收敛数列的性质
收敛数列的性质(经典课件)
.四则运算法则：对于收敛数列，可以进行加法、减法、乘法和除法运算，得到的结果 仍然是收敛的，并且其极限可以通过对应的运算法则得到。
.收敛数列的子数列也收敛：如果一个数列收敛，那么它的任何子数列也收敛，并且收 敛于相同的极限。
收敛数列的性质(经典课 件)
演讲人
收敛数列具有以下几个重要的性质：
.有界性：收敛数列是有界的，即存在一个正数 ，使得数列的所有项都在区间 内。 这是因为收敛数列的极限存在，可以取极限的绝对值加上一个足够大的正数作为界。
.单调性（对于部分数列）：对于部分数列来说，如果数列是单调递增或单调递减的， 则收敛数列的极限与数列的单调性一致。也就是说，如果数列是单调递增的，那么 它的极限是不超过数列的所有项的最大值；如果数列是单调递减的，那么它的极限 是不低于数列的所有项的最小值。
谢谢
Байду номын сангаас
收敛数列的性质和函数极限的性质
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符 该号点推邻得域函内数的在符该号点 推得邻极域限内符的号符号
§2.2收敛数列性质
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
12
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
1 1 1 练习1 求极限: lim n n 1 n 2 n n
1 解： n n n 1
n
lim
n
1 n n
注 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. n 例:数列 {(1) } 是有界的, 但却不收敛. 推论 无界数列必定发散.
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
3
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
a n a , 且b a c, 定理 2.4（保号性） 设 lim n
当n N时, 有 a n bn .
ab 证 由 于a b, 由保号性 2 ab an . N 1 N , 当n N 1时, 2 ab bn . N 2 N , 当n N 2时, 2
取N max{N 1 , N 2 }, 当n N时, a n bn .
二、 极限的四则运算
定理2.7
设 lim an a , lim bn b, 则
n n
n
(1) lim(a n bn ) a b;
( 2) lim(a n bn ) a b;
n
an a ( 3) lim , 其中b 0. n b b n
n
则n n 1 hn ,
2 . n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 hn n 2 , 则hn 2 n 2 故 1 n 1 hn 1 . 又因 n 2 1 , l im 1 l im 1 n n n
§2.2收敛数列的性质
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
收敛数列的性质
§2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。
教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。
一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。
证明：设b a a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。
2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。
即N n M ∈∀>∃,0有M a n ≤。
证明：设.l i m a n =∞→取N n N N >∀∈∃=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈∀有.M a n ≤注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。
例如数列{}n)1(-有界但不收敛。
当然：无界⇒发散。
3、保序性：若b b a a n n n n ==∞→∞→lim .lim .且b a <，则N n >∀有n n b a <。
证明：取,0)(21>-=a b ε由N -ε定义有： ε<-⇒>∀∃a a N n N n 11,，即)(21b a a n +<； （1）ε<-⇒>∀∃b b N n N n 22,，即n b b a <+)(21。
（2）取},m ax {21N N N =，则N n >∀有n n b a <。
1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞→则b a N n N n <⇒>∀∃,.2o 、推论2：若0lim <=∞→a a n n ,则.0,<⇒>∀∃n a N n N3o 、推论3：（不等式定理）。
1-4收敛数列的性质解析
lim
n
5n2
4n
1
lim
n
2 5
3
n 4
n
4
n2 1
n2
3
4
lim 2
n
lim 5
n
lim
n
lim
n
n 4
n
lim
n
lim
n
n2 1
n2
2 5
例3: 设 | q | 1, 计算极限 lim(1 q q2 ... qn1 ) n
lim(1 q q2 ... qn1 )
n
1 qn lim
n 1 q
1
qn
lim lim
n 1 q n 1 q
1 1 limqn 1 q 1 q n
1. 1q
三、 无穷小
定义: 如果收敛数列{an }的极限为0,那么这个数列 称为无穷小列, 简称无穷小.
定理6 : 1o{an }为无穷小的充要条件是{| an |}为无穷小;
2o 两个无穷小之和(或差)仍是无穷小;
比如：数列xn (1)n1 是发散的.
