2019-2020学年上海市进才中学高一下学期期末考试数学试题
2019-2020学年上海市进才中学高一下学期期末考试数学试题一、填空题 1．220lim513n n n →∞+=+ ．2．2和8的等差中项是 ．3．方程组727345x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数矩阵是 ．4．函数3cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值为 ．5．等差数列{}n a 中，32a =，71a =，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则9S = ． 6．设等比数列{}n a 的各项均为正数，123432,2a a a a ==，则{}n a 的通项公式为n a = ． 7．将无限循环小数0.145化为分数，则所得的最简分数为 ． 8．用数学归纳法证明“1111(,1)2321nn n n *++++<∈>-N ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数共 项．9．数列{}n a 中，若31()n na a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为 ． 10．在Rt ABC △内有一系列正方形，边长依次为123,,,,,n a a a a ，A B a =，2BC a =，所有正方形的面积的和为 ．11．已知等差数列{}n a 满足：40a >，50a <，数列的前n 项和为n S ，则54S S 的取值范围是 ．12．已知数列{}n a 满足154a =，211n nn a a a +=-+，则12320201111m a a a a =++++的整数部分是 ．二、选择题13．设等比数列{}n a 中，10a >，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件14．已知数列{}n a 满足：12(2,)n n a a n n n *-=+∈N ≥，17a =-．则数列{}n a 中满足311n a ≤≤的项共有（ ）项．A ．0B ．1C ．2D ．315．若数列{}n a 对任意2()n n *∈N ≥满足11(4)(3)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：①{}n a 可以是等差数列；②{}n a 可以是等比数列；③{}n a 可以既是等差又是等比数列；④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列．正确命题的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 16．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（n *∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列．已知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且1220200x x x +++=，则516x x +=（ ）． A ．10 B ．20 C ．30 D ．40三、解答题17．在A BC △中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（1）求角A 的值； （2）求AC 边上的高．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且满足20200S <． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求无穷数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项和．19．已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=，且{}n a 为等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求lim nn nS na →∞．20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足233n n S =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．已知数列{}n a ，记集合1{(,)|(,),1,,}i i j T S i j S i j a a a i j i j *+==+++<∈N ≤．（1）对于数列{}n a ：1，2，3，4，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在,i j *∈N ，使得(,)1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为123:,,,,,m B b b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值．参考答案一、填空题1．25 2．5 3．7234-⎛⎫ ⎪⎝⎭4．3- 5．272 6．41()2n n -*⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N7．855 8．2k 9．133()n n a n -*=∈N 10．245a 11．5,16⎛⎫⎪⎝⎭12．3 【第4题解析】由410,2,cos 21,233332x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈⇒+∈⇒+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以函数的最小值为3-．【第7题解析】0.04580.1450.10.0450.045450.110.0155=+++=+=-．【第9题解析】由31313log 3log n nn n a a a a ++=⇒=，∴3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列，∴113log 133n n n a --=⋅=，从而133()n n a n -*=∈N ．【第10题解析】由平面几何知识可得123a a =，由此可知2{}na 是首项为249a ，公比为49的等比数列，故所有正方形的面积的和为224494519aa =-． 【第11题解析】由题意0d <，则41151030(4,3)040a a d aa a d d >+>⎧⎧⇒⇒∈--⎨⎨<+<⎩⎩， ∴11511411545510510243464462a a d S a d da S a d a d d⨯+⋅++===⨯++⋅+，令1a x d =，则(4,3)x ∈-- ∴545105515,14644236S x S x x +⎛⎫==+⋅∈ ⎪++⎝⎭． 【第12题解析】一方面，由221111(1)n nn n n n n n a a a a a a a a ++=-+⇒-=-=-， ∴111111(1)1n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---，∴12320201111m a a a a =++++122334202020211111111111111111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12021202120211111145111114a a a a =-=-=------． 另一方面，由22211121(1)0n nn n n n n n a a a a a a a a ++=-+⇒-=-+=-≥， ∵1514a =>，∴10n n a a +->，即1n n a a +>，数列{}n a 单调递增． 计算可知，154a =，22116a =，3361256a =，410344165536a =，5 1.91a ≈，6 2.74a ≈， ∴20216111a a ->->，∴202114(3,4)1a -∈-，即m 的整数部分是3．二、选择题13．C 14．C 15．C 16．B【第16题解析】∵1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴由题意可知{}n x 为等差数列，∵1220200x x x +++=，∴120202002x x +⋅=，即12020x x +=， 故51612020x x x x +=+=，答案选B ．三、解答题17．（1）由题意，B为钝角，sin B =，再由正弦定理，可得sin sin a B A b =∴3A π=； （2）由余弦定理，22222cos 21503b a c ac B c c c =+-⇒+-=⇒=，从而11sin 22A BC b b S bc A b h h ==⋅⇒=△18．（1）12(2)()n n a n -*=⋅-∈N ；（2）1121312S ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 19．（1）21()n a n n *=-∈N ；（2）12． 20．（1）13132,n n n a n n -*=⎧=⎨∈⎩N ≥；（2）111312,3n n n b n n n *-⎧=⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩N ≥，分类讨论＋错位相减可得1113132112,1243n n n T n n n -*⎧=⎪⎪=⎨+⎛⎫⎪-⋅∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N ≥．21．（1）{3,5,6,7,9,10}；（2）假设存在,i j *∈N ，使得(,)1024S i j =，即11024i i j a a a ++++=，由2n a n =，∴22102422(1)2(1)()(1)2i ji i j j i i j j i +=++++=⋅-+=+-+， ∵i j +与j i -同奇同偶，∴i j +与1j i -+一奇一偶， 又∵1i j <≤，∴3i j +≥，12j i -+≥，而1010242=的正奇因数只有1，矛盾，故不存在,i j *∈N ，使得(,)1024S i j =； （3）由22n a n =-， ∴1(2222)(1)(2)(1)2i i j i j a a a j i i j j i +-+-+++=⋅-+=+--+，∵i j +与j i -同奇同偶，∴2i j +-与1j i -+一奇一偶，又∵1i j <≤，∴21i j +-≥，12j i -+≥，∴(2)(1)2i j j i +--+≥， ①当1i =且2j =时，(2)(1)2i j j i +--+=；②当1i ≠或2j ≠时，此时22i j +-≥，12j i -+≥，(2)(1)i j j i +--+为一个正奇数（大于等于3）与一个正偶数的乘积；由上可知，{2|,22,2,}k T n n n k k **=∈≠∈N N ≥， ∵{2,4,6,8,,2020}有1010个元素，{4,8,16,32,64,128,256,512,1024}有9个元素，∴集合T 中所有小于等于2020的元素个数为101091001-=， 故使得2020m b ≤成立的m 的最大值为1001．。
上海市进才中学2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析
