高中一年级数学必修5数列经典例题(裂项相消法)

2．（2014?模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．

解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=．

由条件可知各项均为正数，故q=．

由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=．

故数列{a n}的通项式为a n=．

（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，

故=﹣=﹣2（﹣）

则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，

∴数列{}的前n项和为﹣．

7．（2013?）正项数列{a n}满足﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．

（1）求数列{a n}的通项公式a n；

（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．

解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，

可有（a n﹣2n）（a n+1）=0

∴a n=2n．

（2）∵a n=2n，b n=，

∴b n=

=

=，

T n=

=

=．

数列{b n}的前n项和T n为．

6．（2013?）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．

解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：，

解有a1=1，d=2．

∴a n=2n﹣1，n∈N*．

（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：

当n=1时，=，

当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．

∴=，n∈N*

由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．

∴b n=，n∈N*．

又T n=+++…+，

∴T n=++…++，

两式相减有：T n=+（++…+）﹣

=﹣﹣

∴T n=3﹣．

28．（2010?）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；

（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．

解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，

∵a3=7，a5+a7=26，

∴有，

解有a1=3，d=2，

∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；

S n==n2+2n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，

∴b n====，

∴T n===，

即数列{b n}的前n项和T n=．

25．（2008?）在数列{a n}中，a1=1，．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n；

（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和T n．

解：（Ⅰ）由条件有，又n=1时，，

故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即．

（Ⅱ）由有，，两式相减，有：，∴．

（Ⅲ）由有．

∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=．

3．（2010?）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．

解：（1）设{a n}的公差为d，

由已知有

解有a1=3，d=﹣1

故a n=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；

（2）由（1）的解答有，b n=n?q n﹣1，于是

S n=1?q0+2?q1+3?q2+…+n?q n﹣1．

若q≠1，将上式两边同乘以q，有

qS n=1?q1+2?q2+3?q3+…+n?q n．

上面两式相减，有

（q﹣1）S n=nq n﹣（1+q+q2+…+q n﹣1）

=nq n﹣

于是S n=

若q=1，则S n=1+2+3+…+n=

∴，S n=．

4．（2010?）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；

（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；

（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．

解：（1）由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2﹣a1+2=6

再令m=3，n=1，可有a5=2a3﹣a1+8=20

（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可有

a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8

于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8

即b n+1﹣b n=8

∴{b n}是公差为8的等差数列

（3）由（1）（2）解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列

则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2

另由已知（令m=1）可有

a n=﹣（n﹣1）2．

∴a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n

于是c n=2nq n﹣1．

当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1）

当q≠1时，S n=2?q0+4?q1+6?q2+…+2n?q n﹣1．

两边同乘以q，可有

qS n=2?q1+4?q2+6?q3+…+2n?q n．

上述两式相减，有

（1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n

=2?﹣2nq n

=2?

∴S n=2?

综上所述，S n=．

16．（2009?）已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．

解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，

则依题意可知d＞0由a2+a7=16，

有，2a1+7d=16①

由a3a6=55，有（a1+2d）（a1+5d）=55②

由①②联立方程求，有

d=2，a1=1/d=﹣2，a1=（排除）

∴a n=1+（n﹣1）?2=2n﹣1

（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n

a n+1=c1+c2+…+c n+1

两式相减，有

a n+1﹣a n=c n+1，由（1）有a1=1，a n+1﹣a n=2

∴c n+1=2，即c n=2（n≥2），

即当n≥2时，

b n=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2