凸函数极值点的分布问题
函数凹凸性对极值的影响分析
函数凹凸性对极值的影响分析函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。
以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。
同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。
●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。
2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。
这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。
●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。
3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。
然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。
●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。
对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。
然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。
●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。
即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。
函数的凹凸性,极值
f
( x0 )
lim
xx_
0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
xx_
0
f ( x) 0 x x0
f ( x) 0 ( x x0 )
f
( x0 )
lim
x x
0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x x
0
f ( x) 0
x x0
f ( x)在x0两侧异号。
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
21
y
极大值点 y 极小值点
y 不是极值点
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
16
求曲线 y f ( x) 拐点的一般步骤 :
( 1 ) 求 f ( x) 的定义域 (或确定讨论区间) ; (2) 计算 f ( x) , f ( x) , (如需要可求出 f ( x)) ; (3) 求拐点可疑点 :
f ( x) 0 ( x x0 )
14
例5 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
x2
7 4
.
f (3) 2 0,
正定矩阵在最优化的凸规划和函数极值点问题中的应用
另 类 见的 次函 ＝ …＋ ｘ ＝ 一 常 二 数ｑ） Ｇ ｂ＋ ｘ ｘ ｘ Ｗ ｃ１∑ｘ ∑ｂ＋ 。 勘 ｉｃ ｘ， ｉ
二 ｌ＝ ｊｌ ｉｌ ＝
解 由 件 ，） ｘ ２ 。：） ｘ＋ ，（ｘ ７ 从 得到 条 知 ＝ －） （ ０（１ｘ 。 而 ： ｘ｝（ｘ（ ，： ｘ ｌ３） － ＋ ｈ ｒ Ｔ，
当ｌ ４ ４＞ 时， ｌ —ｔ０ Ｇ正定。即 一＜ ｌ Ｇ正定， Ｇ＝ ｚ ｌｔ 时， ＜ 从而“） ｘ 是严格凸
函数 。 当 Ｇ的特 征 值 均 为非 负 数 时， Ｇ半 正 定 。 即 Ｇ 的特 征 多项 式
