2008高等几何试题(B卷)
高等几何试题
程.（10）8.两个重叠一维基本形A B,A B成为对合的充要条件是对应点的参数与程：a b（） d O（ad b2 0）（ 15 ）《高等几何》试题（3）1.求仿射变换X 7x y 1, y 4x 2y 4的不变点和不变直线.（15 ）2.求椭圆的面积.（10 ）3.写出直线2XI+3X2- X3=0, x轴，y轴，无穷远直线的齐次线坐标.（10 ）4.叙述笛沙格定理，并用代数法证之.（15 ）5•皿11, 12, 14 的方程分别为2X1 X2 X3 0, XI X2 X3 0,2XI 0,且（1112, 1314）,求12 的方程.（15）1 1234 3 26.在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合7.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系，试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系[2005 — 2006第二学期期末考试试题]《高等几何》试题（A）一、填空题（每题3分共15分）1、是仿射不变量，是射影不变量2、直线3x y 0上的无穷远点坐标为3、过点（1, 1,0 ）的实直线方程为4、二重元素参数为2与3的对合方程为5、二次曲线6x2 y2 lly 24 0过点P （1,2）的切线方程满足以下方.(15).(20)二、判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线三、（7分）求一仿射变换，它使直线x 2y 1 0上的每个点都不变，且使点（变为（-1 , 2）四、（8分）求证：点A （1,2, 1） ,B （ 1, 1,2） ,C （3, 0,5）三点共线，并求t, s使Ci t&i sbi , （i 1, 2, 3）/ 3x 2五、（10分）设一直线上的点的射影变换是J”？证明变换有两个自对应点，x4 对应点与任一对对应点的交比为常数。
2008高考试卷分类汇编08----解析几何1
2008高考试卷分类汇编08----解析几何1一、选择题1．（安徽理8文10）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[D ．(解：设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与 曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3k k k ≤+≤，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确。
2．（北京理4）若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。
3．（北京理7）过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90解：圆心(5,1)M ,12l l ，关于y x =对称时CP y x ⊥=直线，CP ∴==CM =30CPM ∠=,60MPN ∠=4．（福建理11文12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，22c e a ===∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈5．（广东文6）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A 、10x y ++= B 、10x y +-= C 、10x y -+= D 、10x y --=解：点C (1,0)-，与直线0x y +=垂直，可设待求的直线方程为y x b =+，将点C 的坐标代入求出1b =，故所求直线方程为10x y -+=,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)6．（海南宁夏理11）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)， D ．(12)-， 解：点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图PF PQ PS PQ +=+,故最小值在,,S P Q 三点共线时取得，此时,P Q 的纵坐标都是1-，所以选A 。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(14空间向
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（14空间向量与立体几何）一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）A ．13B．3 CD ．231.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高1AO ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AOAB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,33OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=.二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 61 ．1.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,)222222M N ---, 则3121321(,,),(,,),,32222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, x 1题图（故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=.三、解答题：1．（2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(11解析几何初步)
A． k ( 2，2) B． k (∞， 2) ( 2，∞)
C． k ( 3，3)
D． k (∞， 3) ( 3，∞)
6．(2008 全国Ⅱ卷文)原点到直线 x 2 y 5 0 的距离为（ D ）
A．1
B． 3
C．2
D． 5
7．(2008 全国Ⅱ卷理) 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x y 2 0 与 x 7 y 4 0 ，
y k(x 4) ，其中 k ≤ 1 ． 2
圆 C 的圆心为 C(4， 2) ，半径 r 2 ．
圆心 C 到直线 l 的距离
d 2 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 1 k2
所以所求直线的斜率为 k=1. 故所求直线的方程是 y-0=1(x+1),即 x-y+1=0.
