04-第4讲数列极限收敛准则
数列极限性质收敛准则
取 M max a1 , a 2 , , a N , 1 | a |
an a a 1 a
an M ( n 1 , 2 , ) . 由此证明收敛数列必有界.
则有
推论
若数列an 无界，则数列 an 发散.
性质2反过来不一定成立. 例如, ( 1 ) n 1 有界但发散.
bn 发散.
定理得证.
( n 1 n ) 0 . （P32. 2(3)） 例4. 证明: lim n
分析: | n 1 n 0 | n 1 n 1 1 1 n 1 n 2 n n 欲使 | n 1 n 0 | 只要 1 即 n 12 n
§2
数列极限
§2.1 数列极限的定义 §2.2 收敛数列的性质
§2.3 极限存在准则
§2.1
数列极限的定义
引例. 刘徽割圆术 求半径为 r 的圆面积 S.
作圆内接正 n 边形，其面积
n
r
则当 n 无限增大时, 无限逼近圆面积S . 极限思想：用已知逼近未知 , 用无限近似逼近精确.
数学语言： An S ( n )
n
2 lim 3n n
n
a0 m m 1 a 0 n a1n a m 1n a m b0 , m k lim k k 1 n b n b n bk 1n bk 0 1 0, m k
3 1 1 m 1 1 m 9 n n 1 nlim ( a 0 a1 n a m 1 ( n ) a m ( n ) ) 例 10. 0 lim n 4 5 2 k 1n n 1 k 1 1 k 2 n 3 n n (b0 b1 n bk 1 ( n ) bk ( n ) )
数列的收敛准则与应用
数列的收敛准则与应用数列是数学中常见的概念，它由一系列按照特定规律排列的数构成。
在数学分析中，我们经常需要判断一个数列是否收敛，以及如何利用收敛准则来解决实际问题。
本文将探讨数列的收敛准则及其应用。
一、数列的收敛准则1. 有界性准则数列的有界性准则是判断一个数列是否收敛的基本方法之一。
根据这一准则，如果一个数列的所有项都在某一范围内，则该数列是有界的，也就是说存在两个数M和N，使得对于数列中的任意项a[n]，都有M≤a[n]≤N。
如果一个数列是有界的，那么它一定是收敛的。
2. 单调性准则数列的单调性准则是判断一个数列是否收敛的另一个重要方法。
根据这一准则，如果一个数列是递增且有上界的（即对于任意的n，都有a[n]≤a[n+1]），或者是递减且有下界的（即对于任意的n，都有a[n]≥a[n+1]），那么该数列是收敛的。
3. 夹逼定理夹逼定理是判断数列收敛性的又一重要工具。
根据夹逼定理，如果一个数列存在两个收敛的数列，且这两个数列的极限相等，则原数列也是收敛的，并且极限与这两个收敛的数列极限相等。
二、数列的应用1. 极限的计算数列的极限计算是数学分析中的重要内容之一，它在实际问题中具有广泛的应用。
通过研究数列的收敛准则，我们可以利用数列的极限来进行各种数值计算，例如求和、求积等。
2. 无穷级数无穷级数是指数列的前n项和所构成的数列。
在实际问题中，我们经常需要研究无穷级数的敛散性，即判断无穷级数是否收敛。
数列的收敛准则为我们研究无穷级数的敛散性提供了重要的理论基础。
3. 函数逼近函数逼近是指通过数列来逼近一个函数的性质或行为。
通过数列的收敛准则，我们可以构造一系列逼近函数的数列，并利用数列的极限来研究函数的性质，例如连续性、可导性等。
综上所述，数列的收敛准则是数学分析中的重要内容，它为我们判断数列的收敛性提供了依据，同时也为实际问题的解决提供了理论基础。
通过研究数列的收敛准则，我们可以进行各种数值计算、研究无穷级数的敛散性以及函数的逼近等问题，为数学的发展做出了重要贡献。
数列的极限与收敛性
数列的极限与收敛性数列是指按一定规律排列并组成序列的一组数的集合。
数列的极限和收敛性是数学中关于数列的重要概念，对于数学分析和应用都具有重要意义。
本文将重点论述数列的极限和收敛性的定义、性质，并给出相关例子以帮助读者更好地理解。
