一元二次函数
一元二次函数
一元二次函数一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不为零。
在本文中，我将介绍一元二次函数的特点、图像和应用，并且探讨一些与之相关的数学概念。
特点：1. 定义域和值域：一元二次函数的定义域为实数集R，即对于任意实数x，都存在函数值。
值域则取决于函数的开口方向和导数的正负性。
2. 对称性：一元二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
对称轴的横坐标可以通过满足函数为0的x解出，即x = -b / (2a)。
这一点在求解函数的最值时有重要作用。
3. 零点：一元二次函数的零点即为使函数值等于零的横坐标。
零点可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的根来获得，其中根的个数取决于判别式的值。
图像：一元二次函数的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向由二次项系数a的正负性决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))，其中f(-b/ (2a))表示在对称轴上的函数值。
应用：1. 物理学：一元二次函数可以用来描述抛体运动、自由落体等物理现象。
例如，抛出物体的高度与时间的关系就可以建模为一元二次函数。
2. 经济学：一元二次函数可以用来建立成本、收益、利润等经济指标之间的关系模型，帮助决策者做出更准确的经济预测和决策。
3. 工程学：一元二次函数在工程领域中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，可以利用一元二次函数来确定柱状物体的最佳高度；在电路设计中，可以利用一元二次函数来描述电流、电压等变量之间的关系。
数学概念：1. 判别式：一元二次函数的判别式决定了根的情况。
判别式的表达式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ大于零时，方程有两个不等的实根；Δ等于零时，方程有两个相等的实根；Δ小于零时，方程没有实根。
2. 最值：由于一元二次函数的图像是一个抛物线，它在对称轴上有一个极值点。
一元二次函数
x1， x2 ；这个时候我们设： y=a(x-x 1 )(x-x2)
解答：设 y=a(x-1)(x+3)
因为函数经过点（ 4,2），
所以： 21=a(4-1)(4+3)
解得： a=1
所以： y=(x-1)(x+3) 即： y=x 2+2x-3
一元二次函数
一、一元二次函数的定义 形如 y=ax2+bx+c( 其中 a≠0)的函数称之为一元二次函数。
二、一元二次函数的图像及性质： y=ax 2+bx+c
(a≠ 0)
a>0
y
a<0 y
P
图像
x
y = f(x)
O
x
y = f(x)
O
P
对称轴 顶点坐标
最值 单调性
b
x=
2a
b 4ac b2
P(
,
)
么？ 解答： y=(x-1) 2+2 根据“左加右减”的原则，向左移动一个单位，则有：
根据“上加下减”的原则，向上移动两个单位，则有 所以，最终的结果是： y=x 2+4
y=(x-1+1) 2+2 y=(x-1+1) 2+2+2
题型二：已知三点求函数的解析式——方法：待定系数法 【例题 2】已知一元二次方程 y=ax2+bx+c 经过点 A(1 ，3),B(2 ，4),C(3 ，11),求函数的解析式。 解答：根据题意有：
abc3 4a 2b c 4 9a 3b c 11
解上面的方程组，得：
a3 b8
c8
所以： y=3x 2-8x+8
【例题 3】 已知函数
一元二次函数归纳
一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时 函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。
(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。
(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。
关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
一元二次函数的三种形式
一元二次函数的三种形式一元二次函数，这个名字听上去有点儿严肃，但其实它就像一块好吃的蛋糕，外表看起来复杂，切开之后却是简单又美味。
今天咱们就来聊聊这个数学小家伙的三种形式，别担心，我们会轻松幽默地过关，就像喝杯咖啡一样轻松。
1. 标准形式1.1 什么是标准形式首先，我们得说说标准形式，没错，就是 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 这位“老大”。
这里的 ( a, b, c ) 就像是蛋糕里的配料，决定了我们的蛋糕到底好不好吃。
这个形式挺常见的，大家在学校的时候都学过。
如果你在追求直观的感觉，标准形式就是你最好的朋友。
你只要一看，就能知道二次函数的开口方向和顶点的大概位置。
1.2 这个形式的好处用这个标准形式，有个好处就是我们能快速判断出图像的形状。
比如说，( a ) 是正的，那图像就像一只微笑的笑脸；而如果是负的，就变成了哭泣的小眼泪。
想象一下，如果你在朋友面前用这个形式炫耀，大家都会觉得你真懂行。
不过，光有配方可不行，做蛋糕还得有点技术嘛。
2. vertex形式2.1 顶点形式的魅力接着，我们再来看看顶点形式，记住哦，它的样子是这样的： ( f(x) = a(x h)^2 +k )。
这里的 ( (h, k) ) 就是顶点的位置，仿佛是蛋糕上那颗樱桃，闪闪发光，诱人得不得了。
通过这个形式，我们能很方便地找到图像的顶点，直接说“嘿，来看看这个美丽的点儿吧！”2.2 什么时候用顶点形式顶点形式特别适合用来找最值，尤其是在求最小值或者最大值的时候，就像厨师要知道自己做的蛋糕是酥脆的还是松软的。
这种情况下，顶点就是我们的终极目标。
不过，有些人可能会觉得，这个形式看起来有点复杂，毕竟涉及到平方和加减的操作。
但没关系，只要多练习，最终会成为你的一部分，就像你对美食的热爱一样。
3. 交点形式3.1 交点形式的“明星”最后，我们来说说交点形式，形状是这样的： ( f(x) = a(x x_1)(x x_2) )。
一元二次函数的顶点公式
一元二次函数的顶点公式一元二次函数，这可是咱们数学世界里相当重要的一部分。
说到一元二次函数，就不得不提到它的顶点公式，这可是解决相关问题的一把“金钥匙”。
