二次函数单元检测卷
二次函数单元检测题满分：120分 时间：90分钟一．选择题（每小题4分，共40分）1、抛物线y=x 2-2x+1的对称轴是 ( ) (A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2 2、（2008年武汉市）下列命题： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④． 3、对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是 （ ） A 、顶点坐标为(－3，2) B 、对称轴为y=3C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小4、（2008年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 A. 0 B. －1 C. 1 D. 25、函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为 （ ） A.±2 B.－2 C.2 D.3 6、自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是 （ ） A.正比例函数 B.一次函数C.二次函数D.以上答案都不对7、下列结论正确的是 （ ）A.y =ax 2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数的取值范围是非零实数8、下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）模型的是 （ ） A 、在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与圆的半径之间的关系9、对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．22)1(x m y -= B ．22)1(x m y += C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -=10、二次函数y=x 2图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是 （ ）Ａ.y=x 2+3 Ｂ.y=x 2-3Ｃ.y=（x+3）2 Ｄ.y=（x-3）2第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题（每小题4分，共40分）11、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、已知二次函数的图像关于直线y=3对称，最大值是0，在y 轴上的截距是－1，这个二次函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
13、某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y 万元，年平均增长率为 x 。
则y 与x 的函数解析式＿＿＿＿＿＿。
14、m 取＿＿＿时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数. 15、（2006·）如图1所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴.第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是＿＿＿第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是＿＿＿＿.16、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y （单位：万元），且y=ax 2+bx ，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g （单位：万元），g 也是关于x 的二次函数.（1）y 关于x 的解析式＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）纯收益g 关于x 的解析式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）设施开放＿＿＿＿个月后，游乐场纯收益达到最大？＿＿＿＿个月后，能收回投资？17、已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，OA=OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式：①=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.正确的序号是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.18、（2006·）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a>0）的对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点为（x 1，0），且0<x 1<1，下列结论：①9a-3b+c>0；②b ＜c ；③3a+c>0，其中正确结论两个数有＿＿＿。
19、已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且顶点纵坐标为29，这个二次函数的解析式＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
20、（2006·）已知二次函数的图象开口向下，且经过原点.请写出一个符合条件的二次函数的解析式_____.三、解答题（共40分）21、（6分）请画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质.22、（8分）已知二次函数y=－41x 2+x+2 指出 (1)函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)把这个函数的图像向左、向下平移2个单位，得到哪一个函数的图像？ 23、（6分）已知y 是x 的二次函数，当x=2时，y=－4，当y=4时，x 恰为方程2x 2－x －8=0的根，求这个函数的解析式。
24、（10分）某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价（元/件）可看成是一次函数关系：（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？25、(2008年金华市)跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时超过．．她的头顶,请结合图像,写出t的取值范围·AO B DEF x y参考答案一、1、A ；提示：因为抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴方程是：y=-ab2，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A 正确．另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k 的形式，对称轴为x=h ，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选A ． 2、B ；3、A 、顶点坐标为(－3，2)4、A5、C.将（a,8）代入得a 3＝8，解得a=2 6、C ；是二次函数7、B.二次函数自变量的取值范围是所有实数8、C ；竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）9、C ．22)1(x m y +=对于任意实数m 都是二次函数10、D ；本题考查的是抛物线的平移.先画出y=x2的草图，图象向右平移3个单位对称轴为x ＝3，选项Ｄ中的二次函数的对称轴为x ＝3.二、11、函数关系式是2)1(20x y +=，即)0(2040202>++=x x x y 12、由图像的对称轴和函数的最大值，可知顶点坐标是(3，0)，设y=a(x －3)2, 把x=0，y=－1代入，得9a=－1 ，a=－91，∴y=－91(x －3)2 13、 设今年投资额为2（1+x ）元，明年投资为2（1+x ）2元∴由题意可得.y=2(1+x)+2(1+x)2=2x 2+6x+414、若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 15、解：（1）①，④； （2）②，③，④.16、（1）y=x 2+x ；（2）纯收益g=33x-150-（x 2+x ）=-x 2+32x-150（3）g=-x 2+32x-150=-（x-16）2+106，即设施开放16个月后游乐场的纯收益达到最大. 又在0<x≤16时，g 随x 的增大而增大，当x≤5时，g<0；而当x=6时，g>0，所以6个月后能收回投资.17、正确的序号为①②③④. 从图象中易知a>0，b<0，c<0，③正确；抛物线顶点纵坐标为-1，∴ ①对；当x=-1时y=a-b+c ，由图象知（-1，a-b+c ）在第二象限，∴ a-b+c>0，④正确；设C （0，c ），则OC=|c|，∵ OA=OC=|c|，∴ A （c ，0）代入抛物线得ac 2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故②正确.18、这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象，∵ 0<x1<1，∴点（1，a+b+c）在第一象限，又对称轴为直线x=-1，∴（-3，9a-3b+c）在第二象限，故①9a-3b+c>0正确；∵－ab2=-1，∴ b=2a，∴ b-a=2a-a=a>0.∴ b>a>c，故②不正确；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0，∴③正确；故答案为2个.19、解：∵点（1，0），（-5，0）是抛物线与x的两交点,∴抛物线对称轴为直线x=-2，∴抛物线的顶点坐标为（－2，29），设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则有∴所求二次函数解析式为20、如果设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，因为图象开口向下，所以a为负数，图象过原点，即c＝0，满足这两个条件的解析式有无数个.解：y＝－x2＋3x.三、21、分析:由以上探索求知，大家已经知道函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－12x2＋x－52的图象，进而观察得到这个函数的性质.解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；x …－2 －1 0 1 2 3 4 …y …－612－4 －212－2 －212－4 －612…(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－12x2＋x－52的图象.说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。
