2007年“新知杯”上海市初中数学竞赛试题及答案详解
⇒ （BE-AE）（BE+AE）=11.
中
因为 BE-AE=1，所以，BE+AE=11，即 AB=11.故四边形 ABCD 的周长为 34.
com 7.【答案】 1 . 3
ath om 【解析】设 AD = x ，则 BD = 1− x = CG .于是，由三角形相似得
m c AB
BA
CA
100 th. ( ) SΔADG = x2 ， SΔBDE = 1− x 2 = SΔCFG .
赛 ww 【解析】由勾股定理得
竞 网 PA2-AH2=PD2-DH2，PD2-DG2=PC2-CG2，PC2-CF2=PB2-BF2，PB2-BE2=PA2-AE2.
学 竞赛 上面四式相加得
华数 学 AH2+DG2+CF2+BE2=AE2+BF2+CG2+DH2 中 华数 ⇒ 9+1+36+BE2=AE2+16+25+16
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2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛
一、填空题（第 1～5 小题，每题 8 分，第 6～10 小题，每题 10 分，共 90 分）
om 1.已知 −1 < 2x −1 < 1，则 2 −1的取值范围为
.
c x
h. m 2.在面积为 1 的△ABC 中，P 为边 BC 的中点，点 Q 在边 AC 上，且 AQ=2QC.连接 AP、BQ 交于
个.
9.已知 k 为不超过 50 的正整数，使得对任意正整数 n，2×36n+k×23n+1-1 都能被 7 整除.则这样的
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正整数 k 有
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数
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中
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华
中
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2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛
答案详解
om 一、填空题
h.c om 1.【答案】 2 −1 >1 t c x
华数 学 当 n=2 时，取 a= 1 ，b 为整数，则 f（x）= 1 x2+ 1 x+b= 1 x（x+1）+b 对任意整数 x，f（x）都是
x
2
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( ) ( ) 两边平方并整理得
x2 + 2x + 2
y2 −
x3 + 2x2 + 4x
y
+
2x2
=
0
.解得
y
=
x2
2x + 2x
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（4）若 a=b=c=9，则 S（x）=27，S（x+1）=1.
由此可见，S（x）和 S（x+1）都是奇数仅是情形（2）和（4）.
在情形（2）中，a+b 为偶数，从而，a、b 同奇偶.这样有 45 个 x 满足题意.
+
（另一解
2
y=x
舍）.
m （2）由（1）得 y = 2 ≤ 2 = 2 −1.当且仅当 x = 2 ，即 x = 2 时，上式等号成立.
co x + 2 + 2 2 2 + 2
x
. x
th com 故当 x = 2 时，y 取最大值 2 −1.
00ma th. 三、
w.1 0ma 【解答】设 f（x）= 1 x2 +ax+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.则 w 10 n
0ma h. 【解析】-1＜2x-1＜1 ⇔ 0＜x＜1 ⇔ 1 ＞1 ⇔ 2 −1＞1.
0 t x
x
.1 0ma 2.【答案】 2 w 0 5
中华数学竞赛网ww 华数学竞赛网www.1 【解析】如图，
中 过点 P 作 PM∥AC，交 BQ 于点 M.由题设 PM= 1 CQ= 1 AQ，得 PR = PM = 1 ， AR = 4 .
数学 竞 x1 y1 + ax2 y2 = c ，则 y12 + ay22 的值为
.
中华 华数学 6.如图，设 P 是凸四边形 ABCD 内一点，过 P 分别作 AB、BC、CD、DA 的垂线，垂足分别为 E、
中 F、G、H.已知 AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且 BE-AE=1.则四边形 ABCD 的周长
为
.
7.如图，△ABC 的面积为 1，点 D、G、E 和 F 分别在边 AB、AC、BC 上，BD＜DA，DG∥BC，
赛网 www. DE∥AC，GF∥AB.则梯形 DEFG 面积的最大可能值为
.
