数学物理方法第05章习题
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =Q ，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法梁昆淼答案
数学物理方法梁昆淼答案【篇一：第五章傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】>?t1.函数 f(t)???0?12. 函数 f(t)???03.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。
的傅立叶变换像函数，的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。
4.?2012?2011excosx??(x??) dx?[sinx??(x??e??。
5. ?12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。
7. ?xsinx?(x?) dx? ?128.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。
?201038?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。
?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。
(0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。
11. f(t)???1?0(|t|?1)?12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。
其傅里叶级数展开为?k?1?2sinkx k13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时，f(x)?0。
则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2??(1?cos2?)1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换为f()。
af[f(ax)]?1?2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】?1?2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i?ax2????aedx?1?af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明：【篇二：8000份课程课后习题答案与大家分享~~】> 还有很多，可以去课后答案网（/bbs）查找。
zyjd05
ξ
dξ
=
1 T
T2 −T 2
f
( x)dx
=
1 T
T2
Hdx
−T 2
=
1 T
Hτ
∫ ( ) ck
= ...... =
1
T2
−i 2kπ x
He T dx
=
T −T 2
H T
T 2kπ
−i 2kπ
ie T
x
τ 2 −τ2
= H sin kπτ πk T
k ≠0
∑ ∴ f (x) = Hτ + ∞
H
sin
−∞
+
1 2π
∞
e
−iω
0
x
e
−iωx
dx
−∞
ห้องสมุดไป่ตู้
=
1 2
[δ
(ω
−
ω0
)
+
δ
(ω
+
ω
0
)]
故
F
[cos3
x]
=
1 8
[3δ
(ω
−
1)
+
3δ
(ω
+
1)
+
δ
(ω
−
3)
+
δ
(ω
+
3)]
[ ] [ ] 另一种解法
F
cos3
x
= F ( eix
+ e −ix 2
)3
=
1 8
F
ei3x
+ e−i3x
+
w)t
+
数学物理方法习题集
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
数学物理方法第05章习题
第五章 习题答案5.1-1一长为l 的均匀细杆，0=x 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长d 而静止（假定拉长在弹性限度内）。
突然放手使其振动，试写出振动方程与定解条件。
解：振动方程的形式与自由杆的振动方程一样。
()l x u a u xx tt ≤≤=-002ρYa =2初始条件：()()l x x ldx U ≤≤=00,()00,=x U t 边界条件：()0,0=t U ()0,0=t U x （右端自由振动）5.1-2 长为l 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在ε<-c x 处受到冲量I 的作用，写出初始条件。
解： ()00,=x U在ε≥-c x 处 ()00,=x U t在ε<-c x 处 由动量定理有： []ερερ2)0,(0)0,(2I x U x U I t t =⇒-⋅=即：()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=εερεc x Ic x x U t 200,5.1-3 长为l 的均匀细杆，在振动过程中，0=x 固定，另一端受拉力0F 的作用。
试写出边界条件。
（横截面积S ，杨氏模量Y ）。
解：()0,0=t U220),(tU S S t l P F ∂∂⋅⋅=⋅--ρεε当0→ε时有YSF t l U xU Y S F x lx 00),(=⇒∂∂⋅⋅==5.1-4线密度为ρ，长为l 的弦两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度受阻力tuhF ∂∂-=，试写出其运动方程。