2．(2008 湖南文) 将圆 x 2 y 2 1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C，则圆 C 的方程是
(x 1)2 y2 1_,若过点（3，0）的直线 l 和圆 C 相切，则直线 l 的斜率为___
6．(2008 天津文)已知圆 C 的圆心与点 P(2，1) 关于直线 y x 1对称．直线 3x 4 y 11 0 与圆 C 相
交于 A，B 两点，且 AB 6 ，则圆 C 的方程为
x2 ( y 1)2 18
．
7．（2008 浙江理）已知 a >0，若平面内三点 A（1，- a ），B（2， a 2 ）， C（3， a3 ）共线，则 a =1 2 。
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 -广东卷B
绝密 ★ 启用前 试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分、考试用时120分钟、注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上、用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”、2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案、答案不能答在试卷上、3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效、4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答、漏涂、错涂、多涂的，答案无效、5、考生必须保持答题卡的整洁、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回、 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+、已知n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 、一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A 、(15)，B 、(13)， C、 D、2、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A 、16B 、24C 、36D 、483、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1、已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19、现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A 、24B 、18C 、16D 、12 表14、若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A 、90B 、80C 、70D 、405、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）6、已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A 、()p q ⌝∨B 、p q ∧C 、()()p q ⌝∧⌝D 、()()p q ⌝∨⌝7、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A 、3a >-B 、3a <-C 、13a >-D 、13a <-8、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 、若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A 、1142+a b B 、2133+a bC 、1124+a b D 、1233+a b 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分、 （一）必做题（9~12题） 9、阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出 a = ，i = 、（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”） 10、已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于 120，则k = 、11、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 、12、已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 、E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．图4二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 、14、（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 、15、（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =、AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = 、三、解答题：本大题共6小题，满分80分、解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤、 16、（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、 （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值、17、（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件、已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元、设1件产品的利润（单位：万元）为ξ、 （1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%、如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 18、（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-、如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F 、（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）、 19、（本小题满分14分）设k ∈R ，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性、 20、（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD ，分别是PB CD ，上的点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 的平行线交（1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形；（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积、 21、（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）、 （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S 、图5绝密★启用前 试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：C D C C A D B B 1、C 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z2、D 【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S3、C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯ 4、C 5、A6、D 【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝为真命题7、B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。
08年高考试卷数学
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn nP k C P P k n -=-= ，，， 一、选择题 1．函数y ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．年级 班别： 姓名： 考场； 考号（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，， 10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3CDE AB只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）答案与解析：1.C. 由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或；2.A.根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图象可知. 3. A.2(),322AD AB AC AD AD AB AC -=-=+= c +b ,1233AD = c +b4. D 222()(21)2(1)0,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-5.C ．243511014,104,3,10454013595a a a a a d S a d +=+==-==+=-+=由得6. B.2(1)2(1)21,(1),()y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==7. D.3212211,,11(1)2x x y y y x x x =+''==+=-=----,2,2a a -==- 8.A ． π55cos 2sin(2)sin 2()3612y x x x ππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b +1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB，棱柱的高13AO a ==（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =-- ,11AB AB AA =+211112,33OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11113OA AB AO AB ⋅= .12.B.分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处时，函数2z x y =-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====. 16.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=- ,1()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-= 2故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则31131(,,(,,2222222AN EM AN EM ==-⋅= 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅= .17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．AC CD CG AD ==，DG =，EG ==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos -⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为x =即()f x在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭，递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增（2）2313--，且23a>解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431bab a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b=--,与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-= 将数值代入，有4=解得3b = 故所求得双曲线方程为：221369x y -=． 22. 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 22.解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-,()ln f x x '=-,当(01)x ∈，时，()ln 0f x x '=-> 故函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当1n =时，101a <<，11ln 0a a <211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤ 那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立. （Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得kk k k a a b a b a ln 1--=-+11ln ki i i a b a a ==--∑ 1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥02， 若对任意i k ≤都有b a i >，则kk k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln ki i i a b a a ==--∑11ln ki i a b a b ==--∑11()ln ki i a b a b ==--∑b ka b a ln 11--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.。
2008高等几何试题(A卷)
说明： 本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题空间。 说明： 本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题空间。
3．求射影变换, 使直线 x1 + x2 − 6 x3 = 0, x1 + x2 + 6 x3 = 0, x1 − x2 + x3 = 0 分别变成
x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 0 , 点 (1,1,1) 变成 (2,−4,3) , 并求此射影变换的不变元素.
