2013年高考数学总复习 10-6 排列与组合(理)课件 新人教B版
答案：45
[例 11]
一条街道上共有 12 盏路灯，为节约用电又
不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的 4 盏，并且 不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方 法有多少种．
解析：记熄灭的灯为 0，亮灯为 1，则问题是 4 个 0 和 8 个 1 的一个排列，并且要求 0 不相邻，且不排在两 端，故先将 1 排好，在 8 个 1 形成的 7 个空中，选取 4
解析：先从四个小球中取两个放在一起，有 C2种不 4 同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三 堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有 A3种不同 4 的放法，据分步计数原理，共有 C2· 4＝144 种不同的放 A3 4 法．
答案：144
(7)部分符合条件淘汰法．在选取总数中，只有一部 分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求． [例 7] 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其 中异面直线有( A．18 对 C．30 对 ) B．24 对 D．36 对
一、“分类”与“分步”，应该如何理解与区分 (1)分类： “做一件事， 完成它可以有 n 类办法”． 每 一类办法中的每 一种方法都能 将这件事完成．分类时， ． ．． 首先据问题特点确定一个合理的分类标准，在这个“标 准”下分类能够做到： ①完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一 类．(不漏) ②分别在不同两类中的两种方法不能相同． (不重复)
(1)当 m<n 时的排列称为选排列，排列数为 Am＝n(n－1)ׄ×(n－m＋1)＝ n n！ . n－m！
(2)当 m＝n 时的排列称为全排列，排列数为
n An＝n(n－1)ׄ×3×2×1＝n！.
规定 0！＝1.
4．组合 从 n 个不同元素中，任意取出 m(m≤n)个元素并成 一组， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合， 所有组合的个数称作组合数．
2．分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，„„， 做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m1×m2ׄ×mn 种不同的方法．
3．排列 从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列，所有排列的个数称作排列数．
第 六 节
排列与组合(理)
重点难点 重点：1.两个计数原理的理解和应用． 2．排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性 质． 难点：1.如何区分实际问题中的“类”与“步”． 2．组合数的性质和有限制条件的排列组合问题．
知识归纳 1．分类加法计数原理 做一件事，完成它有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方 法，„„，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完 成这件事共有 N＝m1＋m2＋„＋mn 种不同的方法．
[例 2]
(2011· 湘潭期末)2010 年上海世博会某国将展
出 5 件艺术作品，其中不同书法作品 2 件、不同绘画作 品 2 件、标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5 件作品 排成一排，要求 2 件书法作品必须相邻，2 件绘画作品不 能相邻，则该国展出这 5 件作品不同的方案有________ 种．(用数字作答)
解析：六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线 都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．
答案：Cm＋n m
3 点评：①例如 f(3,4)＝C7其中 0010111 表示从原点出
发后，沿右右上右上上上的路径爬行． ②抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合 问题．
[例 10] ____数为
解析：把 x、y、z 分别看作是 x 个 1，y 个 1 和 z 个 1， 则共有 8 个 1，问题抽象为 8 个 1 和两个十号的一个排列 问题． 由于 x、 z 非负， y、 故允许十号相邻， 11＋＋111111 如 表示 x＝2，y＝0，z＝6，＋11111111＋表示 x＝0，y＝8， z＝0 等等， ∴不同排法总数为从 10 个位置中选取 2 个放十号， ∴方程的非负整数解共有 C2 ＝45 个． 10
解法 2(间接法)：若选出的 3 名全是男生，则有 C3种 6 选法，∴至少有一名女生的选法数为 C3－C3＝36 种． 8 6
答案：A
(6)选排问题先选后排法．对于排列组合的混合应用 题，一般解法是先选(组合)后排(排列)． [例 6] 四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒 子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作 答)．
[例 3]
6 个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三
人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的 列队方式有________种．
解析：解法 1：由于甲、乙、丙三人的次序已定，故 只须从 6 个位置中选取 3 个排上其余 3 人， A6种排法， 有 3 剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，∴
解析：若甲在第一位有 A4＝24 种方法；若甲在第二 4
1 位有 C3A3＝18 种方法，故共有 18＋24＝42 种方法． 3
答案：B
(5)至多、至少间接法．含“至多”、“至少”的排列 组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但 仅适用于反面情况明确且易于计算的情况． [例 5] (2011· 丽水月考)从 6 名男生和 2 名女生中选 )
[例 4]
(2010· 山东理)某台小型晚会由 6 个节目组
成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节 目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台 晚会节目演出顺序的编排方案共有( A．36 种 C．48 种 B．42 种 D．54 种 )
分析：丙占最后一位不必考虑．“甲在前两位，乙 不在第一位”，故应以甲为标准进行分类．
解析： 三棱柱共 6 个顶点， 由此 6 个顶点可组成 C4－ 6 3＝12 个不同四面体， 而每个四面体有三对异面直线则共 有 12×3＝36 对．