解：如图，取微元x d ，它的两端与x 轴间的夹角分别为21αα、，两端受力分别为()()t x T t x x T ,,d 、+，受力分析如下：x 轴方向：()()0cos ,cos ,d 21=-+ααt x T t x x T21,αα很小，则()()t x T t x x T ,,d =+，即弦上张力不变。
y 轴方向：()()2221d d d sin ,sin ,d tux g x x F t x T t x x T ∂∂⋅⋅=⋅⋅=⋅+-+ρραα略去重力x g d ρ 有：x t uh x xu T t u x d d d 2222⋅∂∂-⋅∂∂⋅=∂∂ρ所以：02222=∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂t u h x u T tu ρρ 设2a T =ρ 有：02=+-t xx tt u hu a u ρ5.1-5一均匀细圆锥杆作纵振动，锥的顶点固定在0=x 处，试导出此杆的振动方程。
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于π。
证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。
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第五章 习题答案5.1-1一长为l 的均匀细杆，0=x 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长d 而静止（假定拉长在弹性限度内）。
突然放手使其振动，试写出振动方程与定解条件。
解：振动方程的形式与自由杆的振动方程一样。
()l x u a u xx tt ≤≤=-002ρYa =2初始条件：()()l x x ldx U ≤≤=00,()00,=x U t 边界条件：()0,0=t U ()0,0=t U x （右端自由振动）5.1-2 长为l 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在ε<-c x 处受到冲量I 的作用，写出初始条件。
解： ()00,=x U在ε≥-c x 处 ()00,=x U t在ε<-c x 处 由动量定理有： []ερερ2)0,(0)0,(2I x U x U I t t =⇒-⋅=即：()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=εερεc x Ic x x U t 200,5.1-3 长为l 的均匀细杆，在振动过程中，0=x 固定，另一端受拉力0F 的作用。
试写出边界条件。
（横截面积S ，杨氏模量Y ）。
解：()0,0=t U220),(tU S S t l P F ∂∂⋅⋅=⋅--ρεε当0→ε时有YSF t l U xU Y S F x lx 00),(=⇒∂∂⋅⋅==5.1-4线密度为ρ，长为l 的弦两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度受阻力tuhF ∂∂-=，试写出其运动方程。
解：如图，取微元x d ，它的两端与x 轴间的夹角分别为21αα、，两端受力分别为()()t x T t x x T ,,d 、+，受力分析如下：x 轴方向：()()0cos ,cos ,d 21=-+ααt x T t x x T21,αα很小，则()()t x T t x x T ,,d =+，即弦上张力不变。
y 轴方向：()()2221d d d sin ,sin ,d tux g x x F t x T t x x T ∂∂⋅⋅=⋅⋅=⋅+-+ρραα略去重力x g d ρ 有：x t uh x xu T t u x d d d 2222⋅∂∂-⋅∂∂⋅=∂∂ρ所以：02222=∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂t u h x u T tu ρρ 设2a T =ρ 有：02=+-t xx tt u hu a u ρ5.1-5一均匀细圆锥杆作纵振动，锥的顶点固定在0=x 处，试导出此杆的振动方程。
解：设体密度为ρ,取微元x d （s 与s '中间一段）则质量()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-'⋅+⋅⋅=s x s x x m 31d 31d ρ 而222d 2d x xx x x x x s s +≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+='故()x s s x x x x m d d 31d 23⋅⋅≈⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅=ρρ 纵向上由牛顿定律有：s t x P s t x x P tum ⋅-'⋅+=∂∂⋅),(),d (d 22()s x t x u x x x x t x x u Y t ux s ⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅∂+∂⋅=∂∂⋅),(d ,d d 222ρ1α2α xl()t x x T ,d +()t x T ,()t x u , x x x d +xss '()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂+∂⋅+∂∂-∂+∂≈x t x x u x x x t x u x t x x u Ys ,d d 2,,d 即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂x x ux x x u Ys t u x s d 2d d 2222ρ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+∂∂=∂∂x u x x x a x u x xu a t u x u x x u Y t u 22222222222222ρ（令ρYa =2）5.1-6. 长为l 且质量分布均匀的绳索，上端l x =固定在铅直轴上，由于重力作用，绳的平衡位置应是竖直线。