上海市进才中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.220lim513nnn→∞+=+________.【答案】2 5【解析】【分析】化简式子220513++nn，可得202135++nn，然后根据极限的概念简单计算即可.【详解】由题可知：2022202 lim lim1351355→∞→∞++==++n nn nnn故答案为：2 5【点睛】本题考查极限的概念和计算，属基础题.2.2和8的等差中项是________.【答案】5【解析】【分析】根据等差中项的概念，直接计算可得结果.【详解】2和8的等差中项为285 2+=故答案为：5【点睛】本题考查等差中项的概念和计算，属基础题.3.方程组727345x yx y-=⎧⎨+=⎩的系数矩阵是________.【答案】72 34-⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据方程组系数矩阵的表示直接可得结果. 【详解】方程组727345x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数矩阵为7234-⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：7234-⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查矩阵的表示，属基础题.4.函数3cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值为________.【答案】3- 【解析】 【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解. 【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， 1cos 21,32y x π⎛⎫⎡⎤∴=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，3cos 233y x π⎛⎫∴=+≥- ⎪⎝⎭所以函数的最小值为3-. 故答案为：3-【点睛】本题主要考查了余弦型函数的图象与性质，由定义域求函数的值域是常见题型，需要熟练掌握，属于容易题.5.等差数列{}n a 中，32a =，71a =，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则9S =_________. 【答案】272【解析】 【分析】由等差数列的性质可得出19a a +的值，然后利用等差数列的求和公式可求出9S 的值.【详解】由等差数列的基本性质可得1937213a a a a +=+=+=， 因此，()19999327222a a S +⨯===. 故答案为：272. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6.设等比数列{}n a 的各项均为正数，123432,2a a a a ==，则{}n a 的通项公式为n a =______. 【答案】41()2n n -*⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，且0n a >，根据123432,2a a a a ==，求得12q =，进而得到18a =，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，且0n a >，因为123432,2a a a a ==，则43412213216a a q a a ===，解得12q =， 则2212111322a a a q a ==⨯=，解得18a =， 所以数列{}n a 的通项公式为141118()21,()2n n n n a n a q ---*==⨯=⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N .故答案为：41()2n n -*⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N .【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，其中解答中熟记等比数列的通项公式的基本量的运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 7.将无限循环小数0.145化为分数，则所得的最简分数为________. 【答案】855【解析】 【分析】0.1450.10.0450.000450.145(0.0010.00001)=+++⋯⋯=+⨯++⋯⋯，利用无穷等比数列的求和公式即可得出.【详解】0.1450.10.0450.000450.145(0.0010.00001)=+++⋯⋯=+⨯++⋯⋯0.00180.14510.0155=+⨯=-.故答案为：855【点睛】本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 8.用数学归纳法证明“()*1111,12321nn n N n ++++<∈>-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共__项 【答案】2k 【解析】 【分析】由题意有：由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共12121k k +--+项，得解.【详解】解：当(1)n k k =>时，不等式左边为11112321k++++-， 当1(1)n k k =+>时，不等式左边为11111112321221kk k ++++++++--，则由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共121212k k k +--+=项，故答案为：2k .【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.9.数列{}n a 中，若31()n na a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为________. 【答案】133()n n a n -*=∈N 【解析】 【分析】两边取对数，化简整理得313log 3log n na a +=，得到数列3{log }n a 是以1为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由31()n na a n *+=∈N ，两边取对数，可得313log 3log n n a a +=，即313log 3log n na a +=，又由13a =，则31log 1a =，所以数列3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列， 则113log 133n n n a --=⋅=，所以133()n n a n -*=∈N . 故答案为：133()n n a n -*=∈N【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.如图，在Rt ABC ∆内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,,,n a a a ，若AB a ，2BC a =，则所有正方形的面积的和为___________.【答案】245a【解析】 【分析】根据题意可知12AB BC =，可得123a a =，依次计算2123a a =，3223a a =⋯，不难发现：边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯构成是公比为23的等比数列，正方形的面积：依次2149S a =，22149S a =⋯，不难发现：边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯正方形的面积构成是公比为49的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和．【详解】根据题意可知12AB BC =，可得123a a =， 依次计算2123a a =，3223a a =⋯，是公比为23的等比数列，正方形的面积：依次2149S a =，22149S a =⋯，边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，正方形的面积构成是公比为49的等比数列．所有正方形的面积的和22144941519n aS S a q ===--． 故答案为：245a【点睛】本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题．11.已知等差数列{}n a 满足：40a >，50a <，数列的前n 项和为n S ，则54S S 的取值范围是__________． 【答案】5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可得：141510,03040a d a a d a a d ><⎧⎪=+>⎨⎪=+<⎩，据此可得：134d a d -<<-，则143a d -<<-，令()14,3a t d=∈--，结合等差数列前n 项和公式有： 151411545510510243464642a d S a d t S a d t a d ⨯+++===⨯+++， 令()()5104346t f t t t +=-<<-+，则()()()()()2254645101004646t t f t t t +-+-'==<++，据此可知函数()f t 在()4,3--上单调递减，()104110f --==-，()55366f --==-， 即54S S 的取值范围是5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 12.已知数列{}n a 满足154a =，211n n n a a a +=-+，则12320201111m a a a a =++++的整数部分是________. 【答案】3【分析】由题意化简得211(1)n n n n n a a a a a +==---，得出111111n n n a a a +=---，结合“裂项法”求得2021141m a =--，再由211n nn a a a +=-+，得到{}n a 单调递增，进而求得2021141a --的范围，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足154a =，211n n n a a a +=-+， 可得211(1)n n n n n a a a a a +==---，所以111(1)1111n n n n n a a a a a +--=--=，即111111n n n a a a +=---，所以12320201111m a a a a =++++122334202020211111111111111111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12021202120211111145111114a a a a =-=-=------，又由211n n n a a a +=-+，可得22121(1)0n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，因为1514a =>，所以10n n a a +->，即1n n a a +>，数列{}n a 单调递增， 计算可知，154a =，22116a =，3361256a =，410344165536a =，5 1.91a ≈，6 2.74a ≈，∴20216111a a ->->，∴202114(3,4)1a -∈-，即m 的整数部分是3.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了数列递推公式的应用，数列的 “裂项法”求和，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 二、选择题13.设等比数列{}n a 中，10a >，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式和单调性的判定方法，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.