理论力学课件第十一章 动量定理
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《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
11动量定理
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第十一章 动量定理
例11-2 在静止的小船中间站着两个人，其中m1＝50kg， 面向船首方向走动1.5m。另一个人m2＝60kg，面向船尾方 向走动0.5m 。若船重 M ＝150kg ，求船的位移。水的阻力 y 不计。 甲 乙 尾 首 【解】 x 因无水平力 水平方向质心守恒， 又初始静止
（6）
（7）
又 t 0， 0，x A 0 ，代入（7）式得 C 0， 由此存在
ml ml xA sin sin( 0 sin t ) mM mM
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第十一章 动量定理
例11-4 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量 均为 m，OA杆的长度为 l1，AB杆的长度为 l 2 ，轮的半径为 R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为 ，则整个系统的动量为多少？
式中 mv——质点动量；矢量，其大小等于质点的 质量m与它在某瞬时速度v的乘积，其单位 kg m / s
或N s 。
写成微分形式
d (mv) Fdt
（11－2）
这是微分形式的质点动量定理
Fdt 称之为冲量。
⒉ 质点动量定理的积分形式
在t1与t2时刻， m v2 m v 1
t2
t1
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第十一章 动量定理
mv2 z mv z Fz dt S z 1
t1
t2
mv2 y mv y Fy dt S y 1
t1
t2
（11－5）
mv2 x mv x Fx dt S x 1
t1
t2
⒊ 质点动量守恒
若 作 用 于 质 点 上 的 力 为 零 ，F 0 ， 则 有 m v2 m v 0 ，则质点动量保持不变。 1 若 Fx 0，则有 mv2 x mv x 0 。 1
理论力学11动量定理分解
0
α
解得:
P3
P2
N
u
B m1 (u sin v) m2 (u cos v)
m3 v 0
x
v u( P 1cos P2sin )/(P 1 P2 P 3)
30
§12-4
将 K MvC
质心运动定理
( e)
( e) M r F C i
( e) d 代入到质点系动量定理，得 ( MvC ) Fi dt
若质点系质量不变， 则 MaC Fi
或
1. 投影形式：
( e) ( e) ( e) C Fix C Fiy C Fiz x , MaCy M y , MaCz M z 。 ① MaCx M
根据质心运动定理，有
mi aCix Fix , m2a2 x m2e 2 cost N x
( e)
mi aCiy Fiy , m2 a2 y m2 e 2 sin t N y m1 g m2 g
( e)
N x m2 e 2 cost , N y m1 g m2 g m2 e 2 sin t
mv2 y mv1 y I y Fy dt mv2 z mv1z I z Fz dt
t1 t1 t2
t2
t1 t2
质点的动量守恒 若 F 0 ，则 m v 常矢量， 若 Fx 0 ，则 mvx 常量， 二．质点系的动量定理
(e) dP Fi dt
C
33
例题水平面上放一均质三棱柱 A, 在此三棱柱上又放一均质三 棱柱 B 两三棱柱的横截面都是 直角三角形,且质量分别为M
b
B
和m,设各接触面都是光滑的,
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
动量动量定理课件
实验结论
实验结果表明，一个物体所受合外力的冲量等于物体 动量的变化量，验证了动量定理的正确性。通过实验， 学生可以更加深入地理解动量定理，掌握其应用方法， 提高物理实验能力和科学素养。
06
动量定理的扩展与深化
动量定理的推广
推广到多维空间
动量定理不仅适用于一维空间，还可以推广 到多维空间，描述物体在任意方向上的动量 变化。
2. 在滑块上加砝码，使滑块具有一定质量。
实验器材与步骤