数列{sin n}是发散的
4. 不等式性质
定理4：
1o
设
lim
n
an
a,
, 满足
a
, 那么当
n充分大时有an ; an ;
2o
设
lim
n
a
n
a,
lim
n
bn
b, 且a
b, 那么当
n充分大时有 an bn;
3o
设
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
b,
收敛数列的性质
§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。
即数列收敛，则它只有一个极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。
现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。
证明：设lim n n a a →∞=。
取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。
记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。
定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。
若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。
证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。
0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。
由此得到2a b ε<+。
高考收敛数列知识点归纳
高考收敛数列知识点归纳高考数学中，数列是一个重要的概念，它在不同的考题中经常出现。
其中，收敛数列更是一个被广泛讨论的知识点。
本文将对高考收敛数列的相关概念、性质以及解题方法进行归纳总结，以帮助广大考生更好地应对数学考试。
一、收敛数列的概念在数列的学习过程中，我们经常会遇到一类特殊的数列，即收敛数列。
所谓收敛数列，就是在数列的后项无限逼近某一确定的数。
举个例子来说，考虑数列{1，0.5，0.25，0.125，…}，该数列中的每个数都是前一个数除以2得到的。
我们可以看到，这个数列中的每个数都无限接近于0，而0正是该数列的极限值。
因此，我们可以说这个数列是一个收敛数列。
二、收敛数列的性质收敛数列有一些重要的性质，掌握这些性质对于解题至关重要。
下面我们来介绍几个常见的性质。
1. 收敛数列的极限唯一性对于一个收敛数列，它的极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能收敛于一个确定的数。
这个性质在解题过程中经常被用到。
2. 收敛数列的有界性对于一个收敛数列，它是有界的。
也就是说，存在一个正数M，当数列中的所有项的绝对值大于M时，这个数列是发散的；当数列中的所有项的绝对值小于或等于M时，这个数列是有界的。
3. 收敛数列的保序性对于一个收敛数列，它是保持有序的。
也就是说，如果数列中的每一项都大于（或小于）极限值，那么其后项也是大于（或小于）极限值的。
三、解决收敛数列的方法在高考解题中，遇到收敛数列的题目并不少见。
为了更好地解决这类问题，我们需要掌握一些常用的方法。
1. 利用收敛数列的定义对于一个收敛数列，我们可以利用其定义来证明一些性质。
例如，在证明某个数列是有界的时候，我们可以采用反证法，假设数列是无界的，然后利用收敛数列的定义推导出矛盾，从而得出结论。
2. 利用数列的性质进行推导在解决数列题目时，我们可以利用数列的性质来进行推导。
例如，在证明某个数列的极限存在时，我们可以利用数列有界性质，找到一个上界和下界，然后利用夹逼定理来推导出结论。
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§2 收敛数列的性质Ⅰ. 教学目的与要求1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 收敛数列的性质.难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容收敛数列有如下一些重要性质：定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．证 设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||210a b -=ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有.||M a n ≤证 设a a n n =∞→lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,m ax {|21+-=a a a a a M N则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){}n1-有界，但它并不收敛．定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '))0,(a ∈，存在正数N ，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．证 设0>a ．取a a '-=ε(>0)，则存在正数N ，使得当N n >时有a a n >a '=-ε，这就证得结果．对于0<a 的情形，也可类似地证明．注 在应用保号性时，经常取2aa ='.定理2.5(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞→∞→≤证 设,0.lim ,lim >==∞→∞→ε任给b b a a n n n n 分别存在正数n N N ，使得当与211N >时，有n a a <-ε， （1）当2N n >时有ε+<b b n . (2)取{}210,,max N N N N =，则当N n >时，按假设及不等式(1)和(2)有,εε+<≤<-b b a a n n由此得到.2ε+<b a 由的ε任意性推得b a ≤，即≤∞→n n a lim .lim n n b ∞→请学生思考：如果把定理2.5中的条件n n b a ≤换成严格不等式<n a n b ，那么能否把结论换成?lim lim n n n n b a ∞→∞→<，并给出理由 .例1 设() ,2,10=≥n a n ．证明：若,lim a a n n =∞→则.lim a a n n =∞→ （3）证 由定理2.5可得.0≥a若0=a ，则由0lim =∞→n n a ，任给0>ε，存在正数N ，使得当N n >时有<n a2ε，从而ε<n a 即,0ε<-n a 故有.0lim =∞→n n a若0>a ，则有aa a aa a a a a n n n n -≤+-=-.任给0>ε，由a a n n =∞→lim ，存在正数N ，使得当N n >时有,εa a a n <-从而ε<-a a n ．(3)式得证．定理 7.2(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都以a 为极限，数列{}n c 满足： 存在正数0N ，当0N n >时有n n n b c a ≤≤， (4) 则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim ．证 任给0>ε，由a b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，分别存在正数1N 与2N ，使得当n >1N 时有n a a <-ε， (5) 当2N n >时有ε+<a b n ． (6) 取{},,,m ax 210N N N N =，则当N n >时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有εε+<≤≤<-a b c a a n n n ．从而有ε<-a c n ，这就证得所要的结果． 定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限 的工具．例2 求数列{nn }的极限．解 记n n n h n a +==1，这里()10>>n h n ，则有()().2112n nn h n n h n ->+= 由上式得 ()1120>-<<n n h n ，从而有 12111-+≤+=≤n h a n n . (7)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+121n 是收敛于1的，因对任给的0>ε，取221ε+=N ，则当N n > 时有ε<--+1121n ．于是，不等式(7)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛 性证得1lim =∞→n n n ．