二次函数 单元检测试卷(含答案)
二次函数单元检测试卷(含答案)二次函数复套卷时间：120分钟满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1.下列各式中，y是x的二次函数的是（）A。
y = 1/2xB。
y = 2x + 1C。
y = x^2 + x - 2D。
y^2 = x^2 + 3x / x2.抛物线y = 2x^2 + 1的顶点坐标是（）A。
(2.1)B。
(0.1)C。
(1.0)D。
(1.2)3.二次函数y = ax^2 + bx - 1 (a ≠ 0)的图像经过点(1.1)，则a +b + 1的值是（）A。
-3B。
-1C。
2D。
34.抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是（）A。
0个B。
1个C。
2个D。
3个5.下列函数中，当x。
0时，y随x值的增大而先增大后减小的是（）A。
y = x^2 + 1B。
y = x^2 - 1C。
y = (x + 1)^2D。
y = -(x - 1)^26.二次函数y = ax^2 + bx + c的部分对应值如下表：x。
y2.51.-31.-42.-33.…二次函数图像的对称轴是（）A。
直线x = 1B。
y轴C。
直线x = -1D。
直线x = -27.如图，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴相交于(-2.0)和(4.0)两点，当函数值y。
0时，自变量x的取值范围是（）A。
x < -2B。
-2 < x < 4C。
x。
0D。
x。
48.二次函数y = ax^2 + bx + c的图像如图所示，那么一次函数y = ax + b的图像大致是（）9.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件。
在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A。
第二十二章二次函数单元测试 2024—2025学年人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数单元测试人教版2024—2025学年九年级上册一、选择题（每小题3分共12小题，满分36分）1.下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x﹣3 B．y=x2﹣（x+1）2 C．y=x（x﹣1）﹣1D．2.抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）3.抛物线y=x2+1的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=0D．直线y=14.若抛物线y=x2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0），则b和c的值为（）A．b=4，c=﹣3B．b=﹣4，c=3C．b=﹣4，c=﹣3D．b=4，c=﹣35.函数y=（x+2）（x﹣1）图象与x轴的交点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）、（1，0）C．（2，0）、（1，0）D．（2，0）、（﹣1，0）6.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x﹣4）2﹣25C．y=（x+4）2+7D．y=（x+4）2﹣257.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5 C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5 8.二次函数y=x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）9.若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2025的值为（）A．2027B．2026C．2025D．202410.抛物线y=﹣x2+2x+1与x轴两交点之间的距离是（）A．4B．2C．2D．011.二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，﹣3）B．（1，0）C．（1，﹣4）D．（3，0）12．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1．下列结论中：①abc＞0；①2a+b=0；①方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；①抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；①若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（每小题3分共6小题，满分18分13.抛物线y=2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k=．14.二次函数y=﹣x2+2kx+3的对称轴是x=2，则k=．15.已知函数y=﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1y2（填“＜”、“＞”或“=”）16.抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=．17.如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y=ax2；①y=bx2；①y=cx2；①y=dx2．比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为．18.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．二次函数单元检测卷答题卡姓名：____座位号：______ 准考证号：_______一、选择题（每小题3分共12小题，满分36分）题号123456789101112答案二、填空题（每小题3分共6小题，满分18分）13、_________ 14、___________ 15、_______________16、_________ 17、___________ 18、_______________三、解答题（满分46分）19.（6分）已知抛物线y=x2+（b﹣2）x+c经过点M（﹣1，﹣2b）．（1）求b+c的值．（2）若b=4，求这条抛物线的顶点坐标．20.（6分）已知抛物线y=﹣2x2+4x+c．（1）若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围；（2）若抛物线经过点（﹣1，0），求方程﹣2x2+4x+c=0的根．21.（8分）服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件70元，经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式．（2）求该服装店要想销售这批秋衣日获利750元，售价应定多少元？（3）请销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？22.（8分）如图，直线y=﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为A，且经过点B．（1）求该抛物线对应的函数解析式；（2）若点C（m，﹣）在该抛物线上，求m的值；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使PO+PB的值最小，求出点P的坐标．23. （9分）小明根据学习函数的经验，对函数y=x 4﹣5x 2+4的图象与性质进行了 探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应数值如下表：x …﹣2﹣112…y …4.33.20 ﹣2.2 ﹣1.4 02.83.74 3.7 2.8 0 ﹣1.4 ﹣2.2 m 3.2 4.3 …（1）其中m= ；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 ； （4）进一步探究函数图象发现：①方程x 4﹣5x 2+4=0有 个互不相等的实数根；①有两个点（x 1，y 1）和（x 2，y 2）在此函数图象上，当x 2＞x 1＞2时，比较y 1和y 2的大小关系为：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）； ①若关于x 的方程x 4﹣5x 2+4=a 有4个互不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．24.已知直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求①ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．。
二次函数单元检测题
