北师大版九年级数学上册知识点归纳：第四章图形的相似
第四章 图形的相似
1 成比例线段
2 平行线分线段成比例
3 相似多边形
4 探索三角形相似的条件
*5 相似三角形判定定理的证明
6 利用相似三角形测高
7 相似三角形的性质
8 图形的位似
一. 成比例线段
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比
AB:CD=m:n ,或写成n
m B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即
d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.
※3. 注意点:
①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;
②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b 之外,a:b ≠b:a,
b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d
c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则
d c b a = ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC
BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.02
15:≈-=
AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
_ 图1 _ B _ C _ A
二．平行线分线段成比例
※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,
所得的对应线段成比例.
如图2, l 1 // l 2 // l 3,则
EF BC DE AB . 三. 相似多边形
¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
四. 探索三角形相似的条件
※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应
把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
※5. 相似三角形周长的比等于相似比.
※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
※1. 相似三角形的判定方法: 一般三角形 直角三角形
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截
得的三角形与原三角形相似. ①两角对应相等;
②两边对应成比例,且夹角相等;
③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等; ②两条边对应成比例: a. 两直角边对应成比例;
_ 图2 _ F _ E _ D _
C _ B _ A _ l _3 _ l _2 _ l _1
b.斜边和一直角边对应成比例.
※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
八. 图形的位似
※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.
※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
◎3. 位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比
例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。
截得的线段成比例。
三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明六、利用相似三角形测高1、利用阳光下的影子2、利用标杆3、利用镜子的反射七、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
八、图形的位似定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。
实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
北师大版九年级上册数学《相似三角形判定定理的证明》图形的相似说课教学复习课件
探究
判定定理1是从三角形的三个
角来证明三角形相似，能不能从
三角形的角和边一起考虑，来证
明相似呢？
B
角和边！
A A'
C B' C'
思 考
已知：在△ABC 和△A ' B ' C ' 中,
A
A'
A A', A' B ' A'C '
AB
AC
D
E
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
B
C B' C'
如果
AB AB
BC BC
AC , AC
那么，△ABC∽△A′B′C′.
B′
边
√ 边
边 A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角 形的对应角，它们相等吗？这两个 三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论.
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC .
分析:在AB,AC上分别截AD=A'B',AE=A'C'，要证题 目结论，只需要证明ADE∽ABC.
根据预备定理，只要证明DE//BC，题意即证.
由AD=A'B',AE=A'C'及条件
A' B' AB
A' C ' AC
有：AADB
AE AC
思
能否由
AD AB
AE AC
推出DE//BC?
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 黄金分割
大自然与黄金分割
图中主叶脉与叶柄和主叶脉的 长度之和比约为 0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比，普通树叶的 宽与长之比也接近 0.618.
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时
还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚
脐上贴药治好了某些疾病. 人体最感舒适的
人
温度是 23℃ (体温)，也是正常人体温(37℃)
离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m
4.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄 金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC =__________cm，DC =___________cm.
都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高 468 米. 设计师在 263 米处设计了一 个球体，使平直单调的塔身 变得丰富多彩，非常协调、 美观.
当堂小结
黄金 分割
定义
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，
如果
AC AB
BC AC
，那么称线段
AB
被点
C
黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割
2
D
②连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB.
E
③在 AB 上截取 AC = AE.
A
CB
思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗?
令BD = 1 ，则AD = 2
12
1 2
2
=
5 ，AC = AE = 2
5 -1 22
= 5 -1，BC = 1- AC = 1- 5 -1 = 3 - 5 ；
B．S1＜S2
C．S1 = S2
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 利用两边及夹角判定三角形相似
BC AB 4
44
想一想
如果 △ABC 与 △A'B'C' 两边成比例，且其中
一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
小明和小颖分别画出了如图所示的三
角形.由此你能得到什么结论?
4 cm 3.2 cm
如果两个三角形两边对应成比例， 50°
但相等的角不是两条对应边的夹角，
那么两个三角形不一定相似，相等的 2 cm 1.6 cm
A
∴ AB AE . 又∵∠DAB =∠CAE， D AC AD
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC .
B
∴ △ABC ∽△AED .
E C
解：∵ AB 7， AC 14 = 7， ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
练一练
1. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，
AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似
(√)
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 (×)
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，
使 △ABC ∽ △DBA 的条件 ( D )
A
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD ·BC D. AB2 = BD ·BC → AB BC
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似相似多边形课件
3. 若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的 最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为 8或2 ．
4. 已知如图所示的两个多边形相似，则边x，y的长度分别为 27，31.5 ， ∠C的度数为 83° .
5. 如图，在长为16 cm，宽为12 cm的矩形ABCD中，截 去了一个矩形EFCD（即图中的阴影部分）,使留下的矩形AEFB 与原矩形相似，求矩形AEFB的面积.
第四章 图形的相似
3 相似多边形
1. 各角 分别相等 ，各边 成比例 的两个多边形叫做相似多边形.“相 似”用符号“ ∽ ”来表示.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的 字母写在 对应 的位置上.
