第05讲收敛数列性质 四则运算
收敛数列的性质
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
数列的极限与序列的收敛性
金融学
金融学中的数列 收敛性分析可用 于股市走势预测 和投资决策的制
定。
谢谢观看！
在数学的世界里，数列的极限与序列的收敛性是 一个非常重要且精彩的课题。通过深入理解数列 的极限概念和收敛性质，我们可以更好地应用数 学知识解决实际问题，探索数学的奥秘。希望本 次演讲能够带给您新的启发和思考，谢谢！
03 夹逼准则
如果数列an、bn、cn满足an≤bn≤cn且lim an lim cn = L，则lim bn = L。
收敛数列的应用
物理学
在物理学中，收 敛数列可用于描 述物体运动的变 化规律和稳定状
态。
工程学
工程学中的数列 极限理论可应用 于信号处理、控 制系统设计等领
域。
生物学
生物学研究中， 收敛数列可用于 模拟生物体内的 生长发育过程。
数列的极限与序列的收敛性
汇报人：大文豪
2024年X月
目录
第1章 数列与序列的概念 第2章 数列的极限计算 第3章 序列的收敛性判定 第4章 数列与序列收敛的应用 第5章 数列与序列的收敛性分析 第6章 总结与展望 第7章 数列的极限与序列的收敛性
● 01
第一章 数列与序列的概念
数列与序列的定 义
序列极限计算方法
直接计算 夹逼准则 L'Hopital法则
序列极限计算实例 分析
计算极限值 分析收敛性 比较各方法优劣
● 04
第4章 数列与序列收敛的应 用
数列与序列在微积分中的应用
01 数列和序列在微积分中的作用
探讨数列序列的极限对微积分的意义
02 使用数列与序列证明微积分定理
探究数列序列如何证明微积分定理
数列的极限概念
数列的极限是数列中的元素随着序号趋向于某个 常数时所表现出的性质。当数列的极限存在且有 限时，我们称该数列收敛。极限的概念在数学分 析中具有重要意义，能够帮助我们理解数列的变 化趋势和发展规律。
数列的极限与数列的收敛性的判定总结
数列的极限
PART TWO
定义及性质
定义：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的项趋于某一固定值。
性质：极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：lim(a+b)=lim a + lim b，lim(a-b)=lim a - lim b，lim(a×b)=lim a × lim b，lim(a/b)=lim a / lim b（当lim b≠0）
性质：收敛数列具有唯一确定的极限值；收敛数列的项的绝对值随着项数的增加而趋于无穷小
单调有界定理
定义：如果数列在某个区间内单调递增（或递减），并且存在一个正数M，使得对于该区间内的任意x，都有|a_n|≤M（或-M≤a_n≤M），则称该数列在该区间内有界。
定理：如果数列单调递增（或递减）且有界，则该数列收敛。
定义：如果一个数列从某一项开始，其后续各项都无限接近于某个确定的数，则称该数为该数列的极限。
添加标题
性质：收敛数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的数都作为该数列的极限。
添加标题
证明：假设存在两个不同的数 A 和 B 都作为数列 {an} 的极限。由于数列是收敛的，根据定义，对于任意小的正数 ε，存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - A| < ε 和 |an - B| < ε 同时成立。这意味着 |A - B| = |(an - A) - (an - B)| < ε，这与 A 和 B 是两个不同的数相矛盾。因此，收敛数列的极限是唯一的。
不收敛：数列不趋近于任何值，没有极限
关系：无穷大数列和无界数列都不收敛，但无界数列不一定是无穷大
无穷小量与无穷大量在数列中的应用
收敛数列的性质
§2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性） 若数列}{n a 收敛，则它的极限唯一.证法一 假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>∀ε，12,N N ∃∈，当1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ，由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二 （反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a ,aa n n =∞→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取02>-=ab ε， 由定义，1N ∃∈，当1N n >时有ε<-a a n ⇒2b a a a n +=+<ε.又2N ∃∈，当2N n >时有 ε<-b a n⇒2b a b a n +=->ε，因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a ba a <+<2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性） 如果数列}{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>∃M ，使对n ∀有 Ma n ≤||证明 设aa n n =∞→lim 取1=ε，0>∃N 使得当N n >时有 1<-a a n即1||||||<-≤-a a a a n n⇒1||||+<a a n . 令|)|,|,||,||,|1m ax (21N a a a a M +=则有对n ∀Ma n ≤||即数列}{n a 有界.注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如})1{(n-. ②在证明时必须分清何时用取定ε，何时用任给ε.上面定理3.2证明中必须用取定ε，不能用任给ε，否则N 随ε在变，找到的M 也随ε在变，界M 的意义就不明确了.性质3（保序性） 设aa n n =∞→lim ，ba n n =∞→lim ，(1) 若b a >，则存在N 使得当N n >时有nn b a >;(2) 若存在N ，当N n >时有nn b a ≥，则b a ≥（不等式性质）.