第三章：建模步骤与模型的识别

观察结果：存在均值递增趋势，非平稳的 考虑用一阶差分变换
例3.11
对原始数据一阶差分后的序列用时序图进行分析
#例3-11 #读入数据 b<-read.table("D:/2020学期时间序列/ 习题，案例数据集，R代码 /习题数据、案例数据、R代码 /data/file10.csv",sep=",",header = T) dif_x<-ts(diff(b$change_temp), start = 1880) #画时序图 Plot(dif_x) 观察结果：差分后的序列是平稳的
例3-10
第一步：通过观察时序图，序列应该是平稳的
例3-10
第二步：通过纯随机性检验结果，序列是非白噪 声序列
例3-10
第三步：通过观察自相关图和偏自相关图来识别模型
例3-10
第三步：通过观察自相关图和偏自相关图来识别模型
例3-10
自相关图
显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外， 其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根 据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确 定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截 尾
本例中，根据自相关系数拖尾，偏自相关系数2阶 截尾属性，我们可以初步确定拟合模型为AR(2)模型。
例3-10
美国科罗拉多州某一加油站连续57天的 OVERSHORT序列
步骤： 1. 是平稳序列吗？ 2. 是白噪声序列吗？ 3. 如果是平稳的而且是非白噪声序列，进 行模型识别，拟合什么模型合适呢？
例3-10
建立模型一般要经过以下几步： 1. 计算序列的样本自相关系数(SACF)和样本偏自相关系数
(SPACF)
2. 识别模型：根据SACF和SPACF的性质，提出一个适当 类型的ARMA(p,q)模型进行拟合。 识别出的模型可以不唯一
3. 估计识别出的模型的参数
3.3.1 平稳时间序列建模步骤
4.模型的有效性检验 检验随机误差项是否是白噪声项，如果所有模型都通不过 有效性检验，需要返回到第2步重新识别确定新的模型
偏自相关系数图
显示出正弦逐渐衰减的典型非截尾的现象。
识别的模型
综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合 模型定阶为MA(1)
例3.11
1880-1985全球气表平均温度改变值序列
步骤 1.是平稳序列吗？ 2.是白噪声序列（纯随机序列吗） 2.如果平稳非白噪声序列，进行模型 识别，拟合什么模型合适呢？
例子3-9
选择合适的模型拟合1950年-2008年我国 邮路及农村投递线路每年新增里程数序列。
步骤 1. 是平稳序列吗？（时序图或者自相关图） 2. 是白噪声序列（纯随机序列吗）（纯随机 性检验） 3. 如果平稳且是非白噪声序列，进行模型识 别，拟合什么模型合适呢？（自相关，偏自 相关图）
例子3-9
括小样本在内的一般情形，原假设下检验统计量
的分布
∑ ρˆk
~
N (0, 1 (1+ 2 k−1
n
l =1
ρˆl2 ))
给定0.05的检验水平，近似的接受域为
∑ ∑ = Pr −2 1n (1+ 2 kl
−11= ρˆl2 ) ≤ ρˆk ≤ 2 1n (1+ 2 kl
−1 1
ρˆl2
)
≥
0.95
2.本章目的是分析平稳非白噪声序列，对于非平稳的非 白噪声序列，可以通过合适的变换把序列变成平稳的。
在对实际的序列进行模型识别之前，应首先检验序列 是否平稳。若经过检验，序列是非平稳的，应先通过适当 变换将其化为平稳序列，再将原序列进行零均值化，然后 再进行模型识别。
模型识别前的说明
（一）关于非平稳序列
模型定阶的困难二：怎么判断拖尾现象
拖尾性判别准则
1、 如果样本相关系数在延迟很长时间后，样本自相关 系数仍然存在大于二倍标准误的现象，可以被认为是拖尾的。
2、 如果样本相关系数呈现出正弦或者余弦这类周期逐 渐衰减的形式，可以被认为是拖尾的。
模型定阶经验方法（一般情形）
前面的定阶方法主要适用于大样本情形，对于包
截尾性判别准则
Pr
−
2 n
≤
ρˆk
≤
2 n
≥
0.95
Pr
−
2 n
≤ φˆkk
≤
2 n
≥
0.95
如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准 差范围，而后几乎95％的自相关系数都落在2倍标准差的范 围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程 非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数 为d。
ρˆk -ρk
3. 推导出原假设下统计量 ρˆk ，φˆkk 分布 4. 给定检验水平，构造拒绝域。