一、数列的极限定义及性质数列的极限是指当数列中的每一项都无限接近某个确定的数时，这个数就是该数列的极限。
下面给出数列极限的正式定义：定义1：数列{an}的极限为L，表示为lim(n→∞) an = L，当且仅当对于任意给定的ε > 0，存在正整数N，使得当n > N时，有|an - L| < ε。
性质1：数列的极限是唯一的。
即对于一个数列只能有一个极限存在。
性质2：如果数列{an}的极限为L，则对于任意给定的ε > 0，存在正整数N，使得当n > N时，有|an| < |L| + ε。
二、数列的收敛性定义及性质数列的收敛性是指数列是否有极限存在的性质。
收敛性有以下两个定义：定义2：数列{an}是收敛的，当且仅当它有有限的极限。
定义3：数列{an}是无界的，当且仅当它没有极限。
性质3：一个数列要么是收敛的，要么是发散的。
性质4：如果数列{an}是收敛的，则其一定是有界的。
三、数列极限的计算方法计算数列的极限是数学分析中的重要内容，常见的计算方法有以下几种：1. 利用数列的性质和定义直接进行计算。
通过逐步逼近，找寻数列中随着n增大而无限接近的数。
2. 利用基本数列的极限性质进行计算。
许多数列的极限可以通过已知的基本数列的极限性质推导出来。
3. 利用数列的递推公式进行计算。
对于一些特殊的数列，可以通过递推公式进行极限计算。
4. 利用数列的特殊性质和方法进行计算。
例如使用夹逼定理、单调有界原理等。
四、数列极限的应用1. 在数学分析中，数列的极限广泛应用于函数的极限、连续性和一致收敛性的研究中。
2. 在物理学中，数列的极限和收敛性在物体运动、力学等领域都有重要的应用。
数列的极限讲解
a = (1 n )n 1 nn n n
a λn n
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近 ;
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
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2. N与任意给定的正数有关.
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xn a N定义 : lim n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
数列极限收敛准则(单调有界收敛准则)
lim a n a ( M )
n
lim a n a ( N )
n
a1 a 2 a n a n 1 M
(单调递增有上界)
lim a n a M
n
a1 a2
an a n 1 a
n
M
lim a n b N
(单调递减有下界)
3 , ,a 2 3 , , 例15. 设 a1 2, a2 2 a n 1 a
an 存在,并求其值. 求证: lim n
1
n
an c 0, 分析: an 1 2 3 , 且 a n 2, 若设 lim n an 两边取极限,有 c 2 2c 3 0, 解得： c 3 ( c 1舍 )
解2: an 2, 考察子数列: { a 2 k } : a 2 , a 4 , , a 2 k , 3 a2k 2 a2k (2 3 ) (2 3 ) 3 3 a 2 k 1 a 2 k 1 2 a 2 a 3
a 2 k 2 a 2 k 0 , 即{ a 2 k }单 调 递 减 , 且 有下 界 a 2 k 2 , 则{ a 2 k }收 敛 . 设 lim a 2 k c 2 , a 2 k 2 2 3 3 取极限 , c 2 3 3 , 得 c 3 . 2 C 2 a2 k k lim a 2 k 3 . 而 lim a 2 k 1 lim ( 2 3 ) 2 3 3, k k k lim a 2 k a2k k 则 lim a n 3 .
也成立. 则x n 递 减 .
又 x n 0 , 数列递减有下界, 则 x n 收敛, 设 lim x n a 0 .