二次函数单元检测题（时间：60分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列函数是二次函数的是( )．A ．x 2+2x+3=0 B. C ．y=3x+42 D ．2．二次函数y=（x-l ）2+3的图象的顶点坐标是( )． A ．（-1, 3) B ．(1, 3) C ．（-1 ,-3) D ．(1, -3) 3．y = x 2 的图象向上平移2个单位，得到新的图象的表达式是( )． A. y = x 2-2 B. y = (x -2)2C. y = x 2+2 D.y = (x+2) 24．把二次函数y = x 2 -2x -1配方成顶点式为( )．A .y= (x-l) 2 B. y= (x-l) 2 -2 C. y= (x+l) 2 +1 D. y = (x+l) 2-25．一批商品在销售中所获得的总利润y （元）与商品单价x （元）之间满足关系式： y=x 2—20x +6100．如果将商品单价定为12元，那么所获得的总利润为( )． A ．10元 B ．100元 C ．16000元 D ．6004元 6．二次函数y=x 2-2x+l 与x 轴的公共点个数是( )． A ．0 B ．l C ．2 D ．37．若二次函数y =x 2 -1与y= - x 2 +k 的图象顶点重合，则下列结论不正确的是( )． A ．这两个函数图象有相同的对称轴 B ．这两个函数图象的开口方向相反 C ．方程- x 2 +k =0没有实数根D ．二次函数y= - x 2+k 的最大值为8．已知二次函数的图象如图，表达式y= ax 2+ bx+c (a ≠0)，则下列结论：①a ，b 同号； ②当x=l 和x=3时，函数值相等； ③4a+6=O ； ④当y= -2时，x 值只取0 其中正确的有()．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．已知二次函数y= - 2x 2+ 2kx -3的顶点在x 轴的负半轴上，则k 的值等于( )．A ． 6B ．-6C ．D ． 21y xx =+21x 52y =-12月份是( )．A ．1月、2月、3月B ．2月、3月、4月 C. 1月0月、12月 D ．1月、11月、12月 二、填空题（每小题4分，共20分）1l 、函数y= (x —1)2+3，当x 时，函数值y 随x 的增大而增大．12．已知抛物线y= ax 2+ bx+c (a ＞0)，的对称轴为直线x=l ，且经过点（-1，y 1），(2，y 2)，试比较y 1与y 2的大小：y 1 y 2（填“>”“<”或“≠”）．13．用一定长度的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x( m)与面积y(m 2)满足关系式y= - (x -12)2+144(0 <x <24)，则该矩形而积的最大值为14．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上，请写出一个满足条件的二次函数关系式： 15．已知二次函数y= ax 2+ bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），x 与y 的部分对应值如下表．则当x 满足的条件是________时，y=0; 当x 满足的条件是 时，y>0.三、解答题(共40分） 16．（12分）如图所示，二次函数y= ax 2+ bx+c 的图象经过A 、B 、C 三点．(1)观察图象写出A 、B 、C 三点的坐标，并求出此二次函数的表达式；(2)求出抛物线的顶点坐标和对称轴． 1217．（12分）有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下河面宽20m，水面距拱顶4m．(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式；(2)为了保证船只通过，桥下水面的宽度不得小于18m，问:水面在正常水位基础上上涨多少m时，就会影响船只通过？18．（16分）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当降价措施,经调查显示，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售2件．(1)设每件降价x元，每天盈利y元，写出y与x的关系式；(2)若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？(3)每件降价多少元时，商场每天盈利最大？最大盈利是多少元？。
第一章 二次函数 单元测试卷(含答案)2024-2025学年浙教版数学九年级上册
二次函数单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）A．y=1x2B．y=x2+1x+1C．y=2x2−1D．y=x2−12．一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，−4)，则这个二次函数的解析式为（ ）A．y=−2(x+2)2+4B．y=2(x+2)2−4C．y=−2(x−2)2+4D．y=2(x−2)2−43．已知A(−1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)三点都在抛物线y=x2−3x+m上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y2<y14．将抛物线y=3x2+2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）A．y=3(x−2)2−1B．y=3(x−2)2+5C．y=3(x+2)2−1D．y=3(x+2)2+55．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是( )A．B．C．D．6．若m＜n＜0，且关于x的方程a x2−2ax+3−m=0（a＜0）的解为x1，x2(x1<x2)，关于x的方程a x2−2ax+3−n=0（a＜0）的解为x3，x4(x3<x4)．则下列结论正确的是（ ）A．x3<x1<x2<x4B．x1<x3<x4<x2C．x1<x2<x3<x4D．x3<x4<x1<x27．已知二次函数y=a x2+bx+c满足以下三个条件：①b2a>4c，②a−b+c<0，③b<c，则它的图象可能是（ ）A．B．C．D．8．小明在解二次函数y=a x2+bx+c时，只抄对了a=1，b=4，求得图象过点(−1，0)．他核对时，发现所抄的c比原来的c值大2．则抛物线与x轴交点的情况是（ ）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不确定9．已知二次函数y=x2−bx+1，当−32≤x≤12时，函数y有最小值12，则b的值为（ ）A．−2或32B．−116或32C．±2D．−2或−11610．如图，把二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做y=a x2+bx+c(a≠0)的“陷阱”函数．小明同学画出了y=a x2+bx+c(a≠0)的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（ ）①图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②由图象得a=1，b=−2，c=−3；③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为(0，−3)；④y=−a x2−bx−c(a≠0)的“陷阱”函数与y=a x2+bx+c(a≠0)的“陷阱”函数的图象是完全相同的．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题4分，共24分）11．若y=(m2+m)x m2+1−x+3是关于x的二次函数，则m= ．12．如图所示，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 s. 13．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，其中点A，C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 第12题图第13题图第16题图14．若把二次函数y=x2−2x−2化为y=(x−ℎ)2+k的形式，其中ℎ，k为常数，则ℎ+k= ．15．y关于x的二次函数y=a x2+a2，在−1≤x≤1时有最大值6，则2a= ．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2−3x与x轴的正半轴交于点E.矩形ABCD2的边AB在线段OE上，点C、D在抛物线上，则矩形ABCD周长的最大值为 .三、综合题（17-20、22每题6分，21、23每题8分，共46分）17．已知点M为二次函数y=−(x−m)2+4m+1图象的顶点，直线y=kx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由；（2）如图，若二次函数图象也经过点A，B，且kx+5>−(x−m)2+4m+1，根据图象，直接写出x的取值范围．18．如图，二次函数y=a x2+2ax+c的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且OA=OC=3.（1）求二次函数及直线AC的解析式.（2）P是抛物线上一点，且在x轴上方，若∠ABP=45°，求点P的坐标.19．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y={mx−76m(1≤x<20，x为正整数)，n(20≤x≤30，x为正整数)，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是W元．（1）m= ，n= ；（2）销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？20．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(−2,0)，C(6,0)，反比例函数y=kx (k≠0,x>0)的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E．（1）求m，k的值；（2）点P为反比例函数y=kx(k≠0,x>0)图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．21．如图，已知二次函数y=a x2+2x+c的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.（1）求二次函数y=a x2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把ΔPOC沿y轴翻折，得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.22．根据以下素材，探索完成任务．如何设计跳长绳方案素材1图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．