【详解】在等比数列{}n a 中，可得11n n a a q -=，若10,1a q >>，可得11111()(1)0n n n n n a a a q q a q q --+-=-=->，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列，故充分性是成立的； 反之：若等比数列{}n a 为递增数列，即111(1)0n n n a a a qq -+-=->，若10a >，则1(1)0n q q -->，可得1q >，故必要性是成立的，所以“1q >”是“{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及数列的单调性的判定方法及应用，其中解答中熟记数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 14.已知数列{}n a 满足：()122,n n a a n n n N*-=+≥∈，17a=-.则数列{}n a 中满足311n a ≤≤的项共有（ ）项A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，然后解不等式311n a ≤≤，找出满足不等式311n a ≤≤成立的正整数n 的个数，由此可得出结论.【详解】()122,n n a a n n n N *-=+≥∈，17a =-，则12n n a a n --=，()()()()()121321421746272n n n n n a a a a a a a a n -+-∴=+-+-++-=-++++=-+29n n =+-，令311n a ≤≤，则21220n n ≤+≤，解得54n -≤≤-或34n ≤≤，n N *∈，3n ∴=或4，因此，满足311n a ≤≤的项共2项. 故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的求解，同时也考查了利用累加法求数列通项，考查计算能力，属于中等题.15.若数列{}n a 对任意2()n n *∈N ≥满足11(4)(3)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：①{}n a 可以是等差数列；②{}n a 可以是等比数列；③{}n a 可以既是等差又是等比数列；④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列.正确命题的个数为（ ）. A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到14n n a a --=或13n n a a -=，结合等差数列和等比数列的定义，即可判定. 【详解】由题意知，数列{}n a 对任意2()n n *∈N ≥满足11(4)(3)0n n n n a a a a -----=， 所以14n n a a --=或13n n a a -=，则：对于①中，数列{}n a 可以是公差为4的等差数列； 对于②中，数列{}n a 可以是公比为3等比数列；对于③中，若数列{}n a 既是等差又是等比数列，则此时数列{}n a 必为非零的常数列， 则公差为0，公比为1，由①②可知，③不正确；对于④{}n a 中，数列{}n a 可以既不是等差又不是等比数列，例如：1,5,15,19,，满足题设条件，此数列既不是等差又不是等比数列，所以④正确. 故选：C.【点睛】本题主要以命题的真假判定与应用为载体，考查了等差数列、等比数列的定义及判定，其中解答中熟记等差数列、等比数列的定义，合理判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16.若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n N ∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列.已知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且1220200x x x ++⋯+=，则516x x +=（ ） A. 10 B. 20C. 30D. 40【答案】B 【解析】 【分析】先由题意，得到{}n x 是等差数列，再由等差数列的求和公式，以及等差数列的性质，即可得出结果.【详解】数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，由题意可得： 111111n n n nx x d x x ++-=-=， {}n x ∴是等差数列.又()1201220202002x x x x x ++++==，12020x x ∴+=.又120516x x x x +=+，51620x x ∴+=.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的基本量运算，以及等差数列的性质，熟记等差数列的求和公式与等差数列性质即可，属于常考题型. 三、解答题17.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1) ∠A=π3(2) AC边上的高为33【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B,再根据正弦定理求sin A，即得A∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin22ab C hb=，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C，解得AC边上的高．详解：解：（1）在△ABC中，∵cos B=–17，∴B∈（π2，π），∴sin B=2431cos7B-=．由正弦定理得sin sina bA B=⇒7sin A=43，∴sin A=32．∵B∈（π2，π），∴A∈（0，π2），∴∠A=π3．（2）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A=3114372⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=33．如图所示，在△ABC中，∵sin C=hBC，∴h=sinBC C⋅=33337142⨯=，∴AC边上的高为332．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，12a=，32216a a，且满足2020S<.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）求无穷数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项和.【答案】（1）12(2)()n n a n -*=⋅-∈N ；（2）13. 【解析】 【分析】（1）假设等比数列的公比，然后根据题意计算出公比，根据等比数列的通项公式的表示可得结果.（2）根据（1）的结论，以及极限的概念，简单计算可得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为q ， 由题可知：1123211222216216a a q a a a q a q ==⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨=+=+⎩⎩或4q = 又()202012020101-=<-a q S q，可知2q =-所以12(2)()n n a n -*=⋅-∈N（2）由（1）可知：12(2)n n a -=⋅-，则111122-⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭n n a可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为12-的等比数列 所以无穷数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项和为S即111112212lim 1131122-→+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦===⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n x S故答案为：12(2)()n n a n -*=⋅-∈N ，13【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及前n 项和，还考查了极限的思想，本题关键在于审题以及计算，属中档题.19.已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=，且{}n a 为等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求{}n a 的通项公式；（2）求lim nn nS na →∞. 【答案】（1）21()n a n n *=-∈N ；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系求出数列的公差，再根据等差数列的通项公式求出通项即可； （2）求出等差数列的前n 项和，化简nnS na ，求极限即可.【详解】（1）14n n a a n ++=，144(2)n n a a n n -∴+=-≥，两式相减得：1142n n a a d +--==，2d ∴=，又1211+2224a a a d a =+=+=，11a ∴=，12(1)21n a n n ∴=+-=-()n *∈N（2）由（1）知2(1)22n n n S n n -=+⨯=， 211(21)212n n S n n na n n n n∴===---，11limlim 122n n n n S na n→∞→∞==-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，递推关系式，数列的极限，属于中档题.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243nnn T +=-⨯. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-，所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得()()01212233+3133nnn T n ---=+++--⋅()11121313313n n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n n n T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题. 21.已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N .（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i-奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论. （3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同. 又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子， 这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2tm b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =++++++()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。