3. 用橡皮筋拉动滑块 加速，使滑块受到合 外力的作用。
5. 记录实验数据并分 析。
4. 测量滑块加速过程 中的合外力和作用时 间。
实验结果与结论
实验结果
通过实验测量和计算，得到合外力、作用时间和动量 变化量的数值关系，验证了动量定理的正确性。
动量的计算
总结词
动量的计算公式是 $p = mv$。
详细描述
动量的计算公式是 $p = mv$，其中 $m$ 是物体的质量，$v$ 是物体的速度。 这个公式适用于任何惯性参考系中的质点。
动量的单位
总结词
在国际单位制中，动量的单位是千克· 米/秒（kg·m/s）。
详细描述
根据国际单位制的规定，动量的单位 是千克·米/秒（kg·m/s）。这个单位 是由质量单位千克（kg）和速度单位 米/秒（m/s）相乘得来的。
定义
物体的质量m、速度v和动量p之间的关系为 p=mv。
推导过程
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于 其质量与加速度的乘积，即F=ma。对时间 进行积分，得到冲量I=∫Fdt。根据定义， 动量的变化量等于冲量，即Δp=I。将F=ma 代入积分式，得到Δp=∫ma dt=m∫adt=mat=mv2-v1。
《动量定理》课件
《动量定理》PPT课件
本课程将介绍动量定理的概念、公式及其应用。
动量的定义
1 动量的定义及其形式化表达
动量是物体运动的重要属性，它定义为物体质量与速度的乘积。
2 动量的守恒定律
动量在相互作用过程中是守恒的，即系统内各物体的动量总和保持不变。
动量定理
1 动量变化与动量定理
2 动量定理的应用范围
动量定理描述了物体所受合外力的作用下 其动量的变化规律。
动量定理适用于各种物体相互作用的问题， 包括弹性碰撞和非弹性碰撞等。
弹性碰撞
1 弹性碰撞的概念
弹性碰撞是指碰撞过程中动能守恒的碰撞。
2 弹性碰撞的公式
弹性碰撞中，根据质量和速度的守恒关系，可以得到碰撞前后物体的速度变化。
3 弹性碰撞的实例分析
通过实例分析，展示弹性碰撞的具体应用和效果。
非弹性碰撞
1 非弹性碰撞的概念
非弹性碰撞是指碰撞过程中动能不守恒的碰撞。
2 非弹性碰撞的公式
非弹性碰撞中，除了动量守恒外，还需考虑能量损失的因素。
3 非弹性碰撞的实例分析
通过实例分析，展示非弹性碰撞的具体应用和效果。
总结
1 动量定理的总结
2 动量定理的应用举例
动量定理是描述物体动量变化的基本定律， 包括守恒定律和变化定律。
通过实际例子展示动量定理在不同领域的 应用，如力学、运动学等。
参考资料
1 动量定理相关的参考书籍和网站
推荐几本权威的物理教材和一些相关的学术网站供学员参考。
问题与讨论
1 Q&A环节，对于学员流
为学员们提供互动环节，让他们分享观点
回答学员在授课过程中提出的问题，加深
和对动量定理的理解。
对动量定理的理解。
本课程将介绍动量定理的概念、公式及其应用。
动量的定义
1 动量的定义及其形式化表达
动量是物体运动的重要属性，它定义为物体质量与速度的乘积。
2 动量的守恒定律
动量在相互作用过程中是守恒的，即系统内各物体的动量总和保持不变。
动量定理
1 动量变化与动量定理
2 动量定理的应用范围
动量定理描述了物体所受合外力的作用下 其动量的变化规律。
动量定理适用于各种物体相互作用的问题， 包括弹性碰撞和非弹性碰撞等。
弹性碰撞
1 弹性碰撞的概念
弹性碰撞是指碰撞过程中动能守恒的碰撞。
2 弹性碰撞的公式
弹性碰撞中，根据质量和速度的守恒关系，可以得到碰撞前后物体的速度变化。
3 弹性碰撞的实例分析
通过实例分析，展示弹性碰撞的具体应用和效果。
非弹性碰撞
1 非弹性碰撞的概念
非弹性碰撞是指碰撞过程中动能不守恒的碰撞。
2 非弹性碰撞的公式
非弹性碰撞中，除了动量守恒外，还需考虑能量损失的因素。
3 非弹性碰撞的实例分析
通过实例分析，展示非弹性碰撞的具体应用和效果。
总结
1 动量定理的总结
2 动量定理的应用举例
动量定理是描述物体动量变化的基本定律， 包括守恒定律和变化定律。
通过实际例子展示动量定理在不同领域的 应用，如力学、运动学等。
参考资料
1 动量定理相关的参考书籍和网站
推荐几本权威的物理教材和一些相关的学术网站供学员参考。
问题与讨论
1 Q&A环节，对于学员流
为学员们提供互动环节，让他们分享观点
回答学员在授课过程中提出的问题，加深
和对动量定理的理解。
对动量定理的理解。
理论力学第十一章-质点系动量定理
§11-2 质心运动定理
质心运动定理 质点系旳总质量与质点系质心加速度乘积，
等于作用在这一质点系上外力旳主矢 .