答案：D
(8)数字问题要弄清可否重复及首位不能为 0 [例 8] 用 0 到 9 这 10 个数字， 可以组成没有重复数 字的三位偶数的个数为( A．324 C．360 ) B．328 D．648
(1)组合数公式 „· Am nn－1n－2· n－m＋1 n m Cn ＝ m＝ Am m！ n！ ＝ . m！n－m！ 规定：C0＝1. n (2)组合数的两个性质
m ①Cm＝Cn－ m； ②Cm＋1＝Cm＋Cn －1. n n n n
误区警示 1． 正确区分“分类”与“分步”， 恰当地进行分类， 使分类后不重、不漏． 2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定 序”和“有序”区分开来． 3．正确区分分堆问题和分配问题
3 共有 A6＝120 种．
解法 2：先选取 3 个位置排甲、乙、丙三人有 C3种 6 方法，剩下 3 个位置站其余 3 人，有 A3种方法，∴共有 3 C3· 3＝120 种． 6 A3
答案：120
(4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合 问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能 排在某位置；有时限定某位置只能排 (或不能排)某元 素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．
解析：从原点 O 出发，只能向上或向右方向爬行， 记向上为 1，向右为 0，则爬到点(m，n)需 m 个 0 和 n 个 1.这样爬行方法总数 f(m， n)是 m 个 0 和 n 个 1 的不同 排列方法数． 个 0 和 n 个 1 共占 m＋n 个位置， m 只要从 中选取 m 个放 0 即可．∴f(m，n)＝Cm＋ n. m
分析：甲、乙相邻看作一个元素与其它元素一块排， 由于丙不排在第 1 天也不排在第 7 天，因此按甲乙的排 位进行分类．
解析：甲、乙相邻的所有方案有 A2A6＝1440 种；其 2 6 中丙排在 10 月 1 日的和丁排在 10 月 7 日的一样多，各
2 有：A2A5＝240 种，其中丙排在 10 月 1 日且丁排在 10 5
[例 1] (2010· 重庆理，9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天．若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日， 丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有( A．504 种 C．1008 种 B．960 种 D．1108 种 )
A．250
B．240
C．252
D．300
解析：要组成题设中的句子，则每行读一字，不能 跳读．每一种读法须 10 步完成(从上一个字到下一个字 为一步)， 其中 5 步是从左上角到右下角方向读的， 故共 有不同读法 C5 ＝252 种． 10
答案：C
四、枚举法 [例 13] 如果直线 a 与 b 异面， 则称 a 与 b 为一对异 面直线，六棱锥的侧棱与底边共 12 条棱所在的直线中， 异面直线共有________对．
出 3 名志愿者，其中至少有 1 名女生的选法共有( A．36 种 C．42 种 B．30 种 D．60 种
解析：解法 1(直接法)：选出的 3 名志愿者中含 1 名 女生有 C1· 2种选法，含 2 名女生有 C2· 1种选法，∴共 2 C6 2 C6
1 2 有 C2C2＋C2C1＝36 种选法． 6 6
二、排列、组合问题的类型及解答策略 排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形 式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样， 解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法 归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问 题的解答策略．
(1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问 题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．
(2)分步：“做一件事，完成它需要分成 n 个步骤”， 这是说完成这件事的任何 一种方法，都要分成 n 个步 ．． 骤．必须并且只需连续完成这 n 个步骤后，这件事才算 最终完成． 所以区分一种分法是分类还是分步就看这种分法中 ．．．．． 的一种方法能否完成这件事情． ．．．．．．．．．．．．．．
2013年高考数学成功方案系列课件第十章第二节排列与组合(理)
法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”
可用间接法求解．
从10人中任选5人有C
5 10
种选法，其中全是男运动员的选法
有C56种．
所以“至少有1名女运动员”的选法为C510－C65＝246(种)．
(3)法一：可分类求解： “只有男队长”的选法为 C48； “只有女队长”的选法为 C48； “男、女队长都入选”的选法为 C38； 所以共有 2C48＋C38＝196(种)选法． 法二：间接法： 从 10 人中任选 5 人有 C150种选法． 其中不选队长的方法有 C85种． 所以“至少有 1 名队长”的选法为 C510－C58＝196(种)．
[做一题] [例2] 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人， 选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员．
[自主解答] (1)第一步：选3名男运动员，有C63种选法． 第二步：选2名女运动员，有C42种选法． 共有C36·C24＝120(种)选法． (2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类加法计数原理可得总选法数为 C14C46＋C24C36＋C43C62＋C44C16＝246(种)．
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C
3 6
种，再安排该
男生有C
1 3
种，选出的3人全排有A
3 3
种，共C
3 6
·C
1 3
·A
3 3
＝
360(种)．
[悟一法] 排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素 取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行 排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组” 的差异及分类的标准．
2013届高考理科数学一轮复习课件11.2排列、组合
4．某兴趣小组有 4 名男生，5 名女生，从中选派 5 名学生参加一次活动，要求有女生且女生人数必须少于男 生的选派方法有________种．(用数字作答)
答案 45
解析 据题意知参加活动的情况可分为两类：一类是 4 男 1 女，另一类是 3 男 2 女，分别是 C15，C25C34种不同的 情况，故共有 C15＋C25C34＝45 种方法．