数列极限的柯西收敛准则
数列极限的柯西收敛准则柯西准则是柯西极限存在准则，又叫柯西收敛原理。
其是可以用来判断某个式子是否收敛的充要条件包括但是不限于数列，主要应用在数列，数项级数，函数，反常积分，函数列和函数项级数等方面。
每个方面都对应一个柯西准则，不同方面的柯西准则要用不同样式的柯西极限存在准则来进行计算。
柯西准则是数学的一方面，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
数学透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。
数学已成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。
它应用于不同领域中，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。
数学家也研究纯数学，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。
中国古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学．中国古代的算术是六艺之一（。
数学源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代已经开始已经累积了一定的数学知识，并能够应用领域实际问题．从数学本身看看，他们的数学知识也只是观测和经验税金，没综合结论和证明，但也必须充分肯定他们对数学所作出的贡献．基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分．其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见．从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展．但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态．代数学可以说道就是最为人们广为拒绝接受的“数学”．可以说道每一个人从小时候已经开始学数数起至，最先碰触至的数学就是代数学．而数学做为一个研究“数”的学科，代数学也就是数学最重要的组成部分之一．几何学则就是最早已经开始被人们研究的数学分支．。
数列极限与收敛判定
数列极限与收敛判定数列是数学中常见的概念，它是按照一定规律排列的一系列数的集合。
在数列中，极限和收敛是两个重要的概念，它们有助于我们研究数列的性质和趋势。
本文将详细介绍数列的极限和收敛判定的相关理论。
一、数列极限的定义数列极限是指当数列的项无限地接近某个定值时，称这个定值为该数列的极限。
常用符号“lim”表示数列的极限。
数列极限的定义可以用数学语言表示为：对于任意给定的正数ε（>0），存在正整数N，使得当n>N时，数列中第n项与极限之差的绝对值小于ε，即|a_n-L|<ε。
其中，a_n表示数列的第n项，L表示数列的极限。
二、数列收敛的判定收敛是数列的一种性质，表示数列的项随着序号的增加而趋于某个有限的值。
下面介绍一些常见的数列收敛判定方法：1. 有界性判定法如果数列的所有项都被一个常数所限制，即存在正实数M，使得|a_n|≤M对于所有的n成立，那么这个数列就是有界的。
有界数列必存在收敛子列。
因此，可以通过判断数列的有界性来判定数列的收敛性。
2. 单调性判定法对于递增（递减）数列，如果它有上（下）界，那么它一定存在极限。
也就是说，递增（递减）数列是有界的并且存在极限。
3. 夹逼定理夹逼定理是判定数列收敛性的一种重要方法。
如果存在两个数列{b_n}和{c_n}，且满足对于所有的n，都有b_n≤a_n≤c_n，并且当n趋向于无穷大时，数列{b_n}和{c_n}的极限都是L，那么数列{a_n}的极限也是L。
4. 子数列收敛原理如果数列的某个子数列收敛于L，那么原数列也收敛于L。
通过研究数列的子数列，可以判断数列的收敛性。
三、数列极限与收敛判定的应用案例1. 应用案例1：证明数列的极限假设有一个数列{a_n}，其中a_n=1/(n+1)，我们需要证明该数列的极限是0。
根据极限的定义，对于任意给定的正数ε（>0），我们需要找到一个正整数N，使得当n>N时，数列中第n项与极限0之差的绝对值小于ε。
04-极限收敛准则1
取 N max{ N 1 , N 2 }, 则当 n N 时 , 有
| yn a | ,
已知
| zn a | .
), 故有
y n x n z n n Z ( 或从某一项开始
a yn xn zn a
(n N )
即当 n N 时 , 有 x n a , 由极限定义得
n
而
2 2 lim 1 e , n n 1
夹逼定理
n
故
2 2 2 lim 1 2 e . n n n
3 数列 (整序变量 ) 极限的运算
设
n
lim x n a ,
n
lim y n b , 则
n
lim x n a .
例3
1 求 lim n2 1 n
1 n 2
2
. 2 n n 1
解 由于
n n n
2
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
n n 1
2
而
n
lim
n n n
2
1,
n
lim
n n 1
2
1
想得通吧？
故
1 lim n2 1 n
1 n 2
2
1 2 n n 1
例4
求
n
lim
n! n
n
, nZ .
