FFT的前世今生(三)窗函数的选择
短时傅里叶变换窗函数长度的选择
短时傅里叶变换窗函数长度的选择引言短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）是一种在时间和频率领域中分析信号的方法。
在STFT中，窗函数的选择是十分重要的，窗函数的长度会直接影响到STFT结果的准确性和分辨率。
本文将探讨如何选择窗函数的长度，以及如何根据具体需求进行合理的选择。
窗函数介绍窗函数在STFT中的作用是将原始信号分成短时段，并且对每个短时段进行傅里叶变换。
窗函数可以看作是对信号进行截断的函数，常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
这些窗函数都有其特定的性质，在STFT中的应用也有差异。
窗函数的长度和频谱分辨率窗函数的长度与频谱分辨率密切相关。
频谱分辨率是指在频域上能够分辨的最小频率间隔，与窗函数的长度成反比关系。
窗函数的长度越长，频谱分辨率就越高，可以更准确地表示信号的频率特征。
然而，窗函数长度越长，时间分辨率就越差，无法准确表示信号的时间特征。
选择窗函数长度的原则原则一：频率分辨率需求根据需要分析的信号频率范围确定窗函数的长度。
如果需要对高频信号进行准确分析，窗函数的长度应该适当增加，以提高频率分辨率。
相反，如果只需对低频信号进行分析，窗函数的长度可以适当减小。
原则二：时间分辨率需求根据需要分析的信号的时间特征确定窗函数的长度。
如果需要准确表示信号的时间特征，窗函数的长度应该适当减小，以提高时间分辨率。
但这样会降低频率分辨率，因此需要在时间分辨率和频率分辨率之间进行权衡。
原则三：窗函数类型不同类型的窗函数对信号的分析有不同的影响。
一般而言，矩形窗函数是频率分辨率较高的，但时间分辨率较差；汉宁窗函数在时间分辨率和频率分辨率之间有较好的平衡；汉明窗函数在频率分辨率略低于汉宁窗函数的情况下，时间分辨率较好。
实例分析为了更好地理解窗函数长度的选择，以下是几个具体的实例分析。
实例一：音频信号分析如果需要对某段音频信号进行分析，例如检测其中的频谱特征，我们常常使用汉明窗函数。
如何选择窗函数,窗函数的分析比较
矩形窗
• 矩形窗使用最多，习惯上不 加窗就是使信号通过了矩形 窗。这种窗的优点是主瓣比 较集中，缺点是旁瓣较高， 并有负旁瓣，导致变换中带 进了高频干扰和泄漏，甚至 出现负谱现象。
• • • • • • • • clc, clear all, close all N=51; w = boxcar(N); W = fft(w, 256); subplot(2,1,1); stem([0:N-1],w); subplot(2,1,2); plot([-128:127],abs(fftshift(W)))
• • • • • • • •
clc, clear all, close all N=51; w = hamming(N); W = fft(w, 256); subplot(2,1,1); stem([0:N-1],w); subplot(2,1,2); plot([-128:127],abs(fftshift(W)))
小旁 的 汉 。瓣 系 明 达数窗 到能加 更使权
布莱克曼窗Blackman
布莱克曼窗
• 二阶升余弦窗，主瓣宽，旁 瓣比较低，但等效噪声带宽 比汉宁窗要大一点，波动却 小一点。频率识别精度最低， 但幅值识别精度最高，有更 好的选择性。
• 常用来检测两个频率 相近幅度不同的信号
clc, clear all, close all N=51;w = blackman(N);W = fft(w, 256); subplot(2,1,1); stem([0:N-1],w); subplot(2,1,2);plot([-128:127],abs(fftshift(W)))
Bartlett窗（一种三角窗）
• 三角窗是幂窗的一次方形式。 与矩形窗比较，主瓣宽约等 于矩形窗的两倍，但旁瓣小， 而且无负旁瓣。
数字滤波器设计中的窗函数选择
数字滤波器设计中的窗函数选择数字滤波器是一种常见的信号处理工具，被广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域。
在数字滤波器设计中，窗函数是一种重要的工具，用于调整滤波器的频率响应特性。
本文将会介绍窗函数在数字滤波器设计中的作用，并讨论常见的窗函数选择方法。
一、窗函数的作用在数字滤波器设计过程中，我们经常要从离散的频域响应设计滤波器的时域表达式。
由于数字滤波器是基于有限长的输入序列，所以需要使用窗函数来对输入序列进行截断。