n！ n－m！.
规定 0！＝ 1 .
(2)组合数公式
nn－1n－2…n－m＋1
Cmn ＝
m！
规定 C0n＝ 1 .
n！ ＝ m！n－m！.
3．组合数的两个性质 (1)Cmn ＝ Cnn－m ； (2)Cmn＋1＝ Cmn －1＋Cmn .
1．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台， 其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台，不同的取法有 ________．
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最 后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55 A22＝960 种方法．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 法一：(排除法)A77－A66·A22＝3600(种)． 法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同 学分别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55 A26＝3600 种方法．
【答案】 A
(2)(2010·山东理)某台小型晚会由 6 个节目组成，演
出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能
排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演
出顺序的编排方案共有( )
A．36 种
B．42 种
C．48 种
高考数学第十章排列与组合-教学课件
[自主解答] 依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，就
司机这项工作的实际参与人数进行分类：
第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有
C 31
·C
1 3
·C
2 4
·C
12＝108(种)(注：C31
表示从除甲、乙外的3人中任选1人从事司
机工作的方法数；C
1 3
·C
2 4
表示从除司机工作外的其余3项工作中任选定1
答案： A
[冲关锦囊] 组合问题的两种主要类型 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则 先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则 先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考题逆向思 维，用间接法处理.
[精析考题]
[例3] (2011·北京海淀区期末)世博会期间，某班有四
A．C82A32 C．C82A62
B．C28A66 D．C82A25
()
解析：先从后排8人中任取2人，有C82种取法，然这两人逐个 安插有5×6种方法．故C正确．
答案： C
7．(2012·开封定位评估)2位男生和3位女生共5位同学
站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只
有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( )
公式
排列数公式 Amn ＝ n(n－1) …(n－m＋1) ＝ n！
n－m！
组合数公式
Cmn ＝nAAnmnmm－1…n－m＋1
＝
m！
＝
n！ m！n－m！
性 (1)Ann＝ n！； (1)C0n＝ 1 ；(2)Cmn ＝Cnn－m；
质 (2)0！＝ 1
(3)Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1
【步步高】高考数学总复习 10.2排列与组合名师课件 理 新人教B版
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
解析
(1)× (2) × (3) √ (4) √（5）√（6）√
B
A
C
14
题型分类·深度剖析
题型一
排列问题
思维启迪 解析
【例 1】 有 4 名男生、5 名女生，
全体排成一行，问下列情形各有
多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
思维启迪 解析 思维升华
解 (1)从余下的 34 种商品中， 选取 2 种有 C234＝561(种)， ∴某一种假货必须在内的不同 取法有 561 种．
(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335－C324＝C334 ＝5 984(种)． ∴某一种假货不能在内的不同 取法有 5 984 种．
思维启迪 解析
思维升华
题型分类·深度剖析
题型二
组合问题
【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行 抽样检查，已知其中有 15 种假货．现 从 35 种商品中选取 3 种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的 取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的 取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有 多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法 有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法 有多少种？
题型分类·深度剖析
题型三
排列与组合的综合应用问题
【例 3】 4 个不同的球，4 个不同 思维启迪 解析
的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有 1 个盒不放球，共有几种
放法？
Hale Waihona Puke (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有
高考数学总复习 10.2排列与组合精品课件 文 新人教B版
3．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这
样的平面共有 A．3个 C．6个 B．4个 D．7个 ( )
[解析] 不共面的四点可构成一个四面体，取四面
体各棱中点，分别过有公共顶点的三棱中点可得到与
相应底面平行的4个截面，这4个截面到四个定点距离 相等；又与三组对棱分别平行且等距的平面有3个，故 符合条件的平面共7个，应选D. [答案] D
4．四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种
数是 A．81 C．24 B．64 D．4 ( )
[解析] 因学生可同时夺得三项冠军，故学生可重
复排列，将4名学生看作4个“店”，3项冠军看作
“客”，每个“客”都可住进4个“店”中的任意一家， 即每个“客”有4种住宿法．由分步计数原理得： N＝4×4×4＝64.故答案选B. [答案] B
例2 解方程：
[解] 由排列数公式得：
＋6A.