解
由于
0
n! n
2.3数列极限存在的条件——收敛准则
14
1 1 n
n
1 1 1 1 1 2! 3! n!
1 n 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 3 n 1 3 1 2 2 2 2 1 2 n 1 合上 xn 1 ，单增有界。 n 1
n n
1 1 n
n1
1 n n 2 n1
n 2
n1
1
n 2
1 n 1 ( n 1 ) n1 n 2
n 2
2 n n1
n 2
n1
1 xn 1 n 1 limxn lim 1 e n n n
1 lim yn lim 1 n n n
n1
1 第二个重要极限的特点：无穷小量 n 与无穷大量n 的乘积=1。
19
§2.4.3 数列的子列
若数列{yn} 单调，当数列{yn}再增加有界这个条件， 则数列{yn} 必收敛。 对于单调数列{yn} ，还可以增加什么条件，代替 有界条件，仍然保证数列{yn} 收敛。 另外，所遇到的数列大多数都不具有单调性，如何 使研究其收敛性问题得到简化？ 例如，数列xn= si n
1 1 n1
n1 1 表明数列 1 单调减 n
16
于是
1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 n1 n2
n
β β 1 1 β
β β2 1 2β
所以
1 1 4 1 0 β (1 5 ) 2 2
单调有界数列收敛定理
例2.4.2 设 0 < x1 < 1, xn+1 = xn (1 − xn ) , n = 1,2,3," 。证明{ xn }收 敛，并求它的极限。
解 应用数学归纳法，可以得到对一切 n ∈ N+ ， 0 < xn < 1。
由 xn+1 = xn (1 − xn ) ( n = 1,2," )，可得 xn+1 - xn = − xn2 < 0 ，
+2
=
lim
k→∞
1 + 2b2k 1 + b2k
得到
a
=
1 + 2a 1+ a
；
由 lim k→∞
= b2k +1
lim
k→∞
1 + 2b2k −1 1 + b2k −1
得到
b
=
1 + 2b 1+b
。
这两个方程有相同的解 a =b = 1± 5 ,舍去负根，于是得出结论：在不
2
考虑兔子死亡的前提下，经过较长一段时间，兔群逐季增长率趋于
= ⎜⎛1 +
⎝
1 n
⎟⎞ n ⎠
⋅1 ≤
⎡ ⎢ ⎢
n⎜⎛1 ⎝
+
1 n
⎟⎞ ⎠
⎢ n+1
+
⎤ 1⎥
n
+1
⎥=
⎥
xn+1 ,
⎢⎣
⎥⎦
1 yn
= ⎜⎛ n ⎟⎞n+1 ⋅1 ≤
⎝ n +1⎠
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
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高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第四讲数列极限收敛准则、无穷小量、极限运算第二章数列的极限与常数项级数的含义。
和极限。
正确理解》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念， N N εε-念和性质。
量的概收敛准则。
熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和。
极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。
件以及收敛级数的基本必要条性质。
掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。
掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛－级数的敛散性。
数、熟悉等比级数、调和级P 本章学习要求：第二章数列的极限与常数项级数第二节数列极限收敛准则第三节数列极限的运算一、数列极限收敛准则二、无穷小量与无穷大量请点击三、极限的运算四、施笃兹定理及其应用一、数列极限收敛准则1.单调收敛准则2.数列极限的夹逼定理请点击3. 柯西收敛准则1.单调收敛准则单调增加有上界的数列必有极限.单调减少有下界的数列必有极限.通常说成：单调有界的数列必有极限.. 11 收敛证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 由中学的牛顿二项式展开公式 +⋅--+⋅-+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=321! 3)2)(1(1! 2)1(1! 1111n n n n n n n n n n x n n n nn n n n n 1! ))1(()1(⋅---+ +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n 2111! 3111 2111！ , 112111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n n 例1证类似地, 有11111++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n n x 111121111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+n n n n n 11121111! )1(1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++n n n n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=121111! 31111 2111n n n ！除前面的展开式可以看出与比较 , 1+n n x x 并且的对应项的每一项都小于两项外 , ,1+n n x x 因此一项还多了最后的大于零的 , 1+n x 1+<n n x x .}{ 是单调增加的即n x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n x n 2111! 3111 2111！ , 112111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n n 11121111! )1(1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++n n n n n 111121111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+n n n n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+121111! 31111 21111n n n x n ！+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n x n 2111! 3111 2111！ 112111! 1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n n 又! 1! 31! 2111n +++++< 1221212111-+++++<n ,321321121111<-=--+=-n n 等比数列求和放大不等式. }{ 有界从而n x 每个括号小于1 .综上所述, 数列{x n }是单调增加且有上界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限存在, 通常将它纪为e , 即. 11lim e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→e 称为欧拉常数.590457182818284.2=e .ln : , , x y e =记为称为自然对数为底的对数以!! 1! 31! 21 ! 111 n n n e e ⋅++++++=θ的计算公式为. 10 ,<<θ其中点击此处可了解欧拉2.数列极限的夹逼定理设数列{ x n }, { y n }, { z n } 满足下列关系:(2),lim lim a z y n n n n ==+∞→+∞→则ax n n =+∞→lim (1) y n ≤x n ≤z n , n ∈Z +(或从某一项开始) ;想想：如何证明夹逼定理?,lim lim 所以因为a z y n n n n ==+∞→+∞→, || , ,0 ,0 1εε<->>∃>∀a y N n N n 时当,|| , ,0 ,0 22εε<->>∃>∀a z N n N n 时当, },,max{ 21有时则当取N n N N N >=. || , ||εε<-<-a z a y n n 故有或从某一项开始已知 ),( +∈≤≤Z n z x y n n n )( N n a z x y a n n n >+<≤≤<-εε, , 由极限定义得有时即当εε<-<->a x N n n .lim a x n n =+∞→.12111lim 222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∞→n n n n n 求11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n , 1lim2=++∞→nn nn 而11lim 2=++∞→n n n 由于112111lim 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∞→n n n n n 故想得通吧？例2解. ,! lim ++∞→∈Z n nn n n 求,11 321! 0 n n n n n n n n nn n ≤⋅-⋅⋅⋅⋅=< 由于 1. 1,,3,2均小于nn n n - ,00lim ,01lim ==+∞→+∞→n n n 而.0! lim =+∞→n n nn 故例3解.)321(lim ,13lim 1nn nn nn ++=+∞→+∞→求已知132313)321(11nnn nn n⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++ , 3132311 <+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛<nn 而, 33)321(3 11nnn n⋅<++<故, 3)33(lim 1=⋅+∞→nn 又. 3)321(lim , 1=+++∞→nn nn 得由夹逼定理夹逼定理例4解.111lim 2nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→求, 1 时当>n 1112n n ++ ,11111111 2nn n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+故 ,111lim ,11lim e n e n nn nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→而. 111lim 2e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→故夹逼定理请自己做!