7.1简单几何体的面积
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侧面积蔺
h为_高___
正棱锥 正棱台
S正棱锥侧=__12__c_h′___ c为底面__周__长__ h′为__斜__高__，即侧 面等腰三角形的高
S正棱台侧=_12_(_c_+_c_′__)h_′_ c′为上底面_周__长__ c为下底面__周__长__ h′为__斜__高__，即侧 面等腰梯形的高
不论做什么，请记住我的格言：笑容是良药， 音乐是秘方，睡觉则可以让你忘掉一切.祝天天快 乐！
活动2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一条侧棱 展开，分别得到什么图形？侧面积是多少？
类比圆柱、圆 锥、圆台！
h
db
a
h
h
a
b
d
h' h'
其中c为底面周长，h为斜高， 即侧面等腰三角形的高.
C′ h' h'
C
其中c,c分别为上、下底面周长, h为斜高，即侧面等腰梯形的高.
A1
O1 C1
B1
D1
C
A O ED
B
1．(2014·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边
所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积
是( C )
A.4π
B.8π
C.2π
D.π
2.正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成
一个小棱锥和一个棱台，则棱台的侧面积为___4_5__.
简单几何体的侧面积
§7 简单几何体的再认识
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
1．掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.(重点) 2．能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积,熟悉 柱体与锥体、台体之间的转换关系.(难点)
课堂活动1
正棱锥 正棱台
S正棱锥侧=__12__c_h′___ c为底面__周__长__ h′为__斜__高__，即侧 面等腰三角形的高
S正棱台侧=_12_(_c_+_c_′__)h_′_ c′为上底面_周__长__ c为下底面__周__长__ h′为__斜__高__，即侧 面等腰梯形的高
不论做什么，请记住我的格言：笑容是良药， 音乐是秘方，睡觉则可以让你忘掉一切.祝天天快 乐！
活动2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一条侧棱 展开，分别得到什么图形？侧面积是多少？
类比圆柱、圆 锥、圆台！
h
db
a
h
h
a
b
d
h' h'
其中c为底面周长，h为斜高， 即侧面等腰三角形的高.
C′ h' h'
C
其中c,c分别为上、下底面周长, h为斜高，即侧面等腰梯形的高.
A1
O1 C1
B1
D1
C
A O ED
B
1．(2014·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边
所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积
是( C )
A.4π
B.8π
C.2π
D.π
2.正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成
一个小棱锥和一个棱台，则棱台的侧面积为___4_5__.
简单几何体的侧面积
§7 简单几何体的再认识
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
1．掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.(重点) 2．能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积,熟悉 柱体与锥体、台体之间的转换关系.(难点)
课堂活动1
几何体的表面积和体积公式大全
几何体的表面积和体积公式大全几何体的表面积,体积计算公式1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh 体积:πR²h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR²+πR[(h²+R²)的平方根] 体积:πR²h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、正方体a－边长,S＝6a²,V＝a³4、长方体a－长,b－宽,c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc5、棱柱S－底面积h－高V＝Sh6、棱锥S－底面积h－高V＝Sh/37、棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1－上底面积,S2－下底面积,S0－中截面积h－高,V＝h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r－底半径,h－高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C＝2πrS底＝πr²,S侧＝Ch ,S表＝Ch+2S底,V＝S底h＝πr²h10、空心圆柱R－外圆半径,r－内圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2)11、直圆锥r－底半径h－高V＝πr^2h/312、圆台r－上底半径,R－下底半径,h－高V＝πh(R²＋Rr＋r²)/313、球r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/614、球缺h－球缺高,r－球半径,a－球缺底半径V＝πh(3a²+h²)/6 ＝πh²(3r-h)/315、球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r1²＋r2²)+h²]/616、圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr²＝π2Dd²/417、桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D²＋d²)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D²＋Dd＋3d²/4)/15 (母线是抛物线形)。
1.7.1 简单几何体的侧面积
h
d
b
h
h
b
a
a
d
S直棱柱侧＝（a + b + d ) ⋅ h = ch
1 S正棱锥侧 ＝ ch' 2
h'
h'
C′
h'
1 S正棱台侧 （c + c' )h' ＝ 2
h'
C
思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行比较， 思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行比较， 你能发现它们的联系和区别吗？ 你能发现它们的联系和区别吗？
2
答：锅炉的表面积约为 8.8m 2.