证明 （1）取02>-=b a ε，则存在1N ，当1N n >时2||ba a a n -<-,从而22ba b a a a n +=-->.又存在2N ，当2N n >时2||b a b b n -<-⇒22ba b a b b n +=-+<⇒ 当),m ax (21N N n >时n n a ba b <+<2.（2）（反证）如b a <，则由⑴知必N ∃当N n >时nn b a >这与已知矛盾.推论（保号性） 若ba a n n >=∞→lim 则N ∃，当N n >时b a n >.特别地，若0lim ≠=∞→a a n n ，则N ∃，当N n >时n a 与a 同号.思考 如把上述定理中的nn b a ≥换成nn b a >，能否把结论改成nn n n b a ∞→∞→>lim lim ？例 设≥n a （ ,2,1=n ），若a a n n =∞→lim ，则a a n n =∞→lim证明 由保序性定理可得 0≥a .若0=a ，则0>∀ε，1N ∃，当1N n >时有2ε<n a ⇒ε<n a 即aa n n ==∞→0lim .若0>a ，则0>∀ε，2N ∃，当2N n >时有 εa a a n <-||⇒ε<-≤+-=-aa a aa a a a a n n n n |||||| .数列较为复杂，如何求极限？ 性质4（四则运算法则） 若}{n a 、}{n b 都收敛，则}{n n b a +、}{n n b a -、}{n n b a 也都收敛，且nn n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim )(lim ，nn n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim .特别地，nn n n a c ca ∞→∞→=lim lim ，c 为常数如再有0lim ≠∞→n n b 则}{nn b a也收敛，且n n nn nn n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim .证明 由于nn n n b a b a )1(-+=-，nn n n b a b a 1⨯=，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.设aa n n =∞→lim ，bb n n =∞→lim ，0>∀ε，1N ∃，当1N n >时 ε<-a a n ；2N ∃，当2N n >时ε<-b b n ,取),m ax (21N N N =，则当N n >时上两式同时成立. （1）|||||||||)()(|||b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=-,由收敛数列的有界性，0>∃M ，对n ∀有Mb n ≤||故当N n >时，有ε|)|(||a M ab b a n n +<-,由ε的任意性知ab b a n n n =∞→lim .（2） 0lim ≠=∞→b b n n .由保号性，00>∃N 及0>k ，对0N n >∀有k b n >||（如可令2||b k =）.取),m ax (20N N N =，则当N n >时有|||||||||||11|b k b k b b b b b b b b n n n n ε<-<-=-,由ε的任意性得b b nn 11lim=∞→ . 用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算：∑∑=∞→=∞→=Nk k nn Nk k nn x x1)(1)(lim lim ，∏∏=∞→=∞→=Nk k nn Nk k nn x x1)(1)(lim lim .但将上述N 换成∞，一般不成立.事实上∑∞=1k 或∏∞=1k 本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.性质5（两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列}{n a 、}{n b 、}{n c ，如N ∃，当N n >时有nn n b c a ≤≤，且∞→n lim =n a ∞→n lim l b n=，则∞→n lim lc n=.证明 ∞→n lim =n a ∞→n lim lb n=⇒0>∀ε，21,N N ∃, 当1N n >时， εε+<<-l a l n ；当2N n >时，εε+<<-l b l n ,取),,m ax (210N N N N =，则当N n >时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有N n >时 εε+<≤≤<-l b c a l n n n ⇒ε<-||l c n 即∞→n lim l c n =.该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.推论 若N ∃，当N n >时有n n b c a ≤≤（或a c b n n ≤≤）且a b n n =∞→lim ，则a c n n =∞→lim . 例 求证∞→n lim0!=n a n（0>a ）.证明 k ∃∈使得a k >，从而当k n >时有<0!n a n n ak a n a k a k a a a k ⨯≤⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=!121 , 由于∞→n lim n a k a k ⋅!=!k a k ∞→n limn a 0= 由推论即可得结论.例 设1a ，2a ，…，m a 是m 个正数，证明∞→n lim ),,,max(2121m n n m n n a a a a a a =++.证明 设),,m ax (21m a a a A =，则 ≤A nnm n n a a a ++21A m n ≤1>m ⇒∞→n lim n m1=，由迫敛性得结论. 例1 )1(1lim>=∞→a a nn .在证明中, 令01>-=nn a h ， nn h a )1(+=，得n ah n <<0，由此推出0→n h .由此例也看出由n n n y z x <<和nn n n y a x ∞→∞→==lim lim , 也推出a z n n =∞→lim .例2 证明1lim=∞→nn n .