上海进才中学数学高一下期末经典习题(专题培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12722]ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形2．(0分)[ID ：12715]设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}3．(0分)[ID ：12706]已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222± 4．(0分)[ID ：12701]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，7sin 4B =，574ABC S =△，则b =（ ） A ．23 B ．27C ．15D ．145．(0分)[ID ：12698]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π6．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．(0分)[ID ：12685]已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=（ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-8．(0分)[ID ：12680]已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 29．(0分)[ID ：12678]当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）10．(0分)[ID ：12663]设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．(0分)[ID ：12660]函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．(0分)[ID ：12659]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．(0分)[ID ：12654]已知二项式12(*)nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-14．(0分)[ID ：12651]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上15．(0分)[ID ：12634]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．60二、填空题16．(0分)[ID ：12823]设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值是__．17．(0分)[ID ：12816]在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________．18．(0分)[ID ：12811]已知函数32()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是____________19．(0分)[ID ：12804]已知ABC ，135B ∠=，22,4AB BC ==，求AB AC ⋅=______．20．(0分)[ID ：12798]若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________21．(0分)[ID ：12774]函数()f x 的定义域是__________．22．(0分)[ID ：12771]已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．23．(0分)[ID ：12756]直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为__________．24．(0分)[ID ：12732]在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆的面积为2，则AC =__________．25．(0分)[ID ：12749]若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=.若已知1a =，5b =，4a b ⋅=-，则a b ⨯= . 三、解答题26．(0分)[ID ：12923]已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．27．(0分)[ID ：12894]已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 28．(0分)[ID ：12881]已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.29．(0分)[ID ：12871]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .30．(0分)[ID ：12830]ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC 2，求BD 和AC 的长．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D9．C10．A11．D12．C13．C14．A15．B二、填空题16．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键17．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为18．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以19．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题20．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属21．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为22．如果l⊥αm∥α则l⊥m或如果l⊥αl⊥m则m∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l⊥αm∥α则l⊥m正确；（2）如果23．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB的中点为的斜率为则所以由点斜式得24．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解25．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形.故选：B .2．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.3．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 4．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC中，sin B =，ABC S =△1sin 2ABCS ac B ==联立521sin 2sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c =由于B 为锐角，且7sin 4B =，所以23cos 1sin 4B B =-=所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故14b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．5．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．6．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．8．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.9．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C.10．A解析：A 【解析】 【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.11．D解析：D 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】函数()lg f x x x =的定义域为{}0x x ≠，定义域关于原点对称，()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项.故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.13．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rr r nT C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rr r nT Cx -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()3662161221rr n rr rr r r n T C x C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．14．A解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．15．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.二、填空题16．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键解析：【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．17．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为 解析：14【解析】概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111122=14OABS S ∆⨯⨯=正方形18．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以 解析：17a -≤<【解析】【详解】由题意，2()34f x x x a '=+-，则(1)(1)0f f ''-<，解得-1＜a ＜7，经检验当a=-1时，2()3410f x x x '=++=的两个根分别为121,13x x ，所以符合题目要求，7a =时，2()3410f x x x '=++=,在区间无实根，所以17a -≤<．19．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题解析：16 【解析】 【分析】由正余弦定理可得cos A ∠，由平面向量的数量积公式有：25cos 2221016AB AC AB AC A ⋅=∠==，得解． 【详解】由余弦定理可得：2222cos13540AC AB BC AB BC =+-⨯=， 所以210AC = 由正弦定理得：sin sin135BC ACA =∠， 所以5sin A ∠= 所以25cos A ∠=， 即25cos 2221016AB AC AB AC A ⋅=∠==， 故答案为16 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理及向量的数量积，属简单题20．