竞
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中
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华
中 8.不超过 1000 的正整数 x，使得 x 和 x+1 两者的数字和都是奇数.则满足条件的正整数 x 有
om 在情形（4）中，仅有一个 x=999 满足题意. h.c m 综上，满足题意的 x 共有 46 个. at .co 9.【答案】7 00m ath 【解析】2×36n+k×23n+1-1=2×272n+2k×8n-1≡2×（-1）2n+2k-1≡2k+1（mod7）.但 2×36n+k×23n+1-1 w.1 00m ≡0（mod7），则 2k +1 ≡ 0(mod 7) ，即 2k +1 = 7m （m 为奇数）.因为 1≤k≤50，所以，3≤7m≤101. ww w.1 故 m=1，3，…，13，相应的 k=3，10，…，45，共 7 个. 网 ww 10.【答案】2 或 5 竞赛 赛网 【解析】设 p ( p +1) + 2 = k 2 （ k ∈ Z + .则 p（p+1）=2k2-2=2（k+1）（k-1）.
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( ) ( )( ) b y12 + ay22 = x12 + ax22 y12 + ay22
( ) = x12 y12 + a x12 y22 + x22 y12 + a2 x22 y22
个.
10.使得 p ( p +1) + 2 是完全平方数的所有质数 p 为
.
2
com 二、（20 分） th. om 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点 F 在边 AB 上，点 G、H 在边 BC 上，四边
ma h.c 形 EFGH 是一个边长为 y 的正方形，且 AE=AC. 100 at （1）求 y 关于 x 的函数解析式. w. 00m （2）当 x 为何值时，y 取到最大值？并求出 y 的最大值.
网 赛
竞
网
学
赛
数
竞
华
学
中
数 延长 FE，交 AC 于点 D.显然，DF∥BC，则 Rt△ADF∽Rt△ACB.注意到 AE=AC=x，知
华 中 DE = x2 − ( x − y)2 = 2xy − y2 .于是， x − y = 2xy − y2 + y ⇒ 2x − 2 y − xy = x 2xy − y2 .
中 是 x 的数字和.
数
中华 （1）若 c≠9，则 S（x）=a+b+c，S（x+1）=a+b+c+1；
（2）若 c=9，b≠9，则 S（x）=a+b+9，S（x+1）=a+b+1；
（3）若 b=c=9，a≠9，则 S（x）=a+18，S（x+1）=a+1；
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华 中
数学 （1+2+…+100）+2S=100S ⇒ S=
2525 49
⇒
x25
=
S
− 25 2
=
650 49
.
5.【答案】 c2 + a3
华
b
中
( ) 【解析】由题设得 x2 y1 − x1 y2 2 = a2 ，即 2x1x2 y1 y2 + a2 = x22 y12 + x12 y22 .故
. a SΔABC
SΔABC
SΔABC
网www w.100m 因为 SΔABC
= 1，所以， S梯形DEFG
=1−
x2
− 2(1−
x)2
=
−3x2
+ 4x −1=
−3⎛⎜⎝
x−
2 ⎞2 3 ⎟⎠
+
1 3
.
竞赛 网ww 当
x
=
2 3
时，
S梯形DEFG
取最大值
1 3
.
学8.【答案】46
赛
数
竞
华 学 【解析】显然，x≠1000.设 x= abc ，其中，a、b、c∈｛0，1，…，9｝，且不全为零.S（x）=a+b+c
at .co 点 R ath 3.在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边顺次为 a 、 b 、 c .若关于 x 的方程
( ) ( ) w.1 0m c x2 +1 − 2 2bx − a x2 −1 = 0 的两根平方和为 10，则 b 的值为
.