证明 令 n nh n +=1,)3(2)1(2)1(1)1(22>-≥++-++=+=n h n n h h n n nh h n nnn n n n n ，120-<<n h n两边夹推出 0→n h ，即1→nn .在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例:例3 求极限 93164lim 22++++∞→n n n n n .解 3434lim 93164lim 22911622=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n .例4 求极限 )10()1(lim <<+++∞→a a a n n .解 a a a a a n n nn -=--=+++∞→∞→1111lim )1(lim . 例5 )11(lim )13(lim 1lim 13lim )113(lim n n n n n n n n n n n n n n n ++=++=+⨯+∞→∞→∞→∞→∞→313)1lim 1lim )(1lim 3lim (=⨯=++=∞→∞→∞→∞→n n n n n n .例6 求01110111lim b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ，k m ≤，0≠m a ，0≠k b . 解 原式=k k k k kk k m m k m m n n b n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim ⎪⎩⎪⎨⎧≠==k m k m b a mm,0,,即有理式的极限⎩⎨⎧0高次，则为分子最高次低于分母最，为最高次系数之比分子分母最高次数相同.如327103542lim 323=---+∞→n n n n n . 例7=-+∞→)1(lim n n nn 11lim112n n →∞===+.例8 设0,>b a ，证明 ),max (limb a b a nn n n =+∞→.证明),max(),max(2),max(),max(b a b a b a b a b a nn n n n n n →≤+≤=. 二、 数列的子列 (一) 引言极限是个有效的分析工具.但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”. (二) 子列的定义定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<<，则数列12,,,,k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序.简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列.如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列.由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8 数列}{n a 收敛的充要条件是：}{n a 的任何非平凡子列都收敛． 证明 必要性: 设}{,lim k n n n a a a =∞→是}{n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当Nk >时有.ε<-a a k 由于,k n k ≥故当N k >时有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了}{kn a 收敛（且与}{n a 有相同的极限）．充分性: 考虑}{n a 的非平凡子列}{2k a ，}{12-k a 与}{3k a ．按假设，它们都收敛．由于}{6k a 既是}{2k a ，又是}{3k a 的子列，故由刚才证明的必要性，.lim lim lim 362k k k k k k a a a ∞→∞→∞→==(9)又}{36-k a 既是}{12-k a 又是}{3k a 的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→=(10)（9）式与（10）式给出122lim lim -∞→∞→=k k k k a a ．所以由课本例7可知}{n a 收敛．由定理2．8的证明可见，若数列}{n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与}{n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列}{n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列}{n a 一定发散．例如数列},)1{(n -其偶数项组成的子列})1{(2n-收敛于1，而奇数项组成的子列})1{(12--k 收敛于1-，从而})1{(n -发散．再如数列}2{sinπn ，它的奇数项组成的子列}212{sinπ-k 即为})1{(1--k ，由于这个子列发散，故数列}2{sin πn 发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．。
第05讲收敛数列性质 四则运算
P29 LT7
1 1 求 lim( 2 2 2 ). n n 1 n 2 n n
n n n
2
1
解
Hale Waihona Puke 1 n 12
1 n n
2
n n2 1
n 又 lim lim 2 n n n n
1 1 1 n
1,
由夹挤定理
1 n2 n
lim
n n 1
xn a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 lim n
(a<0). 则正整数N, 当n>N时, 有xn>0 (xn<0)
xn a , 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 推论3: lim n
则 a0
即 lim xn 0 ( lim xn 0)
n n
n n
lim xn a xn n . 当 lim yn b 0时, lim n yn lim yn b n
n
证明 P26-28
1 证明 lim .0. n n
n 证明 lim 1. n n 1
证明 lim C C .
n
证明 lim q n 0. q 1.
