极坐标方程及其应用

考点一 极坐标方程及其应用

例题（2015·山西四校联考）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎨⎧ x ＝1＋cos φy ＝sin φ

(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ① 求圆C 的极坐标方程；

②直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．

【审题立意】本题考查极坐标方程，属于中档题．

【技能突破】求解极坐标方程的题应注意两点：

(1)曲线的极坐标方程化为直角坐标方程时，如果不容易直接转化，要先变形．

(2)已知两曲线的极坐标方程求交点时，可首先化为直角坐标方程，求出直角坐标交点，再化为极坐标．

【解题思路】把直角坐标方程化为极坐标，注意化简，联立求交点坐标．

【参考答案】①圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．

② 设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2cos θθ＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3．

设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ(sin θ＋3cos θ)＝33θ＝π3

，解得ρ2＝3，θ2＝π3．

所以|PQ |＝2．

【变式训练】 (2015·课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －

1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C 1，C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求

△C 2MN 的面积．

解析: (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0．

(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，

得ρ2－32ρ＋4＝0，

解得ρ1＝22，ρ2＝2．故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝2．

由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12．

考点二 极坐标与参数方程

例题1 (2015·陕西高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙

C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ．

(1)写出⊙C 的直角坐标方程；

(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．

【审题立意】本题考查极坐标与参数方程，属于中档题．

【技能突破】参数方程化为普通方程消去参数的方法

(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．

(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．

(3)常见消参数的关系式：

①t ·1t ＝1；

②⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫t －1t 2＝4； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－t 21＋t 22＝1． 【参考答案】(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，

从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3．

(2)设P ⎝

⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，

此时，P 点的直角坐标为(3，0)．

例题2(2015·湖南高考)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5＋32t ，

y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点

为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．

(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．

【审题立意】本题考查极坐标与参数方程，属于中档题．

【技能突破】对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解．

【参考答案】(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ．①

将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0．②

(2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根

分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18．

【变式训练】

1．(2015·江西八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－22t y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，

圆C 的方程为ρ＝25sin θ．

(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

(2)若点P 坐标(3，5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值．

解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－22t y ＝5＋22t 得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0．又由

ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5．

(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，

得⎝

⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0． 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实数根，

所以⎩⎨⎧

t 1＋t 2＝32t 1·t 2

＝4，又直线l 过点P (3，5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝32．