窗函数可以视为对输入序列施加的一种加权函数，它将输入序列乘以窗函数，然后再进行频域变换，从而得到所需的频率响应。
窗函数有多种选择，每种窗函数都有其特定的频率响应特性。
在数字滤波器设计中，我们希望能够实现较小的幅度波动、较快的衰减速度和较窄的过渡带宽。
因此，选择合适的窗函数对于数字滤波器的设计至关重要。
二、常见的窗函数选择方法1. 矩形窗函数矩形窗函数是最简单的窗函数之一，其频域响应为常数。
它的特点是具有最宽的主瓣宽度和最慢的衰减速度，因此在滤波器设计中很少被采用。
但在一些特定应用场景下，矩形窗函数可能有其独特的优势。
2. 汉宁窗函数汉宁窗函数是一种常见的窗函数，其频域响应在主瓣附近具有较小的波动，适用于对频率响应精确度要求较高的滤波器设计。
汉宁窗函数具有较快的衰减速度和较窄的过渡带宽，因此在许多实际应用中得到广泛应用。
3. 汉明窗函数汉明窗函数是与汉宁窗函数相关的一种窗函数。
与汉宁窗函数相比，汉明窗函数的主瓣下降更快，但过渡带宽稍宽一些。
汉明窗函数也适用于对频率响应精确度要求较高的滤波器设计。
4. 高斯窗函数高斯窗函数是一种具有对称性、连续可微性和较宽主瓣的窗函数。
它的特点是具有较小的截止频率波动和较快的衰减速度。
高斯窗函数在模糊滤波和时域滤波等应用中经常使用。
5. 升余弦窗函数升余弦窗函数是一种具有较宽主瓣和较慢衰减速度的窗函数。
与其他窗函数相比，它具有更宽的过渡带宽和较小的频谱泄漏。
数字信号处理---窗函数法设计FIR滤波器,窗函数选取原则
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figure; stem(window5); xlabel('n'); title('布莱克曼窗函数'); figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h5)/abs(h5(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('布莱克曼窗的频谱'); beta=8; window6=kaiser(N,beta); [h6,w]=freqz(window6,1); figure; stem(window6); xlabel('n'); title('凯塞窗函数'); figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h6)/abs(h6(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('凯塞窗的频谱');
2
27
2
28
同一窗函数设计 时阶数的选择
>>>>>
同一窗函数设计时阶数的选择 问题
用同一窗函数设计的FIR数字滤波器的阶数Ｎ不同， 所得到的滤波器的过渡带会不一样，N越大，过渡 带越窄。 下面是当汉明窗的长度分别为N=23，N=33， N=43，N=53时的幅频响应：
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程序
N1=23; wd=0.3*pi; window1=hamming(N1); [h1,w]=freqz(window1,1); figure; stem(window1); xlabel('n'); title('汉明窗函数'); figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h1)/abs(h1(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('汉明窗的频谱'); hn=fir1(N1-1,wd/pi,hamming(N1)); [h2,w]=freqz(hn,1); figure; stem(hn); xlabel('n'); ylabel('h(n)'); title('汉明窗的单位脉冲响应'); grid; figure; plot(w/pi,20*log10(abs(h2)/abs(h2(1)))); grid; xlabel('w/pi'); ylabel('幅度(dB)'); title('汉明窗低滤波器的频谱');
如何选择窗函数窗函数的分析比较
如何选择窗函数窗函数的分析比较窗函数在信号处理和频谱分析中起着重要的作用，用于改善信号的频谱性质，以便更好地分析信号。
选择适合的窗函数可以提高信号的频域分辨率和抑制频谱泄漏。
首先，需要了解窗函数的基本概念和特性，以便更好地进行选择和分析。
1.窗函数的定义：窗函数是定义在有限时间和频率范围内的函数，用于将信号在时间和频域上进行截断。