咱先来说说一元二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c（a ≠ 0）。
而顶点公式就是：顶点的横坐标 x = -b / (2a)，纵坐标 y = (4ac - b²) /(4a) 。
那这个顶点公式到底有啥用呢？我给您举个例子。
有一次我去菜市场买菜，看到一个摊主在卖西瓜。
他说西瓜的价格和卖出的数量之间存在一种关系，假设价格是 y 元，卖出的数量是 x 个，关系可以用一元二次函数 y = -0.1x² + 2x + 10 来表示。
这时候咱就可以用顶点公式来算出能获得最大利润时的卖出数量。
先算横坐标 x = -2 / (2×(-0.1)) = 10 ，再算纵坐标 y = (4×(-0.1)×10 - 2²) / (4×(-0.1)) = 15 。
这就说明，当卖出10 个西瓜时，能获得最大利润 15 元。
再比如，学校组织了一场义卖活动。
我们班打算卖自己制作的小手工。
假设价格定为 y 元，预计能卖出的数量是 x 个，函数关系是 y = -0.2x² + 3x + 8 。
同样用顶点公式，算出 x = -3 / (2×(-0.2)) = 7.5 ，y =(4×(-0.2)×8 - 3²) / (4×(-0.2)) = 12.25 。
由于数量得是整数，我们就可以考虑取 7 或者 8 个来定价，以获得比较高的利润。
您看，顶点公式在生活中的用处是不是还挺大的？在解题的时候，可一定要注意 a、b、c 的取值，千万别搞错啦。
有时候，粗心一点，一个正负号的错误，结果就会相差十万八千里。
而且，对于一些变形后的一元二次函数，要先把它化成一般形式，再用顶点公式。
一元二次函数总结
一元二次函数的图象一、定义：一般地，如果y =ax2• bx - c（a,b,c是常数，a = 0），那么y叫做x的一元二次函数.其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y= ax2+ bx + c （a z 0）的图象（其中a,b,c 均为常数）1. 当a> 0时函数图象开口向上；对称轴为x =- 2a/b，有最小值且为（4ac—b2 ）/ 4a；当x €（-x，- 2a/ b]时递减；当x € [ - 2a/ b,十^）时递增；2.当a v 0时函数图象开口向下；对称轴为x =- 2a/b，有最大值且为（4ac—b2 ）/ 4a；当x €（-x，- 2a/ b]时递增；当x € [ - 2a/ b,十^）时递减;2. △= b2 —4ac当厶〉。
时，函数图象与x轴有两个交点；当4=0时，函数图象与x轴只有一个交点; 当Av O时，函数图象与x轴没有交点。
(如下图所示)归纳：一般地，抛物线y 二ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点，当a 0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a 0时, 抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。
⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置1 1例2：画出二次函数y = ——(x ・1)2，y = ——(x-1)2的图象，考虑他们的开口方向、2 2y = _xy x y = -2x2y「1（ x—i）1 2y —扣i)21可以看出，抛物线y n-j d」）2的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线y = -1（x-1）2的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。
1例3：画出函数y=-^（x・1）2一1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。
抛物线y = -l x2经过怎样的变换可以得到抛物线y =-l（x・1）2 -1 ？2 21抛物线y （x，1）2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1, -1 ）。
一元二次函数定点式-解释说明
一元二次函数定点式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型之一，其定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是实数常数且a 不等于零。
一元二次函数的图像呈现出特定的形状，通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
在本文中，我们将重点研究一元二次函数的定点式及其含义。
定点式是一种表示函数图像上顶点坐标的方式，它提供了关于函数最高或最低点的关键信息。
通过研究函数的定点式，我们可以更深入地理解一元二次函数的性质和变化规律。
本文旨在通过对一元二次函数定点式的探讨，让读者对这一函数类型有更全面的了解，并认识到定点式在函数分析和解题过程中的重要性。
同时，我们还将展望定点式的应用领域，探索更多与一元二次函数定点式相关的实际问题，并寻找使用定点式解决这些问题的可能性。
在下一节中，我们将首先介绍一元二次函数的定义，为后续讨论奠定基础。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织结构和框架，它决定了文章内容的组织方式和展示顺序。
一个良好的文章结构能够帮助读者更好地理解文章主题，并且使文章更加连贯和有条理。
下面将介绍关于一元二次函数定点式的文章结构打算。
在本文中，文章的结构主要分为三个部分：引言、正文和结论。
引言部分（Chapter 1）是文章的开篇，目的是引导读者进入主题，并介绍文章的背景和意义。
具体包括以下几个方面的内容：1.1 概述：介绍一元二次函数的基本概念和定义，简要说明一元二次函数在数学中的重要性。
1.2 文章结构：详细说明本文的组织结构和框架，引导读者了解文章的整体布局和内容安排。
1.3 目的：明确本文的写作目的和研究问题，阐述对一元二次函数定点式的探索和分析。
1.4 总结：对引言部分进行总结，承接下文，为读者带来连贯的阅读体验。
正文部分（Chapter 2）是文章的核心部分，通过对一元二次函数定点式的定义、图像特点和含义进行详细解析，以展现该主题的全面性和深度。
具体包括以下几个方面的内容：2.1 一元二次函数的定义：介绍一元二次函数的基本形式和表达式，解释其在数学中的重要性和应用。
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