接下来看原假设下统计量的分布
原假设下：样本相关系数的近似分布
Barlett
ρˆ k
~
N (0, 1 ) n
,n → ∞
Quenouille
φˆkk
~
N (0, 1 ) n
,n → ∞
注意：适用于大样本情形
模型识别前的说明
（二）关于非零均值的平稳序列
非零均值的平稳序列有两种处理方法： 设xt为一非零均值的平稳序列，且有E(xt)=μ
1、 用样本均值 x 作为序列均值μ的估计，建模前先
对序列作如下处理：
wt = xt − x
然后对零均值平稳序列wt建模。 2、 在模型识别阶段对序列均值是否为零不予考虑，
论截尾的完美情况，本应截尾的ρˆk 或 φˆkk 仍会呈现出小值
振荡的情况，也会导致出现误判为拖尾现象。
解决方法：点估计容易误判，借用假设检验的方法来判定。
模型定阶的困难一：检验方法
目的：构造原假设 ρk=0 ，ϕkk =0 的假设检验过程 步骤：1. 得到点估计 ρˆk φˆkk
2. 基于点估计构造检验统计量, 构造形式：
3.3《建模步骤与模型的识别》 教师： 肖 健
本章结构
1. 方法性工具 2. ARMA模型 3. 平稳序列建模 4. 序列预测
3.3 平稳序列建模
本节结构 建模步骤 模型识别 参数估计 模型检验 模型优化 序列预测
3.3.1 平稳时间序列建模步骤
首先将观察值序列进行平稳性检验和纯随机性检验的预 处理分类，对分出来的平稳非白噪声序列进行建模。
序列的非平稳包括均值非平稳和方差非平稳。 1、方差非平稳序列平稳化的方法：对数变换、 平方根 变换等。 在对经济时间序列分析之前往往要先对 数据取对数，目的是消除数据中可能存在 的异方差。然后再分析其相关图。 2、均值非平稳序列平稳化的方法：差分变换。 均值非平稳的序列，可以通过相关图粗 略的判断。对于经济时间序列，差分次数 通常只取0、1或2。
#例3-10 #从外部读入数据集 overshort<read.table("E:/R/data/file9.csv",sep=",",header = T) overshort<-ts(overshort[,2]) plot(overshort) #纯随机性检验 for(i in 1:2) print(Box.test(overshort,type = "LjungBox",lag=6*i)) #画自相关图和偏自相关图 acf(overshort) pacf(overshort)
第三步：根据样本相关图来识别模型
自相关系数 考察自相关系数衰减向零的过程，可以看到有明显
的正弦波动轨迹，这说明自相关系数衰减到零不是一个 突然的过程，而是一个有连续轨迹的过程，这是相关系 数拖尾的典型特征 偏自相关系数
考察偏自相关系数衰减向零的过程，除了1-2阶偏 自相关系数在2倍标准差范围之外，其他阶数的自相关 系数都在2倍标准差范围内做小值无序波动，这是一个 典型的相关系数2阶截尾特征 识别的模型
而在参数估计阶段，将序列均值作为一个参数加以估计。
模型识别前的说明
以一般的ARMA(p,q)为例说明如下：
设平稳序列xt的均值为µ , 其适应性模型为
ARMA( p, q),即:
(xt − µ) − φ1(xt−1 − µ) − − φp (xt− p − µ) = εt −θ1εt−1 −θ2εt−2 − −θqεt−q
在实际估计模型时，可将θ0看作一个常数估计， 若θ0显著不为0，则μ≠0，此时θ0 、 μ 有如上关系。 若θ0显著为0，则可认为μ=0，在最终模型中将此常数 项去掉即可。
二、模型识别的方法
模型识别方法
也称模型定阶，也就是要根据SACF（样本自 相关图）和SPACF（样本偏自相关图）表现出来 的性质，选择适当的ARMA模型拟合观察值序列。
#例3-9 #读入数据 a<-read.table("E:/R/data/file8.csv",sep=",",header = T) x<-ts(a$kilometer,start = 1950) plot(x) #纯随机性检验 for(i in 1:2) print(Box.test(x,type = "Ljung Box",lag=6*i)) #画自相关图和偏自相关图 acf(x) pacf(x)
自相关图的判定边界
识别模型的困难
识别问题
在实际中，相关图、偏相关图的特征不会像 理论上ACF、PACF那样“规范”，所以应该善于 从SACF、SPACF中识别出模型的真实的阶数p和q。 不能完全确定模型的类型和阶数。
解决方法
模型类型和模型阶数可以都不唯一，所以在模 型识别阶段应多选择几种模型形式，以供进一步选 择。
例3.11
对原始数据用时序图进行分析
#例3-11 #读入数据 b<-read.table("D:/2020学期时间序列/ 习题，案例数据集，R代码 /习题数据、案例数据、R代码 /data/file10.csv",sep=",",header = T) x<-ts(b$change_temp, start = 1880) #画时序图 Plot(x)