例2
圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 10cm
展开图的扇环的圆心角是180° 展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多 180 少？（结果中保留 π ） ？（结果中保留 解 如图，设上底面周长为c,因为扇环 如图，设上底面周长为c,因为扇环 c, 的圆心角是180° 所以c= 的圆心角是180°，所以c= π·SA 180
r1 = r2
S圆柱侧 = 2p rl
例1.一个无上盖圆柱形的锅炉，底面直径 d = 1m ， 1.一个无上盖圆柱形的锅炉， 一个无上盖圆柱形的锅炉 求锅炉的表面积（保留2个有效数字） 高 h = 2.3m ，求锅炉的表面积（保留2个有效数字）
骣÷ çd ÷ 解： S = S侧面积 + 2S底面积 = p dh + 2p ç ÷ ç2 桫 1 = p 创 2.3 + 2p 椿 1 4 8.8 (m 2 )
又因为c=2 ,所以SA=20.同理 所以SA=20. 又因为c=2 π×10=20 π ,所以SA=20.同理 SB=40.所以，AB=SBSB=40.所以，AB=SB-SA=20,S圆台侧= 所以
简单几何体的表面积和体积
(3)台体的侧面积 台体的侧面积 棱台的上底面、 ①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周 正棱台：设正 棱台的上底面 长分别为c′、c，斜高为 ，则正 棱台的侧面积 长分别为 、 ，斜高为h′，则正n棱台的侧面积 1 ＋ 公式S 公式 正棱台侧＝ 2 (c＋c′)h′ . 圆台：如果圆台的上、 ②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为 ，则S圆台侧＝ πl(r′＋r) ． 、 ，母线长为l， ＋ 表面积＝侧面积＋底面积． 注：表面积＝侧面积＋底面积．
基础知识梳理
(3)锥体 圆锥和棱锥 的体积 锥体(圆锥和棱锥 锥体 圆锥和棱锥)的体积
1 V锥体＝ Sh. 3
1 其中V圆锥＝ 3 πr2h ，r为底面半径． 其中 为底面半径． 为底面半径
基础知识梳理
(4)台体的体积公式 台体的体积公式 V台＝h(S＋＋ ． ＋＋S′)． ＋＋ 为台体的高， 和 分别为上下 注：h为台体的高，S′和S分别为上下 为台体的高 两个底面的面积． 两个底面的面积． 1 ＋ 其中V 其中 圆台＝ 3 πh(r2＋rr′＋r′2) ． 为台体的高， 、 分别为上 分别为上、 注：h为台体的高，r′、r分别为上、 为台体的高 下两底的半径． 下两底的半径． (5)球的体积 球的体积 4 3 V球＝ 3 πR .
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB， 由 知 ⊥ ∵ ∥ ， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. ⊥ ， ⊥ 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3， △ ＝ ， DE＝DC＝AB＝2， ＝ ＝ ＝ ， 1 ∴S△DBE＝2DBDE＝2 3. ＝ 又∵AB⊥平面 EBD，BE平面 ⊥ ， EBD，∴AB⊥BE. ， ⊥ ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 ABBE＝4. ＝ 2
基础知识梳理
(3)锥体 圆锥和棱锥 的体积 锥体(圆锥和棱锥 锥体 圆锥和棱锥)的体积
1 V锥体＝ Sh. 3
1 其中V圆锥＝ 3 πr2h ，r为底面半径． 其中 为底面半径． 为底面半径
基础知识梳理
(4)台体的体积公式 台体的体积公式 V台＝h(S＋＋ ． ＋＋S′)． ＋＋ 为台体的高， 和 分别为上下 注：h为台体的高，S′和S分别为上下 为台体的高 两个底面的面积． 两个底面的面积． 1 ＋ 其中V 其中 圆台＝ 3 πh(r2＋rr′＋r′2) ． 为台体的高， 、 分别为上 分别为上、 注：h为台体的高，r′、r分别为上、 为台体的高 下两底的半径． 下两底的半径． (5)球的体积 球的体积 4 3 V球＝ 3 πR .