ｂ （。 ｂ ∈Ｒ。Ｇ为 ｑｘ的 Ｈ ｓｅ ＝ｂｂ， ｃ ， …， （） ｅｓ 矩阵 。ｘ＝ Ｔｘ表示 向量 ｘ的转置 。 ， 当矩 阵 Ｇ半正定时 ｑｘ 凸函数； Ｇ正定时 ｑｘ （是 ） 当 （） 是严格凸函数； 当 Ｇ半负定时 ｑｘ是 凹函数； Ｇ是不定矩阵 时，（ 即不是凸 函数也不是 （） 当 ｑｘ ） 凹函数。下面的引理 １ ． 和定理 １ ． 分别用一 阶导数和二阶导数刻 ．１ １ ．１ １ 画了一般 的非线性 函数是 凸函数 的基本特征， 定理 １ ． 是凸函数的判 ．１ １ 别定 理。 引理 １ ． 设 ｆ ） 义在 凸集 Ｄ上的一阶可微 连续 函数则 ｆ ） ． １ （ 是定 １ ｘ （ 是 ｘ Ｄ上严格凸函数的充分必要 条件是 ： ） （＞ ｆ ）ｙ ｘ Ｖ ，∈Ｄｘ 。 一 ｘ Ｖ （Ｔ — ） ｘ ｙ ｆ） ｘ（ ， ｙ ， ≠ｙ 证 明 必要 性： ｆ ） 设 （ 是凸集 Ｄ上 的严格凸 函数 ， ｘ 则对任意 的 ｘ ∈Ｄ ， ｙ 和任 意的 ∈（， ， ｆ ｙ （一 ） ＜ ｙ （一 ）ｘ由此 得 ０１ 有 （ ＋１ ｘ ） １ ） ） ｈ ） ＋ ｆ ＋ （ ｘ）ｆ ） “ ） ） （ ｈｙ ） （ ｙ一 ｘ ｘ － ｘ＜ （） ５
导数的极值点偏移问题
导数极值点偏移问题如上图所示，0x 为函数的极值点，0x 处对应的曲线的切线的斜率为0极值点左移：0212x x x >+，221x x x +=处切线与x 轴不平行 极值点右移：0212x x x <+，221x x x +=处切线与x 轴不平行由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。
当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有()020'21'=<⎪⎭⎫⎝⎛+x f x x f ；当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有()020'21'=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f 。
当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，()020'21'=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有()020'21'=<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f 。
如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移，1x 和2x 处对应的函数值相等，我们可以作2x 关于0x 的对称点3x ，则12032x x x x >-=，且03x x <，故()()13x f x f >，即()()1202x f x x f >-，故我们可以构造函数()()()1202x f x x f x F --=，只需要判断函数()x F 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足()0min >x F ，我们就可以得到0212x x x <+。
同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。
做题步骤：（1）求极值点0x ；（2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--； （3）判断极值点左移还是右移；（4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论；（5）若极值点求不出来，由'0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.经典题型：1.已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 有极大值为12-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明：124x x a +>.2.已知函数()()xf x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：122ln x x a +<.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明122x x a +>.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 极值点为0x ，若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，使()()12f x f x =，求证：1202.x x x +>（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设()()22ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'02x x h +⎛⎫>⎪⎝⎭.6.