如果轴以常角速度ω旋转。
导出该绳索相对竖直线的微小振动方程及边界条件。
（惯性离心力）解：设绳相对于竖直线的位移为()t x u ,，取微元x x x d ~+，列方程：水平方向:非惯性参考系 多力平衡：()()tt u x u x t x T t x x T ⋅=⋅++⋅+-d d sin ,sin ,d 212ρωραα① 竖直方向：()()0d cos ,cos ,d 12=-⋅-⋅+x g t x T t x x T ραα②因为1cos cos 21≈≈αα由②式有：()()()gx x T x g t x T t x x T ρρ=⇒=-+d ,,d 又因为：dxx xu+∂∂=≈22tan sin ααxx u∂∂=≈11tan sin αα 所以由①式有：x u x u x u gx x u gxtt xdx x d d 2⋅=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+ρωρρρ 即：x u x u x x u x x gtt d d d 2⋅=⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-ρωρρ x()t x u ,x x d +1α2α x0=xl x =()t x x T ,d +()t x T ,ω2d ωρxu离心力所以： ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=x u x x gu u tt 2ω 边界条件为：()0,=t l u ()t u ,0有界。
5.2-1长为l 的均匀细杆，侧表面绝热，0=x 端有恒定热流密度1q 流入，l x =端有2q 流入，杆的初始温度分布为()2x l x -，试写出相应的定解条件。
解：初始条件：()()20,x l x x u -=边界条件：对0=x 0d d d d 1=⋅+'⋅∂∂t A q t A xuk当0→δ时有：()kq t u x 1,0-= ()A A d d ='同理：对l x = 0d d d d 2=⋅+''⋅∂∂-t A q t A xuk当0→δ时有：()kq t l u x 2,=()A A d d =''5.2-2半径为R 的金属圆柱，表面涂黑，太阳光垂直于圆柱轴照射到圆柱体侧表面的一半，设单位时间垂直于太阳光入射方向上单位面积通过的热量为q ，外界温度为C 0，试写出这个热传导问题的边界条件。
解：流入圆柱体内的热量有两个方面：①一是外界热源的流入； ②二是由于温度差而流入。
可以采用极坐标：0→δ时有：()0d d d d sin d d 1=-++'⋅∂∂-∑t A u u H t A q t A ukαρ上式中第一项为由Fourier 定律在圆柱体内由A 'd 流入体积元内的热量，第二项为①，第三项为②。
因为01=u ，且A A '=d d ，所以有0sin =-+∂∂-Hu q uk αρ于是，当πα≤≤0时，αρsin q Hu uk=+∂∂ 0=x 1ql x =2qxA 'dA ''dδA 'dA d RqαρqA d当παπ2≤≤时，0=+∂∂Hu ukρ5.2-3电阻率为σ的均匀细导线，通过均匀分布的直流电，电流密度为j ，试导出导线内的热传导方程。
解：当电流流过导线时，导线本身产生焦耳热，相当于导线内有一热源，其热源密度为：()()σσ22d d d d ,j Sx t tS x jS t x F =⋅⋅⋅⋅⋅=详细过程为：S t x u k Q xx ⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=d dS t x u k Q xx x x ⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++d d d d所以：()x t S c t u S x t t x F S t x u k x u k x x x d d d d ,d d ⋅⋅⋅⋅∂∂=⋅⋅⋅+⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ρ 即：()x t S c t uS x t t x F S t x x u kd d d d ,d d 22⋅⋅⋅⋅∂∂=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅∂∂ρ ()c j u a u c j u c k u c t u t x F xu k xx t a c kxx t ρσρσρρρ222222,=-−−−→−=-⇒⋅∂∂=+∂∂=令5.2-4设混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速率正比于当时尚储存着的水化热密度Q ，即Q tQβ-=d d ，试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。
解：设0=t 时，水化热密度为0Q ，则：⎰⎰-=⇒-=⇒-=t 0Q Q d d d d d d 0t Q Q t QQQ t Q βββ积分可得t 时刻的水化热密度为t e Q Q β-=0则放热速率（或单位时间单位体积内放出的热量，即热源密度）为：t e Q tQββ--=⋅01d d所以热传导方程为：()ce Q u u u c ku t zz yy xx t ρβρβ--=++-0 SSx x x d +x。