素材2某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．问题解决任务1确定长绳形状在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．任务2探究站队方式当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？任务3拟定位置方案为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．23．如图，对称轴为直线x=−1的抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−3，0)，且点(2，5)在抛物线y=a x2+bx+c上．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线与y轴的交点；①点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P点坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】112．【答案】3613．【答案】x1=-2，x2=114．【答案】-215．【答案】2或−616．【答案】1317．【答案】（1）解：点M在直线y=4x+1上，∵y=−(x−m)2+4m+1，∴点M坐标为(m，4m+1)，把x=m代入y=4x+1上得y=4m+1，∴点M(m，4m+1)在直线y=4x+1上；（2）解：把x=0代入y=kx+5，可得y=5，∴点B坐标为(0，5)，把(0，5)代入y=−(x−m)2+4m+1，可得5=−m2+4m+1，解得m1=m2=2，∴y=−(x−2)2+9，把y=0代入y=−(x−2)2+9，可得0=−(x−2)2+9，解得x1=−1，x2=5，∵点A在x轴正半轴上，∴点A坐标为(5，0)，∴x<0或x>5时，kx+5>−(x−m)2+4m+1．18．【答案】（1）解：∵OA=OC=3，∴点A(−3，0)，C(0，3)，∴{9a−6a+c=0c=3，解得{a=−1c=3，∴二次函数的解析式为y=−x2−2x+3，设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点A(−3,0)，C(0,3)代入，得{−3k+b=0b=3，解得{k=1b=3，∴直线AC的解析式为y=x+3；（2）解：如图，过点B作BP⊥AC交抛物线于点P，∵OA=OC，OA⊥OC，∴∠CAB=45°，∴∠ABP=45°，∴直线PB可以看作由直线y=-x向右平移得到，∴设PB的解析式为y=−x+m，∵二次函数的表达式为y=−x2−2x+3，令y=0，即−x2−2x+3=0，解得x1=−3，x2=1，∴点B(1,0)，代入y=−x+m，得m=1，∴PB的解析式为y=−x+1，联立得{y=−x2−2x+3y=−x+1，解得{x=1y=0或{x=−2 y=3，∴点P的坐标为(−2，3).19．【答案】（1）−12；25（2）解：由（1）知第x天的销售量为20+4(x−1)=(4x+16)千克．当1≤x<20时，W=(4x+16)(−12x+38−18)=−2x2+72x+320=−2(x−18)2+968，∴当x=18时，W取得最大值，最大值为968．当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25−18)=28x+112．∵a=28>0，∴W随x的增大而增大，∴W最大=28×30+112=952．∵968>952，∴当x=18时，W最大=968．答：销售优质葡萄第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元．20．【答案】（1）解：∵A(−2,0)，C(6,0)，∴AC=8．又∵AC=BC，∴BC=8．∵∠ACB=90°，∴点B(6,8)．设直线AB的函数表达式为y=ax+b，将A(−2,0)，B(6,8)代入y=ax+b，得{a=1,b=2.∴直线AB的函数表达式为y=x+2．将点D(m,4)代入y=x+2，得m=2．∴D(2,4)．将D(2,4)代入y=kx，得k=8．（2）解：延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．∵AC=BC，∠BCA=90°，∴∠BAC=45°．∵PN∥x轴，∴∠BLN=∠BAC=45°，∠NQM=90°．∵AB∥MP，∴∠MPL=∠BLP=45°，∴∠QMP=∠QPM=45°，∴QM=QP．设点P 的坐标为(t ,8t)，(2<t <6)，则PQ =t ，PN =6−t ．∴MQ =PQ =t ．∴S △PMN =12⋅PN ⋅MQ =12⋅(6−t)⋅t =−12(t−3)2+92．∴当t =3时，S △PMN 有最大值92，此时P(3,83)．21．【答案】（1）解：将点B 和点C 的坐标代入 y =a x 2+2x +c ，得 {c =39a +6+c =0 ，解得 a =−1 ， c =3 ．∴ 该二次函数的表达式为 y =−x 2+2x +3 ．（2）解：若四边形POP′C 是菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上；如图，连接PP′，则PE ⊥CO ，垂足为E ，∵ C （0，3），∴ E（0， 32 ），∴ 点P 的纵坐标等于 32 ．∴−x 2+2x +3=32 ，解得 x 1=2+102， x 2=2−102（不合题意，舍去），∴ 点P 的坐标为（ 2+102， 32 ）．（3）解：过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （m ， −m 2+2m +3 ），设直线BC 的表达式为 y =kx +3 ，则 3k +3=0 ， 解得 k =−1 .∴直线BC 的表达式为 y =−x +3 ．∴Q 点的坐标为（m ， −m +3 ），∴QP =−m 2+3m .当 −x 2+2x +3=0 ，解得 x 1=−1，x 2=3 ，∴ AO=1，AB=4，∴ S 四边形ABPC =S △ABC +S △CPQ +S △BPQ= 12AB ⋅OC +12QP ⋅OF +12QP ⋅FB = 12×4×3+12(−m 2+3m)×3当 m =32时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点的坐标为 (32，154) ，四边形ABPC 的面积的最大值为 758．22．【答案】解：任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，如图：由已知可得， (0，1) ， (6，1) 在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为 2.5 ，设抛物线解析式为 y =a x 2+bx +c ，∴{c =136a +6b +c =14ac−b 24a=52 ，解得 {a =−16b =1c =1，∴抛物线的函数解析式为 y =−16x 2+x +1 ；任务二：∵y =−16x 2+x +1=−16(x−3)2+52，∴抛物线的对称轴为直线 x =3 ，10 名同学，以直线 x =3 为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的 3 位男同学所在位置横坐标分布是 3−0.5×12=114 ， 114−0.5=94和 94−0.5=74，当 x =74 时， y =−16×(74−3)2+52=21596≈2.24>1.8 ，∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，同理当 x =34 时， y =−16×(34−3)2+52=5332≈1.656<1.66 ，∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；任务三：两路并排，一排 5 人，当 y =1.66 时， −16x 2+x +1=1.66 ，解得 x =3+3145 或 x =3−3145，但第一位跳绳队员横坐标需不大于 2 （否则第二、三位队员的间距不够 0.5 米）∴3−3145<x ≤2 ．23．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x =−1，又∵点A(−3，0)与(2，5)在抛物线上，∴{9a−3b +c =04a +2b +c =5−b 2a=−1，解得{a =1b =2c =−3，∴抛物线的解析式为y =x 2+2x−3；（2）解：①由（1）知，二次函数的解析式为y =x 2+2x−3，∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0，−3)，与x 轴的另一交点为B(1，0)，则OC =3，OB =1，设P 点坐标为(x ，x 2+2x−3)，∵S △POC =4S △BOC ，∴12×3×|x|=4×12×3×1，∴|x|=4，则x =±4，当x =4时，x 2+2x−3=16+8−3=21，当x =−4时，x 2+2x−3=16−8−3=5，∴点P 的坐标为(4，21)或(−4，5)；②如图，设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A(−3，0)，C(0，−3)代入得{−3k +t =0t =−3，解得{k =−1t =−3，∴直线AC 的解析式为y =−x−3，设Q 点坐标为(x ，−x−3)，−3≤x ≤0，则D 点坐标为(x ，x 2+2x−3)，∴QD =(−x−3)−(x 2+2x−3)=−x 2−3x =−(x +32)2+94，∴当x =−32时，线段QD 的长度有最大值94．。
二次函数单元测试卷(含答案)
二次函数单元测试卷(含答案) 二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.当-2≤x≦1，二次函数y=-(x-m)²+ m+1有最大值4，则实数m值为（）A。
-7/4 B。
3或-3 C。
2或-3 D。
2或3或-742.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点个数为（）A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
1个或2个3.关于二次函数y=ax²+bx+c，下列命题中正确的个数是（）①当c=0时，函数的图像经过原点；②当c>0，且函数图像开口向下时，方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是4ac-b²/4a；④当b=0时，函数的图像关于y轴对称。
