MATLAB优化应用

methmodeltjut@

mathematica

MATLAB优化应用

§1 线性规划模型

一、线性规划问题：

实例1：生产计划问题

假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B 类2000公斤，C类3000公斤。每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。

建立数学模型：

设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。f为该厂所获总润。

max f=70x1+120x2

s.t 9x1+4x2≤3600

4x1+5x2≤2000

3x1+10x2≤3000

x1,x2≥0

实例2：投资问题

某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益(投入资金百分比)如下表：工程项目收益表

由于某种原因，决定用于项目A的投资不大于其他各项投资之和而用于项目B和C的投资要大于项目D的投资。试确定该公司收益最大的投资分配方案。

建立数学模型：

设x1、x2 、x3 、x4分别代表用于项目A、B、C、D的投资百分数。

max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4

s.t x1-x2- x3- x4≤0

x2+ x3- x4≥0

x1+x2+x3+ x4=1

x j≥0 j=1,2,3,4

实例3：运输问题

有A、B、C三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。三个厂每天生产食品箱数上限如下表：

四个市场每天的需求量如下表：

从各厂运到各市场的运输费(元/每箱)由下表给出：

求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。

建立数学模型：

设a i j为由工厂i运到市场j的费用，x i j 是由工厂i运到市场j的箱数。b i 是工厂i的产量，d j是市场j的需求量。

1112131421

22232431

32

3334X X X X X

X X X X X X X X ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,2

132132134

1

1A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

(60,40,50),(20,35,33,34)b d ==

总运费 ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3424

14

332313322212312111

.114312312312x x x

x x x x x x x x x AX f T

34

11

4

1.

,1,2,3

ij ij

i j ij

i j Max f a x st x

b i ====≤=∑∑∑

4,3,2,1,3

1

=≥∑=j d x

j i ij

4,3,2,1;3,2,1,0==≥j i x ij

当我们用MATLAB 软件作优化问题时，所有求maxf 的问题化为求min(-f )

来作。约束g i (x)≥0，化为 –g i ≤0来作。

上述实例去掉实际背景，归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量x 的线性函数。

形如： (1) min f T X s.t A X ≤b

Aeq X =beq

lb ≤X ≤ub

其中X 为n 维未知向量，f T

=[f 1,f 2,…f n ]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A 为m ×n 矩阵，b 为其右端m 维列向量，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端常数列向量。lb,ub 为自变量取值上界与下界约束的n 维常数向量。

二．线性规划问题求最优解函数：

调用格式： x=linprog(f,A,b)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

[x,fval]=linprog(…)

[x, fval, exitflag]=linprog(…)

[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)

[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)

说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。

Options的参数描述：

Display 显示水平。选择’off’ 不显示输出；选择’iter’显示每一步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最终结果。

MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数

Maxiter 最大允许迭代次数

TolX x处的终止容限

[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的目标函数值。