设函数()()211ln .2f x x a x a x =--- （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'7.设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x . (1)求满足条件的最小正整数a 的值； (2)求证：1202x x F +⎛⎫> ⎪⎝⎭'.8. （2016年全国卷1）已知函数()()()212-+-=x a e x x f x有两个零点（1）求a 的取值范围；（2）设21,x x 是()x f 的两个零点，证明：221<+x x9.（2018年湖北省七市州联考）已知函数()()R a x axe x f x ∈--=-,1222 （1）当4-=a 时，谈论函数()x f 的单调性；（2）当10<<a 时，求证：函数()x f 有两个不相等的零点21,x x ，且221>+x x10.（广西桂林2017年第一次联合模拟考试）已知函数()()R m x x m x f ∈-+=1ln 21的两个零点为()2121,x x x x <（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：e x x 21121>+11.已知函数()ax e x f x -=-有两个零点（1）求实数a 的取值范围；（2）设21,x x 是函数()x f 的两个零点，证明：221-<+x x12.已知函数()k kx e x f x 21--=+（1）讨论函数()x f 的单调性；（2）当函数()x f 有两个零点21,x x 时，证明：221->+x x。
函数的凹凸性与极值点
函数的凹凸性与极值点函数的凹凸性和极值点是微积分中重要的概念。
通过研究函数的凹凸性和极值点，我们可以更加深入地理解函数的性质，进而应用于许多实际问题的求解中。
本文将详细介绍函数的凹凸性和极值点。
一、凹凸性的定义首先我们来定义函数的凹凸性。
假设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＜f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＞f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。
凹凸函数很类似于水果篮中的凹凸形状，凹函数可以想象成篮子底部向上凹陷，而凸函数则相反，底部向下凸起。
函数凹凸性的变化有助于我们分析函数的增减性、拐点等特性。
二、凹凸性与导数的关系函数的凹凸性与函数的导数密切相关。
如果函数f(x)在区间I上连续，那么f'(x)的正负性与函数的凹凸性有以下关系：1. 如果f'(x)在区间I上单调递增，那么f(x)在区间I上是凹函数；2. 如果f'(x)在区间I上单调递减，那么f(x)在区间I上是凸函数；3. 若f''(x)存在且在区间I上恒大于零，那么f(x)在区间I上是凸函数；4. 若f''(x)存在且在区间I上恒小于零，那么f(x)在区间I上是凹函数。
通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数的凹凸性质。
这为我们进一步分析函数的特点提供了重要的线索。
三、极值点的定义与判定接着我们来回顾一下极值点的定义。
对于函数f(x)，如果存在某一点x0，使得在x0的某个邻域内，f(x0)是函数的最大值或最小值，则称x0是函数f(x)的极值点。
对于可导的函数f(x)，我们可以通过导数来判断函数的极值点：1. 若f'(x0) = 0，且f''(x0)存在，则x0是函数f(x)的驻点。
2. 若f'(x0) = 0，且f''(x0) > 0，则x0是函数f(x)的极小值点。
凸函数的极值
凸函数的极值凸函数是数学中非常重要的一个概念，其在优化、经济学、物理等领域都有广泛应用。
凸函数不仅具有很好的性质和特性，而且还有一个极值问题。
什么是凸函数？凸函数是一种定义在实数集上的函数。
如果函数的任意两点之间的线段在函数图像上的点的下方，那么这个函数就是凸函数。
具体来说，如果对于任意 $a < b$，都有 $f((1-t)a+tb)\leq (1-t)f(a)+tf(b)$，其中 $0\leq t\leq 1$，那么函数 $f$ 就是凸函数。