质心运动定理揭示了动量定理旳实质：外 力主矢仅仅拟定了质点系质心运动状态旳变 化。
§11-2 质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运 动与力之间旳关系
对于质点系：质心运动定理，描述质点系 整体运动与力之间旳关系
aA aD sin
maA N A mg cos MaD N A sin
aD
mg M
sin cos m sin2
aA
mg sin2 cos M m sin2
质点系动量定理应用于简朴旳刚体系统
例题8
电动机旳外壳和定 子旳总质量为 m1 ,质 心C1与转子转轴 O1 重叠 ；转子质量为 m2 ，质心O2 与转轴 不重叠 ，偏心距 O1O2 = e 。若转子以
结论与讨论
动量定理旳微分形式
动量定理微分形式 和积分形式
动量定理旳积分形式
S－质点系统旳冲量
质点系统动量在一段时间内旳变化量等于系统中全部
质点冲量旳矢量和
返回
质点系动量定理应用于简朴旳刚体系统
例题1
A
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B旳质量均为m，曲 柄OC和连杆AB旳质量忽视不计； 曲柄以等角速度 绕O轴旋转；图 示位置时，角度 为任意值。
第11章 质点系动量定理
几种有意义旳实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几种有意义旳实际问题
偏心转子电动机 工作时为何会左
？ 右运动； 这种运动有什么 规律；
会不会上下跳动； 利弊得失。
几种有意义旳实际问题
？ 蹲在磅秤上旳人站起来时
《动量定理Hxj》PPT课件
工件发生变形，历时△t=0.01s，求锤对工件的平均压力。
解: 以重锤为研究对象，进行受力分析
重锤所受工件的反力为变力，取其平均反力来表示
由运动学知识知，重锤下落的时间为
t 2h g
取如图所示的坐标轴，则由质点的动量定理有
0 0 mg t t FNt
解之，
FN
=
mg
t t
+1
=
mg
1 t
mvC mivi
p mivi mvC
O
vC O
C
z
mn
C
rC ri
o
x
m2
m1
mi
y
vC
C
例题1
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块A和B的质量均为 m，曲柄 OC和连杆AB的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度 绕O轴旋转。图 示位置时，角度 t 为任意值。
求：图示位置时，系统的总动量。
vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
AB
D
再求其矢量和。
p mAvA mBvB
AB =
C
O
t
vB
B
vA AB DA 2l cost vB AB DB 2l sin t
p mAvA mBvB
2ml( sin t i cost j)
y vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
颗粒形式
例11-2 水流流经变截面弯管的示意图如图11-4所示。设流体是不可压缩的，
流动是稳定的。求管壁的附加动反力。
解:
为分析问题方便，如图所示取aa与
bb之间的流体作为质点系。经过时间dt，该
解: 以重锤为研究对象，进行受力分析
重锤所受工件的反力为变力，取其平均反力来表示
由运动学知识知，重锤下落的时间为
t 2h g
取如图所示的坐标轴，则由质点的动量定理有
0 0 mg t t FNt
解之，
FN
=
mg
t t
+1
=
mg
1 t
mvC mivi
p mivi mvC
O
vC O
C
z
mn
C
rC ri
o
x
m2
m1
mi
y
vC
C
例题1
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块A和B的质量均为 m，曲柄 OC和连杆AB的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度 绕O轴旋转。图 示位置时，角度 t 为任意值。
求：图示位置时，系统的总动量。
vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
AB
D
再求其矢量和。
p mAvA mBvB
AB =
C
O
t
vB
B
vA AB DA 2l cost vB AB DB 2l sin t