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属 42+【解析】 【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可.因为1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 43πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1sin cos 443ππαα⎡⎤⎛⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.21．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.22．如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 或如果l ⊥αl ⊥m 则m ∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 正确；（2）如果解析：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】 【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.23．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB 的中点为的斜率为则所以由点斜式得解析：10x y -+=. 【解析】 【分析】 【详解】设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．24．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC 长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解【解析】 【分析】根据三角形面积公式得到11 2.222S AB AB =⨯⨯⨯=⇒=再由余弦定理得到AC 长. 【详解】在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆到：11 2.222S AB AB =⨯⨯⨯=⇒= 再由余弦定理得到22202cos1207AC AB BC AB BC =+-⨯⨯⨯=故得到AC =.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.25．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键解析：3 【解析】 【分析】 【详解】44155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯＝＝＝＝33[0sin 15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯，），＝，＝＝故答案为3.【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题 26．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4 【解析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4．27．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【解析】 【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-， 由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.28．（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π. 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b ，a c ⊥，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b 和c 的坐标；（2）求出m 、n 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m 与向量n 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值. 【详解】 （1）()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =，()4,3c =-；（2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()(35m ∴=-+-=，271n =+=设m 与n 的夹角为θ，25cos ,255m n m n m n⋅-∴===-⨯⋅，0θπ≤≤，则34πθ=. 因此，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.29．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】 证明： （1）如图，连接SB ，,E G 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B . （2）连接,,SD F G 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=， ∴平面//EFG 平面11BDD B . 【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.30．（1）12；（2）1 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析： （1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =． 由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =， ∴2BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅22223cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，223x -=1x =， 即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．。
(3份试卷汇总)2019-2020学年上海市名校高一数学下学期期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）A ．25B ．12C ．35D ．342．以()1,m 为圆心，且与两条直线240x y -+=，260x y --=都相切的圆的标准方程为（ ） A ．()()22195x y -++= B ．()()2211125x y -+-= C ．()()22115x y -+-=D ．()()221925x y -++= 3．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝3π，则C 为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．23π 4．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ）A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}5．不等式的解集是 A ． B ． C ． D ．6．已知tan 3α=，则sin 2cos sin ααα-等于（ ） A ．13 B ．23 C ．3- D ．3 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．23B ．46+C ．43D ．23+8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，7sin 4B =，57ABC S =△b =（ ）A ．23B ．27C ．15D ．149．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为：A ．52B ．51C ．50D ．4910．在正六边形ABCDEF 中，点P 为CE 上的任意一点，若AP xAB y AF =+，则x y +=（ ）A ．2B ．52C ．3D ．不确定11．以下有四个说法：①若A 、B 为互斥事件，则()()1P A P B +<；②在ABC ∆中，a b >，则cos cos A B <；③98和189的最大公约数是7；④周长为P 的扇形，其面积的最大值为28P ； 其中说法正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．B ．有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．C ．绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥．D ．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．二、填空题：本题共4小题13．一个扇形的圆心角是2弧度，半径是4，则此扇形的面积是______.14．在平面直角坐标系xOy 中，若直线22x ay a +=+与直线10x y ++=平行，则实数a 的值为______. 15．222+lim 421n n n n n →∞=+-____________. 16．在ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若75,60,3A B b =︒=︒=则c =___________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市名校2019-2020学年新高考高一数学下学期期末考试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．52．sin 40sin 20cos160cos40︒︒+︒︒=（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-3．函数sin()2y x πϕ=+（2πϕ<）的部分图象如图所示，其中P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ）A ．14B ．13C ．25D ．124．用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是： A ．3 B ．3 C ．6 D ．6 5．不等式10xx-≥的解集为( ) A ．[]0,1B ．(]0,1C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．()[),01,-∞⋃+∞ 6．已知数列{}n a 满足111222n n n a a a -+++=，*2,n n N ≥∈，且121,2a a ==，则16a = A ．4B ．5C ．6D ．87．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦8．若数列的前n 项的和32nn S =-，那么这个数列的通项公式为( )A ．13()2n n a -=B ．113()2n n a -=⨯C ．32n a n =-D ．11,1{23,2n n n a n -==⋅≥9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ） A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 10．