
32
解：设道路宽为 得：
(4) 船是否受到台风影响与什么有关?
船的航向，速度以及台风的 行进方向和速度
(5)在这现象中存在哪些变量? C
船、台风中心离A点的距离
A
B
(6)若设经过t小时后,轮船和台风中心位置分
别在B1和C1的位置那么如何表示B1C1？ B1C12=AC12+AB12 (7)当船与台风影响区接触时B1C1符合什么条件？ B1C1=200km （8）船会不会进入台风影 B1 C1 A 响区？如果你认为会进入， C1 C 那么从接到警报开始，经过 B1 多少时间就进入影响区？
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24.4一元二次方程的应用第1课时面积问题-冀教版九年级数学上册课件
邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.
x
分析：
封面
26
封面
x 18.5 1 18.5 x x
解：设正方形的边长为xcm，由题得 （26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260 整理，得x2+32x-68=0 解得，x1 2, x2 34（不合题意，舍去） 正方形的边长为 2cm.
2.如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm，在其四角
修建两条互相垂直且宽度相等的道路（与长方形边平行）， 余下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽.
方法一：
十字相 乘法
解得x1 2, x2 50（不合题意，舍去）
例2.如图，在一块长为32cm，宽为20cm的长方形土地上修
建两条互相垂直且宽度相等的道路（与长方形边平行），余 下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽度.
90
2 2
x
m
由题意得，x 90 2 x 700 2
方法二：设长方形与墙垂直的边为xm,则另一边为(90+2-2x)m
x·(90+2-2x)=700
例1.(变式三)如图，某学校要在校园墙边的空地上修建一个长方形
的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m）.存车处内修两条铁栏杆
（如图所示），另外三面也用铁栏杆围起来，已知铁栅栏共90m.如
冀教版九上
第二十四章 一元二次方程
24.4一元二次方程的应用 第一课时 面积问题
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
冀教版九上
学习目标
01能根据面积公式列一元二次方程解决实际问题， 并能根据问题的实际意义检验结果的合理性.
冀教版初中数学九年级上册一元二次方程PPT精品课件2
次项的是（D）
A.3x2-5=2x B.16x=9x2 C.x(x-7)=0 D.(x+5)(x-5)=0
3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。
另一个醉汉教他沿着门的对角线斜着拿竿，这个
醉汉一试不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多
长吗？请根据这一问题列出方程.并化为一般形式。
2.绿苑小区住宅设计，准备在毎两栋楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块 长方形绿地，并且长比宽多10米，那么 绿地的长和宽各为多少？列出方程，并 化成一般形式，指出它的二次项系数， 一次项系数和常数项.
3观察以下方程：①x2+x-2=0 ② 2x2-x-1=0 ③ 3x2-4x+1=0 ④ 4x2-7x+3=0
§24.1一元二次方程
生活中的数学
1.小丽比小亮大一岁，如果他 们年龄的乘积是210，那么小 丽和小亮分别是多少岁？如果 设小丽的年龄是x岁，如何列方 程？
生活中的数学
学校矩形足球场的面 积为6000m2，周长为 340m，求足球场的长 和宽？ 设足球场一边的长为xm,由足球场的 周长为340m,可知它的另一 边的长为（170-x) m ，由面积公式可 得方程为 X(170-x)=6000 。
4.开篇写 湘君眺 望洞庭 ，盼望 湘夫人 飘然而 降，却 始终不 见，因 而心中 充满愁 思。续 写沅湘 秋景， 秋风扬 波拂叶 ，画面 壮阔而 凄清。
5.以景物 衬托情 思，以 幻境刻 画心理 ，尤其 动人。 凄清、 冷落的 景色， 衬托出 人物的 惆怅、 幽怨之 情，并 为全诗 定下了 哀怨不 已的感 情基调 。
8.只要我们用心去聆听，用情去触摸 ，你终 会感受 到生命 的鲜活 ，人性 的光辉 ，智慧 的温暖 。
A.3x2-5=2x B.16x=9x2 C.x(x-7)=0 D.(x+5)(x-5)=0
3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。
另一个醉汉教他沿着门的对角线斜着拿竿，这个
醉汉一试不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多
长吗？请根据这一问题列出方程.并化为一般形式。
2.绿苑小区住宅设计，准备在毎两栋楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块 长方形绿地，并且长比宽多10米，那么 绿地的长和宽各为多少？列出方程，并 化成一般形式，指出它的二次项系数， 一次项系数和常数项.