p mAvA mBvB
2ml( sin t i cost j)
y vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
颗粒形式
例11-2 水流流经变截面弯管的示意图如图11-4所示。设流体是不可压缩的，
流动是稳定的。求管壁的附加动反力。
解:
为分析问题方便，如图所示取aa与
bb之间的流体作为质点系。经过时间dt，该
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dt
F (e) y
dPz
dt
F (e) z
质点系的动量某轴上的投影对时间的导数等于作用于质点系的
所有外力在同一坐标轴上投影的代数和。
§ 11-2 动量定理
v
设t=0时，v质点系的动量为P1 的动量为 P2 。则
，经过时间t后，质点系 v P1
v
dP
d(mivvi )
v Fi(e)dt
Mi
P
Pvx2
v
Py2
Pz2
cos(P, v
i) v
Px
/
P
cos(P, j) Py / P
vv
cos(P, k ) Pz / P;
§ 11-1 动量和冲量
例11-2：椭圆规如图所示，已知曲柄OC的质量为m，
规尺AB的质量为2m , 滑块A与B的质量为m , OC=CA=CB= l 。求在图示位置曲柄以匀角速度转动时
Fdt 0
2
的过m程vv中2 ，m速vv度1 分Iv别为质v点v1、动vv2量定理
vv2 积分式
某段时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上力在此段
时间内的冲量
§ 11-2 动量定理
二、质点系的动量定理
设在由力nFv个i 的质作点用组下成，的获质得点速系度，为第ivv个i 质点的质量为 mi ，
椭圆规的动量。
vA
A
解：取整个刚体系统
P
为研究对象。
vC
C
P点为AB杆的速度瞬 心
O
vB
B
§ 11-1 动量和冲量
由运动学可知，速度 A v A
分别为
vC l
AB
vC PC
P
vC
C
vB PB AB 2l sin
vA PAAB 2l cos O
vB
整个系统的动量为
B
Px PBx PABx POCx
单位为：N·s
§ 11-2 动量定理
一、质点的动量定理
设一质点，质量为m，在力作用下的运动轨迹如图
由质点动m力d学vv基 本Fv 方程可知
M1 vv1
M
即
d(mvv)
dt
v Fdt
质点动量定理 微分式
v
质点动量的增量等于作用于质点上力的元冲量 F
vv
M2
设质点从
vv2 vv1
d(mvv)
M1到 M tv
1 5m 4ml sint
2
PBx mvB 2lmsin
PABx 2mvC sin 2lm sin
POCx
m
vC 2
sin
1 2
lm sin
§ 11-1 动量和冲量
由运动学可知，速度 A v A
分别为
vC l
AB
vC PC
P
vC
C
vB PB AB 2l sin
vA PAAB 2l cos O
vA
cos
C点的速度为
vC
l 2
AB
vA
2 cos
AB杆的动量为
vA
C
vC
vB
B
P
mvC
mvA
2 cos
§ 11-1 动量和冲量
对于刚体系统时，设第i个刚体的质心为Ci ，其 速度为 vCi
这个刚体系统的动量为
v
P
mivvCi
直角坐标系上的投影方程为
Px mivCix Py mivCiy Pz mivCiz
第十一章 动量定理
多媒体教程
31 11-1 动量和冲量 2 11-2 动量定理 3 11-3 质心运动定理
§ 11-1 动量和冲量
一、动量
1、问题的提出
鸟撞飞机
由鸟击引起的坠 机事故已造成200 多人死亡
子弹打木块 轮船靠岸
用物体的质量与其速度的乘积来度量物体运动的强弱
§ 11-1 动量和冲量
v P2 v
v dP
P1
t 0
v Fi(e)dt
v Iie
v
vvi
Fi
vv v
即 P2 P1 Iie 质点系动量定理 积分式
v P2
某一时间间隔内，质点系动量的改变等于在这段时间内作用于 质点系的外力冲量的矢量和。
质点系的内力并不改变质点系的动量
§ 11-2 动量定理
质点系动量定理的积分形式
;
zc
mi zi mi
;
则Leabharlann rvcmiri mi
;
则，质点系的动量为
v P
d dt
mirvi
d dt
mrvC
mvvC
质点系的动量等于质点系的质量与其质心速度矢的
乘积。
§ 11-1 动量和冲量
例11-1 求动量
1. 均质杆件OA，质量为m，杆长为l，绕O轴做定轴转
动，转动角速度为