<+n 11 ,111)1(111-+=-++<n n n n 例5解有界数列的重要性质由任何有界数列必能选出收敛的子数列..: }{ b x a x n n ≤≤有界设数列]. ,[ , }{ , ] ,[ 11b a x b a n 记为的无穷多项含有数列间则其中至少有一个小区二等分将区间]. ,[ , ] ,[ 2211b a b a 多项的新的小区间无穷又可得到一个含有数列二等分再将., , 含前一个小区间内且每一个小区间都被包区间无穷多项的小可得到无穷多个含数列如此下去定理[]a b 1a 1b 2a 2b [[3a ]3bn a n b ],[],[],[],[],[112211b a b a b a b a b a n n n n ⊂⊂⊂⊂⊂⊂--[]左端点构成单调增加的数列右端点构成单调减少的数列,, ] ,[ n k n n x b a 记为中任取数列的一个元素在区间,},{ 且它是原数列的子数列则得到一个数列n k x.lim :c x nk n =+∞→由夹逼定理).( 2 ] ,[ +∈-Z n a b b a n n n n 的区间长度为个小区间第:存在故由单调收敛准则可知cb a n n n n ==+∞→+∞→lim lim,02lim )(lim =-=-+∞→+∞→n n n n n ab a b 即有nk n b x a n ≤≤. }{ 收敛即子数列n k x上面所用到的方法归结起来称为“区间套定理”.: , ]},{[ 它们满足是数轴上的一串闭区间设k k b a (区间套定理)定理 ; ], ,[],[ )1(11+++∈⊂Z k b a b a k k k k 0, ||lim )2(=-+∞→k k k a b) . ],[ || , ( 的长度为区间其中k k k k b a a b -, ], ,[ 且则存在唯一的实数+∈∈Z k b a c k k .lim lim c b a k k k k ==+∞→+∞→3. 柯西收敛准则⇐⇒=+∞→ ) }{ ( lim 收敛即数列n n n x a x . || , , ,0 ,0εε<->>∃>∀n m x x N n m N 时当满足此条件的数列, 称为“柯西列”. 柯西准则可写为:. }{ }{ 为柯西列收敛数列n n x x ⇐⇒点击此处可了解柯西. } 131211 { 是发散的证明数列n++++ ,1 31211 nx n ++++= 记nn n x x n n 212111|| 2+++++=- 由于 ,212111=+++++>n n n n n , , , 21 0均有时当取何值则不论时故取N n N >=ε0221 ||ε=>-n n x x 由柯西收敛准则可知, 该数列是发散的.例6证, :R x ∈∀证明 . }2sin 22sin 2sin { 2收敛数列n nx x x +++ , 2sin 22sin 2sin 2有记R x nx x x x n n ∈∀+++= m n n n m mx x n x n x x 2sin 2)2sin(2)1sin( ||21+++++=-++ ,2121211212121211121n n m n m n n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++≤--+++ , , ],1[log ,0 2有时则当取从而N n m N >=>∀εεε<<-n n m x x 21 ||由柯西收敛准则可知, 该数列是收敛的.例7证等比数列二、无穷小量与无穷大量1. 无穷小量请点击2. 无穷大量3. 无穷小量与无穷大量的关系1. 无穷小量我们称之为由数列的定义 , )( :+∈=Z n n f x n . n x 整序变量或变量对数列极限的描述, 实际上, 就是对整序变量极限的描述.(1) 无穷小量的定义,0lim 时当则称变量若+∞→=+∞→n x x n n n 简言之：以零为极限的量, 为该极限过程中的无穷小量.无穷小量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很小的数..为一个无穷小量. 1 ,01lim )1(时为无穷小量当故+∞→==+∞→n nx n n n . 21 ,021lim )2(时为无穷小量当故+∞→==+∞→n x n n n n )1( ,0)1(lim )3(11nx n n n n n +++∞→-==-故 . 时为无穷小量当+∞→n 无穷小量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很小的数.小量：以下几个变量均为无穷时当 , +∞→n 例8(2) 无穷小量的运算性质.0 lim ,0 lim ==+∞→+∞→n n n n y x 设 ) .