A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个4.二次函数y=2mx+(8m+1)x+8m的图像与x轴有交点，则m的范围是（）A。
m-1/16 D。
m≥1/16且m≠-1/165.下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个不同的交点，这个函数是（）A。
y=x² B。
y=x+4 C。
y=3x²-2x+5 D。
y=3x+5x²-16.若二次函数y=ax+c，当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A。
a+c B。
a-c C。
-c D。
c7.下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（）A。
y=x²-2x+1 B。
y=x²+4 C。
y=x²-2x+1 D。
y=3x+5x²-18.抛物线y=-3x²+2x-1的图像与坐标轴交点的个数是（）A。
没有交点B。
只有一个交点C。
有且只有两个交点D。
有且只有三个交点9.函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，关于x的一元二次方程ax²+bx+c-3=0的根的情况是（）A。
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数》单元测试卷附有答案
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数》单元测试卷附有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共10小题，满分40分)1．关于抛物线22y x x =-+，下列说法错误的是（ ） A ．该抛物线经过原点B ．该抛物线的对称轴是直线1x =C ．该抛物线的最大值为1D ．当0x >时，y 随x 增大而减小2．已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象如图所示，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．用20cm 长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm ，面积是Scm 2，则S 与x 的函数关系式为（ ）A ．S ＝x （20﹣x ）B ．S ＝x （20﹣2x ）C ．S ＝x （10﹣x ）D ．S ＝2x （10﹣x ）4．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ． B ． C ．D ．5．若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点之间的距离为2，抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(2,3)--B ．(1,3)-C ．(3,2)-D ．(2,3)-6．如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =，与y 轴的一个交点坐标为()0,3，其部分图象如图所示，下列结论：①<0abc ；①40a c +>；①方程20ax bx c ++=有一个实根大于2；①当0x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．下列抛物线平移后可得到抛物线y=-（x -2）2的是（ ） A ．y=-x 2B ．y=x 2-2C ．y=（x -2）2+1D ．y=（2-x ）28．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） ①abc ＜0；①a+c ＞0；①2a+b=0；①关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解是x 1=﹣1，x 2=3①b 2＜4acA ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①9．设函数221y x kx k =-+-（k 为常数），下列说法正确的是（ ）A ．对任意实数k ，函数与x 轴都没有交点B ．存在实数n ，满足当x n ≥时，函数y 的值都随x 的增大而减小C ．k 取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条直线上D ．对任意实数k ，抛物线221y x kx k =-+-都必定经过唯一定点 10．在平面直角坐标系中，若点()11,M x y ，()()2212,N x y x x <是抛物线()220y mx x m m =-+>上的两点，且满足124x x +=时，都有12y y >，则m 的取值范围是（ ）A ．102m <<B ．104m <<C ．12m >D ．1142m <<二、填空题（共8小题，满分32分）11．二次函数y=﹣2（x ﹣1）2+3的图象与y 轴的交点坐标是 ．12．若点A(2，m )在函数21y x =-的图象上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是 . 13．把抛物线2y x =-向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线()213y x =--+. ( )14．已知抛物线22y x mx m =-++，当21x -<<时，y 随x 的增大而增大，m 的取值范围是 ． 15．已知抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，6），在下列5个点中，对于不在此抛物线上的一点P ，将点P 平移到点P ′，使点P ′在此抛物线上，写出点P 的坐标及平移方法：（1，32），（﹣1，32），（1，﹣32），（2，8），（2，3）答： ．16．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元（a ＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，a 的取值范围应为 ．17．若将图中的抛物线y =x 2-2x +c 向上平移，使它经过点（2，0），则此时的抛物线位于x 轴下方的图象对应x 的取值范围是 .18．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；①b＞a+c；①4a+2b+c＞0；①b2﹣4ac＞0；其中正确的是．三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分）19．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品的售价应为多少元？(2)如果要使商场一天获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？20．已知二次函数2=++过点A（1，0），B(-3，0)，C（0，-3）y ax bx c(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴上求点F，使AF+CF最小，求点F的坐标．(3)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B （4，0），交直线AD 于点D （3，52），过点D 作DC ①x 轴于点C ．（1）直接写出：a ＝ ，b ＝ ；（2）点P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PN ①x 轴交直线AD 于点M ，交抛物线于点N ；若点P 在线段OC 上（不与O 、C 重合），连接CM ，求①PCM 面积的最大值．22．函数y=ax 2（a≠0）的图象与直线y=2x ﹣3交于点（1，b ）． （1）求a 和b 的值．（2）求抛物线y=ax 2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．（3）求抛物线与直线y=﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．23．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求拋物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线23=-++与x轴交于点A和点B（点A在点By x mx左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x=1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；（2）当已知点P（m，2），Q(－m，2m－1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．参考答案：12．（2，-3）13．√14．m1≥15．（1，﹣32）向上平移3个单位，点（2，8）向下平移2个单位16．0＜a＜617．0＜x＜218．①①①．19．(1)92(2)520．(1)223y x x=+-；(2)F（1-，2-）；(3)P（17-+，3）或（17--，3）或（0，3-）或P（2-，3-）．21．（1）﹣34和114；（2）最大值为251622．(1)a=-1,b=-1;(2) 顶点坐标（0，0），对称轴x=0;(3)6 23．(1)223y x x=--+(2)存在，点P坐标为(1,6)-或(1,10)-或(1,10)--或5 (1,)3 -24．（1）点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)；（2）m≤－2 或m≥1。
九年级二次函数单元测试卷