2. 相似多边形对应边的比叫做 相似比 . 3. 如果两个多边形相似，那么它们的对应角 相等 ，对应边 成比例 .
解：(1)因为OA=10，OC=8，矩形OABC∽矩形DEFG，相似比为2，所以矩形DEFG 的对应边DE=5，DG=4.由点的坐标的意义,知所求坐标分别为B（10，8），E （8，2），F（8，6），G（3，6）. （2）设直线AC的函数解析式为y=kx+b.因为点A（10，0）和点C（0，8）在直 线AC上，则有
4. 把一个边长为2的正方形的各角都去掉，得到的一个图形仍是一个正方
形，则这个小正方形的边长为 ，小正方形与原正方形的相似比为 .
【提升训练】 5. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′． （1）α＝ ; （2）求边x,y的长度．
6. 已知四边形ABCD ∽ 四边形A1B1C1D1且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14, 四边形ABCD的周长为40.根据这些条件求四边形ABCD各边的长.
【基础训练】 1. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似 图形的是( B )
九年级数学上册第四章图形的相似3相似多边形帮你认识相似多边形素材北师大版
帮你认识相似多边形1.定义：各角都相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．注意：这个定义有两个功能:一方面，如果两个多边形的角都对应相等,且边都对应成比例，我们就可以判定这两个多边形相似;另一方面,如果两个多边形相似，那么它的对应角一定相等，对应边一定成比例,这是相似多边形的本质特征,用它可以解决一些有关问题．2.相似多边形的表示与相似比：'''''相似，记作若五边形相似多边形的表示方法：若五边形ABCDE与五边形A B C D E'''''．ABCDE∽五边形A B C D E相似多边形对应边的比叫做相似比．注意：（1）“多边形”的“多"字包括3个或3个以上的所有自然数，所以有了相似多边形的定义，就不必再重新定义“相似三角形"、“相似四边形"……．（2）我们前面学习过图形的全等，其实是相似的一个特例，全等图形是相似比为1的相似图形．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Partof the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件
（1） 求 的值；
（2） 求 的长.
（1） 求 的值；
解： , . .
（2） 求 的长.
[答案] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 .
， ， . . 是 的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点 ， 在 的边 上，点 在边 上，且 ， .
（1） 求证： .
（2） 如果 ，求证： .
（1） 求证： .
证明： ， . , . . .
（2） 如果 ，求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . . ， . . .
6.如图，在 中， ， ，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在 和 中， ， .
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2） 请说明其中一对三角形类似的理由.
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》单元复习课件
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第三节相似多边形
矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH 相似吗？
为什么？
解题秘方：紧扣“相似多边形的
定义”进行说明.
感悟新知
解：不相似. 理由如下：
知1－练
∵在矩形ABCD 中，AB=1.5m，AD=3m，镶在其外围的
木质边框宽7.5cm=0.075m，
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1. 如图， 正方形EFGH 的四个顶点分别在正方形ABCD
的四条边上，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似
比为
35，则ABEE
1 (AE<BE)的值为____2_____
.
感悟新知
知1－练
2-2. 如图是两个相似四边形，求未知边x的长度和角α的大小. 解：∵两个四边形相似， ∴148＝x7，解得 x＝31.5， α＝360°－(77°＋83°＋117°)＝83°.
∴ EF=1.5+2×0.075=1.65(m)，EH=3+2×0.075=3.15(m).
∴AEBF
=
1.5 1.65
=
1101，EAHD
=
3 3.15
=
2201.∵
10 11
≠2201，
∴边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的
矩形EFGH 不相似.
感悟新知
1-1. 图中的三个矩形相似的是( A ) A．甲和丙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
知1－练
感悟新知
知1－练
例2 如图4-3-2， 梯形ABCD∽梯形A ′B ′C ′D ′，AD∥BC， A′D′∥B′C′，∠ A= ∠ A′，AD=4，A′D′=6，AB=6， B′C′=12，∠ C=60°.
相似三角形的判定 数学北师大版九年级上册
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定（1）
类比引入
可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？ 类比全等三角形
相似多边形
各角分别相等、各边成比例
相似三角形
三角分别相等、三边成比例
复习回顾
[——北师版 七年级 数学下册 教材P93、P98、P101、P103]
A
C B A'
C' B'
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. A
平行
角相等
△相似
解：∵ DE∥BC，
D
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
B
∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.
∴ AD DE .
AB BC
CP AC
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相 似比为1:2.
A
E
B
F
C
①取AB、BC的中点 E、F，连接EF. 则△ABC∽△EBF， 且相似比为1:2
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相
似比为1:2.
E
A
则△ABC∽△EBF，
且相似比为1:2
B
C
F
②分别延长AB、BC，使EB=2AB，FB=2CB.
AB AC
∴△ABC∽△A′B′C′
B′
A
C A′
C′
例 如图，D，E分别是△ABC的边 AC ，AB上的点，AE＝1.5，
AC＝2，BC＝3，且 AD ，3 求DE的长 .
AB 4