常见的窗函数包括矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等。
2.窗函数的性质：不同的窗函数具有不同的性质，如频域主瓣宽度、旁瓣衰减、频域泄漏等。
选择窗函数时需要考虑这些性质，以满足实际需求。
在选择窗函数时，需要考虑以下几个方面：1. 频域主瓣宽度：频域主瓣宽度反映了窗函数的频域分辨能力，即能否准确地分辨出信号的频率。
主瓣越窄，频率分辨能力越高。
因此，在需要高频率分辨率的应用中，应选择主瓣宽度较窄的窗函数，如Kaiser 窗、Slepian窗等。
2. 旁瓣衰减：窗函数的旁瓣衰减反映了窗函数对于频域旁瓣的抑制能力。
旁瓣越低，表示频域泄漏越小，能更好地抑制邻近频率的干扰。
因此，在需要高频域抑制能力的应用中，应选择旁瓣衰减较大的窗函数，如Blackman窗、Nuttall窗等。
3.时域响应：窗函数的时域响应直接影响波形的平滑程度和能否准确地表示信号的时域特征。
时域响应平滑的窗函数可以减小信号的突变，但也会造成时间分辨率的损失。
因此，在需要准确表示信号时域特征的应用中，应选择合适的时域响应窗函数，如Gaussian窗、Dolph-Chebyshev 窗等。
4.计算效率：窗函数的计算效率也是选择的重要因素。
复杂的窗函数可能需要更多的计算资源和消耗更多的时间。
因此，在需要实时处理和高效率计算的应用中，应选择计算效率较高的窗函数，如矩形窗和汉宁窗。
综合考虑以上因素，可以根据不同应用需求选择合适的窗函数。
在实际应用中，也可以通过试验和比较不同窗函数的效果，选择最符合要求的窗函数。
需要注意的是，窗函数的选择并没有绝对的标准，要根据具体的应用需求来进行选择，并对选择的窗函数进行分析和评估。
窗函数
窗函数(window function)窗函数是频谱分析中一个重要的部分，CoCo包含了所有通用的窗函数以及冲击测试中的受迫/指数(force/exponential)窗。
窗函数修正了由于信号的非周期性并减小了频谱中由于泄露而带来的测量不准确性。
快速傅里叶变换假定了时间信号是周期无限的。
但在分析时，我们往往只截取其中的一部分，因此需要加窗以减小泄露。
窗函数可以加在时域，也可以加在频域上，但在时域上加窗更为普遍。
截断效应带来了泄漏，窗函数是为了减小这个截断效应，其设计成一组加权系数。
例如，一个窗函数可以定义为：w(t)=g(t) -T/2<t<T/2w(t)=0 其他g(t)是窗函数，T是窗函数的时间待分析的数据x(t)则表示为：x(t)=w(t)*x(t)'x(t)'表示原始信号x(t)表示待分析信号。
加窗在时域上表现的是点乘，因此在频域上则表现为卷积。
卷积可以被看成是一个平滑的过程。
这个平滑过程可以被看出是由一组具有特定函数形状的滤波器，因此，原始信号中在某一频率点上的能量会结合滤波器的形状表现出来，从而减小泄漏。
基于这个原理，人们通常在时域上直接加窗。
大多数的信号分析仪一般使用矩形窗（rectangular），汉宁（hann），flattop和其他的一些窗函数。
矩形窗函数：w(k)=1汉宁窗：w(k)=0.5*(1-cos(2*pi*k/(N-1))) 0<=k<=N-1由于加窗计算中衰减了原始信号的部分能量，因此对于最后的结果还需要加上修正系数。
在线性谱分析中，一般使用幅度系数（amplitude correction），在功率谱中，一般使用能量系数（energy correction）。
具体请看下以章节。
泄露效应对于简单的信号，比如一个单频率的正弦波，泄露就表现为不在其频率点上仍然会有能量的出现。
离其本身的频率越近的频率，泄露的情况越严重，而离的越远，则情况则会好一些。
FFT频谱分析范文
FFT频谱分析范文快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种广泛应用于频谱分析的算法，它可以将时域信号转换为频域信号。
通过FFT，我们可以获得信号的频谱信息，包括频率分量、振幅和相位等。
本文将从基本原理、算法流程、应用场景以及优缺点等方面对FFT频谱分析进行详细介绍。
一、基本原理FFT的基本原理是基于傅里叶级数展开定理，将周期信号表示为频率分量的叠加。
在信号处理中，我们常常将非周期信号看作是周期信号的一部分，然后通过FFT将其展开为频谱。
FFT将连续信号转换为离散信号，进而进行计算，通过求解离散傅里叶变换（DFT）来分析信号的频谱。
二、算法流程1.输入：要进行FFT分析的原始信号，包括采样点数N和采样频率Fs。
2.预处理：对输入信号进行窗函数处理，常用的窗函数有汉宁窗和海明窗等。
3.快速傅里叶变换：将预处理后的信号进行FFT计算，得到频率域的幅度和相位信息。