(.0)(lim 之和仍为无穷小量推广：有限个无穷小量=±+∞→n n n y x ) .( .0)(lim 之积仍为无穷小量推广：有限个无穷小量=⋅+∞→n n n y x 两个无穷小量的商的情况比较复杂, 以后会专门讨论.. , 仍为无穷小量无穷小量与有界量之积时+∞→n (推广：常数与无穷小量之积仍为无穷小量.)证.0)(lim =++∞→n n n y x 0, , ,0 lim ,0 lim >∀==+∞→+∞→ε所以因为n n n n y x , || , ,011ε<>>∃n x N n N 时当.|| , ,022ε<>>∃n y N n N 时当有时则当取 , }, ,max{ 21N n N N N >=,2 |||| ||εεε=+<+≤+n n n n y x y x .0)(lim =++∞→n n n y x 即其它性质可仿此进行证明.几个问题结论.3否一定不是无穷小量？两个非无穷小量的和是0 .2是否为无穷小量？数0, 0, 0, : } 0 { .1是否为无穷小量？数列. ,1 ,1 ,1 :}{ , 1, 1, 1, :}{, . .3 ---n n y x 例如不一定., . .2数不是指一个数值很小的的变化趋势无穷小量描述的是变量不是 .00lim lim . .1==+∞→+∞→n n n x 因为是2. 无穷大量首先要注意到是,无穷大量与无穷小量一样,无穷大量不是指的一个很大的数,也是描述的变量的变化趋势. 0 ：以后要用到的记号>∀M . , 不论它的值多么大任意给定一个正数(1) 无穷大量的定义定义无穷大量时, 用的是绝对值. ||n x 去掉绝对值符号,则可以定义正无穷大量和负无穷大量.有时当若 , ,0 ,0N n N M >>∃>∀Mx n > || , ,时的无穷大量为则称成立+∞→n x n . lim ∞=+∞→n n x 记为去掉绝对值符号会怎么样？有时当若 , ,0 ,0N n N M >>∃>∀Mx n > , ,时的正无穷大量为则称成立+∞→n x n . lim +∞=+∞→n n x 记为有时当若 , ,0 ,0N n N M >>∃>∀Mx n -< , ,时的负无穷大量为则称成立+∞→n x n . lim -∞=+∞→n n x 记为.lim , )1(+∞==+∞→+∞→n n x n n n 为正无穷大量：时当 .)2(lim )2( , )2(∞=--=+∞→+∞→nn n n x n 为无穷大量：时当无穷大量描述的是变量的变化趋势, 不是指一个很大的数.大量：以下几个变量均为无穷时当 , +∞→n .lim , )3(+∞==+∞→+∞→n n x n n n 为正无穷大量：时当例9由无穷大量与无界量的定义是否可得出:无穷大量一定是无界量,,4 ,0 ,3 ,0 ,2 ,0 ,1 ,0 :}{n x 无穷大量一定是无界量.无界量不一定是无穷大量.几个问题考察例题结论反之,无界量一定是无穷大量?3. 无穷小量与无穷大量的关系,lim 01lim 你有什么想法？和看看∞==+∞→+∞→n n n n 无穷小量与无穷大量互为倒数关系？, ,0 ,0 :lim 时当若N n N M x n n >>∃>∀∞=+∞→Mx n > ||,1||1 M x n <⇒则有可取的任意性由 ,1 , MM =ε, ,0 ,0时当N n N >>∃>∀ε,||1ε<n x .01lim =+∞→nn x 即分母不能为零),( , 不为零为无穷大量若变量时当n x n +∞→ . 1为无穷小量则它的倒数nx),( , 不为零为无穷小量若变量时当n x n +∞→ . 1为无穷大量则它的倒数nx利用无穷小量与无穷大量的关系可以将一些无穷大量的运算归结为相应的无穷小量运算, 并可得到有关无穷大量的运算性质.几个问题结论? .1仍为无穷大量两个无穷大量之和是否? .2是否仍为无穷大量无穷大量与有界量之积? .3是否仍为无穷大量无穷大量与有界量之和 ? .4否一定不是无穷大量两个非无穷大量之积是 . 4. . 3. . 2. . .1不一定是不一定不一定考察例题 )( ,4 ,3 ,2 ,1 : .1无穷大量 n x) ( ,4 ,3 ,2 ,1 : .2无穷大量 ----n y ) ( ,1 , ,31 ,21 1, : .3有界量 nz n ) . , ( ),1()1( ),1()1( .41均不是无穷大量与时n n n n n n y x n n n y n n x ∞→--+=--+=-利用这里提供的数列可以得出上面的结论.无穷大量的运算性质.||lim ,lim +∞=∞=+∞→+∞→n n n n x x 则若 .)(lim ,lim ,lim ±∞=+±∞=±∞=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n y x y x 则若 .)(lim ,}{ ,lim ∞=±∞=+∞→+∞→n n n n n n y x y x 则有界若 .lim ,lim ,lim ∞=∞=∞=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n y x y x 则若 .lim ,0lim ,lim ∞=≠=∞=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n y x a y x 则若请同学自己证明.