A
解答：OA杆做定轴转动， 质心为C点
vB
整个系统的动量为
B
Py PAy PABy POCy
1 5m 4ml cost
2
PAy mvA 2lm cos
PABy 2mvC cos 2lm cos
POCy
m vC 2
cos
1 lm cos
2
§ 11-1 动量和冲量
vA
A
质点系的动量为
P
vC
P
Px2
Py2
1 5m 4ml
由质点动量定理的微分形式
Mi
d(mivvi )
v Fidt
v
v
Fi(e)dt Fi(i)dt
这样的方程共有n个，求和
d(mivvi )
v Fi(e)dt
v Fi(i)dt
v
vvi
Fi
v
Fi(i)dt 0
质d点Pv系内质d点(m相ivv互i )作 用的Fv内i(e力)d总t 是质成点对系出动现量，定相理互微抵分消式，即
2、质点的动量
P mv
3、质点系的动量
大小为 mv；
方向由 v 确定；
单位为：kgm / s
P
m i
vi
由点的运动学知识可知
vvi
drvi dt
则，质点系的动量可表示
v P
mi
drv dt
d dt
mirvi
§ 11-1 动量和冲量
在均匀重力场中，质心的坐标公式为
xc
mi xi mi
;
yc
mi yi mi
2
C
其方向为
O
vB
B
tan py cott
px
§ 11-1 动量和冲量
二、冲量
物体在力的作用下引起运动的变化，不仅与力的大 小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
1、常力的冲量：
I Ft
2、变力的冲量
元冲量：变力在微时间段内的冲量；即：
dI Fd t
则力在时间段内的冲量为：
t2
I Fdt t1
质点系动量的增量等于作用于质点上外力元冲量的矢量和
§ 11-2 动量定理
质点系动量定理的微v分形式也可表示为
dP
dt
v F (e)
i
质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和
质点系动量定理 微分式在直角坐标系上的投影
v
dP dt
v F (e)
i
dPx
dt
F (e) x
dPy
vC
l
2
质点系的动量为
P
mvC
l m
2
vvC
C
O
方向与质心速度同向
§ 11-1 动量和冲量
例11-1 求动量
2. 均质杆件AB放置在墙上，其质量为m，杆长为l，已知
某瞬时，A端的速度为 vA ，此时杆与水平方向夹角
为 ，求AB杆的动量
A
P
解答：AB杆做平面运动，
P点为速度瞬心
AB
vA PA
l
F (e) y
dPz
dt
F (e) z
质点系的动量某轴上的投影对时间的导数等于作用于质点系的
所有外力在同一坐标轴上投影的代数和。
§ 11-2 动量定理
v
设t=0时，v质点系的动量为P1 的动量为 P2 。则
，经过时间t后，质点系 v P1
v
dP
d(mivvi )
v Fi(e)dt
Mi
P
Pvx2
v
Py2
Pz2
cos(P, v
i) v
Px
/
P
cos(P, j) Py / P
vv
cos(P, k ) Pz / P;
§ 11-1 动量和冲量
例11-2：椭圆规如图所示，已知曲柄OC的质量为m，
规尺AB的质量为2m , 滑块A与B的质量为m , OC=CA=CB= l 。求在图示位置曲柄以匀角速度转动时
Fdt 0
2
的过m程vv中2 ，m速vv度1 分Iv别为质v点v1、动vv2量定理
vv2 积分式
某段时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上力在此段
时间内的冲量
§ 11-2 动量定理
二、质点系的动量定理
设在由力nFv个i 的质作点用组下成，的获质得点速系度，为第ivv个i 质点的质量为 mi ，
椭圆规的动量。
vA
A
解：取整个刚体系统
P
为研究对象。
vC
C
P点为AB杆的速度瞬 心
O
vB
B
§ 11-1 动量和冲量
由运动学可知，速度 A v A
分别为
vC l
AB
vC PC
P
vC
C
vB PB AB 2l sin
vA PAAB 2l cos O
vB
整个系统的动量为
B
Px PBx PABx POCx
单位为：N·s
§ 11-2 动量定理
一、质点的动量定理
设一质点，质量为m，在力作用下的运动轨迹如图
由质点动m力d学vv基 本Fv 方程可知
M1 vv1
M
即
d(mvv)
dt
v Fdt
质点动量定理 微分式
v
质点动量的增量等于作用于质点上力的元冲量 F
vv
M2
设质点从
vv2 vv1