§1.2 极限 一、数列的极限 …ing
一、数列的极限
1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限
4、 N 定义证明数列极限为a
N定义 : lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
求解过程中关键是找到N (ε)（确实存在）。 如何找到这样的N ？ 求解不等式 xn a 则当n>N时， xn a
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明数列极限四则运算法则是数学中非常重要的一条定理，它可以帮助我们在进行数列极限运算时更加方便和简化计算。
本文将从定理的定义、证明思路、具体证明过程以及应用等方面进行详细介绍和阐述。
让我们来了解一下数列极限四则运算法则的定义。
数列极限四则运算法则是指在满足一定条件的情况下，对数列的极限进行加、减、乘、除运算，得到的结果仍然是一个数列，并且这个数列的极限等于对原数列的极限进行相应的运算得到的结果。
简单来说，就是对数列的极限进行四则运算，可以直接对数列的极限进行运算，而不需要对数列的每一项进行运算。
接下来，我们来探讨数列极限四则运算法则的证明思路。
证明数列极限四则运算法则的关键在于如何证明对于两个数列极限的和、差、乘积和商，它们的极限分别等于原数列极限的和、差、乘积和商。
我们可以通过数学归纳法来证明这一点，即先证明对于两个数列极限的和，它们的极限等于原数列极限的和，然后再逐一证明差、乘积和商的情况。
然后，让我们来具体证明数列极限四则运算法则。
首先，考虑两个数列{a_n}和{b_n}，它们的极限分别为A和B。
我们要证明数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N 时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n+b_n-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
由此可得，数列{a_n+b_n}的极限为A+B。
接下来，我们来证明数列{a_n-b_n}的极限为A-B。
同样地，假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。
那么对于n>N，有|a_n-b_n-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。
收敛数列的性质
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由 旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证 设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an
收敛数列的性质
§2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。
教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。
一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。
证明：设b a a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。
2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。
即N n M ∈∀>∃,0有M a n ≤。
证明：设.l i m a n =∞→取N n N N >∀∈∃=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈∀有.M a n ≤注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。
例如数列{}n)1(-有界但不收敛。
当然：无界⇒发散。
3、保序性：若b b a a n n n n ==∞→∞→lim .lim .且b a <，则N n >∀有n n b a <。
证明：取,0)(21>-=a b ε由N -ε定义有： ε<-⇒>∀∃a a N n N n 11,，即)(21b a a n +<； （1）ε<-⇒>∀∃b b N n N n 22,，即n b b a <+)(21。
（2）取},m ax {21N N N =，则N n >∀有n n b a <。
1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞→则b a N n N n <⇒>∀∃,.2o 、推论2：若0lim <=∞→a a n n ,则.0,<⇒>∀∃n a N n N3o 、推论3：（不等式定理）。
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<
1 2 n n2 1
n (1 n) 1 2 n > 1 2 n 2 2 2 2 2 2 n n n 1 n 2 n n n n n n (1 n) (1 n) 1 2 2 夹挤定理 lim lim 2 n n 2 1 n n n 2 1 2 n 1 lim ( 2 2 2 ) n n 1 n 2 n n 2
即 a yn a ,
已知 n N '时, 有
a z n a ,
yn xn z n
a yn x n z n a ,
即 xn a 成立,
lim x n a .
n
特别的若
a xn zn , 且 lim zn a.
n n
lim zn a ,
n
那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
准则1 证
0,
当 n N 1时恒有 y n a , 0 , 使得 n 又 zn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
lim yn a N
P29 LT7
1 1 求 lim( 2 2 2 ). n n 1 n 2 n n
n n n
2
1
解
1 n 1
2
1 n n
2
n n2 1
n 又 lim lim 2 n n n n
1 1 1 n
1,
由夹挤定理
1 n2 n
lim
n n 1
n n
lim xn a xn n . 当 lim yn b 0时, lim n yn lim yn b n
n
证明 P26-28
1 证明 lim .0. n n
n 证明 lim 1. n n 1
证明 lim C C .
n
证明 lim q n 0. q 1.
1 n2 1
2
n
1
取 N ' max{ N1 , N 2，N },
(1) 夹挤准则（P29）
准则 1
如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) N ,当n N , 有yn xn zn ( 2) lim yn a ,
n n
lim zn a ,
n
那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
n
lim
n
n
a
1 , 其 中 a 0.
P28：LT5
lim
n
2n 1 2
n
lim 2n 1
n
lim 2n 1
n
lim 2
n
n
lim 2
n
n
?