三、极限的运算1. 无穷小量与极限的关系请点击2. 数列(整序变量) 极限的运算1. 无穷小量与极限的关系, ,0 ,0 ,lim 时当则若N n N a x n n >>∃>∀=+∞→εε<--=- |0)(| ||a x a x n n 将它记为是一个无穷小量时即 , , a x n n -+∞→α=-a x n. , α+=>a x N n n 时则当上述过程显然可以反推过去, 于是就可得出下面的重要定理：定理怎么写？, , ,0 lim α+=>>∃⇐⇒=+∞→a x N n N a x n n n 时当 .0lim ,=+∞→αn 其中定理). 0lim ( , lim =+=⇐⇒=+∞→+∞→ααn n n n a x a x 或写为2. 数列(整序变量) 极限的运算,lim ,lim 则设b y a x n n n n ==+∞→+∞→ .lim lim )(lim b a y x y x n n n n n n n ±=±=±+∞→+∞→+∞→ .lim lim )(lim b a y x y x n n n n n n n ⋅=⋅=⋅+∞→+∞→+∞→ .lim )(lim a k x k x k n n n n ⋅=⋅=⋅+∞→+∞→ .lim lim , n n n n n n y x y x +∞→+∞→≥≥则若 ).0lim ,( ,lim lim lim ≠===+∞→+∞→+∞→+∞→b y b a y x y x n n n n nn n n n 其中证 .lim lim )(lim b a y x y x n n n n n n n ⋅=⋅=⋅+∞→+∞→+∞→故因为 ,lim ,lim b y a x n n n n ==+∞→+∞→ ),0( , , , ,011+∞→→+=>>∃n a x N n N n αα其中时当 ).0( , , , ,022+∞→→+=>>∃n b y N n N n ββ其中时当,))(( αβαββα+++=++=b a ab b a y x n n 于是由无穷小量的运算性质, 可得到,0lim ,0lim ,0lim ===+∞→+∞→+∞→αβαβn n n b a 得由公式从而 ,lim lim )(lim ,n n n n n n n y x y x +∞→+∞→+∞→+=+ .lim lim )(lim )(lim n n n n n n n n y x ab b a ab y x +∞→+∞→+∞→+∞→==+++=αβαβ其余的证明由学生自己完成).13(lim 2+-+∞→n n n 求解由于两个无穷大量的差不一定是无穷大, 所以进行变形处理：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+∞→+∞→+∞→222221131lim 1131lim 131lim n n n n n n n n n n n ,030113lim 1lim 22==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∞→+∞→n n n n n .)13(lim 2∞=+-+∞→n n n 从而例10).14135115131(lim 2-+++++∞→n n 求=-+=-)12)(12(1141 2n n n )12)(12(175153131114135115131 2+-+⋅+⋅+⋅=-++++∴n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211217151513131121n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=121121n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--12112121n n . 21121121lim )14135115131(lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+++++∞→+∞→n n n n 故部分分式法解例11. !lim n n n n +∞→求 . 11lim lim , 11 e n x n x n n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→+∞→则有设n n n x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅⋅∆11211111 2121 而 ,! )1(1 342312321n n n n n n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛= 得式由几何平均值的极限公 ,lim lim 21n n n n n x x x x +∞→+∞→=⋅⋅⋅ , lim lim ! 1lim 21e x x x x n n n n n n n n n ==⋅⋅⋅=++∞→+∞→+∞→ . 1! 1lim ! lim e n n n n n n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=+∞→+∞→故几何平均值极限公式n n n n n x x x x +∞→+∞→=⋅⋅⋅lim lim 21 解例12。