在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则．定理2．7(四则运算法则) 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n b a +，-n a {}n b ，{}n n b a .也都是收敛数列，且有()n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim lim ，().lim .lim .lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=特别当n b 为常数c 时有().lim lim ,lim lim n n n n n n n n a c ca c a c a ∞→∞→∞→∞→=+=+若再假设0≠n b 及0lim ≠∞→n n b ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是收敛数列，且有 n n n n nnn b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim.证 由于()n n n n b a b a 1-+=-及nn n n b a b a 1.=，因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可.设,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→则对任给的,0>ε分别存在正数1N 与2N ，使得,ε<-n n b a 当,1N n > ,ε<-b b n 当.2N n >取{},,m ax 21N N N =则当N n >时上述两不等式同时成立，从而有1．()()().lim 2b a b a b b a a b a b a n n n n n n n +=+⇒<-+-≤+-+∞→ε2． ()().b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=- （8） 由收敛数列的有界性定理，存在正数M ，对一切n 有M b n <.于是，当N n >时由（8）式可得()εa M ab b a n n +<-.由ε的任意性，得ab b a n n n =∞→lim .3．由于,0lim ≠=∞→b b n n 根据收敛数列的保号性，存在正数3N ，则当>n 3N 时有b b n 21>.取{},,m ax 32N N N ='则当N n '>时有 222211bb b b b b b b b b n n n n ε<-<-=- 由ε的任意性，这就证得b b nn 11lim =∞→.例3 求01110111lim b n b nb n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ， 其中k m ≤，0,0≠≠k m b a ． 解 以kn-同乘分子分母后，所求极限式化为k k k k kk k m m k m m n nb n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim . 当0>α时有0lim =-∞→αnn .于是，当k m =时，上式除了分子分母的第一项分别为m a 与m b 外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于mmb a ； 当k m <时，由于()∞→→-n n km 0，故此时所求的极限等于0．综上所述，得到⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----.,0,,lim 1110111m k m k b ab b n b n b a a n a n a m m nn k k k k n m m m m例4 求,1lim +∞→nnn a a 其中1-≠a .解 若,1=a 则显然有211lim =+∞→nn n a a ; 若1<a ,则由0lim =∞→nn a 得()01lim lim lim 1lim =+=+∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn a a a a 若1>a ,则.1011111lim 1lim =+=+=+∞→∞→nn n nn a a a 例5求().1limn n nn -+∞→解(),111111++=++=-+nnn n n n n由()∞→→+n n111及例1得 ∞→n lim().211111lim1=++=-+∞→nn n nn 最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理．定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集+N 的无限子集，且<<< 21n n , <k n 则数列,,,,21k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列,简记为}{k n a .注1 由定义1可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在{}n a 中的先后次序．{}k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k ≥．实际上{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列．例如，子列{}k a 2由数列{}n a 的所有偶数项所组成，而子列{}12-k a 则由{}n a 的所有奇数项所组成．又{}n a 本身也是{}n a 的一个子列，此时k n k =，2,1=k ，.注2 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．例如{}k a 2和{}12-k a 都是{}n a 的非平凡子列．由上节例8可知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限． 定理2．8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛．证 必要性 设a a n n =∞→lim ，{}k n a 是{}n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当N k >时有ε<-a a k ．由于k n k ≥，故当N k >时更有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了{}k n a 收敛(且与{}n a 有相同的极限)．充分性 考虑{}n a 的非平凡子列{}k a 2，{}12-k a 与{}k a 3．按假设，它们都收 敛．由于}{6k a 既是{}k a 2，又是{}k a 3的子列，故由刚才证明的必要性，k k k k k k a a a 362lim lim lim ∞→∞→∞←==． （9）又{}36-k a 既是{}k a 2又是{}k a 3的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→= （10）(9)式与(10)式给出.lim lim 122-∞→∞→=k k k k a a所以由上节例7可知{}n a 收敛由定理2．8的证明可见，若数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与{}n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．例如数列(){}n1-，其偶数项组成的子列(){}n21-收敛于1，而奇数项组成的子列(){}121--k 收敛于—1，从而(){}n1-发散.再如数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn ，它的奇数项组成的子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-π212sink 即为(){}11--k ，由于这个子列发散，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn 发散.由此可见，定理2.8是判断数列发散的有力工具．Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握收敛数列的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.P 2、3、5、7、8、9、10.Ⅴ课外作业:３３。