3观察以下方程：①x2+x-2=0 ② 2x2-x-1=0 ③ 3x2-4x+1=0 ④ 4x2-7x+3=0
§24.1一元二次方程
生活中的数学
1.小丽比小亮大一岁，如果他 们年龄的乘积是210，那么小 丽和小亮分别是多少岁？如果 设小丽的年龄是x岁，如何列方 程？
生活中的数学
学校矩形足球场的面 积为6000m2，周长为 340m，求足球场的长 和宽？ 设足球场一边的长为xm,由足球场的 周长为340m,可知它的另一 边的长为（170-x) m ，由面积公式可 得方程为 X(170-x)=6000 。
4.开篇写 湘君眺 望洞庭 ，盼望 湘夫人 飘然而 降，却 始终不 见，因 而心中 充满愁 思。续 写沅湘 秋景， 秋风扬 波拂叶 ，画面 壮阔而 凄清。
5.以景物 衬托情 思，以 幻境刻 画心理 ，尤其 动人。 凄清、 冷落的 景色， 衬托出 人物的 惆怅、 幽怨之 情，并 为全诗 定下了 哀怨不 已的感 情基调 。
8.只要我们用心去聆听，用情去触摸 ，你终 会感受 到生命 的鲜活 ，人性 的光辉 ，智慧 的温暖 。
冀教版初中九年级上册数学课件 《一元二次方程的应用》PPT(第3课时)
化简整理得 x2-5x+6=0，
解得 x1=3，x2=2. 所以这个两位数是32或23.
3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 21次，求参加聚会的人数.
解：设参加聚会的人数有x人
xx 1 21
2 解得：x1=7，x2=-6(舍去)
答：参加聚会的人数为7人.
课堂小结
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用 题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注 意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般 有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要 求．
2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把 这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的 积为736，求原数.
解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为(5-x),则原 数表示为[10(5-x)+x],对调后新数表示为[10x+(5-x)], 根 据题意列方程得
[10(5-x)+x] [10x+(5-x)]=736.
问题2怎样用一元二次方程解决百分率问题？
讲授新课
一 列一元二次方程解决其他问题
问题引导
问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为___x_+_2_，__x_+_4___。
问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n， 其余的为__________n_+_2_，__n_+__1_，__n_-1_，。n-2
问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，
则这个两位是。
10a+b
问题4：一个三位数，百位x，十位y，个位z，
表示为。
100x+10y+z
24.4 一元二次方程的应用 - 第2课时课件(共14张PPT)
巩固练习
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300 千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 .
解：（1）设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （不合题意，舍去）∴平均每次下调的百分率为20%;
（2）小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.
300(1＋x)2＝363
B
3.上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大?
解：设甲商场的月平均上升率为x.则依题意得：解得 x1=0.1，x2=-2.1 (不合题意，舍去). ∴x=0.1=10%.设乙商场的月平均上升率为y.则依题意得：200（1+y）2=288解得:y1=0.2，y2=-2.2(不合题意，舍去).∴y=0.2=20%.∵0.1＜0.2，∴乙商场的月平均上升率较大.
18
3
3.6
21.6
15×（1+x）2=21.6
解方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）答：年增长率为20%.
例
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300 千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 .
解：（1）设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （不合题意，舍去）∴平均每次下调的百分率为20%;
（2）小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.
300(1＋x)2＝363
B
3.上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大?
解：设甲商场的月平均上升率为x.则依题意得：解得 x1=0.1，x2=-2.1 (不合题意，舍去). ∴x=0.1=10%.设乙商场的月平均上升率为y.则依题意得：200（1+y）2=288解得:y1=0.2，y2=-2.2(不合题意，舍去).∴y=0.2=20%.∵0.1＜0.2，∴乙商场的月平均上升率较大.
18
3
3.6
21.6
15×（1+x）2=21.6
解方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）答：年增长率为20%.
例
冀教版九年级数学上册《一元二次方程的应用》PPT教学课件
所以2x＝2×14＝28.
答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积
是288 m2.
6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路
（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540
平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得
到图2，则宽为(20-x)米，长为
24.4 一元二次方程的应用
第1课时
学习目标
1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识
方程模型的重要性.（难点）.
2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二
次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点）
新课导入
复习交流
（1）列方程解应用题有哪些步骤？
①审题； ②设出未知数；
③列方程；④解方程；
张长方形包书纸如图所示,它的面积为1260 cm2,虚线表示的是
折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正
方形.求正方形的边长.