3．下列概念经中心射影后不变的是 A．三点形 C．共线三点的单比 4．关于正交变换的叙述, 错误的是 A．平移是正交变换 B．伸缩是正交变换 C．旋转是正交变换 D．反射是正交变换 5．下列命题正确的是 A．无穷远点的的齐次坐标是 (0,0,0) B．两共轭复直线的交点为一复点 C．线段中点与无穷远点调和分离两端点 D．透视对应具有对称性和传递性
*
*
*
B．两直线的平行性 D．两直线的夹角
*
P P2 ⋅ P3 P4 1 P2 P3 ⋅ P P4 1
*
*
B．
P P4 ⋅ P2 P3 1 P P3 ⋅ P2 P4 1
C．
P P3 ⋅ P2 P4 1 P2 P3 ⋅ P P4 1
D．
P P3 ⋅ P2 P4 1 P P2 ⋅ P3 P4 1
* * * * * * * * * * * 学 号： * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 学 院： * * * * * * * * * * * * * *
专业年级：
2006 级，2007 级数学与应用数学
*
题号 * * 得分
一
二
08-09-2工科本高数 B答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容试卷类型：B 试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间：110 分钟 考试科目：高等数学（二） 专业：08级工科本 班级：一、填空题 （每空 2分，共 10 分）1. 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处可微且0),(,0),(00/00/==y x f y x f y x ,该条件是 ),(y x f 在),(00y x 处取得极值的 _____________条件。
必要2..设D 为矩形区域：a x ≤≤0，b y ≤≤0，则⎰⎰σDd y x f ),(的累次积分为_________________。
⎰⎰abdx y x f dy 0),(3．.如果xoy 平面上的简单闭曲线L 所围区域的面积为S ，那么用曲线积分表示该面积就是S ＝____________________。
⎰-L ydx xdy 214．设)(x f 具有任意阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数为________________。
∑∞=0)(!)0(n n n x n f 5. 微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数个数为（ ） 3二、单项选择题 （每空 2分，共 10 分）1．点()3,2,1M 到平面23160x y z -+-=的距离是( B )2． 函数222311z x y =+-在点（1，2）处全微分dz = ( C )(A) 16dx (B) 16dy (C) 4dx +12dy (D) 163．如果Ω是由平面63260x y z ++-=及三个坐标面围成的空间闭区域，(),,f x y z 在Ω上连续，则(),,f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰( B )(A) ()321 2 33 0 0,,xx y dx dy f x y z dz ---⎰⎰⎰(B) ()123311 22 0 0,,z x z dz dx f x yz dy ---⎰⎰⎰(C) ()11231 32 1,,yy z dy dz f x y z dx ---⎰⎰⎰(D) ()1113231 2 1 0,,z y z dz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰4. 设1lim2n n na a +→∞=，则级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径R 为( D ) (A) 2R = (B) 21=R (C) R = (D) R =5.以下级数中，收敛的是( D ) (A) 1n ∞=1511n n ∞=∑ (C) 0.511n n ∞=∑ (D) 115n n ∞=∑分）1. 求过点()1,1,1-且通过z 轴的平面方程。
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课程名称：
几何学
B 卷
考试方式：
闭卷
（开卷、闭卷）
印刷份数：
80
学 院：
数学与计算机科学学院
任课教师：
专业年级：
2006级，2007级数学与应用数学
题号
一
二
三
四
五
总分
阅卷教师
得分
……………………………………………………………………………………………………
得
分
一、选择题（每小题3分，共15分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
1．两个多边形面积之比是仿射不变量.
2． 轴方向上的无穷远点的齐次坐标为 .
3．两个共轭复元素的齐次坐标不一定为共轭复数.
4．过一复点有唯一一条实直线.
5．平面仿射变换可以把圆变成椭圆.
6．交比不是射影性质.
7．一角的两边与这个角的内外角平分线调和共轭.
8．两个线束间的射影对应是透视对应的充要条件是它们顶点的连线自对应.
B．平面上仿射变换把二次曲线变为二次曲线
C．平面上仿射变换保持平面图形的面积不变
D．平面上仿射变换保持向量的线性关系不变
5．下列命题正确的是
A．原点的齐次坐标是
B．两共轭复点的连线为一复直线
C．透视对应具有对称性和传递性
D．双曲型对合的任何一对对应元素与其两个二重元素调和共轭
得
分
二、判断题（正确的在相应小题号下划“√”,错误的在相应小题号下划“×”,每小题2分，共20分）
1．设 , 是两个重叠的射影点列, 与 是任一一对对应点,当无穷远点作为 中的点时,其对应点是 ,当无穷远点作为 中的点时,其对应点是 ,求证: =常数.
2．如图所示叙述Desargues定理,并用代数方法对其进行证明.
5．直线 上的实点为.
得
分
四、计算题（要求写出主要计算过程,每小题10分，共30分）
1．求射影变换
的不动元素.
2．已知共点直线 的方程为: 且 求 的非齐次方程.
3．求仿射变换式使直线 上的每个点都不变，且使点(1，-1)变为(-1，2).
得
分
五、证明题（要求写出主要的证明步骤,每小题10分，共20分）
9．不重合的两对对应元素决定唯一一个对合对应.
10．就几何学内容的丰富性而言其关系为:欧式几何 仿射几何 射影几何.
得
分
三、填空题（每小题3分，共15分）
1．过 和 的直线 与直线 相交于 点,且 = ,则 的齐次坐标为.
2． 轴的齐次线坐标为.
3．“两直线必交于一点”的对偶命题为.
4．若交比 则 =.
题 号
1
2
3
4
5
答 案
1．下列图形具有射影性质的是
A．平行直线B．三直线共点
C．两直线的夹角D．两相等线段
2．中心射影后变化的是
A．三点形B．三点共线
C．平行直线D．二次曲线
4．关于平面仿射变换的叙述,错误的是
A．平面上仿射变换把直线变为直线