凸函数的优良性质凸函数具有很多好的性质，其中最突出的就是对于任意两点之间的线段，它的斜率都是不递减的。
这一性质也被称为弱凸性质，它表明了凸函数在图像上的曲率是向上的，因此可以说凸函数具有一定的“凸出”特性。
凸函数还有许多其他的性质，比如说：- 凸函数的导函数是单调递增的；- 凸函数的下凸包是一个闭合包；- 凸函数的两个相邻的切线之间的区域总是在函数图像上方；- 凸函数的全局极小值只有一个。
在实际应用中，这些性质为凸函数带来了许多优势，比如说可以更容易地找到函数的极值，更加准确地优化问题等等。
凸函数的极值问题对于一个凸函数 $f(x)$，求其在定义域上的最大值或最小值是非常常见的问题。
根据凸函数的性质，在其定义域的边界处或者导函数为零的点处必然存在极值，而且极值点一定是全局极值点。
具体来说，如果在定义域的边界上存在极值点，那么极值点为全局极值点。
如果没有，则需要进一步考虑导函数为零的点。
在导函数为零的点处，需要进一步判断这个点的二阶导数符号。
如果二阶导数大于零，那么此处是函数的局部极小值；如果二阶导数小于零，则为局部极大值。
需要注意的是，在有些情况下，凸函数的极值点可能会有多个。
这时一般需要通过计算二阶导数的符号来判断哪个是全局极小值或极大值。
举个例子，考虑函数 $f(x)=x^2-2x+2$。
通过求导可得其导函数$f'(x)=2x-2$。
导函数为零的点为 $x=1$，而且 $f''(x)=2>0$，因此$x=1$ 是函数的局部极小值点。
《函数凹凸性》课件
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
凸凹性与极大值与极小值
凸凹性与极大值与极小值凸凹性是我们在高中数学学习中就接触到的概念之一，它与函数图像的形状、极值有着密切的关系。
首先，我们来了解一下凸性和凹性的概念。
在数学中，凸性是指函数的图像向上弯曲的程度，也就是说，函数图像的曲率向上。
如果一个函数在其定义域上的图像向上弯曲，我们就称这个函数在这个区间上是凸函数。
反之，如果函数图像向下弯曲，我们则称这个函数在该区间上是凹函数。
研究函数的凸凹性还有另一种方式，即研究其导数。
设函数f(x) 在区间 I 上有定义，且在 I 上有二阶导数，若对于 I 上任意两点 x1、x2（x1<x2），有：f′′(x)>0(x1<x<x2)（或者f′′(x)<0(x1<x<x2)）,则称 f(x) 在区间 [x1,x2] 上为凸函数（或凹函数）。
既然我们现在了解了凸凹的定义，那么判断一个函数图像的凸凹性，就需要对其导数进行计算了。
具体而言，我们需要计算一阶导数和二阶导数，然后判断二阶导数的正负性。
如果二阶导数大于零，则说明函数图像向上弯曲，是凸函数；如果二阶导数小于零，则说明函数图像向下弯曲，是凹函数。
说到这里，我们不难想到极值的概念。
在一个函数的定义域内，如果有一个点 x0，满足f(x0)≥f(x)（或者f(x0)≤f(x)），那么我们就称 x0 是函数的极大值（或极小值）点。
如果一个点既不是极大值，也不是极小值，则称这个点是函数的极值。
那么，在一个函数图像的图像中，如果出现一个极值点，这个点的凸凹性就可以被确定了。
具体而言，如果这个极值点是一个极大值点，那么它的左边是一个凸函数，右边是一个凹函数；如果这个极值点是一个极小值点，那么它的左边是一个凹函数，右边是一个凸函数。
接下来，我们可以通过一个实例来深入掌握凸凹性和极值的概念。
举例：考虑函数 f(x)=x^3 − 3x^2 + 2x。
我们首先可以求出其一阶导数和二阶导数分别为：f′（x）=3x^2 − 6x + 2,f′′（x）=6x − 6.我们发现，二阶导数在整个定义域内都大于零（因为6x-6=6（x-1）-6>0当x>1时），所以函数图像在整个定义域内均为凸函数。
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1
预备知识
为叙述和证明本文的主要结论 ，需要用到以下预备知识． 定义 1 [ 1 ] 设函数 f ( x ) 在 I 上有定义 ，若 x1 ， x2 ∈ I， λ∈ ( 0，1 ) ，总有 f ( λx1 + ( 1 － λ) x2 ) λf ( x1 ) + ( 1 － λ) f ( x2 ) ， (1)
2
淮北师范大学学报 ( 自然科学版 )
2011 年
2
主要结果