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB， 由 知 ⊥ ∵ ∥ ， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. ⊥ ， ⊥ 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3， △ ＝ ， DE＝DC＝AB＝2， ＝ ＝ ＝ ， 1 ∴S△DBE＝2DBDE＝2 3. ＝ 又∵AB⊥平面 EBD，BE平面 ⊥ ， EBD，∴AB⊥BE. ， ⊥ ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 ABBE＝4. ＝ 2
几何体的表面积
几何体的表面积
几何体的表面积是一个几何体表面的全部面积。
1、棱柱体的表面积：上下两个底面积加上一个侧面积。
S表=2S底+S侧
（S底=2πr2，S侧=c周长h高，其中c棱柱体的底面周长，h为棱柱体的高）
2、圆柱体的表面积：上下两个底面积加上一个侧面积。
S表=2S底+S侧
（S底=2πr2，S侧=c周长h高）
3、圆锥体的表面积：一个底面圆形的面积加上一个侧面扇形的面积。
S表=S底+S侧
（S底=πr2，S侧=1/2ch′=πrh′）
4、棱锥体的表面积：一个底面的面积加上相应个数三角形侧面的面积。
S表=S底+nS侧
（n为棱锥体的斜棱条数，即侧面数）
5、球体的表面积：是大圆面积的4倍。
S表=4πr2
（r为球体的半径）
6、正方体的表面积：6个正方形的面积。
S表=6a2
（a正方体一条边的长度）
7、长方体的表面积：6个面的面积。
S表=2ab+2ac+2bc=2（a+b+c）
（a是长方体的长，b是长方体的宽，c是长方体的高）
8、棱台体的表面积：上面的面积加侧面的面积，再加底面的面积。
S表=1/2（c上底+c下底）h
9、圆台体的表面积：上面的面积加侧面的面积，再加底面的面积。
S表=1/2（c上底+c下底）l
（l为母线长）。
基本立体图形-高考数学复习
B．该圆台轴截面面积为3 3 cm2
C．该圆台的体积为7
3π 3
cm3
D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5
cm
12345
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20
解析：如图 1，作 BE⊥CD 交 CD 于 E，易得 CE＝
CD－2 AB＝1，则 BE＝ 22－12＝ 3，则圆台的高为 3 cm，
锥体(棱锥 和圆锥)
S表面积＝ S侧 ＋ S底
台体(棱台 和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
球(R是半径)
S表面积＝ 4πR2
13
体积(S是底面积，h是高) V＝ Sh
1 V＝ 3Sh V＝13(S上＋ S下＋ S上S下) h V＝ 43πR3
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5.常见四棱柱及其关系
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基础检测
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29
解析：如图，E为CD的中点，O为正方形ABCD的中心，连接PO，PE，OE，则PO
⊥平面ABCD. 设CD＝a，PE＝b，则PO＝ PE2－OE2 ＝
b2－a42
，由题意有PO2＝
1 2
ab，即b2－a42＝12ab，化简得4ba2－2·ba－1＝0，解得ba＝1＋4 5(负值舍去). 故选C.