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离11．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ） A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π12．在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为23，则sin sin A B a b ++等于( )A ．14B ．13C ．3 D ．31+ 二、填空题：本题共4小题13．设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[sin1][sin 2][sin3][sin10]+++⋅⋅⋅+=________14．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =，以AB 为直径在ABC 外作半圆O ，P 是半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若2AB AQ ⋅=，则AQ CP ⋅的取值范围是________.15．设a ＞0，b ＞033a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 16．某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：宽带租户业主已安装 60 42未安装36 62则该小区已安装宽带的居民估计有______户．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年上海市进才中学高一下学期期末数学试题解析
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设等比数列{}n a 中，10a >，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 是递增数列”的（）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件答案：C根据等比数列的通项公式和单调性的判定方法，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解. 解：在等比数列{}n a 中，可得11n n a a q -=，若10,1a q >>，可得11111()(1)0n n n n n a a a q q a q q --+-=-=->，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列，故充分性是成立的； 反之：若等比数列{}n a 为递增数列，即111(1)0n n n a a a qq -+-=->，若10a >，则1(1)0n q q -->，可得1q >，故必要性是成立的，所以“1q >”是“{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 点评：本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及数列的单调性的判定方法及应用，其中解答中熟记数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 2．已知数列{}n a 满足：()122,n n a a n n n N*-=+≥∈，17a=-.则数列{}n a 中满足311n a ≤≤的项共有（）项A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，然后解不等式311n a ≤≤，找出满足不等式311n a ≤≤成立的正整数n 的个数，由此可得出结论.解：()122,n n a a n n n N *-=+≥∈，17a =-，则12n n a a n --=，()()()()()121321421746272n n n n n a a a a a a a a n -+-∴=+-+-++-=-++++=-+29n n =+-，令311n a ≤≤，则21220n n ≤+≤，解得54n -≤≤-或34n ≤≤，n N *∈，3n ∴=或4，因此，满足311n a ≤≤的项共2项. 故选：C. 点评：本题考查数列不等式的求解，同时也考查了利用累加法求数列通项，考查计算能力，属于中等题.3．若数列{}n a 对任意2()n n *∈N ≥满足11(4)(3)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：①{}n a 可以是等差数列；②{}n a 可以是等比数列；③{}n a 可以既是等差又是等比数列；④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列.正确命题的个数为（）. A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C根据题意得到14n n a a --=或13n n a a -=，结合等差数列和等比数列的定义，即可判定. 解：由题意知，数列{}n a 对任意2()n n *∈N ≥满足11(4)(3)0n n n n a a a a -----=， 所以14n n a a --=或13n n a a -=，则：对于①中，数列{}n a 可以是公差为4的等差数列； 对于②中，数列{}n a 可以是公比为3的等比数列；对于③中，若数列{}n a 既是等差又是等比数列，则此时数列{}n a 必为非零的常数列， 则公差为0，公比为1，由①②可知，③不正确；对于④{}n a 中，数列{}n a 可以既不是等差又不是等比数列，例如：1,5,15,19,，满足题设条件，此数列既不是等差又不是等比数列，所以④正确. 故选：C. 点评：本题主要以命题的真假判定与应用为载体，考查了等差数列、等比数列的定义及判定，其中解答中熟记等差数列、等比数列的定义，合理判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n N ∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列.已知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且1220200x x x ++⋯+=，则516x x +=（）A ．10B ．20C ．30D ．40答案：B先由题意，得到{}n x 是等差数列，再由等差数列的求和公式，以及等差数列的性质，即可得出结果. 解： 数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，由题意可得： 111111n n n nx x d x x ++-=-=， {}n x ∴是等差数列.又()1201220202002x x x x x ++++==，12020x x ∴+=.又120516x x x x +=+，51620x x ∴+=.故选：B. 点评：本题主要考查等差数列前n 项和的基本量运算，以及等差数列的性质，熟记等差数列的求和公式与等差数列性质即可，属于常考题型. 二、填空题5．220lim513nnn→∞+=+________.答案：2 5化简式子220513++nn，可得202135++nn，然后根据极限的概念简单计算即可.解：由题可知：2022202 lim lim1351355→∞→∞++==++n nn nnn故答案为：2 5点评：本题考查极限的概念和计算，属基础题. 6．2和8的等差中项是________.答案：5根据等差中项的概念，直接计算可得结果. 解：2和8的等差中项为285 2+=故答案为：5点评：本题考查等差中项的概念和计算，属基础题.7．方程组727345x yx y-=⎧⎨+=⎩的系数矩阵是________.答案：72 34-⎛⎫ ⎪⎝⎭根据方程组系数矩阵的表示直接可得结果. 解：方程组727345x yx y-=⎧⎨+=⎩的系数矩阵为7234-⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：72 34-⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题考查矩阵的表示，属基础题.8．函数3cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值为________.答案：3-根据余弦型函数的图象与性质即可求解. 解：0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， 1cos 21,32y x π⎛⎫⎡⎤∴=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，3cos 233y x π⎛⎫∴=+≥- ⎪⎝⎭所以函数的最小值为3-. 故答案为：3- 点评：本题主要考查了余弦型函数的图象与性质，由定义域求函数的值域是常见题型，需要熟练掌握，属于容易题.9．等差数列{}n a 中，32a =，71a =，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则9S =_________. 答案：272由等差数列的性质可得出19a a +的值，然后利用等差数列的求和公式可求出9S 的值. 解：由等差数列的基本性质可得1937213a a a a +=+=+=， 因此，()19999327222a a S +⨯===. 故答案为：272. 点评：本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，123432,2a a a a ==，则{}n a 的通项公式为n a =______.答案：41()2n n -*⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，且0n a >，根据123432,2a a a a ==，求得12q =，进而得到18a =，结合等比数列的通项公式，即可求解. 解：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，且0n a >，因为123432,2a a a a ==，则43412213216a a q a a ===，解得12q =， 则2212111322a a a q a ==⨯=，解得18a =， 所以数列{}n a 的通项公式为141118()21,()2n n n n a n a q ---*==⨯=⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N .故答案为：41()2n n -*⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N .点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，其中解答中熟记等比数列的通项公式的基本量的运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．将无限循环小数0.145化为分数，则所得的最简分数为________. 答案：8550.1450.10.0450.000450.145(0.0010.00001)=+++⋯⋯=+⨯++⋯⋯，利用无穷等比数列的求和公式即可得出. 解：0.1450.10.0450.000450.145(0.0010.00001)=+++⋯⋯=+⨯++⋯⋯0.00180.14510.0155=+⨯=-.故答案为：855点评：本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 12．