首先 ，讨论可导凸函数的极值问题 ． 为此 ，有以下定理 ． 定理 1 [ 1 ] 设函数 f ( x ) 为开区间 ( a， b ) 上可导的凸函数 ，则 x0 ∈ ( a， b ) 为 f ( x ) 的极小值点的充要条件 是 f ' ( x0 ) = 0． 证明 必要性 ． 设 x0 ∈ ( a， b ) 是 f ( x ) 的极小值点 ， 则由于 f ( x ) 在点 x0 ∈ ( a， b ) 处可导 ， 因此由费马定 理，有 f ' ( x0 ) = 0． 充分性 ． 设 f ' ( x0 ) = 0，则 x∈ ( a， b ) ， x≠ x0 ，由引理 1，有 (6) f ( x ) f ( x0 ) + f ' ( x0 ) ( x － x0 ) = f ( x0 ) ． ( ) ( ) ( ) 于是由函数最值的定义 ， f x 在 x0 处取得最小值 ． 又由于 x0 ∈ a， b 是内点 ， 因此 f x 在 x0 处取得极小 值，且 x0 是 f ( x ) 的极小值点． 由定理 1，容易得到以下推论． 推论 1 设函数 f ( x ) 为开区间 ( a， b ) 上的可导的凸函数 ， 若 x0 是 f ( x ) 的稳定点 ， 即存在 x0 ∈ ( a， b ) ， 使得 f ' ( x0 ) = 0，则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 ， x0 是 f ( x ) 的极小值点 ，进而 f ( x ) 在 x0 处取得最小值 ， x0 是 f ( x ) 的最小值点． 证明 由定理 1 的充分性，结论显然成立 ． 推论 2 设函数 f ( x ) 为开区间 ( a， b ) 上的可导的凸函数 ，则 x0 ∈ ( a， b ) ， f ( x ) 在 x0 处不取得极大值 ． 证明 假设 f ( x ) 在 x0 ∈ ( a， b ) 处取得极大值 ， 则由费马定理 ， f ' ( x0 ) = 0， 进而由推论 1， f ( x ) 在 x0 处 取得极小值 ，产生矛盾 ． 推论 3 设函数 f ( x ) 为开区间 ( a， b ) 上的可导的凸函数 ，则 x0 ∈ ( a， b ) ， f ( x ) 在 x0 处不取得最大值 ， 即 f ( x ) 在 ( a， b ) 内不取得最大值 ． 证明 假设 f ( x ) 在 x0 ∈ ( a， b ) 处取得最大值 ，则由于 x0 ∈ ( a， b ) 是内点 ，因此 x0 是 f ( x ) 的极大值点 ， 这与推论 2 矛盾． 推论 4 设凸函数 f ( x ) 在闭区间 [ a， b ] 上连续 ，在开区间 ( a， b ) 内可导 ，则 f ( x ) 在 [ a， b ] 的端点 x = a 或 x = b 处取得最大值，且 f ( x ) 在 [ a， b ] 上的最大值 M = max f ( a ) ， f ( b ) ． 证明 由于 f ( x ) 在 [ a， b ] 上连续 ，因此由最值性定理 ， f ( x ) 在 [ a， b ] 上取得最大值 ． 又由推论 3， f ( x ) 在 ( a， b ) 内不取得最大值 ， 因此 f ( x ) 的最大值只能在 x = a 或 x = b 处取得 ， 且 f ( x ) 在 [ a， b ] 上的最大值为 M = max f ( a ) ， f ( b ) ． 定理 1 及其推论表明 ，可导凸函数 f ( x ) 的稳定点即是 f ( x ) 的极小值点与最小值点 ． 与此同时 ，可导凸 函数 f ( x ) 在 ( a， b ) 内部没有极大值点 ，从而在 ( a， b ) 内不取得最大值 ． 其次 ，讨论可导严格凸函数的极值问题 ． 为此，有以下定理 ． 定理 2 设函数 f ( x ) 为开区间 ( a， b ) 上的可导的严格凸函数 ，若 x0 是 f ( x ) 的稳定点 ，则 x0 是 f ( x ) 在 ( a， b ) 上的唯一极小值点 ． 证明 由推论 1， x0 是 f ( x ) 的极小值点 ． 此时 ， x0 必是 f ( x ) 在 ( a， b ) 上的唯一极小值点 ． 若不然 ， 假设 x' － x 0 f ( x ) 在 ( a， b ) 上 另 有 一 个 极 小 值 x ' ， 不 妨 设 x0 ＜ x ' ． 则 由 函 数 极 值 的 定 义 ， 存 在 δ : 0 ＜ δ ＜ ，当 x∈ 2 U ( x0， δ ) 时， f ( x ) f ( x0 ) ; 当 x∈ U ( x'， δ ) 时， f ( x ) f ( x' ) ． 