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即 3x2－17x＋10＝0， 解得：x＝5或x＝ ∴原方程的解为x＝5. ，∵x≥3，且x∈N*，
一、排列 1．定义
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一
定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排 列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列
数，记为
.
2．排列数的公式与性质 (1)排列数的公式：Am n ＝n(n－1)(n－2)„(n－m n！ ＋1)＝ .特例：当 m＝n 时，An n＝n！＝n(n (n－m)！ －1)(n－2)„×3×2×1.规定：0！＝1 (2)排列数的性质： 1 m m m－1 m－1 ①An ＝nAn－1 ⇔An－1 ＝nAn (排列数上标、下标 同时减 1(或加 1)后与原排列数的联系) 1 n m m＋1 ②An ＝ An ＝ Am － (排数列上标加 1 n－m n－m n 1 或下标减 1 与原排列数的联系) m－1 m ③Am ＝ m A ＋ A － n n 1 n－1(分解或合并的依据
2013届高考数学基础巩固课件11.2《排列与组合》理新人教版
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» 考点一 排列数、组合数的计算
• 【案例1】 计算下列各式的值：
(1)AA5869－＋AA8945； (2)Cn2n－－13＋C2nn＋－13； (3)C22＋C32＋C24＋…＋C2100.
关键提示：(1)利用公式求解；(2)注意 Cmn 中“n≥m”的限 制；(3)使用组合数性质 Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1.
• 1．用1、2、3、4四个数字中的三个 组成的三位数有________个．
解析：C34A33＝24. 答案：24 2．从全校12位数学老师中选3位担任高一数学授课任 务，则不同的选派方法有________种． 解析：C312＝123××121××110＝220.
答案：220
• 3．从5个不同的白球中选2个，3个不 同的红球中选1个，放入三个不同的盒子 中，使得每个盒子有且只有一球的放法种 数有_解_析__：_C_25_·C_31．·A33＝180.
答案：180 4．用数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数， 若要求1、2相邻，则这样的五位数有________个．
解析：相邻要用捆绑法．A22·(A44－A33)＝36.
答案：36
• 1．排列与组合定义相近，它们的区别在 于是否与顺序有关．
• 2．复杂的排列问题常常通过试验、画简 图、小数字简化等手段使问题直观化， 从而寻求解题途径．因为结果的正确性 难以直接检验，所以常需要用不同的方 法求解来获得检验．
分析：利用排列和组合的公式及意义求解．(2)中注意 n 的 取值范围．
解：(1)方法一：AA8956－＋AA4859＝3398！！！！－＋9484！！！！＝44××89！！＋－89！！＝257. 方法二：AA5869－＋AA8945＝346AA4848＋－A9A48 48＝257AA4848＝257.