d(mvv)
M1到 M tv
1 5m 4ml sint
2
PBx mvB 2lmsin
PABx 2mvC sin 2lm sin
POCx
m
vC 2
sin
1 2
lm sin
§ 11-1 动量和冲量
由运动学可知，速度 A v A
分别为
vC l
AB
vC PC
P
vC
C
vB PB AB 2l sin
vA PAAB 2l cos O
vA
cos
C点的速度为
vC
l 2
AB
vA
2 cos
AB杆的动量为
vA
C
vC
vB
B
P
mvC
mvA
2 cos
§ 11-1 动量和冲量
对于刚体系统时，设第i个刚体的质心为Ci ，其 速度为 vCi
这个刚体系统的动量为
v
P
mivvCi
直角坐标系上的投影方程为
Px mivCix Py mivCiy Pz mivCiz
第十一章 动量定理
多媒体教程
31 11-1 动量和冲量 2 11-2 动量定理 3 11-3 质心运动定理
§ 11-1 动量和冲量
一、动量
1、问题的提出
鸟撞飞机
由鸟击引起的坠 机事故已造成200 多人死亡
子弹打木块 轮船靠岸
用物体的质量与其速度的乘积来度量物体运动的强弱
§ 11-1 动量和冲量
v P2 v
v dP
P1
t 0
v Fi(e)dt
v Iie
v
vvi
Fi
vv v
即 P2 P1 Iie 质点系动量定理 积分式
v P2
某一时间间隔内，质点系动量的改变等于在这段时间内作用于 质点系的外力冲量的矢量和。
质点系的内力并不改变质点系的动量
§ 11-2 动量定理
质点系动量定理的积分形式
;
zc
mi zi mi
;
则Leabharlann rvcmiri mi
;
则，质点系的动量为
v P
d dt
mirvi
d dt
mrvC
mvvC
质点系的动量等于质点系的质量与其质心速度矢的
乘积。
§ 11-1 动量和冲量
例11-1 求动量
1. 均质杆件OA，质量为m，杆长为l，绕O轴做定轴转
动，转动角速度为
A
解答：OA杆做定轴转动， 质心为C点
vB
整个系统的动量为
B
Py PAy PABy POCy
1 5m 4ml cost
2
PAy mvA 2lm cos
PABy 2mvC cos 2lm cos
POCy
m vC 2
cos
1 lm cos
2
§ 11-1 动量和冲量
vA
A
质点系的动量为
P
vC
P
Px2
Py2
1 5m 4ml
由质点动量定理的微分形式
Mi
d(mivvi )
v Fidt
v
v
Fi(e)dt Fi(i)dt
这样的方程共有n个，求和
d(mivvi )
v Fi(e)dt
v Fi(i)dt
v
vvi
Fi
v
Fi(i)dt 0
质d点Pv系内质d点(m相ivv互i )作 用的Fv内i(e力)d总t 是质成点对系出动现量，定相理互微抵分消式，即
2、质点的动量
P mv
3、质点系的动量
大小为 mv；
方向由 v 确定；
单位为：kgm / s
P
m i
vi
由点的运动学知识可知
vvi
drvi dt
则，质点系的动量可表示
v P
mi
drv dt
d dt
mirvi
§ 11-1 动量和冲量
在均匀重力场中，质心的坐标公式为
xc
mi xi mi
;
yc
mi yi mi
2
C
其方向为
O
vB
B
tan py cott
px
§ 11-1 动量和冲量
二、冲量
物体在力的作用下引起运动的变化，不仅与力的大 小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
1、常力的冲量：
I Ft
2、变力的冲量
元冲量：变力在微时间段内的冲量；即：
dI Fd t
则力在时间段内的冲量为：
t2
I Fdt t1
质点系动量的增量等于作用于质点上外力元冲量的矢量和
§ 11-2 动量定理
质点系动量定理的微v分形式也可表示为
dP
dt
v F (e)
i
质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和
质点系动量定理 微分式在直角坐标系上的投影
v
dP dt
v F (e)
i
dPx
dt
F (e) x
dPy
vC
l
2
质点系的动量为
P
mvC
l m
2
vvC
C
O
方向与质心速度同向
§ 11-1 动量和冲量
例11-1 求动量
2. 均质杆件AB放置在墙上，其质量为m，杆长为l，已知
某瞬时，A端的速度为 vA ，此时杆与水平方向夹角
为 ，求AB杆的动量
A
P
解答：AB杆做平面运动，
P点为速度瞬心
AB
vA PA
l