思考:
(1)本题中有哪些数量关系?
包书纸的长×宽=1260.
(2)包装纸的长和宽如何用正方形的边长 表示?
包装纸的长=书宽+厚1 cm+2，包装纸的宽=书
长+2 .
解:设正方形的边长为 cm,
根据题意,得
(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得1 = 2, 2 = −34(不合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
例3 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上
⑤检验方程的解是否符合实际意义；
答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积
是288 m2.
6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路
（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540
平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得
到图2，则宽为(20-x)米，长为
24.4 一元二次方程的应用
第1课时
学习目标
1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识
方程模型的重要性.（难点）.
2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二
次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点）
新课导入
复习交流
（1）列方程解应用题有哪些步骤？
①审题； ②设出未知数；
③列方程；④解方程；
张长方形包书纸如图所示,它的面积为1260 cm2,虚线表示的是
折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正
方形.求正方形的边长.
思考:
(1)本题中有哪些数量关系?
包书纸的长×宽=1260.
(2)包装纸的长和宽如何用正方形的边长 表示?
包装纸的长=书宽+厚1 cm+2，包装纸的宽=书
长+2 .
解:设正方形的边长为 cm,
根据题意,得
(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得1 = 2, 2 = −34(不合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
例3 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上
⑤检验方程的解是否符合实际意义；
《一元二次方程》课件2(47页)(冀教版九年级上)
解：（1） (3x 3) 2 27（用直接开平方法）
3x 3 3 3
3x 3 3 3 或
x1
4 3
3，x2
2 3
3
3x 3 3 3
（2） (x 4)(x 4) 12 （用直接开平方法）
解：x 2 16 12 x 2 28 x1 2 7，x2 2 7
把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程
一元二次方程的定义
一
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
元 二
直接开平方法：适应于形如（x-k）²=h（h>0）型
次 方 程
一元二次方程的解法 配方法： 适应于任何一个一元二次方程 公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，
（2）(3x2-5x-1) – (2x2-4x-7)
= 3x2-5x-1– 2x2 + 4x+ 7
= x2-x+6
=（x 1）2 23
24
∵x不论为何实数，（x
1 ）2
总是非负数
∴
（x
1 ）2 2
23 4
>0
2
解答以下各题
若最简二次根式 x2 4x与 x 18 是被开方 数相同的，则x的值为多少？
右边是0的方程
一元二次方程的应用
一.一元二次方程的有关概念：
1、一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程 （quadric equation with one unknown）。
一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)
24.4 第2课时 增长率问题-2020秋冀教版九年级数学上册课件(共16张PPT)
课程讲授
1 平均增长率（或降低率）问题
平均增长率（或降低率）问题： 增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模
式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的 是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可 表示为___a_(_1_±__x_)_n=__b____(其中增长取“+”,降低取 “－”).
课程讲授
1 平均增长率（或降低率）问题
练一练：某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计 2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长
率.设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（A
） A.80（1+x）2=100 B.100（1-x）2=80 C.80（1+2x）=100 D.80（1+x2）=100
课程讲授
1 平均增长率（或降低率）问题
问题1：随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收 入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某 市交通部门统计，2010年底，该市汽车保有量为15万辆， 截至2012年底，汽车保有量已达21.6万辆．若该市这两 年汽车保有量增长率相同，求这个增长率.
课程讲授
2.政府近几年下大力气降低药品价格，希望使广大人民群 众看得起病吃得起药.某种针剂的单价由100元经过两次降
价，降至64元，则平均每次降低的百分率是( C )
A.36% B.64% C.20% D.40%
随堂练习
3.据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分 有限，2017年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了. 假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的
课程讲授
1 平均增长率（或降低率）问题
分析：问题中的等量关系为：总费用=建设费用+内部设备费用. 只要把建设费用和内部设备费用用x表示出来就可以了.由题意，得 建设费用为_____0_.6_(_x_+_2_)___，内部设备费用为____2_x_2________.再根 据等量关系建立方程即可.
冀教版九年级数学上册第二十四章《解一元二次方程》PPT课件
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
特点：
1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2
（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合 理的名字吗？
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
定义,可解得 x1 a, x2 a ，这种解一元二次方程
的方法叫做直接开平方法.
2.像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平 方式后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半 的平方.