2013高考数学(理)一轮复习讲义--排列与组合
第2讲排列与组合【2013年高考会这样考】1．考查排列组合的概念及其公式的推导．2．考查排列组合的应用．【复习指导】复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些排列组合的基本模式题的解决方法，如指标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等．基础梳理1．排列(1)排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．(3)排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列数公式A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．2．组合(1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C m n表示．(3)组合数公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .一个区别排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 两个公式 (1)排列数公式A m n ＝n ！(n －m )！ (2)组合数公式C m n ＝！m ！(n －m )！利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果． 四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”双基自测1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有( )． A ．360种 B ．4 320种C．720种D．2 160种解析本题考查排列组合知识，可分步完成，先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上，故共有6A33A55＝4 320种方式．答案 B2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有()．A．200个B．190个C．185个D．180个解析正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C410＝210个四面体．其中四点在同一平面内的有三类：(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C45个．(2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C25个．(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如AB∥E1C1)，这样共面的四点共有2C15个．所以C410－2C45－C25－2C15＝180(个)，选D.答案 D3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()．A．36种B．42种C．48种D．54种解析因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A44＝24种排法，当甲排在第二位时，有A13·A33＝18种排法，所以共有方案24＋18＝42(种)，故选B.答案 B31 223 14.如图，将1,2,3填入3×3一种填法，则不同的填写方法共有()．A．6种B．12种C．24种D．48种解析只需要填写第一行第一列，其余即确定了．因此共有A33A22＝12(种)．答案 B5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．解析可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共A25C33＝20种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共C35A22＝20种排法．答案20考向一排列问题【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．[审题视点] 根据题目具体要求，选择恰当的方法，如捆绑法、插空法等．解(1)A25A44＝480；(2)A22A55＝240；(3)A44A25＝480；(4)A22A24A33＝144；(5)A66－2A55＋A44＝504；(6)A36＝120.有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．【训练1】用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．解(1)A25A44＝480；(2)A22A14A44＝192；(3)A15A55－A22A14A44＝408，(4)A24A12A22＋A24A33＝120；(5)A66－2A55＋A44＝504；(6)A36－A35＝60.考向二组合问题【例2】►某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？[审题视点] “无序问题”用组合，注意分类处理．解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6 936(种)；(4)法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656(种)．法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．【训练2】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．考向三排列、组合的综合应用【例3】►(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组；(3)计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组．[审题视点] 根据题目要求分类求解，做到不重不漏．解(1)法一先将其中4个相同的小球放入4个盒子中，有1种放法；再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下3种情况：①某一个盒子放3个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球，有C14种不同的放法；②这3个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从4个不同的盒子中任选3个盒子，分别放入这3个相同的小球，有C34种不同放法；③这3个小球中有两个小球放在1个盒子中，另1个小球放在另一个盒子中，从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有A24种不同的方法．综上可知，满足题设条件的放法为C14＋C34＋A24＝20(种)．法二“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个小球”，若用“挡板法”，可易得C36＝20.(2)可看做将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法．转化为6个0,2个1的排列，要求1不排在两端且不相邻，共有C25＝10种排法，因此方程x＋y＋z＝6有10组不同的正整数解；(3)可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为6个0,2个1的排列，共有C28＝28种排法，因此方程x＋y＋z＝6有28组不同的非负整数解．排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序”，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中，此类问题可利用“挡板法”求解，实质上是最终转化为组合问题．(2)在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有C14C33种不同的分法；而平均分为两组则有C24C22A22种不同的分法．【训练3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．解(1)分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；对于余下的三本全选有C33种选法，由分步乘法计数原理知有C16C25C33＝60种选法．(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C16C25C33A33＝360种选法．(3)先分三步，则应是C26C24C22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为分别A、B、C、D、E、F，若第一步取了(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A33种情况，而且这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有C26C24C22A33＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有C26C24C22A33·A33＝C26C24C22＝90(种)．