用数学归纳法证明“()*1111,12321nn n N n ++++<∈>-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共__项 答案：2k由题意有：由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共12121k k +--+项，得解.解：解：当(1)n k k =>时，不等式左边为11112321k ++++-， 当1(1)n k k =+>时，不等式左边为11111112321221k kk ++++++++--，则由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共121212k k k +--+=项，故答案为：2k . 点评：本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.13．数列{}n a 中，若31()n na a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为________. 答案：133()n n a n -*=∈N两边取对数，化简整理得313log 3log n na a +=，得到数列3{log }n a 是以1为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 解：由31()n na a n *+=∈N ，两边取对数，可得313log 3log n n a a +=，即313log 3log n na a +=， 又由13a =，则31log 1a =，所以数列3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列，则113log 133n n n a --=⋅=，所以133()n n a n -*=∈N . 故答案为：133()n n a n -*=∈N 点评：本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．如图，在Rt ABC ∆内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,,,n a a a ，若AB a ，2BC a =，则所有正方形的面积的和为___________.答案：245a 根据题意可知12AB BC =，可得123a a =，依次计算2123a a =，3223a a =⋯，不难发现：边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯构成是公比为23的等比数列，正方形的面积：依次2149S a =，22149S a =⋯，不难发现：边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯正方形的面积构成是公比为49的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和． 解：根据题意可知12AB BC =，可得123a a =， 依次计算2123a a =，3223a a =⋯，是公比为23的等比数列，正方形的面积：依次2149S a =，22149S a =⋯，边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，正方形的面积构成是公比为49的等比数列．所有正方形的面积的和22144941519n aS S a q ===--． 故答案为：245a点评：本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题．15．已知等差数列{}n a 满足：40a >，50a <，数列的前n 项和为n S ，则54S S 的取值范围是__________． 答案：5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭解：由题意可得：141510,03040a d a a d a a d ><⎧⎪=+>⎨⎪=+<⎩，据此可得：134d a d -<<-，则143a d -<<-，令()14,3a t d=∈--，结合等差数列前n 项和公式有： 151411545510510243464642a d S a d t S a d t a d ⨯+++===⨯+++，令()()5104346t f t t t +=-<<-+，则()()()()()2254645101004646t t f t t t +-+-'==<++，据此可知函数()f t 在()4,3--上单调递减，()104110f --==-，()55366f --==-， 即54S S 的取值范围是5,16⎛⎫⎪⎝⎭. 16．已知数列{}n a 满足154a =，211n n n a a a +=-+，则12320201111m a a a a =++++的整数部分是________. 答案：3由题意化简得211(1)n n n n n a a a a a +==---，得出111111n n n a a a +=---，结合“裂项法”求得2021141m a =--，再由211n n n a a a +=-+，得到{}n a 单调递增，进而求得2021141a --的范围，即可求解.解：由题意，数列{}n a 满足154a =，211n n n a a a +=-+， 可得211(1)n n n n n a a a a a +==---，所以111(1)1111n n n n n a a a a a +--=--=，即111111n n n a a a +=---，所以12320201111m a a a a =++++122334202020211111111111111111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12021202120211111145111114a a a a =-=-=------，又由211n n n a a a +=-+，可得22121(1)0n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，因为1514a =>，所以10n n a a +->，即1n n a a +>，数列{}n a 单调递增， 计算可知，154a =，22116a =，3361256a =，410344165536a =，5 1.91a ≈，6 2.74a ≈，∴20216111a a ->->，∴202114(3,4)1a -∈-，即m 的整数部分是3.故答案为：3. 点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，数列的“裂项法”求和，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 三、解答题17．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高． 答案：(1)∠A =π3(2)AC分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高． 详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B=由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin Asin AB ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （2）在△ABC中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．如图所示，在△ABC中，∵sin C=hBC，∴h=sinBC C⋅=33337⨯=，∴AC边上的高为33．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，12a=，32216a a，且满足2020S<.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）求无穷数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项和.答案：（1）12(2)()nna n-*=⋅-∈N；（2）13.（1）假设等比数列的公比，然后根据题意计算出公比，根据等比数列的通项公式的表示可得结果.（2）根据（1）的结论，以及极限的概念，简单计算可得结果.解：（1）设等比数列的公比为q，由题可知：1123211222216216a aqa a a q a q==⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨=+=+⎩⎩或4q=又()20201202011-=<-a qSq，可知2q=-所以12(2)()nna n-*=⋅-∈N（2）由（1）可知：12(2)nna-=⋅-，则111122-⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭nna可知数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为12-的等比数列所以无穷数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项和为S 即111112212lim 1131122-→+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦===⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n x S故答案为：12(2)()n n a n -*=⋅-∈N ，13点评：本题考查等比数列的通项公式以及前n 项和，还考查了极限的思想，本题关键在于审题以及计算，属中档题.19．已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=，且{}n a 为等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求lim n n nS na →∞. 答案：（1）21()n a n n *=-∈N ；（2）12. （1）根据递推关系求出数列的公差，再根据等差数列的通项公式求出通项即可； （2）求出等差数列的前n 项和，化简n n S na ，求极限即可. 解：（1）14n n a a n ++=，144(2)n n a a n n -∴+=-≥，两式相减得：1142n n a a d +--==，2d ∴=，又1211+2224a a a d a =+=+=，11a ∴=，12(1)21n a n n ∴=+-=-()n *∈N（2）由（1）知2(1)22n n n S n n -=+⨯=，211(21)212n n S n n na n n n n∴===---，11lim lim 122n n n n S na n→∞→∞==-. 点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，递推关系式，数列的极限，属于中档题.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+n n S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .答案：（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>;（Ⅱ）13631243n n n T +=-⨯. （Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .解：（Ⅰ）因为233=+n n S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==> （Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313n n n n b n ---==-⋅ 所以1113T b ==， 当1n >时， ()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-， 所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅()11121313313nn n ----=+--⋅-1363623nn +=-⨯ 所以13631243n n n T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243n n n T +=-⨯. 点评：本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题.21．已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N . （1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值.答案：（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.解： （1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ， 可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2t m b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==， 由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和. 若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈. 当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++此时结论成立. 当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =++++++()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++， 此时结论成立. 对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001.点评：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。
2019-2020年高一下学期期末数学试题 含答案
2019-2020年高一下学期期末数学试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．原点到直线的距离为（）A. B.0 C. 2 D.12.在△中，角的对边为，若，则边等于( )A. B. C. D.3.圆心为（1,2）且过原点的圆的方程是（）A. B.C. D.4.若实数满足，则的最大值为（）A. B.0 C. 2 D.45.若直线过点，则的最小值为（）A. B.4 C. 5 D.86.椭圆的长轴长与短轴轴长之和等于其焦距的倍，且一个焦点的坐标为（，0），则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.7.已知数列是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，则( )A. B. C. D.8．已知分别是椭圆的左，右焦点，为直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A．B．C．D．9.已知数列是等差数列，其前项和为，若首项且，有下列四个命题:；；数列的前项和最大；使的最大值为；其中正确的命题为（）A. B. C. D.10.已知点满足条件：，若的最大值为，则的值为（）A. B.6 C.8 D.不确定11.已知正实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.12.设点是椭圆与圆在第一象限的交点，分别是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13.已知过点和的直线与直线平行，则的值为14. 已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为15.在△中，角的所对边分别为，若，则的值为16.已知是直线上的动点，是圆：的两条切线，切点坐标为，则四边形面积的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)过点作直线，分别交正半轴于两点.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在轴上的截距是直线在轴上截距的2倍，求直线的方程.18.(本小题满分12分)设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知且，构成等差数列。
2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +【答案】D【解析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17B ．17-C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可. 【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0【答案】D【解析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n -【解析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】 因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12【解析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果.因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15【解析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项． 【答案】1536【解析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 【详解】 由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1)【解析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.【详解】 由题意可知：方程cos 221x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________． 【答案】1n【解析】先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果. 【详解】 因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列， 又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】 解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =， 则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++-【解析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________． 【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”； 第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1【解析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===【解析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===． 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=． 【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【解析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】 （1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）2na n=-；（2）12nn-.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭； （2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤；②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=． 【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =． （1）若a ={}n a ； （2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．【答案】（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k ka a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数）， 则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a .【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。
2019-2020年高一下学期期末考试 数学 含答案
2019-2020年高一下学期期末考试 数学 含答案一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1.的值是 ．2.化简 .3.函数的定义域是 ．4.函数的最小正周期是 .5.若，则点位于第 象限.6.函数取最大值时的值是 .7.若函数的零点则_________.8.函数的递增区间是 .9.为了得到函数)的图象，只需把函数的图象向右平移个___长度单位.10.若，且，则向量与的夹角为 ．11.已知扇形的周长为，则该扇形的面积的最大值为 ．12.设若函数在上单调递增，则的取值范围是________.13.如图，在△中，则________.14.在直角坐标系中, 如果两点在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作一组）.函数关于原点的中心对称点的组数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.（1）求点坐标；（2）求的值.C16.平面内给定三个向量．（1）若，求实数k；（2）若向量满足，且，求向量．17．已知函数（为常数），．（1）若在上是单调增函数，求的取值范围；（2）当时，求的最小值．18.已知的顶点坐标为,,, 点P的横坐标为14，且，点是边上一点,且. （1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.（2）求函数的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当时，函数的图像与轴有交点，求实数的取值范围．20.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.二、解答题。