1 1 1 lim 1 n 1 lim n n n 2 2
n
lim
n
n
a 1 , 其 中 a 0. lim
n
n 1,
n
lim yn 0证明 lim xn yn 0 设数列 x n 有界，又 n n
@
ln n cos n 3. lim n ln n sin n 1 cos n / ln n lim n 1 sin n / ln n
n n
则
lim xn a.
夹挤定理的意义: (1) 判断数列极限是否存在; (2) 指明了求 极限的又一条出路.
例1： 求 lim (
n
1 n 1
2
2
2 n 2
n
2
n n n
2
)
n (1 n ) 2 2 n 1
1 n 1
2
n 2
2
n n
2
若 lim xn a , lim yn b , 则
n n
6、数列极限的四则运算法则的推广
P28 定理4推论
（1）有限个收敛数列的和差积的极限等于 各极限的和差积. （2） lim k xn k lim xn ; （k为常数）
n n
（3） lim xn k lim xn k N ;
x y x y .
定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 证:
a–1 lim xn a . 设n
(
a a+1 M
)
x
对 =1, N,
当n>N 时, 有|xna|<1,
|xn| = |xn-a+a| |xna|+|a| <1+|a| 取M=max{|x1|, |x2|,…, |xN|, 1+|a|} 则对n=1, 2, …, 都有 |xn| M
准则1
证
0,
lim yn a N 0, 使 得 当 n N 时恒有 y a , 1 1 n n
又 zn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N ' max{ N1 , N 2，N }, n>N’ 时上两式同时成立,
定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 逆命题不成立, 如xn=(1)n有界, 不收敛！
有界数列
收敛数列
1
0
1
x
是发散的.
@求证
定理2.
若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界.
lim yn 0证明 lim xn yn 0 设数列 x n 有界，又 n n
n
lim xn a
0, N 0, 使n N 时, 恒有 xn a .
4、 N 定义证明数列极限为a
5、 收敛数列的性质
5、 收敛数列的性质 (P24) (1) 唯一性
若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.
(2) 有界性
收敛的数列必定有界.
(3)的引入 2、数列的定义 3、数列的极限 4、 N 定义证明数列极限为a 5、 收敛数列的性质 6、数列极限的四则运算法则 7、数列收敛判别准则
P28
(1) 夹挤定理（P29）
准则 1
如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) N , 当n N , 有yn xn zn ( 2) lim yn a ,
(2) 有界性
收敛的数列必定有界.
(3) 保序性
定理3.
设 lim xn a , lim yn b, 且a b,
n n
则正整数N , 当n N 时, 有xn yn .
证： b
n
ab 2
ab 2
a
x
lim xn a ,
ab 对 0, 2
ab , 正整数N 1 , 当n N 1时, 有 | xn a | 2
xn a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 lim n
(a<0). 则正整数N, 当n>N时, 有xn>0 (xn<0)
xn a , 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 推论3: lim n
则 a0
即 lim xn 0 ( lim xn 0)
n n
§1.2 极限 一、数列的极限 …ing
一、数列的极限
1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限
4、 N 定义证明数列极限为a
N定义 : lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
求解过程中关键是找到N (ε)（确实存在）。 如何找到这样的N ？ 求解不等式 xn a 则当n>N时， xn a
推论2. 设 lim xn a , lim yn b, 且若正整数N ,
n n
当 n N 时 , 有 x n yn ,
则必有a b.
反证: 设 a<b, 由定理3, 正整数N1 , 当n > N1时, 有xn< yn. 取 N2 = max{N, N1}, 则当 n > N2 ( N)时, 有 xn< yn. 此与条件矛盾.
n
n( n 1) 2n 2
1 2
@
1 1 n n sin n ! n 2. lim [ ( ) 2 3 n ] n n 2 n
4
1 1 n sin n ! n n lim lim ( ) lim 2 lim 3 n lim n n n 2 n n n n sin n ! 0 0 1 lim 3 n lim n n n
n
k
n
k为负整数时， 该结论亦成立。
P28：LT6
lim
n
3n 2 5 n 1 2n 2 1
1 1 35 2 n n lim 1 n 2 2 n
3 2
@ 1. lim [ 2 2 ] lim 2 n n n n n
1
2
成立，即 xn > yn. b
ab 2
a
x
定理3. 设 lim xn a , lim yn b, 且a b,
n n
则正整数N , 当n N 时, 有xn yn .
lim x n a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 n
(a<0). 则正整数N, 当n>N时, 有xn>0 (xn<0)
证：由已知数列{xn}有界=> M>0 nN, |xn|≤M