收敛数列的性质
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收敛数列的性质
当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
§2 收敛数列的性质
定理 4： 1o 设 lim a n = a , α , β 满足 α < a < β , 那么当
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
2-2收敛数列的性质
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
保不等式性
定理2.5
设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正数 N0 ,
当 n N0 时, 有 an bn ,
则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
若
b
a,
取
ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
因为 是任意的，所以 a b .
| an a | ;
(1)
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
有界性
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
定理2.3
若数列 {an } 收敛, 则 {an } 为有界数列 ， 即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,L .
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n
2 n
,
但 lim 1 n n
lim
n
2 n
0.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
迫敛性（夹逼原 理）
极限的四则 运算
迫敛性 (夹逼原理)
一些例子
定理2.6
设数列 {an }, {bn }都以 a 为极限, 数列{cn} 满足:
存在N0 ,当 n N0 时, 有 an cn bn , 则
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
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§2 收敛数列的性质
收敛数列的性质和函数极限的性质
n
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符 该号点推邻得域函内数的在符该号点 推得邻极域限内符的号符号
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符 该号点推邻得域函内数的在符该号点 推得邻极域限内符的号符号
§2.2收敛数列性质
n n n
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
12
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
1 1 1 练习1 求极限: lim n n 1 n 2 n n
1 解： n n n 1
n
lim
n
1 n n
注 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. n 例:数列 {(1) } 是有界的, 但却不收敛. 推论 无界数列必定发散.
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
3
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
a n a , 且b a c, 定理 2.4（保号性） 设 lim n
当n N时, 有 a n bn .
ab 证 由 于a b, 由保号性 2 ab an . N 1 N , 当n N 1时, 2 ab bn . N 2 N , 当n N 2时, 2
取N max{N 1 , N 2 }, 当n N时, a n bn .
二、 极限的四则运算
定理2.7
设 lim an a , lim bn b, 则
n n
n
(1) lim(a n bn ) a b;
( 2) lim(a n bn ) a b;
n
an a ( 3) lim , 其中b 0. n b b n
n
则n n 1 hn ,
2 . n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 hn n 2 , 则hn 2 n 2 故 1 n 1 hn 1 . 又因 n 2 1 , l im 1 l im 1 n n n
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12
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
1 1 1 练习1 求极限: lim n n 1 n 2 n n
1 解： n n n 1
n
lim
n
1 n n
注 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. n 例:数列 {(1) } 是有界的, 但却不收敛. 推论 无界数列必定发散.
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《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
a n a , 且b a c, 定理 2.4（保号性） 设 lim n
当n N时, 有 a n bn .
ab 证 由 于a b, 由保号性 2 ab an . N 1 N , 当n N 1时, 2 ab bn . N 2 N , 当n N 2时, 2
取N max{N 1 , N 2 }, 当n N时, a n bn .
二、 极限的四则运算
定理2.7
设 lim an a , lim bn b, 则
n n
n
(1) lim(a n bn ) a b;
( 2) lim(a n bn ) a b;
n
an a ( 3) lim , 其中b 0. n b b n
n
则n n 1 hn ,
2 . n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 hn n 2 , 则hn 2 n 2 故 1 n 1 hn 1 . 又因 n 2 1 , l im 1 l im 1 n n n
收敛数列的性质
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由 旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证 设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an
§2.2收敛数列的性质
n n 1. 由两边夹定理， lim n
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
收敛数列的性质
§2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。
教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。
一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。
证明：设b a a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。
2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。
即N n M ∈∀>∃,0有M a n ≤。
证明：设.l i m a n =∞→取N n N N >∀∈∃=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈∀有.M a n ≤注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。
例如数列{}n)1(-有界但不收敛。
当然：无界⇒发散。
3、保序性：若b b a a n n n n ==∞→∞→lim .lim .且b a <，则N n >∀有n n b a <。
证明：取,0)(21>-=a b ε由N -ε定义有： ε<-⇒>∀∃a a N n N n 11,，即)(21b a a n +<； （1）ε<-⇒>∀∃b b N n N n 22,，即n b b a <+)(21。
（2）取},m ax {21N N N =，则N n >∀有n n b a <。
1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞→则b a N n N n <⇒>∀∃,.2o 、推论2：若0lim <=∞→a a n n ,则.0,<⇒>∀∃n a N n N3o 、推论3：（不等式定理）。
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an
a
;即an
a
1 2
(a
b);
n
N 2时,
bn
b
;即bn
b
1 2
(a
b);
取N max{N0 , N1, N2},当n N时
an
1 2
(a
b)
bn
，
与条件相矛盾。
思考：如果把条件“an bn”换成“ an bn ”，那么能否
把结论换成
lim
n
an
lim
n
bn
？
例考虑数列{1},{ 1 } n n2
2.有界性 定理2.3 收敛的数列必定有界.