w 10 a
网w www. g（x）=f（x+1）-f（x）
2007年全国初中数学联合竞赛试题(含解竞赛试题(含解答)-48
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为 （ ） （A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）. 注：本题也可用特殊值法来判断. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ） （A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ） （A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C. 解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=. 易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】 B.AE C B D O H解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y . 因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___. 解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a .2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____. 解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m A B C DE F G M N 2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共8页）22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅. 又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得 []056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 AB C D E F M N P⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ； 一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x 56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝ 113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数，而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。
奥赛经典
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.A.12B.13C.14D.15例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）. A.100 B.112 C.120 D.1502.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.A.401B.800C.601D.12033.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.A.1B.6C.4D.无数多4.2009是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a 排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗?”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗?”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n -与n n a a a a 110- 互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：12112211122211112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A 组1.M 表示一个两位数，N 表示一个三位数，如果把M 放在N 的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（ ）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k 倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（ ）.A.()1-k 倍B.()k -11倍C.()k -10倍D.()k -9倍3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab 为两位数，且满足bbb ab b a =⋅⋅，求这个两位数.6.求一个最小的正整数n ，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B 组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，然后，魔术师再要求他记下五个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，并把这五个数加起来求出和N ，只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc 是什么.如果3194=N ，请你确定abc .3.两位数ab （个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz ；而这两位数ba 的平方恰好等于三位数zyx ，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()21101001.0化为十进制小数. 6.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+- 能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方？13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅？15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少？19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+； ⑵()()2210101101101101-； ⑶()()()222101101100111000000--.。
历届 最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)
新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。
2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。
5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。
BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。
6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。
8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。
9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。
设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。
二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。
上海历届新知杯试题
Image
轨迹的总长是＿＿＿＿＿（保留π）。 Image
9、如图，△ABC中，AB＝BC＝10，点M、N在BC上，使得MN＝AM＝4， ∠MAC＝∠BAN，则△ABC的面积是＿＿＿＿。
10、△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝10，BC＝8，则AC的长是＿＿＿＿。 二、（本题16分） ，均为正整数，若关于的方程的两个实数根都大于1，且小于2，
则S△DEF∶S△ABC= ．
14．已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，都成立，则这样的有序数
组（a，b，c）共有 组．
15．如图，I是Rt△ABC（）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB
于E、F．已知，，则用m、n表示S△ABC=
．
B
C
A
E
F
m
n
I
求，的值。
三、（本题16分） 如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在
BC、CD上，使得△CMN的周长为2。求 （1）∠MAN的大小； （2）△MAN面积的最小值。
Image
四、（本题18分） 某学生为了描点作出函数的图象，取自变量的7个值：，且，分别算
出对应的的值，列出下表：
式的乘积，则这样的n共有＿＿＿＿＿个。 6、设正整数m，n满足m < n，且，则的值是＿＿＿＿。 7、数1，2，3，…，按下列方式排列：
12…
…
……
…
任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了次后，所取出的个 数的和是＿＿＿。
8、如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN＝3，NP＝4的正方形 MNPQ内，且NB在边NP上。若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、 QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成
最新上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案(1)
2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02=++m x x ②，其中0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，使得()()22h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。
比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。
8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。
2007年全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4 答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解．故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21 ∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）．4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
2007—2014全国初中数学联赛试题汇编(含答案)
第二试 （ A）
一、 （本题满分 20 分）设 m, n 为正整数，且 m 2 ，如果对一切实数 t ，二次函数
y x 2 (3 mt) x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于 2t n ，求 m, n 的值.
解 因为一元二次方程 x (3 mt ) x 3mt 0 的两根分别为 mt 和 3 ，所以二次函
y 6, z 4 .
因此，共有 1＋2＋3＋4＝10 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结 果有 2 种，所以所求的概率为
2 1 . 故选（B）. 10 5
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1. 设 x
1 2 1 1
，a 是 x 的小数部分，b 是 x 的小数部分， 则 a 3 b 3 3ab ____1___.
注：本题也可用特殊值法来判断.
2．当 x 分别取值
1 1 1 1 ， ， ，…， ，1 ，2 ，…， 2005 ，2006 ， 2007 时， 2007 2006 2005 2
的 值 ， 将 所 得 的 结 果 相 加 ， 其 和 等 于
1 x2 计 算 代 数 式 1 x2
（ ） （A）－1. 【答】C.