定 转轴，其余三 的直线为旋转
面去截圆
轴，旋转一周所
义 边旋转一周形 轴，其余两边旋 锥，底面与 形成的曲面叫做
成的面所围成 转一周形成的面 截面之间的 球面 ，球面所
的旋转体
所围成的旋转体 部分
围成的旋转体
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9
圆柱
圆锥
圆台
球
①母线延长线交
结 ①母线互相平行且相等， ①母线相交于一点； 于一点 ；
高考数学一轮专项复习ppt课件-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积(北师大版)
(50 mm－100 mm)；小明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个圆锥形容器(如图)接了
24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级
A.小雨
√B.中雨
C.大雨
D.暴雨
由题意，一个半径为2200＝100(mm)的圆面内的降 雨充满一个底面半径为2200×135000＝50(mm)，高为 150(mm)的圆锥， 所以积水的厚度为13π×π×50120×02150＝12.5(mm)，
√D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行 关系不变，正方形的直观图是平行四边形.
自主诊断
4.若一个圆锥的底面半径和高都是1，则它的母线长等于___2__，它的体积 π
等于___3__. 由轴截面可得圆锥的母线长为 12＋12＝ 2，体积为13×π×12×1＝π3.
(2)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
√C.长方体是直平行六面体 √D.存在每个面都是直角三角形的四面体
当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，故A不正确； 当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则 为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确； 长方体是直平行六面体，故C正确； 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC， 四个面都是直角三角形，故D正确.
侧面形状 _平__行__四__边__形__
_三__角__形__
_梯__形__
知识梳理
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线 互相平行且相等， 相交于_一__点__ 延长线交于_一__点__ 垂直 于底面
高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识7.1柱、锥、台的侧面展开与面积课件北师大版必修2
第十六页，共43页。
【自主解答】 设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′.
因为 S 侧＝2S 底， 所以12×3a×h′＝ 43a2×2，所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2， 所以 32＋ 63× 3h′2＝h′2， 所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
图 1-7-2
第二十四页，共43页。
【提示】 几何体的表面积为 S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－ 0.5π＋2π＝24＋1.5π.
第二十五页，共43页。
探究 2 一个几何体的三视图如图 1-7-3 所示，请求出该几何体的表面积．
图 1-7-3
第二十六页，共43页。
【提示】 该几何体的直观图如图所示．
【答案】 6＋2 3
第四十页，共43页。
5．如图 1-7-7 是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一 遍，已知每平方米用漆 0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)
图 1-7-7
第四十一页，共43页。
【解】 由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱 柱，并且圆锥的底面半径为 3 m，母线长为 5 m，正四棱柱的高为 4 m，底面为 边长为 3 m 的正方形，圆锥的表面积为 πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的 一个底面积为 9 m2，正四棱柱的侧面积为 4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为 24π －9＋48＝(24π＋39)(m2)，
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
【自主解答】 设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′.
因为 S 侧＝2S 底， 所以12×3a×h′＝ 43a2×2，所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2， 所以 32＋ 63× 3h′2＝h′2， 所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
图 1-7-2
第二十四页，共43页。
【提示】 几何体的表面积为 S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－ 0.5π＋2π＝24＋1.5π.
第二十五页，共43页。
探究 2 一个几何体的三视图如图 1-7-3 所示，请求出该几何体的表面积．
图 1-7-3
第二十六页，共43页。
【提示】 该几何体的直观图如图所示．
【答案】 6＋2 3
第四十页，共43页。
5．如图 1-7-7 是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一 遍，已知每平方米用漆 0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)
图 1-7-7
第四十一页，共43页。
【解】 由三视图知，建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱 柱，并且圆锥的底面半径为 3 m，母线长为 5 m，正四棱柱的高为 4 m，底面为 边长为 3 m 的正方形，圆锥的表面积为 πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的 一个底面积为 9 m2，正四棱柱的侧面积为 4×4×3＝48(m2)，所以外壁面积为 24π －9＋48＝(24π＋39)(m2)，
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
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E
连接AO并延长交BC于D, 过D1作D1E⊥AD于E.
在RtΔD1ED中, D1E O1O 1.5,
13
3
DE DO OE DO D1O1 3 2 (6 3) 2 .
DD1
D1E 2 DE 2
3 2
2
3 2 2
3.