九年级二次函数单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 二次函数y = x^2+1的图象的顶点坐标是（）A. (0,1)B. (1,0)C. ( - 1,0)D. (0, - 1)2. 二次函数y = - 2(x - 3)^2+5的对称轴是（）A. x = - 3B. x = 3C. x = 5D. x = - 53. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. a < 0，b < 0，c > 0B. a < 0，b > 0，c > 0C. a < 0，b < 0，c < 0D. a < 0，b > 0，c < 0（此处可插入一个二次函数图象，顶点在第二象限，开口向下，与y轴负半轴相交）4. 把二次函数y = 3x^2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A. y = 3(x - 2)^2+1B. y = 3(x + 2)^2-1C. y = 3(x - 2)^2-1D. y = 3(x + 2)^2+15. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，当x = 1时，y = a + b + c，那么(1,a + b + c)这个点在二次函数y = ax^2+bx + c图象上的位置是（）A. 一定在对称轴左侧。
B. 一定在对称轴右侧。
C. 一定在顶点处。
D. 可能在图象上的任何位置。
6. 已知二次函数y = kx^2-7x - 7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k>-(7)/(4)B. k≥slant-(7)/(4)且k≠0C. k≥slant-(7)/(4)D. k > - (7)/(4)且k≠07. 二次函数y = x^2-2x - 3，当y < 0时，x的取值范围是（）A. -1 < x < 3B. x < - 1或x > 3C. x < - 1且x > 3D. -3 < x < 18. 二次函数y = mx^2+2mx - 3m（m≠0）的图象过定点（）A. (1,0)和( - 3,0)B. ( - 1, - 4m)和(3,0)C. (1, - 4m)和( - 3,0)D. ( - 1,4m)和( - 3,0)9. 若二次函数y=(m - 1)x^2+2x + 1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）A. m < 2B. m≤slant2C. m < 2且m≠1D. m≤slant2且m≠110. 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y = x^2-mx + m - 2（m为实数）的零点的个数是（）A. 1B. 2C. 0D. 不能确定。
二次函数单元测试题
二次函数单元测试题一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是：A. (0, 0)B. (-b/2a, -Δ/4a)C. (-b/a, -c/a)D. (b/a, c/a)2. 抛物线y = x^2 + 4x + 3的对称轴方程是：A. x = -1B. x = -2C. x = 2D. x = 13. 若二次函数y = -2x^2 + 5x - 3的图像与x轴交于两点A和B，则这两点的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 54. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的最小值是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + k的最大值为6，则k的值是：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题6. 若二次函数y = -x^2 + 4x - 3的图像与y轴交于点P，则点P的坐标是 ______ 。
7. 二次函数y = x^2 + 2x - 3的顶点坐标是 ______ ，对称轴是______ 。
8. 已知抛物线y = -2x^2 + 4x + 5与x轴的一个交点坐标为(1, 0)，则另一个交点坐标是 ______ 。
9. 若二次函数y = 3x^2 - 6x + 9的最大值为0，则其图像的开口方向是 ______ 。
三、解答题10. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + k，其图像在x轴上有两个交点，求k的取值范围。
11. 某公司生产的产品的年利润L（单位：万元）与年销售量x（单位：千件）之间的关系可以用二次函数L = -x^2 + 6x + 5来描述。
求年销售量为多少时，该公司的年利润最大？12. 一个抛物线形状的拱桥，其最高点距水面2米，跨度为6米。
若拱桥的方程为y = ax^2 + bx + c，请确定其方程。
13. 一个二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图像与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C。
求点A、B、C的坐标。
第1章 二次函数 单元检测(解析卷)
二次函数单元检测一、单选题1．把二次函数y=−x2的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（）A．y=−(x+1)2+3B．y=−(x+1)2−3C．y=−(x−1)2−3D．y=−(x−1)2+3【答案】A【详解】解：y=−x2的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位得y=−(x+1)2+3．故选A．2．用配方法将二次函数y=−x2−2x−3化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为（）A．y=−(x−1)2+3B．y=(x+1)2−4C．y=−(x+1)2−2D．y=(x−1)2+2【答案】C【详解】解：y=−x2−2x−3=−(x2+2x+1)−2=−(x+1)2−2故选：C．3．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度ℎ（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式ℎ=−5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（）A．4秒B．3秒C．2秒D．1秒【答案】B【详解】解：∵ℎ=−5t2+15t，∴当ℎ=0时，即：0=−5t2+15t，解得：t=0或t=3，∴球弹起后又回到地面所经过的时间t是3秒．故选：B．4．函数y=(1+m)x m2−2m−1是关于x的二次函数，则m的值为（）A．2B．−1或3C．3D．m不存在【答案】C【详解】解：由题意得{m2−2m−1=21+m≠0，解得：m=3，故选：C．5．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（）A．y=9(1+x)2B．y=9+9x+x2C．y=9+9(1+x)+9(1+x)2D．y=9(1+x)2【答案】C【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：9(1+x)，三月份新产品的研发资金为：9(1+x)2，今年一季度新产品的研发资金y=9+9(1+x)+9(1+x)2，故选：C．6．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（ ）④y＝3x2．①y＝x②y＝﹣2x+1③y＝﹣1xA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】①函数为增函数，满足题意；②函数为减函数，不满足题意；③函数为反比例函数，图象在二、四象限函数值y随x的增大而增大；④函数对称轴为y轴，开口向上，当x＜0时，函数值y随x的增大而减小，不满足题意；故选B．7．如图，二次函数y=x2−ax+1和y=ax−a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B>0，在y轴右侧，一次函数y=ax−a经过第一、三、四象【详解】解：当a>0时，二次函数对称轴x=a2<0，在y轴左侧，一次函数y=ax−a经过第一、二、四象限；限；当a<0时，二次函数对称轴x=a2故选项A、C、D不合题意，选项B符合题意．故选：B．8．已知(−4,y1)，(2.5,y2)，(5,y3)是抛物线y=−3x2−6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1>y2>y3B．y3>y2>y1C．y1>y3>y2D．y2>y1>y3【答案】A【详解】解：根据题意，则∵y=−3x2−6x+m，=−1，∴对称轴是：x=−−62×(−3)∵−3<0，∴当x>−1时，y随x的增大而减小，∵2.5<5，∴y2>y3，∵−1−(−4)<2.5−(−1)，∴y1>y2，∴y1>y2>y3；故选：A9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x，由题可得：∴EF=EH=2x，BE=12−x，在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2，∴(2x )2+(2x )2=(12−x )2，∴x =4，∴当0<x ≤4时，y =(2x )2=2x 2，∵2>0，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，当HG 在BC 下方时，设AE =x ，由题可得：∴EF =2x ，BE =12−x ，∵∠AEF =∠B =45°，∠A =∠EOB =90°,∴△FAE ∽△EOB ，∴AE EF =EO EB ，∴x 2x =EO 12−x ，∴EO =12−x2，∴当4<x <12时，y =(2x )·12−x2=(12−x )x =−x 2+12x ，∵−1<0，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A 正确，故选：A ．10．如图，二次函数y =−x 2+2mx +2m +1（m 是常数，且m >0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ．若∠BEF =2∠ACO ，则m 的值为（ ）A ．12B ．22C ．2−12D ．