3 3
2. 对于一切不小于 2 的自然数 n ， 关于 x 的一元二次方程 x (n 2) x 2n 0 的两个根
2 2
记作 a n , bn（ n 2 ） ， 则
1 1 1 = (a 2007 2)(b2007 2) (a 2 2)(b2 2) (a3 2)(b3 2)
2007 年全国初中数学联合竞赛
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 已知 x, y, z 满足
2007联赛答案
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【答】B. 解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）.注：本题也可用特殊值法来判断.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n nn 011112222=+-++-n n n n ，即当x分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，...，21，1，2， (2005)2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.【答】C.解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=. 易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；AECB D O H当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a .又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ， ∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+，则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++，)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以A BCD E FGM N⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ，∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPEPB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PFPEPB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅. ∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPCPN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-. 当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.ABCDE F MN P第二试 （B ）解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ； 一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22. 所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x 56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点. 因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x ay a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝ 113ax-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数，而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。
2007新知杯上海市初中数学竞赛
2007年“新知杯”上海市初中数学竞赛一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1. 已知-1<2x<1，则12-x的取值范围为______。
2. 在面积为1的ABC ∆中，P 为边BC 的中点，点O 在边AC 上，且AQ=2QC,连接AP 、BQ 交于点R ，则ABR ∆的面积是______。
3. 在ABC ∆中，∠C=90°A ∠、B ∠、C ∠的对边顺次为a 、b 、c ，若关于x 的方程c(x 2+1)-bx 22-a （x 2-1）=0的两根的平方根和为10，则ab 的值为______。
4. 数1x 、2x ……100x 满足如下条件：对于k=1、2……100。
k x 比任何其余99个数的和小k ，则25x 的值为______。
5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠0，若实数21,x x ，1y 、2y 满足21x ＋22ax =b ，a y x y x =-2112，c y ax y x =+2221，则2221ayy +的值为_______。
6. 如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂线分别为E 、F 、G 、H 。
已知AH=3，HD=4,DG=1,GC=5,CF=6,FB=4,且BE-AE=1，则四边形ABCD 的周长为______。
7. 如图， ABC ∆ 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD<DA,D G ∥BC,DE ∥AC,GF ∥AB,则DEFG 面积的最大可能值为_____.8.不超过1000的正整数x,使得x 和x+1两者的数字和都是奇数，则满足条件的正整数x 有_____个。
9. 已知k 为不超过50的正整数，使得对任意正整数n ，1232136-⨯+⨯+n nk 都能被7整除，则这样的正整数k有______个。
2006年新知杯上海市初中数学竞赛
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ABC 的面积为 S ,周长为 p , A′ B′ C′ 的三边在 ABC 外 ,且与对应边的 距离均为 h . 则 A′ B′ C′ 的周长为 ,面
8. 如图 4 ,
积为 . 9. 已知 n ( n > 1) 个整数 ( 可以相同) a1 , a2 , …, a n 满足 a1 + a2 + …+ a n = a1 a2 …an = 2 007. 则 n 的最小值是 . 10. 把能表示成两个正整数平方差的这 种正整数 , 从小到大排成一列 : a1 , a2 , …, 2 2 2 2 a n , …( 如 a1 = 2 - 1 = 3 , a2 = 3 - 2 = 5 , a3 2 2 2 2 ) . 那么 , a1 + = 4 - 3 = 7 , a4 = 3 - 1 = 8 , … a2 + …+ a100 的值是 . ( ) 二 、 20 分 如 图 5 , 已知半径分别为 1 、 2 的两 个同心圆 , 有一个 正 方 形 ABCD , 其中 , 点 A 、 D 在半 径为 2 的圆周上 , 点 B 、 C 图5 在半径为 1 的圆周上 . 求这 个正方形的面积 . ( 20 分) 关于 x 、 三、 y、 z 的方程组 3x +2y + z = a , xy + 2 yz + 3 zx = 6 有实数解 ( x , y , z ) . 求正实数 a 的最小值 . ( 20 分) 设 A 是给定的正有理数 . 四、 (1) 若 A 是一个三边长都是有理数的直 角三角形的面积 ,证明 : 一定存在 3 个正有理 2 2 2 2 数 x、 y、 z ,使得 x - y = y - z = A ; ( 2) 若存在 3 个正有理数 x 、 y、 z , 满足