所以S正三棱台侧=
1 (c c) 2
答:正三棱台的侧面积为
• DD1 27 3
27 2
cm2 .
3
(cm 2
).
2
三、反馈练习 1.已知正六棱柱的高为h, 底面边长为a, 求表面积. 2.正四棱台的上、下两底面边长分别是3,6, 其侧面积等于两底面 积之和, 则其高和斜高分别是多少? 3.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理, 每平方厘米 的加工处理费为0.15元. 已知圆锥底面直径与母线长相等, 都等于 5cm, 问加工处理1 000个这样的零件, 需加工处理费多少元?(精 确到0.01元) 4.已知圆锥的表面积为a m2, 且它的侧面展开图是一个半圆, 则
所以 l=AB=SB-SA=20.
S圆台侧 (r r)l (10 20) 20 600 (cm2 ).
答:圆台的侧面积为600 cm2.
例3.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm, 和6cm, 高为 1.5cm. 求三棱台的侧面积.
解：如图，O1, O分别是上、下底面的中心，
则O1O=1.5, 连接A1O1并延长交B1C1于D1,
h为斜高.
2.直棱柱、正棱锥、正棱台 h0
正棱台
S正 棱 台 侧
1 2
(c
c)h
§7 简单几何体的面积和体积（1） 一、简单几何体的侧面积
1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r)l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
S直棱柱侧 ch
c为直棱柱的底周长，h为高.
S正 棱 锥 侧
圆柱
4
8.8(m2 ).
答: 锅炉的表面积约为8.8 m2.
例2.圆台的上、下底面半径分
别是10cm和20cm, 它的侧面展
开图的扇环的圆心角是180o， 那么圆台的侧面积是多少？
（结果中保留 ）
解： 如图, 设上底面周长为c.
S
O1
A
O
B
因为扇环的中心角是180o, 所以c= • SA.
又因为c=2 10 20 , 所以 SA=20. 同理 SB=40.
c)h
c、c分别为正棱台的上、 下底的周长，h为斜高.
3.柱、锥、台的侧面积关系:
S台体
1 2
(c
c)h
c c
S柱体 ch
c 0
S锥体 1 ch 2
这个圆锥的底面直径是多少? 2 3a (m) 3
四、课堂小结
1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r)l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
S直棱柱侧 ch
c为直棱柱的底周长，h为高.
S正 棱 锥 侧
1 ch 2
c为正棱锥的底周长，h为斜高.
S正 棱 台 侧
1 2
(c
复习回顾 1.旋转体
圆柱 2.多面体
圆锥
圆台
棱柱
棱锥
棱台
§7 简单几何体的面积和体积（1） 一、简单几何体的侧面积
1.圆柱、圆锥、圆台
r
c 2r
l 圆柱侧面展开图
圆柱
S圆柱侧 2rl
1.圆柱、圆锥、圆台
l
r
圆锥
c 2r
S圆锥侧 rl
1.圆柱、圆锥、圆台
l0 圆台侧面展开图
圆台
S圆台侧 (r r)l
§7 简单几何体的面积和体积（1） 一、简单几何体的侧面积 1.圆柱、圆锥、圆台
S圆柱侧 2rl S圆锥侧 rl S圆台侧 (r r)l
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
c
h
直棱柱
直棱柱侧面展开图
S直棱柱侧 ch
2.直棱柱、正棱锥、正棱台
h h
正棱锥
S正 棱 锥 侧
1 ch 2
c 为底面周长，
1 ch 2
c为正棱锥的底周长，h为斜高.
S正 棱 台 侧
1 2
(c
c)h
c、c分别为正棱台的上、 下底的周长，h为斜高.
二、应用
Байду номын сангаас
例1.一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1m,高h=2.3m.求锅炉的 表面积(保留2个有效数字）.
解： S S圆 柱 侧 2S圆 柱 底 面
dh
2
d 2
2
1 2.3 2 1