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
ax2 bx c 0 （a≠0）
讲授新课
一 直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解 得 x1 a, x2 a , 这种解一元二次方程的方法叫做直接 开平方法.
问题
方程 x2 0.25的根是
方程 2x2 18 的根是
方程 (2x 1)2 9 的根是
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
典例精析
例 用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-1=0;
(2)2x2-3x-1=0.
解： （1）移项，得x2 4x 1.
x2 2 2x 22 1 4， 即（x 2）2 5. 开平方，得x -1 5. x1 1 5，x2 1 5.
x1=
x2=
1.从两根的代数式结构上有什么特点？
冀教版数学九上24.4《一元二次方程的应用》ppt教学课件(共19张PPT)
2
? 2 ? 100 2 ? 100?海里?.
2
? 小岛D和小岛F相距100海里.
A
北
东
D
B
C
EF
例题欣赏 ?
行家看门道
? 解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海
里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
? 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
解:设甲
,乙相遇时所用时间为 x,根据题意
(7x-10)2=(3x)2 +102.
A
,得
乙:3x
C
整理得 :2x2-7x=0.
10
解这个方程 ,得
∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去). B
7x甲:10
∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7 ×3.5=24.5.
答:甲走了 24.5走,乙走了 10.5走.
动脑筋
争先赛
? 2.绿苑小区住宅设计 ,准备在每两幢楼房之间 , 开辟面积为 900平方米的一块长方形绿地 ,并且
F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向 .一艘军舰沿
A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从 D出发,沿
南偏西方向匀速直线航行 ,欲将一批物品送达军舰 .
A
北
? (1).小岛D与小岛F相距多少海里 ?
东
? (2).已知军舰的速度是补给船的 2
D
倍,军舰在由 B到C的途中与补给船
相遇于 E处,那么相遇时补给船航行
?老师提示:
?1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解 ,而右 边等于零 ;
?2. 关键是熟练掌握因式分解的知识 ; ?3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零 ,那么至少 有一个因式等于零 .”
? 2 ? 100 2 ? 100?海里?.
2
? 小岛D和小岛F相距100海里.
A
北
东
D
B
C
EF
例题欣赏 ?
行家看门道
? 解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海
里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
? 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
解:设甲
,乙相遇时所用时间为 x,根据题意
(7x-10)2=(3x)2 +102.
A
,得
乙:3x
C
整理得 :2x2-7x=0.
10
解这个方程 ,得
∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去). B
7x甲:10
∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7 ×3.5=24.5.
答:甲走了 24.5走,乙走了 10.5走.
动脑筋
争先赛
? 2.绿苑小区住宅设计 ,准备在每两幢楼房之间 , 开辟面积为 900平方米的一块长方形绿地 ,并且
F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向 .一艘军舰沿
A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从 D出发,沿
南偏西方向匀速直线航行 ,欲将一批物品送达军舰 .
A
北
? (1).小岛D与小岛F相距多少海里 ?
东
? (2).已知军舰的速度是补给船的 2
D
倍,军舰在由 B到C的途中与补给船
相遇于 E处,那么相遇时补给船航行
?老师提示:
?1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解 ,而右 边等于零 ;
?2. 关键是熟练掌握因式分解的知识 ; ?3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零 ,那么至少 有一个因式等于零 .”
冀教版九年级数学上《一元二次方程》PPT课件
感悟新知
例 3 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
知3－练
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解： －1，2.
感悟新知
归纳
知3－讲
检验一个数是否为方程的解或根，只要把这个 数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否 相等．在找解时注意使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值不一定只有一个．
感悟新知
知1－讲
如图，一个长为离为8 m. 如果梯子的顶端沿 墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距 离是多少米？
如果设梯子的底端 B在地面上滑动的距离 为xm，请列出方程， 并谈谈所列方程的特征.
感悟新知
在上面的问题中，我们得到方程： x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0， x2 ＋12x－15=0.
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0，
x2 ＋12x－15=0.
它们都是关于未知数x的整式方程，且x的最高
次数都为2. 像这样，只含有一个未知数，并且未
知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方
程(quadratic equation in one variable).
＝1－ac，N＝(ax0＋1)2，则M与N的大小关系
正确的为( B )
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不确定
点拨：把x0代入方程ax2＋2x＋c＝0得ax02＋2x0＝－c，
再利用作差法比较可得．
类型 5 利用一元二次方程的根的定义解决探究性问题