现任取 x1 ∈U0+ ( x0 ， δ ) ， x2∈U0－ ( x'， δ ) ，则有 f ( x1 ) f ( x0 ) ， f ( x2 ) f ( x' ) ，从而 f ( x1 ) － f ( x0 ) f ( x' ) － f ( x2 ) (7) 0， 0． x1 － x0 x' － x2 注意到 x0 ＜ x1＜ x2 ＜ x'，且 f ( x ) 严格凸 ，因此由引理 2，有 f ( x1 ) － f ( x0 ) ＜ f ( x2 ) － f ( x1 ) ＜ f ( x' ) － f ( x2 ) (8) 0． 0 x1 － x0 x2 － x1 x' － x2 产生矛盾 ． 推论 5 设函数 f ( x ) 为开区间 ( a， b ) 上的可导的严格凸函数 ，且 x0 是 f ( x ) 的稳定点 ，则 x0 是 f ( x ) 在 ( a， b ) 上的最小值点 ． 证明 由推论 1，结论显然成立 ． 定理 2 及其推论表明 ，可导的严格凸函数 f ( x ) 的稳定点必是 f ( x ) 在 ( a， b ) 上的唯一极小值点 ，且是最 小值点 ． 此外 ， 定理 2 提示了可导凸函数与可导的严格凸函数的区别 ， 即可导凸函数的极小值点 ( 如果存在
第3期
陶有德等： 凸函数极值点者有无穷多个 ，例如常量函数 f ( x ) = C 是 ( － ∞ ， + ∞ ) 上的可导的凸函数 ，其定义域内 每一点 x ∈ ( － ∞ ， + ∞ ) 都是 f ( x ) 的极小值点 ． 但可导的严格凸函数的极小值点 ( 如果存在的话 ) 只能有 一个． 最后 ，讨论一般凸函数的极值问题 ． 由于在凸函数的定义中并没有对函数 f ( x ) 作出连续性及可导性的 假设，因此一方面凸函数可能是不连续的 ，进而也是不可导的 ． 例如，若令函数 0， x ＜ 1， (9) f( x) = ． 1， x = 1． 则容易证明 f ( x ) 在 [ － 1，1 ] 上是凸函数 ，但 f ( x ) 在 [ － 1，1 ] 上分别是不连续和不可导的 ． 另一方面连续函数 和可导函数也可能不是凸函数 ． 例如 ，函数 f ( x ) = x3 在 R 上是连续且可导的 ， 但 f ( x ) 在 R 上不是凸函数 ． 这样，当 f ( x ) 在 I 上不可导时 ，上述定理及其推论失效 ． 尽管如此 ，对于一般凸函数 ，有以下定理 ． 定理 3 设函数 f ( x ) 为开区间 ( a， b ) 内的凸函数 ，且不恒为常数 ，则 f ( x ) 在 ( a， b ) 内不取得最大值． 证明 假设 f ( x ) 在 x0 ∈ ( a， b ) 处取得最大值 f ( x0 ) ，则由函数最值的定义 ， x1 ， x2 ∈ ( a， b ) ， x1＜ x0 ＜ x2 ， 有 f ( x0 ) f ( x1 ) ， f ( x0 ) f ( x2 ) ． 此时 ， 不等式 f ( x0 ) ＞ f ( x1 ) 与 f ( x0 ) ＞ f ( x2 ) 至少有一个成立 ． 否则 ， f ( x0 ) = f ( x1 ) = f ( x2 ) ，这与 f ( x ) 不恒为常数矛盾． 于是由引理 3，有 x0 － x1 x2 － x0 x2 － x0 x0 － x1 ( 10 ) f ( x0 ) － f ( x1 ) + － f ( x2 ) ＜( － + － ) f ( x0 ) = f ( x0 ) ， x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 产生矛盾 ． 定理 4 设函数 f ( x ) 为区间 [ a， b ] 上的连续凸函数 ，则 f ( x ) 在 [ a， b ] 的端点 x = a 或 x = b 处取得最大 值，且 f ( x ) 在 [ a， b ] 上的最大值 M = max f ( a ) ， f ( b ) ． 证明 由于 f ( x ) 在 [ a， b ] 上连续 ，因此由最值性定理 ， f ( x ) 在 [ a， b ] 上取得最大值 ． 又由定理 3， f ( x ) 在 ( a， b ) 内不取得最大值 ， 因此 f ( x ) 的最大值只能在 x = a 或 x = b 处取得 ， 且 f ( x ) 在 [ a， b ] 上的最大值为 M = max f ( a ) ， f ( b ) ． “函数 f ( x ) 在开区间 ( a， b ) 内可导 ” 定理 3， 定理 4 表明 ， 推论 3 － 5 中的条件 可以省略 ， 因而定理 3，定 理 4 具有更大的适用范围 ．