3−12【详解】当y =0时，−x 2+2mx +2m +1=0，解方程，得x 1=−1，x 2=2m +1，∵点A 在点B 的左侧，且m >0，∴A(−1,0)，B(2m +1,0)，当x =0时，y =2m +1，∴C(0,2m +1)，∴OB =OC =2m +1，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =45°，∵EF ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∵∠BEF =2∠ACO ，∴∠BCO =2∠ACO ，作∠OCB 的平分线交OB 于点G ，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，如图，∴∠BCO =2∠OCG ，GH =GO ，∴∠ACO =∠GCO ，在△ACO 和△GCO 中，{∠ACO =∠GCO OC =OC ∠AOC =∠GOC，∴△ACO≌△GCO(ASA)，∴OA =OG =1，∴GB =OB−OG =2m +1−1=2m ，∵GH ⊥BC ，∠GBH =45°，∴GB =2GH ，即2m =2，∴m =22．二、填空题11．下列函数一定是二次函数的是 ．①y =ax 2+bx +c ；②y =−3x ；③y =4x 2−3x +1；④y =(m−1)x 2+bx +c ；⑤y =(x -3)2-x 2【答案】③【详解】解：①y =ax 2+bx +c ，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；②等号右边为分式，故②不是二次函数；③y =4x 2−3x +1是二次函数，故③是二次函数；④y =(m−1)x 2+bx +c ，m =1时，该式不是二次函数；⑤y =(x−3)2−x 2=x 2−6x +9−x 2=−6x +9，该式不是二次函数；故答案为：③．12．把抛物线y =x 2+6向下平移3个单位，得到抛物线 ．【答案】y =x 2+3【详解】解：将抛物线y =x 2+6向下平移3个单位所得直线解析式为：y =x 2+6-3；即：y =x 2+3．故答案为：y =x 2+3．13．若二次函数y =2x 2−4x−1的图象与x 轴交于A (x 1，０)，B (x ２，０)两点，则1x 1+1x 2的值为 ．【答案】﹣4【详解】设y=0，则2x 2−4x−1=0，∴一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，即x 1，x 2，∴x 1+x 2=−−42=2，x 1x 2=−12∴1x 1+1x 2 =x 1+x 2x 1x 2=2−12=-4，故答案为−4．14．如图，P 是抛物线y=﹣x 2+x+1在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为 ．【答案】4【详解】试题解析：∵y=-x2+x+1，∴当y=0时，-x2+x+1=0，解得 x=1+52或x=1−52故设P （x ，y ）（1+52＞x ＞0，y ＞0），∴C=2（x+y）=2（x-x2+x+1）=-2（x-1）2+4．∴当x=1时，C最大值=4，．即：四边形OAPB周长的最大值为4．15．若直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有三个不同交点，则b的取值范围为．【答案】−3<b<−158【详解】对于抛物线y=−2x2+8x−6，当y=0时，x=3或x=1，对于抛物线y=−2x2+16x−30=−2(x−3)(x−5)，当y=0时，x=3或x=5，两条抛物线如下图：∴A(3,0)，B(5,0)，C(1,0)，当直线y=x+b经过A(3,0)时，3+b=0，得b=−3，此时直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有两个交点，此时y=x−3，结合图象可知，当直线y=x+b在y=x−3下方时，只有两个交点不符合题意；当直线y=x+b与抛物线y=−2x2+16x−30只有一个交点时，即：方程−2x2+16x−30=x+b只有一个解，即：方程−2x2+15x−30−b=0只有一个解，，∴Δ=152−4×(−2)×(−30−b)=0，解得：b=−158此时直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有两个交点，此时y=x−15，8上方时，最多只有两个交点不符合题意；结合图象可知，当直线y=x+b在y=x−158时，直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有三综上，当−3<b<−158个不同交点，．故答案为：−3<b<−15816．如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点(0,2)，则图象最低点的横坐标是．【答案】2−1【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2∴AB=AC=1，BC=2，图象最低点函数值即为AE+CD 的最小值由题意可得：CD=x 2+1,AE=(22−x )2+(22)2 ∴AE+CD=x 2+1+(22−x )2+(22)2，即点（x ，0）到（0,-1）与（22，22）的距离之和∴当这三点共线时，AE+CD 最小设该直线的解析式为y=kx+b{−1=b 22=22k +b 解得{k =2+1b =−1 ∴y =(2+1)x−1当y=0时，x=2−1．故填2−1．三、解答题17．已知函数y =(m 2−9)x 2−(m−3)x +2．(1)当m 为何值时，这个函数是二次函数？(2)当m 为何值时，这个函数是一次函数？【详解】（1）解：当函数y =(m 2−9)x 2−(m−3)x +2为二次函数时，则m 2−9≠0，即m ≠±3．（2）解：当函数y =(m 2−9)x 2−(m−3)x +2为一次函数时，则{m 2−9=0−(m−3)≠0，解得：m =−3．18．用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数y =12x 2的图象，并按照要求回答下列问题：x …−3−2−10123…y… 4.50.502 4.5…(1)补齐上表；(2)在所给坐标系内描出表格中的点；(3)将上述各点用平滑曲线连线．(4)由图象可知：当x=4时，y=；当y<2时，x的取值范围是．×(−2)2=2；【详解】（1）当x=−2时，y=12×12=0.5；当x=1时，y=12故答案为：2，0.5．（2）描点如下图．（3）用平滑曲线连线如下图．（4）由图象可知：当x=4时，y=8；当y<2时，−2<x<2．19．某影像公司经过市场调研，发现制作某种毕业相册的销量y（套）是售价x（元/套）的一次函数，其售价、销售量、销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/套）130150180销售量y（套）21015060销售利润w（元）10500105006000注：销售利润=销售量×（售价−成本价）(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)求制作该毕业相册的成本价；(3)当售价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？(4)已知影像公司在七月份为某校九年级制作这种毕业相册的过程中，尽可能让利于学生，最后所得利润为9600元，求这种毕业相册的售价．【详解】（1）解：由题意可设y关于x的函数解析式为y=kx+b，由表格可知当x=130时，y=210；当x=150时，y=150，∴{210=130k+b150=150k+b解得：{k=−3b=600∴y关于x的函数解析式为y=−3x+600；（2）设制作该毕业相册的成本价为m元/套由题意可知：w=y(x−m)由表可得当x=130时，y=210，w=10500，∴10500=210(130−m)，解得：m=80∴制作该毕业相册的成本价为80元/套；（3）解：由题意可知：w=y(x−80)=(−3x+600)(x−80)=−3x2+840x−48000=−3(x−140)2+10800∵−3<0∴当x=140时，w有最大值，最大值为10800答：当售价是140元时，销售利润最大，最大利润是10800元．（4）解：当所得利润为9600元，即w=9600时，−3(x−140)2+10800=9600，解得：x1=120，x2=160，∵由于影像公司尽可能让利于学生，∴x=120，∴这种毕业相册的售价为120元/套．20．已知二次函数y=ax2+bx+5的图象经过点A(1,4),B(−1,8)．(1)求二次函数的表达式；(2)若关于x的方程ax2+bx+5−m=0有实数根，求m的取值范围．【详解】（1）解：把A(1,4),B(−1,8)代入，得{a+b+5=4,a−b+5=8,解得{a=1,b=−2,,∴二次函数表达式为y=x2−2x+5．（2）解：∵a=1,b=−2，∴方程为x2−2x+5−m=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(5−m)≥0，∴m≥4．21．已知二次函数y=ax2+bx−3a经过点A(−1,0)、C(0,3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC、BC、DB，求△BCD的面积；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：把A(−1,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx−3a得：{0=a−b−3a3=−3a，解得：{a=−1b=2，∴此二次函数解析式为y=−x2+2x+3；（2）解：∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴D(1,4)，此二次函数对称轴为直线x=1，∵A(−1,0)，∴B(3,0)，∴CD=12+(4−3)2=2，BC=32+32=32，BD=42+(3−1)2=25，∵CD 2+BC 2=2+18=20=BD 2，∴△BCD 为直角三角形，∴S △BCD =12BC ⋅CD =12×2×32=3；（3）解：①当DC =DP 时，∵C(0,3)，此二次函数对称轴为直线x =1，∴P(2,3)；②当CP =DP 时，设P(m,n)，∵C(0,3)，D(1,4)，P(m,n)，∴PC 2=m 2+(3−n )2,PD 2=(m−1)2+(4−n )2，∵CP =DP ，∴m 2+(3−n )2=(m−1)2+(4−n )2，整理得：n =−m +4，∵P(m,n)在抛物线上，∴n =−m 2+2m +3，∴−m +4=−m 2+2m +3，解得：m 1=3+52，m 2=3−52<1（舍去），∴P(3+52,5−52)，③当DC =CP 时，∵点P 在对称轴右边，∴此情况不存在，综上：P(2,3)或P(3+52,5−52)．22．如图，水池中心点O 处竖直安装了一跟水管，水管上端有一喷头，可喷出形似抛物线的水柱，当喷头上下移动时，喷出的抛物线型水柱也会随之竖直上下平移，但水柱落点与O 点始终保持在同一水平面，安装师傅调试后发现，当喷头距地面高2.5米时，水柱落点到O 点的水平距离为2.5米，此时，喷头喷出水柱的最高点距离水管的水平距离为0.5米．