证
设
lim
n
an
a,
由定义,
取 1,
则N,使得当n N时恒有an a 1,
即有 a 1 an a 1.
记 M max{a1 , , aN , a 1, a 1},
则对一切自然数n,皆有an M, 故an有界.
注意：有界性是数列 收敛的必要条件.
例：求
4n2 1
lim
n 2n 2 5n 6
解：
lim
n
4n2 1 2n2 5n
6
lim
n
2
4
5 n
1
n2
6 n2
lim (4
n
1 n2
)
40
2
lim (2
n
5 n
6 n2
)
200
例4 求
lim
n
a0nm b0nk
a1nm1 b1nk1
am bk
, a0
b0
0
解: 当a0 0,b0 0, m和k为非负整数时有
lim
an
lim an
n
0
0
n an 1 lim an 1 0 1
n
若 a 1 ，则
an
1
1
lim
lim
1
n a n 1 n 1 ( 1 )n 1 0
cn 满足：存在正数 N0 ，当 n N0 时有
an cn bn
则数列 cn 收敛，且
lim
n
cn
a
本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一 个计算数列极限的方法。
.
证
lim
n
an
a,
lim
n
bn
a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当n N1时恒有 an a ,
当n N2时恒有 bn a ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1
n
lim n lim 1 1
n
n2 1
n
1
1 n2
由夹逼定理得
1
1
1
lim(
) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
6、极限运算法则
定理2.7
设
lim
n
an
A,
lim
n
bn
B,则
(1) lnim(an bn ) A B;
(2)
lim
n
an
bn
A B;
(3) lim an A , 其中B 0. b n n B
注 : bn为常数c时有
lnim(an c) A c lnim(can ) cA
分析: an
bn
an
(bn
),
an bn
an
1 bn
(an bn ) ( A B) an A bn B
lim
n
a0nm b0 n k
a1nm1 b1nk 1
am bk
1
lim
n
nkm
a0
a1
1 n
b0
b1
1 n
am
1 nm
bk
1 nk
0ab,00当,当k k
m, m,
,当k m,
例4
求 lim nn
a
an n
1
,
其中a
1,
an 1
解：若 a 1 则
lim
n a n 1 2
若 a 1，则由 lim a n 0 有 n
§２ 收敛数列的性质
教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极 限的常用方法。
教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、 局部有界性、保号性、保不等式性；
（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性 定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。
一、数列极限的性质
1.唯一性
定理 每个收敛的数列只有a bn B
1 bn
1 A
bn B bn B
2 B2
bn
B
例：求 lim 3n 1 n 1 n n n
解：由于 lim 3n 1 lim (3 1) 3,
n n
n
n
lim n 1 lim (1 1) 1
n n
n
n
所以 lim 3n 1 n 1 31 3 n n n
例2 求数列 {n n} 的极限。
解： 记an n n 1 hn ， 这里 hn 0(n 1) ，则
有：
2
1 an 1 hn 1 n 1
左右两边的极限均为1， 故由夹逼准则本例得证。
例3 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
取 N max{N1 , N2 }, 当 n N时 上两式同时成立,
即 a an a , a bn a ,
当 n N时, 恒有 a an cn bn a ,
即 cn a 成立,
lim
n
cn
a.
注意: 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
利用夹逼准则求极限关键是构造出an与bn , 并且 an与bn的极限是容易求的 .
若数列 an 收敛，则它只有一个极限。
证
设
lim
n
an
a,
又
lim
n
an
b,
由定义, 对于 0, N1, N2.使得
当n
N1时恒有an
a
2
;
当n
N2时恒有an
b
2
;
取N maxN1 , N2, 则当n N时有
xn
a
2
xn b 2
即
a
b
an
a
an
b
2
2
由的任意性: a b. 故极限唯一.
即an a a' 0 类似可证a 0情形。
4.保不等性
定理2.5 设数列an与bn 均收敛，若存在正数N0，
使得当 n N0 时有 an bn ，则
lim
n
an
lim
n
bn
。
证明
:
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b;
若a
b, 则对
1 2
(a
b)
0,
正整数N1，N 2;使当
n
N1时,
例1 设an 0(n 1,2, ),证明:
若
lim
n
an
a, 则 lim n
an
a.
证
lim
n
an
a,
0, N N ,使得当n N时
恒有an a ,
从而有 an
a
an a an a
an a a
a
故 lim n
an
a.
5.夹逼准则
定理2.6 设收敛数列an、bn 都以a为极限，数列
推论 无界数列必定发散.
3.保号性
定理2.4
若
lim
n
an
a
0
（或
a 0），则对任何
a(0, a) （或 a(a,0) ），存在正数Ｎ，使
得当 n N 时有 an a（或 an a ）。
证明
设 lim n
an
a
0,
则对 a' a 0, a' (a,0)存在N
使得当n N时,有 an a