阅卷报告16——实际问题意义不清，计算重复、遗漏致误【问题诊断】排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.【防范措施】“至少、至多型”问题不能利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解【示例】►有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？错因第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后顺序，从而使取法重复．实录按分步原理，第一步确保1个一等品，有C116种取法；第二步从余下的19个零件中任意取2个，有C219种不同的取法，故共有C116C219＝2 736种取法．正解法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：C116C24＋C216C14＋C316＝1 136(种)．法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．【试一试】在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？[尝试解答]本题中的“双面手”有3个，仅能歌的2人，仅善舞的5人．把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔．故选法种数是C13C47＋C12C48＝245.。
高考数学复习全套课件 第十章 第二节 排列、组合及其应用
5．不相邻问题插空处理的方法．即先考虑不受限制的元素的 ．不相邻问题插空处理的方法． 排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． 排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． 6．分排问题直排处理的方法． ．分排问题直排处理的方法． 7．“小集团 排列问题中先集体后局部的处理方法． ． 小集团 排列问题中先集体后局部的处理方法． 小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法 8．定序问题除法处理的方法．即可以先不考虑顺序限制，排 ．定序问题除法处理的方法．即可以先不考虑顺序限制， 列后再除以定序元素的全排列． 列后再除以定序元素的全排列． 9．正难则反，等价转化的方法． ．正难则反，等价转化的方法．
由乘法原理得
(2)位置分析法 特殊位置优先安排 ，先排最左边，除去甲 位置分析法(特殊位置优先安排 先排最左边， 位置分析法 特殊位置优先安排)， 外，有 种，余下的6个位置全排有 余下的 个位置全排有 种． ＝3 720种． 种 种，但应剔除乙
在最右边的排法数 则符合条件的排法共有
(3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他 捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列， 捆绑法 元素进行全排列， 元素进行全排列，共有 ＝720种． 种
(5)全体排成一行，男生不能排在一起； 全体排成一行，男生不能排在一起； 全体排成一行 (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺 全体排成一行，其中甲、 全体排成一行 序不变； 序不变； (7)排成前后二排，前排3人，后排 人； 排成前后二排，前排 人 后排4人 排成前后二排 (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人． 全体排成一行， 全体排成一行 乙两人中间必须有 人
1．排列 ．
2．组合 ．
[思考探究 思考探究] 思考探究 如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？ 如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？ 提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看 提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题， 所选出的元素与顺序是否有关， 所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置 对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题． 对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．
2013年高考数学理科新课标版二轮复习专题突破课件6.1排列、组合与二项式定理
考向三 求二项展开式的特定项
【例 3】 (1)设二项式x－ ax6(a>0)的展开式中 x3 的系 数为 A，常数项为 B，若 B＝4A，则 a 的值是________．
(2)(1＋x＋x2)x－1x6 的展开式中的常数项为________．
【解析】 (1) 所以 6－32r＝3 时，r＝2，所以 A＝15a2,6－32r＝0 时，r ＝4，所以 B＝15a4. 所以 15a4＝4×15a2，所以 a2＝4，又 a>0，得 a＝2.
③各二项式系数的和
a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n； b．C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝C1n＋C3n＋…＋C2nr＋1＋…＝12·2n ＝2n－1.
命题展望 排列与组合是求解古典概型的概率的基础，另外，在排 列与组合的相关问题中又蕴含着分类讨论、转化与化归等重 要的思想方法，因此，它是高考的重点，考查形式一般为选 择题，考查其基础知识及基本应用，有时也在解答题与概率、 概率统计等问题相结合考查，这些问题通常为数字问题、人 或物的排列问题，选代表或选样品等问题，难度不大．对二 项式定理的考查主要包括求展开式中的特定项或特定项的系 数，二项式系数问题等，在复习时要注意分类型归纳整理、 理解掌握．
解法二 先从 10 组警力中选出 2 组布防 A 区；再从余
下 8 组警力中选出 1 组布防 B 区；最后从剩下的 7 组警力中
选出 1 组去布防 C 区．由分步计数原理，知不同的选派方法 有 C210C18C17＝2 520 种．
解法三 先从 10 组警力中选出 2 组布防 A 区；再从余 下 8 组警力中选出 2 组布防 B，C 区，由分步计数原理知不 同的选法有 C210·A28＝2 520 种．
高考总复习数学(理科)第十章 第二节 排列与组合
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一 起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素 插空法 的排列，再将不相邻的元素插在前面元
素排列的空当中
定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制， 除法处理 排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
[变式训练]
3 6
种排法，其余人的位置无限制
有A55种排法，因此共有A36·A55＝14 400种不同的排法．
(4)8名学生全排列共A
8 8
种，其中甲在乙前面的情
与乙在甲前面的情形各占
1 2
，所以符合要求的排法有
1 2
＝20 160(种)．
求解排列应用问题的六种常用方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
答案：B
2．(2019·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一 排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻， 则不同的摆法有________种．
解析：记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一
个元素，先与D，E排列，有A
2 2
A
3 3
种方法．再将C插入
仅有3个空位可选，所以共有A
2 2
A
3 3
C
种排法，因此共有A55·A36＝14 400种不同的排法． (3)法一(位置分析法) 两端不排女生，只能从5名男
中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求 A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400种不同的排法．
法二(元素分析法) 女生不站两端，从中间6个位置
选3个安排女生，有A
3．典题体验 (1)(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每 人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方 式共有( ) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 (2)(2019·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家， 若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ( ) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!