4.频谱分析：根据FFT的结果，可以获得信号的频率分量以及其对应的振幅和相位信息。
5.结果展示：可以将频谱信息绘制成图形，以便更直观地观察信号的频谱特征。
三、应用场景1.语音信号处理：通过FFT分析，可以提取语音信号的频谱特征，应用于语音识别和语音合成等领域。
2.图像处理：可以将图像进行FFT变换，获得图像频谱，进而进行滤波、增强等操作。
3.音乐分析：可以通过FFT分析音乐信号，提取音乐的频谱特征，用于音乐信息检索和音乐情绪分析等任务。
4.振动分析：可以通过FFT分析机械设备的振动信号，从而判断其工作状态和故障情况。
5.通信系统：在调制解调和信号传输中，FFT广泛应用于频域均衡、多载波调制等。
四、优缺点1.优点：(1)快速计算：FFT算法是一种高效的计算方法，相较于传统的傅里叶变换算法具有更快的计算速度。
(2)精度高：FFT算法具有较高的精度，在处理信号时可以达到较小的误差。
(3)应用广泛：FFT可以用于各种信号处理领域，适用于多种类型的信号分析。
窗口函数的执行顺序
窗口函数的执行顺序在信号处理中，窗函数是一种常用的函数，用于限制输入信号的时域和频域分辨率。
窗函数的目的是使输入信号能够更好地适应频率域的离散化和基于频域的操作。
1. 信号采样信号采样是窗函数执行的第一步，也是信号处理的基本步骤。
在数字信号处理中，连续时间信号需要先经过采样处理，转化为离散时间信号。
采样的频率由采样定理决定，采样后的信号被称为采样序列。
2. 选择窗函数选择窗函数是窗函数执行的第二步。
选择适当的窗函数对于信号处理非常重要。
常用的窗函数有矩形窗函数、汉宁窗函数、汉明窗函数和布莱克曼窗函数等。
应用窗函数是窗函数执行的第三步，也是窗函数的核心。
对原始信号的每个分析窗口，都要通过特定的窗函数进行加窗处理，以产生受限的时域和频域分辨率的窗口信号。
4. 傅里叶变换傅里叶变换是数字信号处理中最常用的变换之一。
在窗函数执行的第四步，傅里叶变换用于将加窗处理后的信号转换为频域信号。
通过傅里叶变换，可以将原始信号从时域转换为频域。
5. 频域处理频域处理是数字信号处理的一种常用技术。
在窗函数执行的最后一步，频域处理常常用于滤波和后续信号分析。
通过对频域信号进行处理，可以更好地理解信号的特性和行为。
窗函数可以提高信号处理的精度和灵敏度。
窗函数的执行顺序包括信号采样、选择窗函数、应用窗函数、傅里叶变换和频域处理。
窗函数可以广泛应用于音频处理、图像处理、信号分析和很多其他领域。
除了上述窗函数执行顺序，还有其他相关的内容：1. 窗函数的类型每种窗函数都有其特定的参数，如峰值保留窗函数需要设置截止频率，有损窗函数需要设置窗口长度和窗口类型等。
对于不同的信号处理任务需要选择不同的窗函数和窗函数参数，以达到最优效果。
3. 窗口重叠在进行信号处理时，由于窗口大小固定，导致窗口之间存在重叠的部分。
可以通过在相邻窗口之间叠加部分数据来减少窗口重叠对信号处理的影响。
在某些应用场景下，需要自己设计窗口函数以更好地适应信号处理任务。
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力科示波器基础应用系列之八
FFT的前世今生（三）
Teledyne LeCroy 马亦飞
窗函数对于FFT结果的影响
所谓频谱泄露，就是信号频谱中各谱线之间相互干扰，使测量的结果偏离实际值，同时在真实谱线的两侧的其它频率点上出现一些幅值较小的假谱。
产生频谱泄露的主要原因是采样频率和原始信号频率不同步，造成周期的采样信号的相位在始端和终端不连续。
简单来说就是因为计算机的FFT 运算能力有限，只能处理有限点数的FFT，所以在截取时域的周期信号时，没有能够截取整数倍的周期。
信号分析时不可能取无限大的样本。
只要有截断不同步就会有泄露。
在图1和图2中，为了最大化FFT运算之后的频率分辨率，我们使用了矩形窗。
图中的时域信号是500MHz正弦波信号，在频谱上应该仅在500MHz频点上看到谱线。
FFT运算研究的是整个时间域（-∞，+∞）与频域的关系，所以对于矩形窗函数截取的波形应该认为是无穷延续的，因此，矩形窗100ns时间窗内，包含了500MHz正弦波整50个周期，所以波形的首尾能够整周期得无缝连接，FFT之后的频谱会在500MHz频点看到较为纯净的能量值。
如下图1所示：
图1：矩形时间窗口内包含整数倍周期的信号，首尾可以“无缝”连接
事实上，大多数类型的信号都不满足上面的这种特殊情况，绝大多数信号在时间窗口内都不是整周期的倍数，在这种情况下，FFT之后的频谱就不能看做连续的正弦波了。