(1)求此时喷出的水柱所在抛物线的表达式；(2)若要使喷出的水柱落点距O 点3米，那么喷头应向上移动几米？【详解】（1）解：（1）由题意可知，抛物线经过点(0,2.5)和(2.5,0)，且抛物线的对称轴为直线x =12，所以抛物线与x 轴的另一交点坐标为(−1.5,0)，设抛物线表达式为y =ax 2+bx +c ，将点(0,2.5)，(2.5,0)，(−1.5,0)代入，得{6.25a +2.5b +c =02.25a−1.5b +c =0c =2.5，解得{a =−23b =23c =52，∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为y =−23x 2+23x +52；（2）（2）由（1）可知y =−23x 2+23x +52=−23(x−12)2+83，设需要将喷头向上移动m 米，即将抛物线向上平移m 米．那么平移后的函数表达式为y =−23(x−12)2+83+m ，将点(3,0)代入，得0=−23×(3−12)2+83+m ，解得m =32．答：喷头应向上移动32米．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +3与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线经过A ，B 两点，并与x 轴交于另一点C ，抛物线的对称轴为直线x ＝2，顶点为点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E 为对称轴右侧的抛物线上的点．①点F 在抛物线的对称轴上，且EF //x 轴，若以点D ，E ，F 为顶点的三角形与△ABD 相似，求出此时点E 的坐标；②点G 在平面内，则以点A ，B ，E ，G 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E 的坐标；若不能，请说明理由．【详解】解：（1）在y=-x+3中令x=0得到y=3，令y=0得到x=3，∴A 、B 坐标分别为（0，3）、（3，0），设抛物线的函数表达式为y =ax 2+bx +c ，则由题意可得：{c =39a +3b +c =0−b2a=2，∴{a =1b =−4c =3，∴所求抛物线的函数表达式为y =x 2−4x +3；（2）①如图，可设E 点坐标为(x,x 2−4x +3)，所以F 点坐标为 (2,x 2−4x +3)，由（1）可得D 坐标为（2，-1），∴AB2=32+32=18,AD2=22+42=20,BD2=12+12=2，∴AB2+BD2=AD2,∴△ABD为以AD为斜边的直角三角形，所以由题意可分两种情况：a、△DFE∽△ABD，则DFAB =EFBD，即x2−4x+3+132=x−22，解之得x=5或x=2（不合题意，舍去），∴E点坐标为(5，52−4×5+3)即（5，8）；b、△EFD∽△ABD，则EFAB =FDBD，即x−232=x2−4x+3+12，解之得：x=73或x=2（不合题意，舍去），∴E点坐标为[73，(73)2−4×73+3]即(73，−89)，综上所述，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，则点E的坐标为（5，8）或(73，−89)；②由①知，∠ABD=90°，所以当E点为D点时，以点A，B，E，G为顶点的四边形能够成为矩形，即E点坐标为（2，-1）．24．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B 与地面的距离为2米，水滑道最低点C 与地面的距离为78米，点C 到点B 的水平距离为3米，则水滑道ACB 所在抛物线的解析式为______；(2)如图1，腾空点B 与对面水池边缘的水平距离OE =12米，人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE 不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD 的解析式；②此人腾空飞出后的落点D 是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M 处竖直支撑的钢架MN ，另一条是点M 与点B 之间连接支撑的钢架BM ．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．【详解】（1）解：根据题意得到水滑道ACB 所在抛物线的顶点坐标为C (−3,78)，且过点B(0,2)，设水滑道ACB 所在抛物线的解析式为y =a(x +3)2+78，将B(0,2)代入，得：2=a(0+3)2+78，即9a =98，∴a =18，∴水滑道ACB 所在抛物线的解析式为y =18(x +3)2+78；（2）解：①∵人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称，则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y =−18(x +b)2+c ，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标与抛物线ACB 的顶点坐标C (−3,78)关于点B(0,2)成中心对称，∵ 0×2−(−3)=3,2×2−78=258，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标为(3,258)，即b =3,c =258，∴此人腾空后的最大高度是258米，人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：y =−18(x−3)2+258；由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：y =−18(x−3)2+258，令y =0，则−18(x−3)2+258=0，即(x−3)2=25∴ x =8或x =−2（舍去，不符合题意），∴点D(8,0)，∴OD =8，∵ OE =12，∴DE =OE−OD =4>3，∴此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内；（3）解：根据题意可得M 点的纵坐标为4，令y =18(x +3)2+78=4，即(x +3)2=25，∴x =2（舍去，不符合题意）或x =−8，∴M(−8,4)，设BM 所在直线的解析式为y =kx +b ′，将M(−8,4),B(0,2)代入得：{2=b ′4=−8k +b ′，解得：{b ′=2k =−14，∴ BM 所在直线的解析式为y =−14x +2，如图，设这条钢架为GH ，与MN 交于点G ，与地面交于H ，∵这条钢架与BM 平行，∴设该钢架GH 所在直线的解析式为y =−14x +n ，联立{y =−14x +n y =18(x +3)2+78，即−14x +n =18(x +3)2+78，整理得：x 2+8x +16−8n =0，∵该钢架GH 与水滑道有唯一公共点，∴Δ=82−4×1×(16−8n )=0，∴ n =0即该钢架所在直线的解析式为y =−14x ，∴点H 与点O 重合，∵ GN =−14×(−8)=2，NO =8，∠GNO =90°，∴GH=GN2+NO2=217，∴这条钢架的长度为217米．。
二次函数单元测试卷
二次函数单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 二次函数y = x² - 2x + 1的顶点坐标是（）A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)2. 二次函数y = -2x² + 4x - 5的对称轴是（）A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -23. 二次函数y = 3(x - 1)² + 2的图象的开口方向是（）A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右4. 把二次函数y = x²的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（）A. y=(x - 2)²+3B. y=(x + 2)²+3C. y=(x - 2)² - 3D. y=(x + 2)² - 35. 二次函数y = ax²+bx + c（a≠0），当y = 0时，得到一元二次方程ax²+bx + c = 0，若方程有两个相等的实数根，则二次函数的图象与x轴（）A. 有两个交点B. 有一个交点C. 没有交点D. 无法确定6. 二次函数y = 2x² - 3x + 1与y轴的交点坐标是（）A. (0, 1)B. (0, -1)C. (1, 0)D. (-1, 0)7. 已知二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）的图象经过点(0, -1)，(5, -1)，则它的对称轴是（）A. x = 0B. x = 2.5C. x = 5D. 无法确定8. 二次函数y = x²+bx + c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y = x² - 2x + 1的图象，则b、c的值分别为（）A. b = -6，c = 6B. b = -8，c = 14C. b = -8，c = 18D. b = -6，c = 89. 若二次函数y = kx² - 6x + 3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k<3B. k≤3C. k<3且k≠0D. k≤3且k≠010. 对于二次函数y = ax²+bx + c（a≠0），若a>0，b = 0，c<0，则它的图象（）A. 开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴负半轴B. 开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴正半轴C. 开口向下，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴负半轴D. 开口向下，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴正半轴二、填空题（每题3分，共15分）11. 二次函数y = -x²+2x - 3的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。