例如，如果该正弦波的频率是495MHz，在100ns时间窗口内包含49.5个周期，因此在截取窗口的首尾部分就存在很大程度上的“不连续”，这种“不连续”会直接影响FFT之后的结果。
“不连续”部分的能量会散落在整个频谱范围内，使用100ns时间窗口，FFT之后的频率分辨率是10MHz，495MHz频点即落在490MHz与500MHz之间，所以495MHz正弦波信号的能量分成两部分，所以从频谱上看，峰值谱线明显降低了，这被称作是频谱泄露
（Leakage）。
如下图2所示：
图2：对于非整数倍周期信号进行FFT运算的效果
不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。
信号的截短产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。
(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高)
为了减少频谱旁瓣和栅栏效应的影响，我们在FFT运算中使用窗函数，图3显示了Hanning（汉宁窗）使用后的效果。
窗函数位于下图中左上角的栅格中红色的波形，叠加在黄色的时域信号上。
窗函数与时域信号时域相乘。
结果显示在左下角的蓝色波形。
右下角的粉色波形显示了进行FFT计算之后的频谱图，相对于右上角的使用窗函数之前的频谱图来说，旁瓣的幅度已经大大减低。
对于不同的应用需求还有多种不同的窗函数供工程师选择，Hanning（汉宁窗）是使用最广泛的一种窗函数，除此之外，Hamming（海明窗），Flat-top窗和Balckman-Harris窗的效果，在下图中做了对比，图中的信号使用500MHz正弦波，矩形窗产生最窄的谱线，加Flat-top窗谱线最宽。
图3:500MHz正弦波频谱在不同窗函数下的对比
下图4中显示了同样的窗函数对比，但是采用495MHz正弦波进行FFT运算，矩形窗显示了最差旁瓣效果，Flat-top窗函数基本上保持了与图3一样的旁瓣效果，所以我们看到旁瓣的影响和精确频率分辨率有时候是不可兼得的。
(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；Flat-top窗主瓣
宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高)
图4：495MHz正弦波频谱在不同窗函数下的对比
图5中显示了不同的窗函数对于栅栏效应的抑制效果，图中的正弦波频率从450MHz增加到550MHz，
步进值为500KHz，Flat-top窗在整个频段上基本保持相同的值，矩形窗函数有约4dB的差值。
图5：从500MHz到600MHz，不同窗函数的峰值变化
我们把关于窗函数的一些重要的结论总结如下：
1、连续的FFT运算并没有窗函数的概念，因为信号是充满时间坐标轴的，FFT之后的频率分辨率是
0，并不存在栅栏效应。
但是，示波器采集和处理的信号全部是离散的采样点，是非连续的，所以DFT之后的频谱一定存在栅栏效应。
2、如果能够保证示波器时间窗口内的信号是整数倍周期的（并且在信号时间窗口之前和之后的信号
都是严格周期重复的），或者采集信号时间足够长，基本上可以覆盖到整个有效信号的时间跨度。
这种方法经常在瞬态捕捉中被使用到，比如说冲击试验，如果捕捉的时间够长，捕捉到的信号可以一直包括了振动衰减为零的时刻。
在这种情况下，可以不加窗函数。
3、如果不满足1和2，那么FFT计算之后的频谱就不可避免受到频谱泄露（Leakage）的影响，如频
点分裂，幅值能量不精确等等，总之就是频谱线比较难看，这时候就需要使用适当的窗函数，以满足我们工程测量的需要。
4、示波器中的FFT运算，不加窗和加矩形窗是一回事。
5、窗函数会改变频域波形，让频谱形成人们“喜欢”的形状，但是不会本质上消除频谱泄露，不同
的窗函数都有其独特的特性，我们只需要根据工程测试的需要，选择一款合适的就可以了。
窗函数选择指南
如果在测试中可以保证不会有泄露的发生，则不需要用任何的窗函数（在软件中可选择uniform）。
但是如同刚刚讨论的那样，这种情况只是发生在时间足够长的瞬态捕捉和一帧数据中正好包含信号整周期的情况。
如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大
小。
在这种情况下，需要选择一个主畔够窄的窗函数，汉宁窗是一个很好的选择。
如果测试的目的更多的关注某周期信号频率点的能量值，比如，更关心其EUpeak,EUpeak-peak,EUrms 或者EUrms2，那么其幅度的准确性则更加的重要，可以选择一个主畔稍宽的窗，flat-top窗在这样的情况下经常被使用。
如果被测信号是随机或者未知的，选择汉宁窗。